Capítulo 1 Introdução Motivação para o estudo

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1 Capítulo 1 Introdução Motivação para o estudo Com a presente investigação pretendo estudar a argumentação na aula de Matemática. Mais concretamente, procuro compreender de um modo reflexivo os aspectos relativos à prática do professor quando este pretende integrar a argumentação matemática na sala de aula. O meu interesse por este tema resulta do reconhecimento da sua importância e pertinência, face aos desafios que se impõem ao professor e resulta, também, de reflexões que tenho vindo a efectuar, desde que iniciei a actividade docente. Considero a argumentação como um acto de defesa de uma ideia em que um indivíduo usa argumentos para convencer a sua audiência. Como actividade entre duas ou mais pessoas, a argumentação pode surgir da necessidade de convencer alguém mas também pode ser usada para contrapor, contradizer ou mesmo negar uma afirmação. A argumentação na aula de Matemática tem certamente muitos destes elementos. Tomei consciência da importância de saber argumentar durante a frequência dos dois últimos anos da minha licenciatura, em que vivi duas experiências distintas e que me fizeram pensar em dois aspectos: ter de argumentar para defender as minhas ideias, perante os meus colegas de curso, e ter de levar os meus alunos a argumentar e a defender as suas ideias, durante a aula de Matemática. A primeira experiência ocorreu durante o 4.º ano da licenciatura onde, ao contrário dos anos anteriores, me foram pedidos trabalhos para apresentar na turma, perante os colegas e o professor, em que as minhas ideias tinham de ser debatidas e defendidas por mim. Foi complicado iniciar-me na actividade de argumentação, no entanto, reconheço que este processo me conduziu à 1

2 reflexão sobre as minhas ideias, promoveu a consideração de diferentes pontos de vista e, em consequência, a minha compreensão sobre determinado assunto resultou mais enriquecida. A segunda experiência ocorreu no ano de estágio durante o qual desenvolvi, implementei e reflecti sobre a aplicação de actividades de investigação na aula de Matemática. Como professora de uma disciplina em que a actividade principal é o raciocínio, sempre considerei importante que as experiências vividas pelos alunos se aproximassem do trabalho dos matemáticos. A aposta na integração de actividades de investigação na minha prática lectiva é um reflexo desse princípio. Um dos aspectos que recordo discutir com as minhas colegas de estágio, após a realização de uma investigação, por parte dos alunos, era a dificuldade em promover a apresentação de resultados ou explicitação de conjecturas e sua discussão. A importância dada a este momento foi registada no nosso trabalho final de estágio: A discussão da actividade é essencial para que não se perca o valor da investigação. Isto porque é neste momento que se clarificam ideias, esclarecem dúvidas e sistematizam conclusões (Esteves, Santos, Ramos & Roque, 1996, p. 48). Desde então, a minha experiência como professora tem-me reforçado a convicção que os alunos se devem envolver em actividades matemáticas ricas que permitam a elaboração de conjecturas, a sua apresentação, justificação e validação, com recurso ao uso de argumentos matemáticos formais ou informais. O gosto de trabalhar a Matemática, de uma forma mais activa, participada, compreensiva e empreendedora concretiza-se, na minha perspectiva, na frequência com que os alunos contactam com esta actividade e pela qualidade das tarefas propostas, pelo que desafio-os frequentemente a realizar tarefas que apelam ao raciocínio matemático. Na resolução de exercícios, de problemas ou de actividades de investigação peço-lhes sempre que justifiquem os seus procedimentos, apresentem de forma clara o modo como pensam, cuidem a linguagem e os símbolos que utilizam e, caso se pretenda uma apresentação à turma, que pensem em aspectos relevantes a referir. É, de facto, na fase em que os alunos apresentam as suas conclusões e têm de as justificar, que sinto, ano após ano, a mesma dificuldade: os alunos resistem em argumentar. Ao reflectir sobre esta situação questiono: O que leva os alunos à não explicação e justificação das suas respostas? Quais os constrangimentos que contribuem para a recusa em apresentar resultados, mesmo quando são válidos? Estas questões, por sua vez, remetem para outras: De que modo a prática lectiva do professor condiciona estas situações? Que prática profissional 2

3 pode o professor desenvolver de modo a evitar estas situações? Como pode o professor levar os alunos a argumentar na aula de Matemática? Estas questões remetem para a importância de se desenvolver uma prática profissional em que são adoptadas metodologias promotoras da integração da argumentação na sala de aula. Para este desenvolvimento será fundamental que o professor tenha conhecimento das orientações curriculares relativas à argumentação matemática. Os documentos curriculares para o ensino da Matemática sublinham que, pelo processo argumentativo, os alunos desenvolvem o raciocínio e a compreensão matemática, principalmente se a argumentação for apoiada em referências a procedimentos, propriedades e conceitos matemáticos (ME, 2007). A crescente importância que a compreensão e o raciocínio matemático têm nestes documentos é, a meu ver, uma razão adicional para que se investigue sobre o desenvolvimento da argumentação na aula de Matemática, nomeadamente no 3.º ciclo do ensino básico. Objectivos e questões do estudo Este estudo tem por objectivo compreender o trabalho do professor de Matemática quando este pretende promover a argumentação na sala de aula bem como o contributo que uma prática de reflexão de base colaborativa pode ter no seu desenvolvimento profissional neste campo. Visa, por consequência, responder às seguintes questões: Como é que o professor pode integrar a argumentação na aula de Matemática? Que dificuldades ou constrangimentos experiencia o professor no processo de integração da argumentação na sala de aula, como lida com estas dificuldades e que estratégias adopta para as superar? Qual o contributo de um trabalho realizado em colaboração, assente na reflexão sobre momentos de argumentação ocorridos nas aulas, para o desenvolvimento profissional do professor neste domínio? Para a consecução deste estudo, elaborei um plano de trabalho colaborativo, que apresento no terceiro capítulo desta investigação. Pretendo com esta investigação contribuir para o conhecimento e compreensão do trabalho do professor de Matemática empenhado na promoção de uma prática da 3

4 argumentação na sala de aula. Deste modo, importa saber quais têm sido, nas últimas décadas, as orientações curriculares relativas à argumentação na aula de Matemática, ao papel do aluno e do professor, no desenvolvimento desta capacidade transversal. A argumentação e as orientações curriculares Na Renovação do currículo de Matemática (APM, 1988), afirma-se que o ensino da Matemática não está orientado para desenvolver e avaliar os processos e estratégias de raciocínio, nem as necessidades para enfrentar e resolver problemas novos, designadamente os hábitos de consultar, cooperar, comunicar, discutir, investigar ou produzir (p. 10). Defende-se que o aluno tem de ter um papel activo e ser participante na sua aprendizagem, tendo em vista a efectiva construção de conhecimento. O aluno será um cidadão mais consciente, interventivo e activo, capaz de contribuir para a mudança e dar respostas aos constantes desafios que a sociedade lhe propõe, se se envolver fortemente na sua própria aprendizagem. Assim, preconiza-se uma mudança ao nível do currículo, dos objectivos, das orientações metodológicas, dos conteúdos e dos processos de avaliação. Segundo este documento, o acto de argumentar deve ser desenvolvido de forma permanente como capacidade de convencer os outros das nossas asserções e conjecturas (APM, 1988, p. 62). Defende que, é diferente aceitar o que se afirma como verdade em Matemática, pela simples autoridade da fonte que faz tal afirmação professor, aluno ou manual e desenvolver por si mesmo a prova de uma conjectura, argumentando e defendendo com critérios o raciocínio utilizado. O documento indica que a passagem do primeiro para o segundo modo de validação de ideias é uma das principais mudanças que devem ocorrer no ensino da Matemática. Considera, além disso, que argumentar na sala de aula fomenta o desenvolvimento do espírito crítico dos alunos. A argumentação e a demonstração são assim duas componentes da actividade matemática a considerar: 4 Se conjecturar é parte essencial da experiência matemática, os seus prolongamentos e complementos naturais são a argumentação e a demonstração. Na realidade, se pretendêssemos sintetizar em poucas palavras o que é fazer matemática, a sequência de palavras exploração/conjectura/argumentação/prova-reformulação da conjectura poderiam bem constituir um ponto de partida para essa síntese. (p. 62)

5 Não se trata apenas de provar se uma determinada resolução está certa ou errada mas, também, de encontrar o modo de representar um procedimento e de o transmitir aos outros. A resolução de problemas é apontada como principal actividade a desenvolver nas aulas de Matemática e, por isso, este documento defende que é no contexto da resolução de problemas que a actividade argumentativa se desenvolve. As ideias apresentadas neste documento são actuais, estão presentes em investigações no campo da Educação Matemática e também nas orientações curriculares mais recentes. No Programa de Matemática do ensino básico (ME, 1991), onde se reconhece a influência do documento anterior, a argumentação encontra-se relacionada com o raciocínio matemático. Em contextos diversos surgem referências ao acto de argumentar na aula de Matemática traduzidas em expressões como discutir ideias e produzir argumentos, exprimir e fundamentar as suas opiniões, justificação de raciocínios e escolha de argumentação válida ou discutindo e confrontando diferentes processos utilizados. Deste modo, indica-se que o aluno deve desenvolver raciocínios e processos matemáticos e também que deve desenvolver a capacidade de os apresentar e defender. Assim, a argumentação relaciona-se com o desenvolvimento da capacidade de raciocinar matematicamente mas também promove a comunicação, a auto-confiança, o espírito de tolerância e de cooperação. Neste documento a argumentação atravessa todos os temas matemáticos Números e Cálculo, Geometria, Estatística e Probabilidades e Álgebra e Funções. Pelo seu lado, nas suas Normas o NCTM (1994) apresenta orientações no sentido de se desenvolver a capacidade de argumentação. Referindo-se ao discurso na sala de aula e ao modo como este pode ser conduzido, para que determinada actividade, argumento ou pensamento matemático seja legitimado, indica que os alunos enquanto exploram e resolvem problemas, devem envolver-se na formulação de conjecturas e na argumentação (NCTM, 1994, p. 22). Neste documento, a natureza das actividades, o papel do professor e do aluno no discurso são aspectos importantes quando se considera o desenvolvimento da argumentação. São apresentadas orientações no sentido dos alunos deverem convencer-se a si próprios e aos outros da validade de determinadas representações, soluções, conjecturas e respostas e deverem também apoiar-se em argumentos matemáticos para determinar a validade das informações (NCTM, 1994, p. 48). O papel do professor é assim fundamental na selecção das tarefas a propor aos alunos, na sua gestão e na criação de condições necessárias aos actos de conjecturar e 5

6 argumentar, a praticar pelos alunos. Além disso, o ambiente de aprendizagem deve ser de modo a favorecer o desenvolvimento do poder matemático de cada aluno, pelo que se sugere que o professor encoraje constantemente os alunos a manifestar um sentido de competência matemática ao validar e defender ideias com argumentos matemáticos (NCTM, 1994, p. 59). O Currículo nacional do ensino básico (ME, 2001) tem por base o conceito de competência entendido como um saber-em-acção que engloba conhecimentos, capacidades e atitudes. Assim, a competência desenvolve-se com a aquisição de conhecimentos integrada com processos de pensamento e atitudes favoráveis à aprendizagem. Os conceitos e os procedimentos matemáticos estão fortemente relacionados dependendo uns dos outros. Para aprender conceitos matemáticos os alunos devem realizar raciocínios matemáticos e estes, por sua vez, são efectuados com base nos conhecimentos matemáticos aprendidos e contribuem para a sua efectiva aprendizagem. As competências transversais que os alunos devem desenvolver, numa perspectiva progressiva e ao longo dos ciclos de escolaridade, relacionam-se com a ideia de aprender a aprender. Defende-se, neste documento, que as competências transversais métodos de trabalho e de estudo, tratamento e informação, comunicação, estratégias cognitivas e relacionamento interpessoal e de grupo, devem ser consideradas em articulação com as competências específicas a cada disciplina. No que concerne à competência matemática, afirma-se que o gosto e a confiança pessoal em realizar actividades intelectuais, que envolvem raciocínio matemático e a concepção da validade de uma afirmação, estão relacionados com a consistência da argumentação lógica, e não com alguma autoridade exterior (p. 57). Esta afirmação reforça o papel activo, participado e crítico do aluno na sua aprendizagem. A competência matemática é caracterizada, entre outros aspectos, como a aptidão para comunicar ideias matemáticas, analisar os erros cometidos e ensaiar estratégias alternativas. A argumentação em Matemática relaciona-se assim estreitamente com o desenvolvimento da capacidade de comunicação e com o raciocínio matemático. Para argumentar o aluno tem de apresentar e partilhar as suas ideias e raciocínios usando a linguagem, isto é, comunica com os seus pares numa base de argumentação fundamentada em regras matemáticas. Este documento refere diversas experiências de aprendizagem que têm como pressuposto a importância da riqueza e diversidade que deve envolver a experiência matemática resolução de problemas, actividades de investigação, projectos e jogos. 6

7 Estas experiências de aprendizagem são um meio para a articulação das diferentes competências e para uma aprendizagem reflectida e com significado. Em consequência defende-se que a argumentação se pode desenvolver durante actividades de resolução de problemas, como nos anos 80, mas também e de uma forma mais evidente, durante actividades de investigação na aula de Matemática. No novo Programa (ME, 2007) a argumentação surge num lugar de relevo [na actividade matemática], sobretudo na fase final de organização, sistematização e apresentação de resultados conseguidos (p. 2). O desenvolvimento da capacidade de compreender e elaborar argumentações matemáticas e raciocínios lógicos potencia nos alunos a aquisição de informação, conhecimento e experiência em matemática e o desenvolvimento da capacidade da sua integração e mobilização em contextos diversificados (p. 3), constituindo uma finalidade do ensino da Matemática. As aprendizagens ao longo do ensino básico, de acordo com este programa, assentam em objectivos gerais que apostam na compreensão matemática e no poder matemático dos alunos. Dois destes objectivos focam de modo explícito a importância do processo argumentativo no ensino-aprendizagem desta disciplina, em relação com as capacidades de comunicar e raciocinar matematicamente. Os alunos devem, por isso, ser capazes de argumentar e discutir argumentações dos outros e de desenvolver e discutir argumentos matemáticos (p. 5). Este novo Programa aponta para a necessidade da argumentação matemática se desenvolver de modo progressivo, de ciclo para ciclo. Assim, no 1.º ciclo, pretende-se que os alunos justifiquem pelo recurso a exemplos. No 2.º ciclo, pressupõe-se que o aluno seja capaz de argumentar utilizando aspectos da lógica e alguma linguagem matemática, para além de comentar os resultados e argumentos dos outros alunos. No 3.º ciclo, pretende-se que, com base na experiência dos dois ciclos anteriores, o aluno desenvolva o raciocínio indutivo e dedutivo, compreendendo o papel das definições em Matemática e contactando com diversos métodos de demonstração matemática (p. 65). Defende-se que o aluno deve desenvolver e avaliar argumentos matemáticos, incluindo cadeias dedutivas, defender as suas ideias do ponto de vista matemático e ser capaz de rebater argumentos inadequados. Associado a todo este processo encontra-se a capacidade de comunicar, sendo que se pretende que o aluno adquira progressivamente fluência e rigor na sua forma de expressão, oral ou escrita. 7