OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO PARA O INVESTIMENTO EM SISTEMAS DE SEGURANÇA: UMA APLICAÇÃO ÀS LINHAS DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA

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1 OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO PARA O INVESTIMENTO EM SISTEMAS DE SEGURANÇA: UMA APLICAÇÃO ÀS LINHAS DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA Carlos Renato dos Santos a estatistico.org@gmail.com Isis Didier Lins a isis.lins@gmail.com Paulo Renato Alves Firmino a prf62@yahoo.com.br Márcio das Chagas Moura a marciocmoura@gmail.com Enrique López Droguett a ealopez@ufpe.br a Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Engenharia de Produção RESUMO Ataques intencionais ocorrem em diversos setores e sistemas, desde ataques terroristas, até mesmo roubo de informações e materiais de grande valor. O presente trabalho está inserido no contexto de engenharia da confiabilidade e otimização multiobjetivo através de algoritmos genéticos (AG) para alocação ótima de medidas de segurança em sistemas sob ataques intencionais. O problema consiste em apresentar uma metodologia para alocação ótima de medidas de segurança existentes no mercado no sentido de dissuadir ataques levando em conta custos associados e probabilidade de sucesso de defesa dos componentes. Um exemplo de aplicação direcionado a linhas de transmissão de energia elétrica é apresentado. PALAVARAS CHAVE. Confiabilidade, Otimização, Segurança. Área principal (Energia Elétrica) ABSTRACT Intentional attacks occur in different segments and systems, since terrorist attacks until robbery of worth information and material. The present work is inserted in reliability engineering and multiobjective optimization contexts. A multiobjective genetic algorithm is used to solve an optimal allocation problem of different security alternatives in systems subjected to intentional attacks. The purpose is to present a methodology to the optimal allocation of security alternatives available in the market in order to discourage attacks, taking into account the associated costs and the probability of successful defense of each alternative. An example in the context of electrical power lines is considered. KEYWORDS. Reliability, Optimization, Security. Main area (Electric Energy) 437

2 1. Introdução Os ataques intencionais ocorrem em diversos setores e sistemas, desde ataques terroristas, até mesmo roubo de informações e materiais de grande valor. Museus, bancos, empresas de transporte, telecomunicações, de geração e distribuição de energia são apenas alguns exemplos de setores onde existe uma forte preocupação em se defender de atacantes. Linhas de transmissão de energia elétrica são importantes componentes da economia moderna e são alvo de muitos ataques por vândalos e ladrões comuns ou organizados. O roubo de cabos é um problema relevante que apresenta diversas implicações, tais como: Aumento dos custos de substituição e reparo da infra-estrutura (materiais e horas adicionais de trabalho); Transtornos sociais, por exemplo: indisponibilidade de alguns tipos de transportes, semáforos, telefones e insegurança de ruas escuras; Custos com equipamentos eletrônicos, veículos, alarmes e monitoramento; Custos com multas que são previstas na lei pela indisponibilidade dos serviços através de órgãos fiscalizadores do setor; Custo incalculável de vidas humanas; O não fornecimento a setores público e privado de eletricidade e linhas telefônicas para desempenhar seus trabalhos. A perda desses serviços tem impactos negativos sobre a produtividade, planejamento e margens de lucro. O aumento da demanda e preços de metais não ferrosos tem encorajado fortemente ladrões a atacar linhas de transmissão, ocasionando não só o roubo de um material caro, mas também interrompendo o funcionamento do sistema e fazendo com que as empresas e a sociedade tenham grandes custos conforme citado anteriormente. O presente trabalho está inserido no contexto de engenharia da confiabilidade e otimização multiobjetivo através de algoritmos genéticos (AG) para alocação ótima de medidas de segurança em sistemas sob ataques intencionais. A análise de confiabilidade é uma técnica de suporte a tomadas de decisão e controle que auxilia gestores na busca da garantia da execução satisfatória das funções dos itens a respeito de um dado sistema, considerando suas limitações, o seu desgaste e os fatores que influenciam seu desempenho, sejam equipamentos e/ou pessoas, Rausand e Hoyland (2004). O problema é tratado como multiobjetivo, pois além de custos associados à implantação e à manutenção de estruturas de defesa, o gestor do sistema deve preocupar-se também com a probabilidade de sucesso de defesa do sistema. Uma boa estratégia de defesa deve levar em conta a estratégia dos atacantes, logo, através da variação de parâmetros especificados adiante verificase que esta metodologia é dinâmica e se adapta facilmente ao confronto com atacantes determinados e adaptativos. Para se encontrar a melhor solução de um dado problema, recorre-se às técnicas de otimização. Os métodos clássicos de programação matemática (programação linear e não-linear, Luenberger (1984), por exemplo) buscam otimizar apenas um objetivo que pode estar ou não sujeito a restrições. Entretanto, em muitas situações reais, deseja-se que níveis satisfatórios de diversos objetivos sejam atingidos simultaneamente e, nesses casos, a otimização multiobjetivo se faz necessária. Em geral, tais objetivos são conflitantes e soluções que otimizem todos eles ao mesmo tempo são dificilmente encontradas ou até mesmo não existem. Assim, em vez de uma solução única (a solução ótima), obtém-se um conjunto de soluções que são ótimas segundo a abordagem multiobjetivo. Essas soluções são não-dominadas e ao conjunto das mesmas dá-se o nome de fronteira de Pareto (Deb (1999); Zitzler e Thiele (1999)). Duas ou mais soluções são não-dominadas se não é possível trocar uma por outra sem que haja perda no desempenho de pelo menos um (e de no máximo k-1) dos k objetivos avaliados. Para que problemas multiobjetivo possam ser tratados por métodos clássicos de programação matemática, eles devem ser previamente transformados em problemas monoobjetivo e, além disso, devem ser resolvidos várias vezes de forma que diferentes pontos supostamente da fronteira de Pareto possam ser encontrados, Deb (1999). Já algoritmos de 438

3 otimização probabilísticos baseados na natureza, como algoritmos genéticos (AG), lidam com diversas soluções potenciais simultaneamente numa única execução e, além disso, podem tratar os objetivos separadamente sem a necessidade de transformações do problema multiobjetivo original. AG tentam simular computacionalmente o processo de evolução natural por meio de operadores genéticos tais como seleção, recombinação (crossover) e mutação, Michalewicz (1996). Hann (2008) define segurança de sistemas como a probabilidade que um item não irá executar a função pretendida por um atacante sob condições estabelecidas para um determinado período de tempo. Ou seja, trata-se da não-confiabilidade das ações adotadas pelo atacante. Confiabilidade e segurança compartilham de uma similaridade fundamental, mas pertencem a contextos diferentes. Levitin e Hausken (2007) consideraram o sistema de defesa como sendo composto de alternativas homogêneas, ou seja, similares. Neste trabalho, considera-se que as alternativas de segurança são diferentes entre si, inclusive na sua forma de defesa (alternativas não homogêneas). O trabalho está organizado da seguinte forma: na seção 2, apresenta-se o problema e seus parâmetros; a seção 3 é dedicada a resolução do problema de programação matemática; a seção 4 trata da aplicação de algoritmos genéticos multiobjetivo e, na seção 5, apresentam-se os resultados e as conclusões. 2. Apresentação do Problema Proteger-se contra ataques intencionais é fundamentalmente diferente de proteger-se contra ataques naturais. A natureza por mais prejuízo que cause a um sistema qualquer não está buscando tornar-se mais ou menos forte com fins de danificar ou tornar inoperante o mesmo. Por outro lado, atacantes racionais buscam informação sobre o sistema e podem escolher onde, como e quando atacar tendo sempre uma vantagem em relação ao defensor, Azaiez e Bier (2007). Em um sistema de defesa sujeito a ataques intencionais a confiabilidade do sistema é dada pelo fato deste sistema completar sua missão em tempo pré-determinado, mesmo se algumas porções do mesmo sejam destruídas por um ataque ou acidente, Levitin e Ben-Haim (2008). O problema consiste em apresentar uma metodologia para alocação ótima de medidas de segurança existentes no mercado, tais como: false targets (câmeras falsas, por exemplo), identificadores de material roubado usando nanotecnologia, câmeras inteligentes, alarmes wireless e resposta armada no sentido de dissuadir ataques. Nesta abordagem, é necessário definir dois sistemas: Sistema principal: é o sistema que desempenha a função produção da empresa ou instituição e pode ser alvo de ataques pelos mais diversos motivos. Sistema de defesa: é o sistema que busca dissuadir ataques intencionais contra o sistema principal. No exemplo de aplicação utilizado para validar a metodologia, o sistema principal é uma linha de transmissão de alta tensão configurada em série, ou seja, um ataque bem sucedido a qualquer elemento retira o sistema de operação. Por essa questão, verifica-se a importância de proteger-se, principalmente quando o sistema principal não possui redundâncias capazes de suportar a demanda. Para efeitos de simplificação trata-se a linha de transmissão como uma área de interesse que será subdividida em cinco sub-áreas de interesse. O sistema de defesa, por sua vez, é considerado como um sistema série-paralelo envolvendo cinco alternativas de segurança que devem ser alocadas de forma ótima entre as regiões, levando em consideração sua confiabilidade e custo relacionados à aquisição e operação dos mesmos. Trabalhos anteriores envolvendo segurança de sistemas e confiabilidade, tais como Levitin e Hausken (2007) e Hausken (2008) sugerem a razão da Equação 1 como sendo a função de sucesso de disputa, ou probabilidade de sucesso de defesa: 439

4 p t m i m m ti Ti, Equação 1 onde p i é a probabilidade do elemento i defender com sucesso a região j, t i e T i são respectivamente o esforço do defensor em se defender com o elemento i e o esforço do atacante em atacar o elemento i. O parâmetro m é um número real ( m 0 ) que indica a intensidade da disputa entre os agentes (defensor e atacante). Maiores valores de m indicam maior intensidade de disputa. O complementar da probabilidade de sucesso de defesa é apresentado em Levitin e Hausken (2007) como sendo a vulnerabilidade do elemento i na região j: 1 p v m Ti, m m ti Ti Equação 2 1 A Equação 1 pode também ser definida da seguinte forma, Hausken (2008): m ( A / Ri ) v, m m ( A / R ) ( a / r ) Equação 3 i i em que A e a são os custos dos esforços de ataque e defesa relacionados ao elemento j na região i, respectivamente, R i é o recurso disponível para ataque da i-ésima região e r i é o recurso disponível para projeto e implementação de um sistema de defesa na região i. Como pode ser observado em trabalhos recentes da literatura, tais como Levitin e Hausken (2007) e Hausken (2008), apenas a Equação 3 é considerada na determinação do sucesso de uma defesa. Entretanto, a equação 3 depende apenas do investimento que se faz no ataque e na defesa de uma região. Por exemplo, se a = 0, tem-se que a vulnerabilidade do sistema é nula. Ou seja, se não é necessário esforço algum para a defesa da i-ésima região utilizando a alternativa de proteção j, a mesma não é passível de ataques bem sucedidos. No entanto, isso nem sempre é verdade, uma vez que uma alternativa de proteção que exige pouco ou nenhum esforço no momento de uma ação defensiva pode sofrer um ataque bem sucedido. De forma análoga, tal alternativa pode prover um baixo nível de proteção e ainda assim ter sucesso na defesa. Com o intuito de levar em consideração essas possibilidades, a probabilidade de sucesso da atuação defensiva da j-ésima alternativa de proteção na região i (w ) é incorporada à Equação 3. Assim, obtém-se a probabilidade de sucesso na defesa utilizando a alternativa de proteção j na região i: p (1 v ) w Equação 4 Ou seja, para que uma alternativa tenha sucesso na defesa de uma região, é preciso que ela seja pouco vulnerável e confiável, isto é, que ela desempenhe a função pretendida quando é demandada. 3. Modelo de Programação Matemática O problema descrito anteriormente é modelado matematicamente como um problema de otimização multiobjetivo no qual se deseja maximizar a probabilidade de sucesso do sistema de defesa (F 1 ) e, simultaneamente, minimizar a quantidade monetária investida nas alternativas de proteção (F 2 ). O espaço de soluções é restrito à quantidade máxima de recurso disponível para investir no sistema de defesa (r max ). Matematicamente, tem-se: 1 nr na m i 1 j 1 m m t T max F 1 1 min 2 Sujeito a: nr, na i 1, j 1 t n Equação 5 F n c a Equação 6 440

5 na j 1 na j 1 n n 1 Equação 7 n c ri Equação 8 0,int r c Equação 9 em que: n r Número de regiões (partições) definidas para a rede de transmissão de energia; n a Número de alternativas de proteção disponíveis à rede; n Número de unidades da alternativa de proteção i destinadas à região j da rede (variáveis de decisão do problema); c Custo de aquisição e implantação de uma unidade da alternativa de proteção j para a região i; a Custo unitário de uma ação defensiva da alternativa de proteção j na região i da rede r i recurso disponível do sistema de defesa para a região i da rede m Intensidade da disputa entre os sistemas de ataque e defesa da rede Para resolver o problema de otimização recorre-se a AG. Basicamente, AG consideram uma população de indivíduos, onde cada um deles é uma potencial solução do problema. Nesse contexto, operadores genéticos tais como seleção, crossover e mutação são computacionalmente implementados de maneira a simular o processo evolutivo dos indivíduos, ver Michalewicz (1996) para mais detalhes. O AG multiobjetivo utilizado está descrito em Lins (2007) e em Lins e Droguett (2008). Em linhas gerais, o algoritmo considera uma população de indivíduos que possuem fenótipos como os apresentados na Figura 1. A população inicial é gerada de maneira aleatória e se usa a codificação onde todas as variáveis envolvidas são inteiras. No crossover, dois indivíduos (pais) trocam informação genética de forma a gerar dois novos indivíduos (filhos). Utiliza-se o crossover de q-pontos, ver Marseguerra et al. (2006), onde q é o número de pontos de corte escolhidos aleatoriamente no genótipo dos pais. Na mutação, posições no genótipo dos indivíduos são sorteadas aleatoriamente e o conteúdo dessas posições é alterado. No momento da substituição, os pais cedem lugar aos filhos. A principal diferença do algoritmo é a etapa de seleção. Nessa fase, a relação de dominância entre as soluções é verificada e os indivíduos dominados são descartados ao passo que uma cópia de cada indivíduo não-dominado é armazenada em uma população auxiliar. Como o número de indivíduos na população é considerado constante e as soluções dominadas são eliminadas, completa-se a população corrente com indivíduos sorteados aleatoriamente da população auxiliar. Dessa maneira, espera-se que as soluções encontradas se aproximem cada vez mais da fronteira de Pareto real. É importante salientar ainda que se permite a geração de indivíduos inviáveis e se aplica um método de penalização dinâmica (ver Joines e Houck (1994)). Ao se atingir o número de gerações pré-determinado (critério de parada), a relação de dominância entre os indivíduos da população auxiliar é verificada. A saída do AG multiobjetivo é o conjunto de indivíduos viáveis globalmente não-dominados. Região (i) n r Alternativa de proteção (j) n a n a n a n n 11 n n 1,na n 21 n n 2,na... n nr,1 n nr,2... n nr,na Figura 1 Fenótipo do problema de otimização 441

6 4. Exemplos 4.1 Exemplo 1: Validação do Algoritmo Genético Multiobjetivo Com o intuito de validar o AG multiobjetivo, foi elaborado um exemplo cuja fronteira de Pareto exata é conhecida. Nesse exemplo, foram consideradas 5 regiões, cada uma delas com 5 diferentes alternativas de proteção a serem alocadas. Além disso, os recursos disponíveis por região tanto para projeto e implementação do sistema de defesa quanto para o ataque foram considerados iguais para todas as regiões (r i = 200 unidades monetárias e R i = 200 unidades monetárias, i = 1,...,5). Considerou-se a alternativa 1 como sendo a melhor dentre as alternativas disponíveis: comparando-se com as demais, seus custos de aquisição e implementação e de esforço de defesa foram os menores, o custo do esforço de ataque foi o maior e o valor da probabilidade de sucesso de atuação defensiva a ela associado foi o maior (ver Tabela 1). A intensidade da disputa (m) foi definida como sendo igual a 1. Tabela 1 Valores para exemplo de validação do AG multiobjetivo utilizado Valores para i = 1,...,5 Unidades monetárias Alternativa 1 Demais alternativas (j = 2,...,5) c i1 a i1 A i1 w i1 c a A w A fronteira de Pareto exata foi obtida por meio de um algoritmo recursivo em que todas as soluções viáveis foram exaustivamente avaliadas com relação aos dois objetivos considerados (probabilidade de sucesso de defesa do sistema e custo, F 1 e F 2 respectivamente). Foi também verificada a relação de dominância entre elas, a fim de se obter as soluções não-dominadas pertencentes à fronteira de Pareto. O problema possui soluções viáveis, das quais apenas 51 são soluções não-dominadas. Nessas 51 soluções, foram observados apenas 16 pares de valores diferentes para as funções-objetivo F 1 e F 2 (ver Figura 2). Isto é, existem diferentes configurações do sistema de defesa que levam aos mesmos níveis de probabilidade de sucesso de defesa do sistema e de custo. É importante notar que todas as soluções da fronteira de Pareto apresentaram apenas a alternativa 1 nas 5 regiões, o que faz sentido, pois ela é a melhor opção dentre as disponíveis. Esse mesmo exemplo foi resolvido por meio do AG multiobjetivo e os parâmetros utilizados estão apresentados na Tabela 2. Foram consideradas apenas soluções que resultaram em pares de valores diferentes para F 1 e F 2. Tabela 2 Parâmetros utilizados no AG multiobjetivo Número de indivíduos 100 Número de gerações 200 Probabilidade de crossover 0.95 Probabilidade de mutação 0.01 Número de pontos de corte para crossover 7 O AG multiobjetivo foi executado 10 vezes, e em todas elas foram encontrados soluções da fronteira de Pareto exata. A Tabela 3 mostra a quantidade de soluções não-dominadas encontradas, o número de soluções obtidas que fazem parte da fronteira real de Pareto e também a proporção encontrada de tal fronteira (composta por 16 pares de valores diferentes para F1 e F2). Nota-se ainda da Tabela 3 que a maior parte das soluções não-domindas encontradas são de fato soluções fronteira de Pareto exata. Tabela 3 Resultados do exemplo de validação por meio do AG multiobjetivo Número da execução Quantidade de soluções encontradas Quantidade de soluções pertencentes à fronteira de Pareto real , ,7500 Proporção da fronteira real obtida pelo AG multiobjetivo 442

7 , , , , , , , ,9375 A Figura 2 mostra a superposição das fronteiras obtidas pelo AG que tiveram pontos não-coincidentes com o da fronteira de Pareto real. Pode-se notar que apesar disso, as fronteiras encontradas estão bastante próximas da exata. Figura 2 Fronteira de Pareto exata e algumas fronteiras obtidas do AG multiobjetivo Tanto o algoritmo recursivo quanto o AG multiobjetivo foram executados em um computador com capacidade de processamento de 3,06 GHz e 1GB de RAM. O primeiro algoritmo levou cerca de 393 segundos para ser executado. Já o AG multiobjetivo requereu aproximadamente 46 segundos em 10 rodadas, o que resulta numa média de 4,6 segundos por execução. Assim, pode-se observar que o AG multiobjetivo utilizado fornece boas soluções num tempo bem menor que o algoritmo exaustivo. 4.2 Exemplo 2: Exemplo de Aplicação Nesta seção, será considerado um exemplo de aplicação em que se deseja maximizar a probabilidade de sucesso de defesa do sistema e minimizar os custos associados. Assim como no exemplo anterior, são consideradas 5 regiões e 5 alternativas de proteção. Os recursos disponíveis por região para o defensor e para o atacante são respectivamente r i = 5000 unidades monetárias e R i = 2000 unidades monetárias, i = 1,...5. A Tabela 4 apresenta os dados do problema. Tabela 4 Dados do exemplo de aplicação Alternativa c a A w , , , , ,

8 Unidades monetárias Figura 3 Fronteira para o exemplo de aplicação obtida do AG multiobjetivo O AG multiobjetivo foi utilizado com os parâmetros apresentados na Tabela 2. Esse exemplo possui combinações viáveis e foram encontradas (em cerca de 6,6 segundos) apenas 53 soluções não-dominadas, que formaram a fronteira da Figura 3. As configurações do sistema de defesa representadas pelas soluções 1, 3 e 5 (indicadas na Figura 3) são mostradas na Figura 4. A Tabela 5 mostra os valores da probabilidade de sucesso de defesa e do custo associados a todas as soluções selecionadas na Figura 3. Figura 4 Configurações do sistema de defesa representadas por algumas soluções selecionadas da Figura 3 Tabela 5 Valores das funções-objetivo das soluções indicadas na Figura 3 Solução Probabilidade de sucesso de defesa do sistema Custo 1 0, , , , , Unidades monetárias As soluções encontradas são todas ótimas segundo a abordagem multiobjetivo. O 444

9 decisor pode então escolher uma delas de acordo com suas preferências. Essa tarefa pode não ser tão simples e uma análise do retorno sobre o investimento pode auxiliar o decisor nesse processo de escolha. O retorno sobre o investimento é dado pela expressão: Retorno = (R i R i 1 ) / (C i C i 1 ) Equação 10 em que R i, R i-1, C i e C i-1 são as probabilidades de sucesso de defesa e os custos do sistema relativos às soluções adjacentes i e i-1 da fronteira de Pareto. A Tabela 6 apresenta os retornos entre as soluções 1 e 2 e as soluções 4 e 5. Pode ser observado da Tabela 5 e da Tabela 6 que para se adicionar 0,1414 à probabilidade de sucesso de defesa do sistema, partindo-se da solução 1, é necessário apenas 200 unidades monetárias. Já para se incrementar 0,008 à probabilidade de sucesso do sistema de defesa, partindo-se da solução 4, é preciso um investimento de 1200 unidades monetárias. Tabela 6 Retorno sobre o investimento de algumas soluções indicadas na Figura 3 Soluções Retorno 1 e 2 6, e 5 0, Conclusões Nesse artigo, o problema de alocação ótima de medidas de segurança em sistemas sob ataques intencionais foi resolvido por meio de um AG multiobjetiovo, em que se buscou maximizar a probabilidade de sucesso de defesa do sistema e minimizar os custos associados. Além disso, foi considerada a probabilidade de sucesso de atuação das alternativas de proteção para calcular a probabilidade de sucesso de defesa do sistema total. Assim, tal probabilidade não depende apenas da vulnerabilidade, mas também do sucesso de atuação na defesa quando uma alternativa é demandada. É importante notar que, por ser um algoritmo probabilístico, AG não garante a obtenção da fronteira de Pareto real. No entanto, validou-se o AG multiobjetivo com um exemplo cuja fronteira de Pareto era conhecida e ele forneceu soluções bastante próximas das reais num tempo menor que o algoritmo exaustivo utilizado. Além disso, AG é uma ferramenta bastante flexível que pode ser utilizada, por exemplo, juntamente com a simulação discreta de eventos que, por sua vez, permite a introdução de características mais realistas ao sistema modelado. Os resultados são válidos para uma interação estratégica de dois tempos, onde primeiro um agente se defende e em seguida outro agente ataca terminando neste segundo movimento um jogo defesa-ataque. Trabalhos futuros podem abordar esta mesma metodologia ou similares inserindo a esta interação ações de reparo para os componentes danificados e/ou inoperantes, tornando-se assim um jogo repetitivo entre os estágios: defesa, ataque e reparo. Referências Azaiez, M. N. e Bier, V. (2007), Optimal resource allocation for security in reliability systems, European Journal of Operational Research, 181, Deb, K. (1999), Evolutionary algorithms for multicriterion optimization in engineering design, In Proceedings of Evolutionary Algorithms in Engineering and Computer Science (EUROGEN'99). Hann, D. (2008), Examination of the interplay of realibility and security using system modeling language, 55th Annual Reliability & Maintainability Symposium (RAMS). Hausken, K. (2008), Strategic defense and attack for series and parallel reliability systems, European Journal of Operational Research, 186, Joines, J. A. e Houck, C. R. (1994), On the use of non-stationary penalty functions to solve nonlinear constrained optimization problems with gas, In Proceedings of the First IEEE International Conference on Evolutionary Computation. 445

10 Levitin, G. e Ben-Haim, H. (2008), Importance of protections against intentional attacks, Reliability Engineering & System Safety, 93, Levitin, G. e Hausken, K. (2007), Protection vs. redundancy in homogeneous parallel systems, Reliability Engineering & System Safety. Lins, I. D. Otimização multiobjetivo de confiabilidade e custo via algoritmos evolucionários em projeto de sistemas. Trabalho de Conclusão de Curso, Universidade Federal de Pernambuco, Departamento de Engenharia de Produção, Lins, I. D. e Droguett, E. A. L. (2008), Multiobjective optimization of availability and cost in repairable systems design via genetic algorithms and discrete event simulation. Under review, Pesquisa Operacional. Luenberger, D. G., Linear and nonlinear programming, 2ed, Addison-Wesley, Massachusetts, Marseguerra, M., Zio, E. e Martorell, S. (2006), Basics of genetic algorithms optimization for RAMS applications, Reliability Engineering & System Safety, 91, Michalewicz, Z., Genetic algorithms + data structures = evolution programs, 3ed, Springer, Berlin, Rausand, M. e Hoyland, A., System reliability theory: models and statistical methods, 2ed, John Wiley & Sons, New York, Zitzler, E. e Thiele, L. (1999), Multiobjective evolutionary algorithms: a comparative case study and the strength pareto approach. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 3,