Estatística Descritiva. Prof. Paulo Cesar F. de Oliveira, BSc, PhD

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1 Prof. Paulo Cesar F. de Oliveira, BSc, PhD 1

2 Seção 2.1 Distribuições de freqüência e seus gráficos 2

3 Ø Distribuição de Freqüência Ø Tabela que mostra classes ou intervalos de entrada de dados com um número total de entradas em cada classe Ø A frequência f de uma classe é o número de entrada de dados na classe Ø Diferença entre o valor máximo e o mínimo dos dados é a amplitude total Largura da classe 6 1 = 5 Limite inferior da classe Classe Frequencia, f Limite superior da classe 3

4 Ø Construindo uma distribuição de freqüência 1. Decidir sobre o número de classes. Ø Geralmente deve estar entre 5 e 20; caso contrário pode ser difícil identificar padrões 2. Determine a largura da classe. Ø Determine a amplitude total dos dados Ø Dividir a amplitude total pelo número de classes Ø Arredondar até o próximo número conveniente 4

5 Ø Construindo uma distribuição de freqüência 3. Calcule o limite das classes. Ø Você pode usar a entrada mínima dos dados como limite inferior da primeira classe Ø Para determinar os limites inferiores que faltam adicione a largura da classe ao limite inferior da classe precedente Ø Calcule o limite superior da primeira classe. Lembrese de que as classes não podem se sobrepor. Ø Determine os limites superiores das classes restantes. 5

6 Ø Construindo uma distribuição de freqüência 4. Marque um risco para cada entrada de dado na linha da classe apropriada. 5. Conte os riscos feitos para determinar a frequência total f para cada classe. 6

7 Ø Exemplo 1 Ø O conjunto de dados amostrais a seguir fornece uma lista do número de minutos que 50 assinantes da Internet gastaram durante sua conexão mais recente. Construa uma distribuição de freqüência que tenha 7 classes

8 Ø Exemplo Número de classes = 7 (dado) 2. Calcule a largura da classe (LC) LC = entr.max entr.min n classes = ,57 Arredondar para 12 => LC = 12 8

9 Ø Exemplo 1 3. Use 7 (valor mínimo) como o primeiro limite inferior. Adicione a largura da classe (12) para obter os outros limites inferiores = 19 LC = 12 Limite inferior Limite superior calcule da mesma maneira os limites inferiores restantes

10 Ø Exemplo 1 O limite superior da primeira classe é 18 (um a menos do que o limite inferior da segunda classe). Adicione 12 (LC) para obter o limite superior da outra classe = 30 Repita este processo para os limites superiores restantes. Limite inferior Limite superior LC = 12 10

11 Ø Exemplo 1 4. Marque com um risco as entradas para cada classe. 5. O número de riscos feitos para uma classe f será a freqüência daquela classe. Classe Riscos Frequencia, f 7 18 IIII I IIII IIII IIII IIII III IIII III IIII IIII I II 2 Σf = 50 Tamanho da amostra 11

12 Ø Informações Adicionais Ø Ponto médio: (limite inferior + limite superior)/2 Classe Ponto médio Frequência, f =12, = 24, = 36, Largura da classe = 12 12

13 Ø Informações Adicionais Ø Frequência Rela7va Ø Porção ou porcentagem dos dados que entra nessa classe. frequência relativa = frequência da classe tamanho da amostra = Classe Frequência, f Frequência RelaDva = = = 0.26 f n 13

14 Ø Informações Adicionais Ø Frequência Acumulada Ø Soma da freqüência daquela classe com a de todas as classes anteriores Classe Frequência, f Frequência Acumulada

15 Ø Distribuição de Freqüência Expandida Classe Frequência, f Ponto Médio Frequência RelaDva Frequência Acumulada ,5 0, ,5 0, ,5 0, ,5 0, ,5 0, ,5 0, ,5 0,04 50 Σf = 50 f = 1 n 15

16 Ø Exemplo 2 Ø O conjunto de dados amostrais abaixo lista os preços (em dólares) de 30 navegadores portáteis de GPS (global positioning system). Construa uma distribuição de frequência que tenha 7 classes

17 Ø Exemplo Número de classes = 7 (dado) 2. Calcule a largura da classe (AC) LC = entr.max entr.min no.classes = = Arredondar para 56 => LC = 56 17

18 3. Use 59 (valor mínimo) como o primeiro limite inferior. Adicione a largura da classe de 56 para obter o próximo limite inferior = 115 Repita este processo para os limites superiores restantes. LC = 56 Limite Inferior Limite Superior 18

19 Ø Exemplo 2 O limite superior da primeira classe é 114 (um a menos do que o limite inferior da segunda classe). Adicione 56 (LC) para obter o limite superior da outra classe = 170 Repita este processo para os limites superiores restantes. Limite Inferior Limite Superior LC = 56 19

20 Ø Exemplo 2 4. Marque com um risco as entradas para cada classe. 5. O número de riscos feitos para uma classe f será a freqüência daquela classe. Classe Riscos Frequência, f IIII IIII III IIII I IIII II I III 3 Σf = 30 Tamanho da amostra 20

21 Ø Informações Adicionais Ø Ponto médio: (limite inferior + limite superior)/2 Classe Ponto Médio Frequência, f = = = Largura da classe = 56 21

22 Ø Informações Adicionais Ø Frequência Relativa Ø Porção ou porcentagem dos dados que entra nessa classe. frequência relativa = frequência da classe tamanho da amostra = f n Classe Frequência, f Frequência Relativa =

23 Ø Informações Adicionais Ø Frequência Acumulada Ø Soma da freqüência daquela classe com a de todas as classes anteriores Classe Frequência, f Frequência Acumulada

24 Ø Distribuição de Frequência Expandida Classe Frequência, f Ponto Médio Frequência Relativa Frequência Acumulada f Σf = 30 = 1 n 24

25 frequência Capítulo 02 Ø Gráficos das distribuições de freqüência Ø Histograma de Freqüência Ø Gráfico de barras que representa a distribuição de freqüência de um conjunto de dados Ø A escala horizontal é quandtadva e mede os valores de dados Ø A escala verdcal mede as freqüências das classes Ø Barras consecudvas devem estar encostadas umas às outras Valores de dados 25

26 Ø Gráficos das distribuições de freqüência Ø Fronteiras das classes Ø Números que separam as classes sem deixar uma falha entre elas. Ø A distância entre limite superior da primeira classe e o limite inferior da segunda classe é = 1. A metade dessa distância é 0,5. Ø Fronteira inferior da primeira classe = 7 0,5 = 6,5 Ø Fronteira superior da primeira classe = ,5 = 18,5 Classe Fronteiras das classes Frequência, f ,5 18,

27 Ø Gráficos das distribuições de freqüência Ø Fronteiras das classes Classe Fronteiras das classes Frequência, f ,5 18, ,5 30, ,5 42, ,5 54, ,5 66, ,5 78, ,5 90,5 2 27

28 Ø Exemplo Histograma de Freqüência Ø Construa um histograma para a distribuição de freqüência do uso da Internet Classe Fronteiras das classes Ponto médio Frequência, f ,5 18,5 12, ,5 30,5 24, ,5 42,5 36, ,5 54,5 48, ,5 66,5 60, ,5 78,5 72, ,5 90,5 84,5 2 28

29 Ø Solução 29

30 Ø Solução Uso da Internet (fronteiras das classes) Frequência ,5 18,5 30,5 42,5 54,5 66,5 78,5 90,5 Tempo de conexão (em minutos) 30

31 Ø Gráficos das distribuições de freqüência Ø Polígonos de Freqüência Ø Gráfico em forma de linha que enfadza a mudança con^nua das freqüências. frequência Valores de dados 31

32 Ø Exemplo Polígono de Freqüência Ø Construa um polígono de freqüência para o exemplo do uso da Internet Classe Ponto médio Frequência, f , , , , , , ,5 2 32

33 Ø Solução Ø o gráfico deve começar e terminar sobre o eixo horizontal. Ø Para isto, estenda o lado esquerdo em uma amplitude de classe antes do ponto médio da primeira classe e o lado direito, também, em uma amplitude de classe após o úldmo ponto médio. Frequência Uso da Internet Tempo Conectado (em minutos) 33

34 Ø Gráficos das distribuições de freqüência Ø Histograma de Freqüência Rela7va Ø Tem o mesmo aspecto e a mesma escala horizontal que o histograma de frequência. Ø A diferença é que a escala verdcal mede as frequências reladvas e não as frequências Frequência reladva Valores de dados 34

35 Ø Exemplo Histograma de Freqüência Rela7va Ø Construa um histograma de frequência reladva com o exemplo do uso da Internet Classe Fronteiras das classes Frequência, f Frequência RelaDva ,5 18,5 6 0, ,5 30,5 10 0, ,5 42,5 13 0, ,5 54,5 8 0, ,5 66,5 5 0, ,5 78,5 6 0, ,5 90,5 2 0,04 35

36 Ø Solução 6,5 18,5 30,5 42,5 54,5 66,5 78,5 90,5 36

37 Ø Gráficos das distribuições de freqüência Ø Gráfico de frequência acumulada ou ogiva Ø Linha poligonal que mostra a frequência acumulada de cada classe em seu limite superior. Ø Os limites superiores são marcados sobre o eixo horizontal e as frequências acumuladas sobre o eixo verdcal Frequência acumulada Valores de dados 37

38 Ø Gráficos das distribuições de freqüência Ø Gráfico de frequência acumulada ou ogiva Ø Construindo uma ogiva 1. Construa uma distribuição de frequência que tenha uma coluna para as frequências acumuladas 2. Especifique as escalas horizontal e verdcal. Ø A escala horizontal consiste dos limites superiores da classe Ø A escala verdcal mede as frequências acumuladas 3. Marque os pontos que representam os limites superiores de classe e suas respecdvas frequências acumuladas 38

39 Ø Gráficos das distribuições de freqüência Ø Gráfico de frequência acumulada ou ogiva Ø Construindo uma ogiva 4. Conecte os pontos em ordem, da esquerda para a direita 5. O gráfico deve começar no limite inferior da primeira classe (cuja frequência acumulada é zero) e deve terminar no limite superior da úldma classe (cuja frequência acumulada é igual ao tamanho da amostra). 39

40 Ø Exemplo Ogiva Ø Construa um gráfico de frequência acumulada (ou ogiva) para o exemplo do uso da Internet Classe Fronteiras das classes Frequência, f Frequência acumulada

41 Ø Solução 6,5 18,5 30,5 42,5 54,5 66,5 78,5 90,5 41

42 Seção 2.2 Mais gráficos e representações 42

43 Ø Fazendo gráficos de conjunto de dados quan7ta7vos Ø Plote Tronco- e- folha Ø Cada número é separado em um tronco (e.g. dígitos mais à esquerda) e uma folha (e.g. os dígitos mais à direita) Ø Similar a um histograma Ø Gráfico ainda contém os valores dos dados originais Dados: 21, 25, 25, 26, 27, 28, 30, 36, 36,

44 Ø Exemplo Tabela Tronco- e- Folha Ø Os números a seguir são os pontos por bolas rebaddas que os líderes da Liga Americana de Beisebol obdveram durante um período recente de 50 anos. Disponha os dados em uma tabela tronco- e- folha. (Fonte: Major League Baseball)

45 Ø Solução Ø Entradas de dados vão de 78 até 159 Ø Use os valores- tronco que vão de 7 até 15 Ø Use o dígito mais à direita como folha Ø Exemplo 78 = 7 8 e 159 = 15 9 Ø Liste os troncos de 7 até 15 à esquerda de uma linha verdcal Ø Para cada entrada de dados, liste uma folha à direita do seu tronco 45

46 Ø Solução 46

47 Ø Fazendo gráficos de conjunto de dados quan7ta7vos Ø Plote de pontos Ø Cada entrada é desenhada, usando um ponto, sobre um eixo horizontal. Ø Permite que se veja como os dados estão distribuídos e se determinem entradas específicas de dados. 26 Dados: 21, 25, 25, 26, 27, 28, 30, 36, 36,

48 Ø Exemplo Plote de pontos Ø Use o plote de pontos para organizar os dados dos pontos obddos por bolas rebaddas do exemplo do beisebol anterior

49 Ø Solução Ø Para que cada entrada de dados conste de um diagrama de pontos, o eixo horizontal deve incluir números entre 70 e 160. Ø Para representar a entrada de dados, desenhe um ponto acima de sua posição de entrada sobre o eixo. Ø Se uma entrada for repedda, desenhe outro ponto acima do anterior 49

50 Ø Solução

51 Ø Fazendo gráficos de conjunto de dados qualita7vos Ø Diagrama de pizza Ø Tem forma de um círculo que mostra as relações das partes com o todo. Ø O círculo é dividido em setores que representam as categorias Ø A área de cada setor é proporcional à frequência de cada categoria 51

52 Ø Exemplo diagrama de pizza Ø O número de ocupantes de veículos motorizados que morreram em acidentes em 2005 é mostrado na tabela. Use um diagrama de pizza para organizar os dados. (Fonte: U.S. Department of Transporta;on, Na;onal Highway Traffic Safety Administra;on) Tipo de veículo Número de mortos Carros Caminhões Motocicletas Outros

53 Ø Solução Ø Encontre a frequência reladva para cada categoria Tipo de veículo Frequência, f Carros Caminhões Motocicletas 4553 Outros 823 Frequência reladva = 0, = 0, = 0, = 0,02 53

54 Ø Solução Ø Construa o diagrama de pizza usando ângulo central que corresponde a cada categoria. Ø Para encontrar o ângulo central, muldplique o valor da frequência reladva da entrada de dados por 360 Ø Ex. o ângulo central para os carros é: 360 0,

55 Ø Solução Tipo de veículo Frequência, f Frequência reladva Ângulo central Carros ,49 Caminhões ,37 Motocicletas ,12 Outros 823 0, (0,49) (0,37) (0,12) (0,02) 7 55

56 Ø Solução Tipo de veículo Frequência reladva Ângulo central Carros 0, Caminhões 0, Motocicletas 0,12 43 Outros 0, % 2% 12% Veículos a motor Carros Caminhões 49% Motocicletas Outros 56

57 Ø Fazendo gráficos de conjunto de dados qualita7vos Ø Diagrama de Pareto Ø Gráfico de barras verdcais no qual a altura de cada barra representa a frequência ou a frequência reladva Ø As barras estão posicionadas em ordem de altura decrescente, ficando a barra maior posicionada à esquerda Frequência Categorias 57

58 Ø Exemplo Diagrama de Pareto Ø Recentemente, a indústria varejista perdeu US$ 41 milhões na redução de seus advos. A redução de advos é a perda por meio de danos, pequenos roubos, assaltos em loja e assim por diante. As causas da redução de advos são erros administradvos (US$ 7,8 milhões), roubos pradcados por funcionários (US$ 15,6 milhões), assaltos a lojas (US$ 14,7 milhões) e fraudes nas vendas (US$ 2,9 milhões). Se você fosse um varejista, qual a causa da redução de advos você escolheria para atacar primeiro? (Fonte: Na;onal Retail Federa;on and Center for Retailing Educa;on, University of Florida) 58

59 Ø Solução Causas de Redução de A7vos Causa Erros administradvos Roubos p/ funcionários Assaltos nas lojas $ (milhões) 7,8 15,6 14,7 Milhões de dólares Fraudes nas vendas 2,9 Causas 59

60 Ø Fazendo gráficos de conjunto de dados emparelhados Ø Conjunto de dados está emparelhado quando cada entrada de um conjunto corresponde a uma entrada no segundo conjunto. Ø Para fazer um gráfico de dados emparelhados, usa- se o Mapa de Dispersão. Ø Os pares ordenados são colocados no gráfico como pontos de um plano de coordenadas. y Ø Usado para mostrar a relação entre 2 variáveis quandtadvas x 60

61 Ø Exemplo Mapa de Dispersão Ø O esta^sdco britânico Ronald Fisher apresentou um famoso conjunto de dados chamado íris de Fisher. Esse conjunto de dados descreve várias caracterísdcas vsicas, tais como o comprimento e a largura das pétalas de 3 espécies de íris. O comprimento e a largura das pétalas de cada espécie foram dispostos em um mapa de dispersão. À medida que o comprimento da pétala aumenta, o que tende a acontecer com a sua largura? (Fonte: Fisher, R.A., 1936) 61

62 Ø Solução Largura da pétala (em milímetros) Conjunto de dados de Íris de Fisher Comprimento da pétala (em milímetros) Cada ponto no mapa de dispersão representa o comprimento e a largura da pétala de uma flor. 62

63 Ø Solução Largura da pétala (em milímetros) Conjunto de dados de Íris de Fisher Comprimento da pétala (em milímetros) Interpretação Você pode ver no mapa de dispersão que à medida que o comprimento da pétala aumenta, a largura dela também aumenta. 63

64 Ø Fazendo gráficos de conjunto de dados emparelhados Ø Séries Temporais Ø Conjunto de dados consdtuído de entrada de dados tomadas a intervalos regulares durante um período de tempo Ø e.g. a quanddade de precipitação pluviométrica medida a cada dia durante um mês Dados QuanDtaDvos Tempo 64

65 Ø Exemplo Série Temporal Ø A tabela mostra o número de assinantes de telefones celulares (em milhões) para os anos de 1995 até Construa um gráfico da série temporal para o número de assinantes. (Fonte: Cellular Telecommunica;on & Internet Associa;on) Ano Assinantes (milhões) , , , , , , , , , , ,9 65

66 Ø Solução Ø O eixo horizontal representa os anos Ø Eixo verdcal representa o número de assinantes Ø Marque os dados emparelhados e conecte- os por meio de segmentos de reta. Ano Assinantes (milhões) , , , , , , , , , , ,9 66

67 Assinantes (em milhões) Capítulo 02 Ø Solução Assinantes de telefonia celular Anos Ano Assinantes (milhões) , , , , , , , , , , ,9 67