Componente de Física

Transcrição

1 Componente de Física Unidade 1 Movimentos na Terra e no Espaço ( )um problema fundamental, e por milhares de anos completamente obscurecido pelas suas próprias complicações, é o do movimento. Todos os movimentos observáveis na natureza são na realidade muito complicados. ara compreendê-los temos de começar pelos casos mais simples e gradualmente irmos subindo.( ) in A Evolução da Física, de Albert Einstein e Leopold Infeld O movimento. Viajar no espaço e no tempo. A cinemática permite escrever a história do futuro. Saber para onde se vai, sabendo de onde se vem, definidas algumas regras do movimento. Mas também garante uma viagem ao passado, descobrindo-o, ligando o passado e o presente pela trajectória que é possível reconstruir através das regras matemáticas destes movimentos, no tempo e no espaço, que passa e nos ultrapassa, acelera e desacelera, roda, tira e põe os objectos em cada instante no seu lugar. F. Carvalho Rodrigues 1.1 Viagens com GS Funcionamento e aplicações do GS O termo GS aparece no nosso vocabulário associado a um dispositivo capaz de dar a nossa posição exacta esteja ela onde estiver, ou indicar uma determinada rota a seguir para chegar a um determinado destino. O GS (Global ositioning System) foi desenvolvido nos EUA (a Europa está actualmente a desenvolver um sistema concorrente, o Galileo) e é um sistema tecnológico que recorre a uma rede de satélites com computadores e relógios atómicos a bordo. O sistema GS permite determinar as coordenadas de posição de um ponto em qualquer zona do mundo, e com uma margem muito pequena de erro, sendo constituído por 3 segmentos: aulo José Santos Carriço ortugal ágina 1 de 18

2 Segmento espacial o Rede de satélites (pelo menos 24), a uma distância de km da superfície terrestre, os quais emitem sinais, demorando cada satélite 12 h a dar uma volta completa à Terra Segmento de controlo o Rede de 5 estações de rastreio, 3 antenas terrestres e 1 central de controlo (MCS), em Colorado Springs, Schriever AFB, onde a órbita de cada satélite é constantemente monitorizada, podendo cada satélite receber instruções para corrigir a sua órbita, por causa das atracções gravitacionais do Sol e da Lua, bem como do efeito da pressão da radiação solar Segmento de utilizadores o Utilização dos receptores, que recebem os sinais de microondas (1000 a 2000 MHz de frequência) emitidos por pelo menos 4 satélites, fazendo a conversão dos dados fornecidos em coordenadas de posição, valores de velocidade e cronometragem do tempo Como funciona um receptor GS? Um receptor GS recebe sinais provenientes de satélites que cobrem a superfície terrestre e cuja posição em cada instante é conhecida com exactidão. Os sinais, na banda das microondas, são característicos de cada satélite e o receptor identifica o satélite que emitiu o sinal e faz uma comparação com registos de memória, estabelecendo a sua localização exacta. Os telemóveis também captam e enviam sinais na banda das microondas mas recorrem a uma rede de antenas terrestres, designando-se a área coberta por cada antena de célula e daí a designação de telefone celular. Os satélites da rede GS enviam os seus sinais em instantes precisos, os quais se 8 1 propagam à velocidade da luz ( c 3,0 10 m s ), o que implica um certo tempo que medeia o instante em que o sinal é emitido pelo satélite e o instante em que é recebido pelo receptor. Este tempo permite determinar a distância entre o satélite e o receptor. aulo José Santos Carriço ortugal ágina 2 de 18

3 Convém aqui relembrar alguns conceitos. A velocidade escalar média é o quociente entre o deslocamento escalar e o tempo gasto para o efectuar, v m x =, em que o deslocamento escalar, x, é a diferença entre t as coordenadas final e inicial da posição. (Não confundir com rapidez média, quociente entre o espaço percorrido e o tempo gasto, r m s = ). t Quando o movimento se dá na mesma direcção, sentido e com a mesma rapidez, o valor da velocidade é dado por v m d =. t Vamos analisar a situação seguinte, tratada a duas dimensões, em que o receptor está situado num ponto e que o satélite está a emitir a partir do ponto A, como mostra a figura seguinte. Após recepção do sinal proveniente de A, o receptor em, a partir do tempo que o sinal demorou de A até, vai calcular a distância d A. Este valor não é suficiente para localizar o ponto, uma vez que pode ser qualquer ponto pertença da circunferência centrada em A e de raio d A. Há que recorrer à posição de outro satélite B. A posição de outro satélite emissor, B, é conhecida com exactidão e o sinal que emite é captado pelo receptor em, o que permite determinar a distância figura seguinte. d B, como mostra a aulo José Santos Carriço ortugal ágina 3 de 18

4 A posição do receptor está então, agora, determinada pela intersecção das circunferências de raio d A e d B, dado que também está sobre a circunferência centrada em B. Mas as duas circunferências têm dois pontos de intersecção. Será necessária a acção de outro satélite C. É feita uma nova medição da distância, agora relativamente a C, cuja posição é também conhecida, tal que essa distância d C permite concluir que o receptor está sobre a circunferência centrada em C, a qual intersecta as outras duas. Deste modo o ponto fica localizado com a utilização de 3 emissores. A situação real, situação tridimensional, é semelhante à apresentada atrás só que as circunferências dão lugar a esferas, estando o ponto situado na intersecção das superfícies de 3 esferas centradas nos satélites usados como pontos de referência, como mostra a figura abaixo. Este método de localização é designado de triangulação e recorre também a um 4º satélite cujo propósito é o de sincronizar os relógios atómicos, situados a bordo dos satélites, e altamente precisos, com os cronómetros de quartzo, menos precisos, presentes nos receptores. aulo José Santos Carriço ortugal ágina 4 de 18

5 Deste modo é determinada a posição tridimensional de um ponto cujas coordenadas são a latitude, a longitude e a altitude, o que permite ao receptor GS fornecer a orientação numa viagem, pois indica a direcção e o sentido do movimento, identificar a localização de pontos num mapa pelas suas coordenadas e armazenar as coordenadas das posições, permitindo o percurso em sentido inverso. Aplicação Um receptor GS recebe um sinal electromagnético de um satélite situado em órbita, o 2 qual demora 7,0 10 s a chegar. Calcula a distância do satélite ao receptor osição coordenadas geográficas e cartesianas ara indicar a posição de um lugar à superfície da Terra recorremos às coordenadas geográficas: latitude, longitude e altitude. A Terra é um geóide, não é uma esfera porque é achatada nos pólos (o raio polar é cerca de 30 km menor que o raio equatorial) e é acidentada a sua superfície, mas podemos considerá-la uma esfera quando se pretendem determinar as coordenadas. Admitindo essa esfericidade temos que: O equador é um círculo máximo que divide a Terra em dois hemisférios, o Norte e o Sul, e todos os pontos do equador estão equidistantes dos pólos geográficos da Terra, Norte e Sul; Os paralelos são círculos menores que o equador, contidos em planos paralelos ao plano equatorial; Os meridianos são círculos máximos sobre a superfície terrestre que passam pelos pólos geográficos, sendo o meridiano de Greenwich o adoptado desde 1884 como o meridiano de origem para a contagem das longitudes, ou seja, o 1º meridiano. aulo José Santos Carriço ortugal ágina 5 de 18

6 A latitude é o arco de meridiano ou o valor do ângulo ao centro da Terra, expresso em graus, medido entre o paralelo que passa pelo local considerado e o equador. Assim: ϕ A é a latitude do lugar A (uma latitude sul) e ϕ B a latitude de um lugar B (uma latitude norte). O equador tem latitude 0º. A longitude é o arco do equador ou o valor do ângulo ao centro da Terra, expresso em graus, medido entre o meridiano que passa pelo local considerado e o meridiano de Greenwich. Assim: L A é a longitude de um lugar A (longitude este) e L B é a longitude de um lugar B (longitude oeste). O semimeridiano de Greenwich tem longitude 0º e o oposto, linha internacional de mudança de data, tem longitude 180º, W e E, tal que aviões e navios que o atravessem alteram a data a bordo em 1 dia; atrasam 1 dia os que se dirigem para este e adiantam 1 dia os que se dirigem para oeste. A altitude é o comprimento do segmento vertical compreendido entre o nível médio das águas do mar e o local considerado, devendo o seu valor ser dado por um altímetro pois a indicação do GS relativa a esta coordenada é muito pouco precisa. aulo José Santos Carriço ortugal ágina 6 de 18

7 E se quisermos estudar movimentos efectuados à superfície da Terra? Neste caso, quase sempre podemos ignorar a curvatura da Terra, considerando esta plana, sendo conveniente recorrer às coordenadas cartesianas, coordenadas que descrevem a posição de um corpo, ou o seu estado de movimento, relativamente a um sistema de referência, um referencial ou referencial cartesiano, em homenagem a René Descartes, matemático, físico e filósofo francês que viveu na primeira metade do século XVII, o qual serve para localizar pontos no espaço através de coordenadas x, y e z. Um referencial é assim um sistema de eixos ligado a um objecto, i.e., em repouso relativamente a ele. Consideremos um ponto no espaço. A sua posição, relativamente à origem de um referencial cartesiano, é dada através do seu vector posição, o vector: r r r r = x e + y e + z e e que x, x y y e z são as coordenadas da posição do ponto medidas sobre os 3 eixos cartesianos e e r x, e r y e e r z são os vectores unitários desses eixos, que dão a sua direcção. Se o ponto estivesse num plano o seu vector posição seria dado apenas em função r r r de duas coordenadas tal que, = x e + y e. x Se o ponto estivesse assente apenas sobre um eixo o seu vector posição seria dado r r apenas em função de uma coordenada tal que, = x e. y z x Mas a posição do ponto é relativa. orque será? Mas a posição de um corpo pode variar, e frequentemente varia, com o tempo. Então o corpo ocupa sucessivamente posições diferentes, caracterizadas por conjuntos diferentes de coordenadas cartesianas, ao longo do tempo. À linha que une o conjunto das sucessivas posições ocupadas pelo corpo em movimento, ao longo do tempo, chamamos trajectória. As trajectórias podem ser rectilíneas ou curvilíneas (contendo o caso particular da trajectória circular). Quando o movimento se faz sobre uma recta o movimento é designado de rectilíneo e quando é feito sobre uma curva assume a designação de curvilíneo. aulo José Santos Carriço ortugal ágina 7 de 18

8 Quando estudamos o movimento de um corpo sem atender aos seus movimentos de rotação e/ou deformações ele pode ser considerado uma partícula material, representado pelo seu centro de massa, o ponto que representa a massa do corpo e onde podem ser supostas aplicadas todas as forças que actuam no corpo Tempo O Universo em que vivemos possui 4 dimensões, três são espaciais e uma é temporal. Assim, para situar um acontecimento no tempo recorremos à coordenada instante. Um intervalo de tempo mede a duração entre dois instantes. O tempo desempenha um papel decisivo no funcionamento do sistema GS pois o erro na determinação do intervalo de tempo que um sinal demora a percorrer a distância que medeia o emissor do receptor tem de ser muito pequeno. Qualquer tipo de relógio possui um mecanismo que produz oscilações regulares e outro que conta as oscilações, convertendo-as numa unidade de tempo. Consoante esses osciladores sejam mecânicos, electromagnéticos ou atómicos, assim os relógios terão diferente precisão. Os relógios mecânicos são baseados em oscilações pendulares. Os relógios electromagnéticos, relógios de quartzo, baseiam-se nas oscilações de um cristal de quartzo, oscilações dos átomos de silício, pois possui propriedades piezoeléctricas, i.e., quando se aplica uma d.d.p. a um pequeno cristal este tornase um oscilador, com frequência muito regular. Os relógios atómicos baseiam-se na frequência das radiações emitidas, ou absorvidas, por átomos ou moléculas. Trata-se afinal de conseguir que a frequência da radiação incidente coincida com a frequência da radiação emitida aquando da desexcitação. (Os relógios de césio apresentam uma incerteza de 0,1 µs/dia!) Hora e longitude A relação entre o tempo e a longitude permite determinar a diferença entre a hora legal de dois lugares do planeta com diferente longitude. aulo José Santos Carriço ortugal ágina 8 de 18

9 Cláudio tolomeu, astrónomo grego do século II, introduziu o conceito de Sol médio, o qual descreve no céu, aparentemente, uma circunferência com velocidade constante tal que, se descreve um ângulo de 360º em 24 h, descreve um ângulo de 15º em 1 h e um ângulo de 1 em cada 4 s. Aplicação Calcular a diferença horária entre dois meridianos que têm entre si uma diferença de longitude de 35º 35. No dia a dia recorre-se a uma grande variedade de relógios mecânicos, os menos precisos, pois apresentam uma incerteza de 100 ms/dia, podendo também recorrer-se a relógios de quartzo, para tarefas mais sofisticadas, que exijam maior precisão temporal, uma vez que a sua incerteza é de 0,1 ms/dia. Mas, e em navegação marítima, o movimento dos navios não afecta o seu funcionamento? Sim, mas não só! As variações da velocidade de rotação da Terra, provocadas pelos ventos e pelas marés, desacertam os relógios mecânicos e de quartzo. Foi só no século XVIII que John Harrison ( ) desenvolveu um relógio baseado no auto-equilíbrio de peças com molas, compensadas do efeito de dilatação provocado por variações de temperatura, funcionando sem qualquer posição, sendo por isso imune ao balancear dos navios Gráficos posição-tempo para movimentos rectilíneos A figura seguinte mostra as posições de um móvel, considerado partícula material, em intervalos de 2 s, movendo-se da posição A até à posição F passando sucessivamente pelas posições B, C, D e E. Como a posição é dependente do tempo podemos dizer que é uma função do tempo, i.e., x = x (t). aulo José Santos Carriço ortugal ágina 9 de 18

10 Relacionando então a posição ocupada pelo móvel e o instante em que ele ocupa a posição obtemos: A representação gráfica, i.e., x = f (t) é: O tempo, representado no eixo das abcissas, é a variável independente e a posição, representada no eixo das ordenadas, é a variável dependente. É a posição que depende do tempo e não o contrário. Atenção que o gráfico obtido não é a trajectória da partícula! Esta, é uma linha recta. Consegues descrever, a partir do gráfico posição-tempo, o movimento da partícula? arte, no início da contagem dos tempos, da posição x = 1m. Durante os primeiros 2 s percorre 3 m, passando da posição x = 1m para a posição x = 4 m, movendo-se no sentido positivo. A função x = x (t) é crescente neste intervalo de tempo. Entre os instantes t = 2 s e t = 8s o móvel passa da posição x = 4 m para x = 3m, aproximando-se da origem 0 e depois afastando-se, movendo-se no sentido negativo. A função x = x (t) é decrescente neste intervalo de tempo. aulo José Santos Carriço ortugal ágina 10 de 18

11 Entre os instantes t = 8s e t = 10 s o móvel passa da posição x = 3m para x = 3m, aproximando-se da origem 0 e depois afastando-se, movendo-se no sentido positivo. A função x = x (t) é crescente neste intervalo de tempo. A função x = x (t) traduz a lei do movimento Distância entre dois pontos, espaço percorrido e deslocamento A figura seguinte mostra as posições ocupadas por um móvel, considerado partícula material, que parte da origem O de um referencial, coincidente com o eixo 0x, passa sucessivamente pelos pontos A e B, terminando o movimento em C. Quais as posições ocupadas pelo móvel? Qual a distância entre os pontos de partida e chegada? Qual o espaço percorrido pelo móvel? Qual o deslocamento escalar sofrido pelo móvel? Qual o deslocamento do móvel? Qual a sua norma? A figura abaixo representa o deslocamento do móvel. O que podes concluir? Vamos então, agora, definir, e distinguir, as grandezas deslocamento, deslocamento escalar, distância entre dois pontos e espaço percorrido. aulo José Santos Carriço ortugal ágina 11 de 18

12 1.1.6 Velocidade A velocidade média de um móvel, considerado partícula material, é o quociente entre o deslocamento do seu centro de massa e o intervalo de tempo em que este é feito, r r r r x i.e., v m = (ou v m =, caso o móvel se movimente sobre o eixo 0x). Trata-se de t t uma grandeza vectorial, a qual é, por isso mesmo, caracterizada por uma direcção, um sentido, a direcção e o sentido são a direcção e o sentido do vector deslocamento, um r r ponto de aplicação e uma norma, v m =. t Mas acontece que, na maior parte das vezes, há interesse, não em conhecer a velocidade média do móvel durante um determinado intervalo de tempo, mas em conhecer qual a velocidade do móvel num, ou vários, instante(s) de tempo. ara isso recorremos à definição de velocidade instantânea, ou simplesmente velocidade, uma grandeza vectorial que caracteriza a direcção, o sentido do movimento e a rapidez com que o móvel muda de posição. A definição de velocidade estabelece-se a partir da velocidade média do móvel, considerando os intervalos de tempo cada vez mais pequenos tal que, no menor intervalo de tempo possível, aquele que tende para zero, se obtém a velocidade do móvel entre dois instantes extremamente próximos, admitindo que entre esses dois r r instantes está aquele em que pretendemos conhecer a velocidade, sendo v = lim v, i.e., r r v = lim. t 0 t t 0 m Consideremos o móvel (um carro) a descrever uma trajectória rectilínea sobre o eixo 0x, durante um certo intervalo de tempo, tal que o gráfico da posição em função do tempo, x = f (t), é mostrado pela figura seguinte. aulo José Santos Carriço ortugal ágina 12 de 18

13 Considerando intervalos de tempo sucessivamente menores, e as correspondentes posições ocupadas pelo móvel, como mostra a figura abaixo, e traçando rectas que os unam, podemos responder à questão a seguir formulada. Existe um intervalo de tempo suficientemente pequeno para o qual a recta traçada que une as posições ocupadas pelo móvel (recta a verde) é tangente ao gráfico para a posição para a qual se quer conhecer a velocidade. Conhecendo o deslocamento escalar x e o intervalo de tempo t correspondente conhecemos a velocidade escalar. aulo José Santos Carriço ortugal ágina 13 de 18

14 Assim, a velocidade podia ser caracterizada como um vector com a direcção do eixo 0x, sentido arbitrado como positivo, ponto de aplicação no centro de massa do móvel e r r x norma dada como v =. Note-se que a velocidade escalar, o valor algébrico da t velocidade, é dada como x v =, sendo x e t t os correspondentes a verde. O declive da tangente num ponto da curva do gráfico é igual ao valor da velocidade do móvel no instante correspondente a esse ponto. Num movimento rectilíneo, aquele que é efectuado sobre uma trajectória rectilínea, a velocidade v r tem direcção constante. Mas o móvel nem sempre descreve uma trajectória rectilínea. ode descrever uma trajectória curvilínea. Neste tipo de trajectória a direcção da velocidade v r está a variar. Se visualizarmos um ponto da trajectória, como é a seguir representado, concluímos que a velocidade do móvel, num dado instante, é um vector tangente à trajectória. aulo José Santos Carriço ortugal ágina 14 de 18

15 orque será? Ao considerarmos um instante, um intervalo de tempo tão pequeno que tende para zero, temos na realidade dois instantes incrivelmente próximos (que contêm o instante pretendido), para os quais corresponde um deslocamento, o qual é tangente à trajectória (não esquecer que qualquer curva pode ser considerada como uma sucessão de pequeníssimos segmentos de recta!). Como a velocidade é o quociente entre o deslocamento (por muito pequeno que seja!) e o intervalo de tempo gasto para o efeito (por muito pequeno que seja também!), temos que a velocidade é sempre tangente à trajectória para qualquer instante considerado. Assim, generalizando, podemos afirmar que as características da velocidade são: onto de aplicação: centro de massa do móvel; Direcção: a da tangente à trajectória no ponto em que o móvel se encontra; Sentido: o do movimento do móvel; Norma: igual ao módulo da velocidade escalar, indica a rapidez do movimento. As características da velocidade podem ser alteradas em diferentes instantes durante o movimento do móvel, por alteração da sua direcção, sentido ou norma. Assim: Sempre que a trajectória seja circular existe mudança da direcção da velocidade ao longo do tempo pelo que não podemos dizer que esta é constante, mesmo que a sua norma não sofra alteração, como é o caso da roda gigante; Sempre que a trajectória seja rectilínea pode ocorrer alteração na norma da velocidade, mesmo que a direcção e o sentido não se alterem, como é o caso da descida de um plano inclinado, em que a norma aumenta; o Se for uma subida a norma da velocidade vai diminuído ao longo do tempo, mantendo-se a direcção e o sentido desta, até ao instante em que é nula, instante em que ocorre mudança no sentido da velocidade, apesar da direcção se continuar a manter; Num movimento curvilíneo podem variar a direcção e a norma da velocidade, e até o sentido, como naquele que descreve a ida de um aluno de casa à escola e da escola a casa. aulo José Santos Carriço ortugal ágina 15 de 18

16 1.1.7 Gráficos velocidade-tempo odemos traçar um gráfico que relacione a velocidade escalar de um móvel ao longo do tempo por forma a conhecer mais sobre o movimento de um móvel. Consideremos o movimento de um móvel em linha recta, o qual se pode deslocar no sentido de se afastar da origem do referencial escolhido, ou de se aproximar, mais depressa, ou mais devagar, ou eventualmente parar, tal que a figura seguinte represente esse movimento em função da variação das posições por ele ocupadas ao longo do tempo. A descrição do movimento é a seguinte: Até ao instante t 1 o móvel mantém a mesma posição, a qual não coincide com a origem do eixo 0x; Entre os instantes t 1 e t 2 o móvel desloca-se no sentido positivo do eixo 0x, com velocidade crescente pois as rectas tangentes vão tendo declives cada vez maiores; Entre os instantes t 2 e t 3 o declive das rectas tangentes ainda é positivo, mas cada vez menor pelo que a velocidade está a diminuir, continuando o móvel a deslocar-se no sentido positivo; Entre os instantes t 3 e t 4 o declive das rectas tangentes é negativo, o móvel inverteu o sentido do movimento e aproxima-se da origem do eixo 0x, deslocando-se no sentido negativo, mas com a velocidade a aumentar em norma, apesar da velocidade escalar ser negativa; Entre os instantes t 4 e t 5 o declive das rectas tangentes é negativo e constante pelo que a velocidade é constante, continuando o móvel a deslocar-se no sentido negativo do eixo 0x; aulo José Santos Carriço ortugal ágina 16 de 18

17 Entre os instantes t 5 e t 6 o declive das rectas tangentes é negativo mas cada vez menos acentuado pelo que a velocidade está a diminuir em norma (a velocidade escalar é negativa) e o comboio continua a deslocar-se no sentido negativo do eixo 0x; No instante t 6 o móvel atinge a origem do eixo 0x e pára, uma vez que o declive da recta tangente é nulo. Um gráfico velocidade-tempo possível para o movimento deste móvel pode ser: Assim: O sinal de v indica o sentido do movimento; Existe inversão de sentido quando v muda de sinal e o móvel está parado quando v é nulo num determinado intervalo de tempo; O valor absoluto de v indica a maior ou menor rapidez do movimento. Atentemos no gráfico representado na figura abaixo. A área compreendida entre a linha do gráfico e o eixo das abcissas tem significado físico. ara um gráfico v = f (t), essa área representa o deslocamento escalar do móvel. aulo José Santos Carriço ortugal ágina 17 de 18

18 Se o movimento ocorrer no sentido positivo x f 0 e v f 0, se ocorrer no sentido negativo x p 0 e v p 0. Num gráfico v = f (t) o deslocamento escalar pode ser calculado entre dois instantes quaisquer bastando para isso tão somente calcular a área subjacente e atribuir o sinal correcto. aulo José Santos Carriço ortugal ágina 18 de 18