1 Principio da inclusão-exclusão

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "1 Principio da inclusão-exclusão"

Eduarda Valverde Alvarenga
6 Há anos
Visualizações:

1 1 Principio da inclusão-exclusão Começaremos com um resultado é evidente: Lemma 1. Sejam A 1 e A 2 conjuntos nitios disjuntos (ou seja: A 1 \ A 2 = ;) em um universo U. Assim: # (A 1 [ A 2 ) = # (A 1 ) + # (A 2 ) Lemma 2. Sejam A 1 e A 2 conjuntos nitios em um universo U. Assim: # (A 1 A 2 ) = #(A 1 ) #(A 1 \ A 2 ) Isso decorre do fato de A 1 = (A 1 \ A 2 ) [ (A 1 A 2 ) e do lema acima.. Theorem 3. Sejam A 1 e A 2 conjuntos nitios em um universo U. Assim: # (A 1 [ A 2 ) = # (A 1 ) + # (A 2 ) # (A 1 \ A 2 ) Proof.. De fato, temos que A 1 [ A 2 = A 1 [ (A 2 A 1 ). Como A 1 e A 2 A 1 são disjuntos (i.e.: A 1 \ (A 2 A 1 ) = ;), temos que = # (A 1 [ A 2 ) = # (A 1 [ (A 2 A 1 )) = #(A 1 ) + #(A 2 A 1 ) = #(A 1 ) + #(A 2 ) #(A 1 \ A 2 ) O teorema acima é chamado de principio da inclusão-exclusão para dois conjuntos. Example 4. Num setor de uma consutoria de informática estão 30 programadores: 12 desses programam em Java, 7 em C++ e 3 em ambas as linguagens. Quantos desses programadores não trabalham nem com Java e nem com C++? 1

2 Solution 5. Considere os seguintes conjuntos: A : Conjunto dos programadores em Java B : Conjunto dos programadores em C++ Seja T o número total de programadores desse setor. O número N de programadores que não trabalham nem com uma liguagem nem com a outra será dado por: N = T #(A [ B) Sabemos que #(A) = 12, #(B) = 7 e #(A \ B) = 3, assim: #(A [ B) = #(A) + #(B) #(A \ B) = = 16 Logo: N = = 14 Exercise Numa empresa com 40 funcionários, sabe-se que 25 tem um salário mensal menor que R$ 3:500; 00 e que 20 tem um salário superior à R$ 1:600; 00:Quantos funcionários desta empresa: (a) Recebem entre R$ 1:600; 00 e R$ 3:500; 00? (b) Quantos recebem menos de R$ 1:600; 00? (c) Quantos recebem mais de R$ 3:500; 00? 2. Uma pesquisa foi realizada com 2:000 pessoas sobre duas marcas de sabão em pó A e B. A pesquisa revelou que 1350 pessoas utilizam a marca A, 980 a marca B e 720 ambas as marcas. Determine o número de pessoas que: (a) utilizam ao menos uma destas marcas; (b) utilizam apenas uma destas marcas; (c) não utilizam nenhuma das duas marcas. O principio da inclusão exclusão acima pode ser estendido para três conjuntos: Corollary 7. Sejam A 1, A 2 e A 3 conjuntos nitios em um universo U. Assim: n(a 1 [A 2 [A 3 ) = n(a 1 )+n(a 2 )+n(a 3 ) n(a 1 \A 2 ) n(a 1 \A 3 ) n(a 2 \A 3 )+n(a 1 \A 2 \A 3 ) 2

3 Example 8. Suponhamos que no mesmo setor do exemplo anterior há 7 programadores em PHP. Desses 2 programam em C++ e outros 2 em Java e 1 nas três linguarens. Quantos desse programadores trabalham com Java, C++ ou PHP? Solution 9. Desejamos: # (A [ B [ C) onde A : conjunto dos programadores em Java B : o conjunto dos programadores em C++ C : o conjunto dos programadores em Cobol. Sabemos que # (A) = 12, # (B) = 7; # (C) = 7, # (A \ B) = 3, # (A \ C) = 2, # (B \ C) = 2 # (A \ B \ C) = 1, Desse modo: n(a [ B [ C) = n(a) + n(b) + n(c) n(a \ B) n(a \ C) n(b \ C) + n(a \ B \ C) = = 20 Generalizando os resultados acima, temos o principio da inclusão-exclusão para n conjuntos: Proposition 10. Sejam A 1 ; A 2 :::; A m m conjuntos nitos em um universo U, então: = n(a 1 [ A 2 [ ::: [ A m ) n (A a1 ) n A a1 \ A a2 + n A a1 \ A a2 \ A a3 1a 1m 1a 1 ;a 2 m;a 1 6=a 2 1a 1;a 2;a 3m;a i6=a j +( 1) r+1 n A a1 \ A a2 ::: \ A ar + ::: + ( 1) m+1 n(a 1 \ A 2 \ ::: \ A m ) 1a 1;a 2;:::;a rm;a i6=a j ::: Example 11. Uma pesquisa foi realizada para estimar o número de usuários dos sistemas operacionais Windows e Linux. Das 2000 pessoas entrevistadas, 1550 utilizavam um desses sistemas operacionais, 534 a rmaram utilizar o Linux e 1256 o Windows. Pegunta-se: 3

4 a. Quantos desses entrevistados utilizam os dois sistemas operacionais: b. Quantos são os usuários exclusivos de Linux? e de Windows? c. Quantos não utilizam nenhum desses sistemas? Solution 12 a. Seja L o conjunto das pessoas entrevistadas que utilizam o Linux e W o Windows, assim desejamos n(l \ W ). Como vimos anteriormente: n(l [ W ) = n(l) + n(w ) n(l \ W ) Assim: 1550 = n(l \ W ) () n(l \ W ) = 240 b. O total de pessoas entrevistadas que utilizam o Linux é de 534. O total de pessoas que utilizam apenas o Linux será de n(l) n(l \ W ) = = 294. Já o total de pessoas que utilizam apenas o Windows será de n(w ) n(l \ W ) = = c. O total de pessoas que não utilizam nenhum dos sistemas será o total de pessoas entrevistadas menos o número de pessoas que utilizam um dos sistemas, assim: 2000 n(a [ B) = = 450 Exercise Um clube de poliglotas tem 400 membros, no qual todos falam, uentemente pelo menos uma lingua além do português. Desse clube, sabe-se que 40 associados falam inglês e francês, 20% dos membros que falam alemão falam também francês, o número dos que falam essa duas linguas é um terço dos que falam alemão e ingles, e ainda, 22 membros falam apenas alemão e 1% dos associados do clube falam as trës linguas. Sabendo-se que apenas 10 associados náo falam nenhuma destas trës linguas, determine o número de membros que: (a) Falam alemão; (b) Falam exatamente duas dessas linguas; (c) Falam inglês ou francês; (d) Falam inglês ou francês mas não alemão. 4

5 2. Uma pesquisa a respeito da preferencia de lmes foi realizada num grupo de 1200 pessoas. Todos os entrevistados a rmaram que preferem ao menos uma das seguintes categorias: ação (A), comédia (C), drama (D) ou suspense (S). Foram coletados os seguintes dados: #A = #S #C = #D #D = 2#A # (A \ C) = # (A \ D) = # (A \ S) = # (C \ D) = # (C \ S) = # (D \ S) # (A \ C \ D) = # (A \ C \ S) = # (A \ D \ S) = # (C \ D \ S) Sabendo-se que a metade dos entrevistados que preferem lmes de ação a rmaram que também gostam de lmes de comédia, que os que preferem lmes de comédia, drama e ação é igual à um quarto dos que gostam de suspense e que 4% entrevistados gostam das quatro categorias citadas, determine o número de entrevistados que preferem lmes: (a) de suspense; (b) de comédia; (c) de drama e suspense; (d) de ação, comédia e drama; (e) apenas de ação; (f) de comédia e drama mas não de ação; (g) de drama ou suspense mas não de comédia. 5

Documentos relacionados

matematicautodidata.com

matematicautodidata.com Exercite! Data: Nota: Nome: Tópico: Médio 01 - Conjuntos 1. Dê os elementos dos seguintes conjuntos: (a) A = {x x é a letra da palavra autodidata } (b) B = {x x é o estado do sudeste do Brasil } (c) C