Como exemplo, vejamos a figura na qual existem duas forças atuando sobre o corpo: Figura 1 Forças atuando em um objeto Fonte: Fundação Bradesco

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1 ISAAC NEWTON E AS LEIS DO MOVIMENTO PARTE 2 CONTEÚDO Princípio Fundamental da Dinâmica (2ª lei de Newton) AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Vimos anteriormente que as três Leis de Newton (Princípio da Inércia, Princípio Fundamental da Dinâmica e Princípio da Ação e Reação) aparecem frequentemente em nosso dia a dia, mas, muitas vezes não notamos a sua presença. Pretendemos explorar um pouco mais, alguns aspectos matemáticos da 2 a Lei de Newton. Vimos no capítulo anterior, que ela estabelece uma relação entre as grandezas força (F), massa (m) e aceleração (a). Naquele capítulo estudamos que: A aceleração que um corpo adquire é diretamente proporcional à força que atua sobre ele e tem mesma direção e mesmo sentido desta força. Matematicamente, a frase acima foi escrita da seguinte maneira: Uma observação importante Na expressão da 2ª lei de Newton, Fr representa ainda a força resultante de todas as forças que podem atuar sobre o corpo. Como exemplo, vejamos a figura na qual existem duas forças atuando sobre o corpo: A força resultante será a diferença entre os valores das forças denominadas F 1 = 10 N e F 2 = 18 N. Matematicamente: Figura 1 Forças atuando em um objeto Fonte: Fundação Bradesco F r = F 2 - F 1 F r = 18 N 10 N F r = 8 N para a direita, conforme a figura 2, mostrada a seguir.

2 Figura 2 Forças resultante em um objeto Fonte: Fundação Bradesco Admitamos ainda que o corpo acima, com força resultante de valor 8 N, tenha uma massa de 2kg. Qual seria o valor de sua aceleração, quando submetido à ação dessa força resultante? Pela 2 a lei de Newton: Descobrimos anteriormente que F R = F 2 - F 1 e encontramos o valor 8 N, então teremos para a aceleração. 8 = 2.a 8 a = = 4 ; ou seja a = 4 m/s 2 2 Isso significa que o corpo de 2 kg, ao ser submetido às forças F 1 e F 2, terá uma força resultante de 8 N e se movimentará para a direita, com uma aceleração de 4m/s 2. Um outro exemplo em que evidenciamos a utilidade da 2 a lei de Newton é mostrado a seguir. O elevador da figura possui massa de 500 kg e se move para cima com aceleração constante. Admitindo que a tensão no cabo que sustenta o elevador vale N, qual seria o valor dessa aceleração? Tração As forças que atuam no elevador são a tração T e o Peso P (força da gravidade). Conforme foi informado o elevador sobe. Sendo assim, teremos que o valor da tração T será maior que o peso P. Para a situação analisada, a força resultante terá sentido para cima e podemos escrever a 2 a lei de Newton, subtraindo o peso P da tensão T, de maneira que: F R = m.a T P = m.a Para encontrarmos P, fazemos: P = m.g (expressão vista no capítulo anterior) Onde g 10m/s 2 P = Peso Figura 3 Forças atuando em um elevador Fonte: Fundação Bradesco

3 P = N Então, com a 2 a lei de Newton, obtemos o seguinte valor para a aceleração: F R = m.a T - P = m.a = 500.a = 500.a a = = 6 m/s2 ATIVIDADES 1. Se o elevador estivesse com 10 pessoas em seu interior, cada uma com uma massa de aproximadamente 60 kg, essa força de 8.000N, feita pelo cabo, seria suficiente para que o elevador subisse? Justifique sua resposta. 2. A figura abaixo mostra um corpo submetido à ação de algumas forças. Admita que o corpo possua massa de 3 kg e determine o valor da força resultante e o valor da aceleração que o corpo adquire: 5 N 2 N 3N 7 N 11 N

4 3. Um automóvel está se deslocando em linha reta, com velocidade v 1 = 15 m /s. O motorista pisa no acelerador, durante um intervalo de tempo t = 5 s e a velocidade do carro passa a ser v 2 = 25 m/s. a) Qual o valor da aceleração comunicada ao carro? b) Considerado que o automóvel possui massa de kg, qual o valor da resultante das forças que atuam no veículo? 4. Um elevador de N sobe com aceleraçao constante de 3 m/s 2. Qual a tensão no cabo de sustentação deste elevador? 5. (UEL PR. Adaptada.) Um corpo de massa 200 g é submetido à ação das forças F 1, F 2 e F 3, coplanares, de módulos F 1 = 5,0 N, F 2 = 2,0 N e F 3 = 4,0 N, conforme a figura a seguir. A aceleraçao do corpo vale, em m/s 2 F 3 a) 0,025 b) 0,25 c) 2,5 d) 25 F 2 F 1

5 LEITURA COMPLEMENTAR Para aprofundar nossos estudos sobre as leis de Newton e sua importância em nosso dia a dia, leia o texto Uma questão de ponto de vista, a seguir. No texto, o autor propõe uma reflexão as leis de Newton e ainda aborda a Teoria da Relatividade que trataremos nos capítulos finais deste material. Uma questão de ponto de vista Os princípios da teoria da relatividade, que geraram a mais célebre equação da física, questionaram as leis da mecânica clássica então vigentes, como a gravitação universal, cuja origem é associada à queda de uma maçã. Uma característica importante no processo de ensino e aprendizagem é estimular a habilidade dos alunos de emitir opiniões e refletir sobre os assuntos e temas abordados. Há sempre a expectativa de que os estudantes se interessem e sejam participativos, apresentando questionamentos e defendendo o seu ponto de vista. Da mesma maneira, na física e na ciência em geral, quando surge uma teoria ou é feita uma descoberta, os cientistas normalmente não aceitam de imediato os resultados. Surgem controvérsias e divergências de opinião acerca do tema, que podem levar muito tempo para serem esclarecidas. Geralmente os pontos de vista são defendidos de maneira muito intensa, e polêmicas podem aparecer. No caso de uma nova teoria física, ela somente é considerada válida quando verificada experimentalmente. Além disso, pode-se ter uma centena de resultados que concordem com a teoria, mas basta apenas um para nos mostrar que ela está equivocada ou incompleta. A grande vantagem da ciência como uma forma de conhecermos a natureza é o fato de que ela está em constante evolução. Quando se realiza um novo experimento e este mostra um resultado inusitado, ele somente será considerado válido quando for reproduzido, de maneira independente, por outros pesquisadores. Nesse sentido, a grande vantagem da ciência como uma forma de conhecermos a natureza é o fato de que ela está em constante evolução, ou seja, novos resultados ou teorias sempre surgem para reforçar ou refutar o paradigma vigente. Entre as inúmeras controvérsias que já surgiram na física, destaca-se a grande revolução que ocorreu no começo do século passado. A teoria da relatividade especial, proposta pelo físico alemão Albert Einstein ( ), colocou em xeque a chamada mecânica clássica, um conjunto de conhecimentos construído ao longo de mais de 300 anos.

6 Os pilares da mecânica clássica As bases da mecânica clássica foram estabelecidas no século 17 pelo físico inglês Isaac Newton ( ) a partir das três leis do movimento e da lei da gravitação universal. A primeira lei de Newton (o princípio da inércia) estabelece que todo corpo se mantém em repouso ou em movimento uniforme se não houver a ação de uma força externa sobre ele. Esse princípio foi proposto primeiramente pelo físico e astrônomo italiano Galileu Galilei ( ) para compreender a natureza dos movimentos, em particular os movimentos da Terra em torno de si e ao redor do Sol. O funcionamento do motor de um foguete baseia-se na terceira lei de Newton, segundo a qual ao se aplicar uma força sobre um corpo (no caso, a exercida pelos gases expelidos na queima do combustível), este reage com outra força de mesma intensidade, mas em sentido contrário. A segunda lei de Newton (o princípio fundamental da mecânica) mostra que a variação da quantidade de movimento (produto da massa multiplicada pela velocidade de um corpo) é igual à força aplicada sobre o objeto. Na terceira lei de Newton (o princípio de ação e reação), apresenta-se a ideia de que, ao se aplicar uma força sobre um corpo, este reage com outra força de mesma intensidade, mas em sentido contrário. Completando o quadro, Newton propôs que há entre os corpos uma força de atração que é proporcional ao produto de suas massas e ao inverso do quadrado das distâncias que os separam. Essa força ficou conhecida como a força da gravidade. Com base nessas leis e nas ferramentas matemáticas também desenvolvidas por Newton (o cálculo diferencial e integral), foi possível construir um modelo completo para descrever o movimento dos corpos, tanto na Terra como no espaço. Para a mecânica clássica, não havia um limite para a velocidade dos corpos e o espaço e o tempo eram absolutos, independentemente do observador. Esse paradigma reinou praticamente como o único ponto de vista aceito pela física por quase 250 anos. Quebra de paradigma Contudo, quando Einstein apresentou outro ponto de vista, no ano de 1905, a física nunca mais foi a mesma. Os princípios propostos por ele, embora sejam simples, provocaram mudanças radicais. Um desses princípios é que as leis da física são as mesmas para todos os observadores em referenciais inerciais (referenciais que não estão sob a ação de qualquer força e, dessa forma, conservam seu estado de movimento).

7 O outro princípio é que a velocidade da luz é constante, independentemente do referencial do observador ou do movimento da fonte que a emite. A controvérsia que Einstein provocou está justamente em questionar os conceitos de espaço e tempo absolutos estabelecidos na física newtoniana. Aplicando os dois princípios descritos acima, Einstein mostrou que a velocidade da luz jamais pode ser atingida e, quando nos movemos em uma velocidade próxima à da luz, o tempo passa mais devagar e as distâncias são contraídas na direção do movimento. Portanto, se fosse possível atingir a velocidade da luz, o tempo pararia e os objetos colapsariam. Além disso, surgiu como consequência da aplicação desses dois princípios a famosa relação E = mc 2 (onde E é energia, m, massa e c, a velocidade da luz no vácuo). Quando se fornece energia para um corpo aumentar a sua velocidade, como ele não pode acelerar até a velocidade da luz, parte da energia se transforma em massa, de acordo com a equação de Einstein. Aceitação das novas ideias Essas divergências que a teoria da relatividade restrita (ou especial) apresentou em relação ao ponto de vista da mecânica clássica não foram imediatamente aceitas. Demorou alguns anos para que experimentos pudessem comprovar que a proposta de Einstein correspondia a uma descrição mais completa da natureza. De fato, em 1915, Einstein ampliou a sua teoria para incluir os objetos em movimento acelerado, o que levou a uma nova teoria da gravitação, que ficou conhecida como teoria da relatividade geral. Com essa nova teoria, ele pôde explicar algumas questões que a teoria newtoniana não conseguia, como o movimento do periélio (ponto da órbita de um corpo mais próximo do Sol) e o desvio da luz das estrelas devido à ação gravitacional do Sol. Esta última constatação a mais polêmica foi comprovada pela primeira vez a partir da observação de um eclipse total do Sol em Sobral, no Ceará, em maio de As observações concordaram com a previsão de Einstein. Esse é apenas um exemplo de como a física e a ciência em geral são construídas a partir da discussão de novas teorias e experimentos que levam a novos pontos de vista sobre a natureza. A razão fica sempre com quem consegue provar as suas ideias a partir dos experimentos. Por isso, a discussão e a defesa de ideias com base em fatos e propostas são de fundamental importância para o desenvolvimento científico. (Disponível em: Acesso em: 15 mar

8 INDICAÇÕES Web aula Leis de Newton. Disponivel no endereço ula/dispform.aspx?id=8&source=http%3a%2f%2fwww%2eeja%2eeducacao%2eor g%2ebr%2fbibliotecadigital%2fcienciasnatureza%2fwebaulas%2fpaginas%2fweba ulas%5fem%2easpx. Oficina Interdisciplinar A cultura do automóvel. Disponível no endereço nares/lists/oficinasinterdisciplinares/dispform.aspx?id=1&source=http%3a%2f%2f www%2eeja%2eeducacao%2eorg%2ebr%2fbibliotecadigital%2fcienciasnatureza1% 2FOficinasInterdiscilplinares%2FPaginas%2Fdefault%2Easpx. Material didático complementar à Oficina Interdisciplinar A cultura do automóvel. Disponível no endereço nares/lists/oficinasinterdisciplinares/dispform.aspx?id=1&source=http%3a%2f%2f www%2eeja%2eeducacao%2eorg%2ebr%2fbibliotecadigital%2fcienciasnatureza1% 2FOficinasInterdiscilplinares%2FPaginas%2Fdefault%2Easpx. REFERÊNCIAS ALVARENGA, B. Curso de Física (volume 1). São Paulo: Scipione, GASPAR, A. Física: Mecânica. São Paulo: Ática, GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de Física. Leituras de Física Mecânica. São Paulo: Edusp, HAMBURGER, E. Telecurso: Física: ensino médio. Rio de Janeiro: Fundação Roberto Marinho, Fundamentos da Física conceitual. Porto Alegre: Bookman, LUCIANO, P., ÁLVARO, T. Física - Mecânica. São Paulo: Editora Nova Geração, OLIVEIRA, A. Uma questão de ponto de vista. Disponível em: < Acesso em: 15 mar h11min. PIETROCOLA. M. Física em contextos: movimento, força, astronomia: volume 1. São Paulo: FTD, 2011.

9 GABARITO 1. Com a inclusão de 10 pessoas, cada uma de 60 kg, teremos uma massa total igual a: Massa total = massa do elevador + mais das 10 pessoas Massa total = x60 Massa total = Massa total = kg E o novo peso total (elevador + pessoas) será P = m.g P = x 10 P = N A nova configuração de forças no elevador está indicada na ilustração a seguir: Tração = N Para esta nova configuração de forças, a tração de N não é suficiente para vencer a força peso. Peso = N 2. Para a direita temos 3 forças que, somadas, fornecem 21 N e para a esquerda temos 2 forças que fornecem como resultado 7 N. Considerando que elas estão em sentidos contrários, precisamos fazer a subtração desses valores para que obtenhamos o valor da força resultante. Obtemos assim F r = 14 N para a direita, conforme figura abaixo: 14 N

10 Utilizando a expressão da 2ª determinamos o valor da aceleração. 14 = 3.a a 4,7 m/s 2 3. a) a = v t v = v 2 -v 1 v = v = 10 m/s Temos então que v = 10 m/s e t = 5 s. Para aceleração, encontraremos: a = v t a = 10 5 a = 2 m/s 2 b) F r = 1.100x2 F r = N 4. Temos a configuração de forças no elevador, conforme mostrado na ilustração T Elevador sobe com aceleração de 3 m/s Para que o elevador suba, a força de tração deve ser maior que a força peso. A força resultante será P = N

11 Fr = Tração Peso F r = T 8000 E substituindo esses valores na expressão da 2ª lei de Newton, teremos: T 8000 = m.a O valor da aceleração foi fornecidono, no enunciado (3 m/s 2 ). Por outro lado, o valor da massa não foi fornecido no enunciado. Mas sabemos o valor do peso que é N. Pela expressão P = m.g, determinamos o valor da massa. P = m.g = m.10 m = 500 kg Retornando na expressão da 2ª lei de Newton, ficamos com: T 8000 = m.a E substituindo na expressão os valores conhecidos ficamos com: T 8000 = T = T = T = N 5. Alternativa D As duas forças horizontais se subtraem e ficamos com a configuração mostrada na figura. Considerando que as duas forças restantes são perpendiculares, a força resultante pode ser determinada pelo Teorema de Pitágoras, como vimos no capítulo Ele foi naquela direçao! Ou seria, naquele sentido? deste material didático. (F r ) 2 = (4) 2 + (3) 2 4 N (F r ) 2 = (F r ) 2 = 25 F r = 5 N E lembrando que m = 200 g = 0,2 kg, teremos pela 2ª lei de Newton F r =m.a 3 N 5 = 0,2.a a = 25 m/s 2