Introdução ao Conceito de Números Reais: Uma Proposta Didática Baseada na História da Matemática

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1 IFRS - Instituto Federal do Rio Grande do Sul Campus Caxias do Sul Disciplina: História da Matemática Professor: Rodrigo Introdução ao Conceito de Números Reais: Uma Proposta Didática Baseada na História da Matemática Autor: Marcos Paulo Ferreira de Araújo Ano: 2011 Alunos: Álvaro Paula Rosângela

2 Introdução - Admitir a História da Matemática como recurso didático a fim de não gerar um distanciamento entre conteúdo e sua história. - Entender a aprendizagem da Matemática como uma forma de Letramento, investir em professores despreparados oferecendo uma formação continuada. - O conhecimento matemático pode se tornar irrelevante quando o mesmo se mostra distante dos desafios e curiosidades dos alunos.

3 Proposta de pesquisa Proposta didática para a introdução do conceito de número real baseada na história da matemática. OBJETIVO: mostrar que a abordagem que leva em consideração as circunstâncias históricas pode ser tão contundente quanto as abordagens usuais apresentando vantagens ao ressaltar aspectos normalmente obscurecidos pelo tratamento comum.

4 Proposta de pesquisa - atividade a ser desenvolvida em cursos de formação continuada e aperfeiçoamento de professores; - uso de elementos da evolução do conceito de número tentando resgatar o momento em que as grandezas deixaram de serem tratadas como tal e receberam um tratamento de número sem o amadurecimento necessário para a compreensão de ambos os conceitos;

5 Metodologia História como ferramenta didática: Encarar a História da matemática como novo conceito didático além de investir na pesquisa em educação. Abordagem modular: História como ferramenta, história como objetivo e as suas diferentes abordagens: Abordagem para Iluminação Abordagem Modular Abordagem Histórica Atividade proposta:propõe uma sequencia com início, desenvolvimento e fim. Restrições artificiais: Fazer a construção da matemática, assim como os gregos antigos também a construíram, mas com conhecimentos contemporâneos e não com os artifícios que os mesmos possuíam em sua época, mas isso sem ignorar o conceito social e filosófico da problemática que a época oferecia.

6 A noção da razão na matemática da Grécia Antiga - Platão, Aristóteles e Euclides são as principais fontes e a base de pesquisa para o estudo das teorias matemáticas dos Gregos Antigos; - A aceitação das grandezas incomensuráveis para tratar novos conceitos de razão e proporção por parte dos gregos, também se tornou fundamental para a continuidade do pensamento das grandezas comensuráveis; - Mas como diz o autor do texto, por falta de arquivos e fontes de pesquisa, qualquer afirmação mais veemente pode parecer pura especulação.

7 Matemática Prática x Matemática Teórica - Boatos de que na Grécia Antiga existia uma diferenciação entre os matemáticos puristas chamados de calculistas, que tratavam a suas questões de forma mais filosófica. E os esticadores de corda, aqueles que tratavam da prática da matemática, geralmente engenheiros e verificadores de grandezas. De fato, o pensamento platônico, imperativo nas obras de Euclides, visa apresentar os conceitos aproximando-os dos ideais inatingíveis pela realidade que apresenta apenas simulacros necessariamente imperfeitos desses conceitos. - Apenas esses argumentos já faz cair por terra a afirmação de que os Gregos não sabiam conciliar a matemática prática da teórica, ou que a descoberta dos números irracionais abalaria os fundamentos da matemática Grega.... a reconstrução de Fowler, baseada no trabalho de Knorr, propõe a existência de uma teoria das razões baseada no método das subtrações recíprocas que era capaz de tratar satisfatoriamente grandezas e números. - A essa noção Fowler chama de razão antifairética, que significa justamente subtrações recíprocas.

8 Antifairese - Subtração recíproca; - Forma verbal para Euclides:... quando a menor de duas grandezas desiguais é continuamente subtraída, por sua vez, da maior... ; - Álgebra moderna : procedimento é conhecido como algoritmo de Euclides para encontrar o maior divisor comum entre dois números. O método da antifairese descreve uma série de comparações Exemplo: Sócrates pede ao Escravo de Mênon que ele compare duas pilhas de pedras. A primeira com sessenta pedras e a segunda com vinte e seis pedras. O Escravo sugere, então que: Primeiro Passo: Da primeiro da pilha com sessenta pedras pode-se subtrair duas vezes a pilha com vinte e seis pedras e ainda resta uma pilha com oito pedras. Segundo Passo: Da pilha com vinte e seis pedras pode-se subtrair três vezes a pilha com oito pedras e ainda resta uma pilha com duas pedras. Terceiro Passo: Por fim a pilha com duas pedras cabe exatamente quatro vezes na pilha com oito pedras.

9 Antifairese - Para os números, a antifairese é usada para encontrar fatores comuns a dois números, o maior divisor comum; - No caso em que os números são primos entre si o processo tem como resultado não um número mas a unidade; - Nesse caso, não existem fatores comuns, ou ainda, não existe um número que meça ambos os números considerados, já que a unidade não era considerada um número.;

10 O jogo - Introdução ao conceito de número baseada na ideia de medição; - utilização de um jogo Regras do jogo: - Número: inteiro e não negativo - Grandeza: tudo que pode ser aumentado ou diminuído; - Duas grandezas: A (maior) e B (menor) Dizemos que a grandeza B cabe na grandeza A se B pode ser aumentada (ou A pode ser diminuída) de modo a obter a grandeza A (respectivamente B).

11 Antifairese de duas grandezas - Comparar duas grandezas diferentes de mesma natureza A e B; - Verificar quantas vezes B cabe em A: A (n1xb) = R1 - Comparar as grandezas B e R1: B (n2 x R1) = R2 - Realizar a operação até não restar mais Ri. Exemplo 1: A grandeza B cabe 2 vezes na grandeza A e sobra uma grandeza R1 que cabe 3 vezes em B e sobra uma grandeza R2 que cabe 2 vezes em R1 e sobra uma grandeza R3 que cabe exatamente 2 vezes em R2. Ant(A,B)= [2, 3, 2, 2] Grandeza R3 mede as grandezas R2, R1, B e A; R3 é a maior medida comum às grandezas A e B; Quando encontramos esta grandeza dizemos que A e B são comensuráveis.

12 Antifairese no Geogebra - Uso do Geogebra; - Encontrar a antifairese entre duas grandezas (segmentos); - Resolução de exercícios no Geogebra. Antifairese infinita - Comparação entre duas grandezas A e B e escolher o grau de precisão interrompendo a antifairese; - Antifairese infinita: processo de subtração mútua pode ser realizado indefinidamente; - Se duas grandezas apresentam uma antifairese infinita não é possível determinar a maior grandeza que mede ambas as grandezas. Assim as grandezas A e B são incomensuráveis.

13 O retângulo áureo Um retângulo é dito Áureo, quando ao removermos dele um quadrado de lado igual ao menor dos lados, o retângulo restante é semelhante ao retângulo original. - Aplicando o método da antifairese obtemos que que os lados do retângulo áureo são incomensuráveis entre si. Diagonal e lado de um quadrado - Aplicando o método da antifairese obtemos que D e L são incomensuráveis entre si. Atribuindo número às grandezas - Após comparar grandezas atribuir a elas um número. Antifairese interrompida e aproximações - Trabalhadas em tabelas com fórmulas de recorrência.

14 Considerações Finais - O autor afirma que apesar da grande variedade de artigos que ressaltam a vantagem de se utilizar a História da Matemática no ensino fica uma lacuna no que diz respeito a metodologia dessa utilização. - Os autores concluíram que a proposta didática, fundamentada na história da matemática, possa interagir com diversas áreas de estudo da educação e do ensino da matemática contribuindo para o fortalecimento de ambas as áreas de pesquisa.