ESTUDO NUMÉRICO DE ESCOAMENTO AO REDOR DE UM CILINDRO DE SEÇÃO CIRCULAR PARA RE = Joseane Vieira de Queiroz

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1 ESTUDO NUMÉRICO DE ESCOAMENTO AO REDOR DE UM CILINDRO DE SEÇÃO CIRCULAR PARA RE = 1000 Joseane Vieira de Queiroz PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE ENGENHEIRO NAVAL E OCEÂNICO. Aprovada por: Prof o Alexandre Teixeira de Pinho Alho, D.Sc. Marcelo Vitola, D.Sc. Prof o Carlos Antônio Levi da Conceição, D.Sc. Priscilla Elman, M.Sc.

2 Dedico este trabalho a toda minha família, parentes e amigos, pelo apoio e compreensão durante estes cinco anos, Em especial aos meus pais, Joselito P. Queiroz e Estela Regina V. Queiroz, colunas da nossa família, por todo amor e companheirismo, Agradeço ao professor Alexandre Alho pela dedicação e pelas sábias palavras com que nos orientava e ministrava as disciplinas, Agradeço ao Marcelo Vitola por todo apoio e disponibilidade, E a turma de 2004/2, cuja convivência eu sentirei muita falta.

3 Projeto Final apresentado ao DENO/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de Engenheiro Naval e Oceânico ESTUDO NUMÉRICO DE ESCOAMENTO AO REDOR DE CILINDRO CIRCULAR PARA REYNOLDS Joseane Vieira de Queiroz Agosto/2009 Orientador: Alexandre Teixeira de Pinho Alho Departamento: Engenharia Naval e Oceânica Resumo do Trabalho. Este trabalho tem por objetivo fazer um estudo numérico bidimensional em CFD (Computational Fluid Dynamics) do escoamento incompressível ao redor de um cilindro circular isolado, para número de Reynolds (Re) 1000, que possibilite identificar e analisar as características físicas e hidrodinâmicas deste escoamento. O comportamento do fluido nestas condições tem um aspecto físico de muita importância por sua relevância em aplicações práticas, e vem sido estudado no meio científico ao longo dos anos. Neste trabalho também será estudado o efeito de se introduzir um modelo de turbulência na simulação, para o mesmo valor de número de Reynolds.

4 Índice 1. Introdução Revisão Teórica Regimes de escoamento Esteira de Vórtices Freqüência de desprendimento de vórtice, Coeficiente de pressão e Comprimento de formação de vórtice Forças atuantes sobre um cilindro em uma corrente uniforme Coeficiente de Arrasto e Sustentação Modelação Numérica Formulação matemática Formulação Numérica Modelo Domínio Malha Resultados Laminar Modelo de Turbulência Conclusão Referências... 32

5 1. Introdução Este trabalho visa fazer um estudo numérico bidimensional em CFD (Computational Fluid Dynamics) do escoamento incompressível ao redor de um cilindro circular isolado, para número de Reynolds (Re) A importância prática deste estudo é evidenciada pela relevância do escoamento ao redor de estruturas cilíndricas. Aplicações práticas na engenharia podem ser citadas como, por exemplo, estruturas offshore, colunas de pontes, tubulações, etc. É sabido que o escoamento ao redor de um cilindro é bidimensional apenas para Re < 200, sendo tridimensional para valores maiores. Entretanto, devido à complexidade de se realizar um estudo numérico tridimensional e seu custo computacional, optou-se por realizar uma análise bidimensional. Para Re = 1000, admite-se ainda fazer simulações sem modelo de turbulência. Neste trabalho também será estudado o efeito do modelo de turbulência nesse caso. 2. Revisão Teórica A descrição de um escoamento ao redor de um cilindro liso circular depende do número de Reynolds (Re), que é dado pela seguinte fórmula: DU Re = υ Onde D é o diâmetro do cilindro, U é a velocidade do escoamento e υ é a viscosidade cinemática do fluido (υ = µ/ρ). O escoamento é perturbado pela presença do cilindro, o que causa variação da velocidade nos diferentes regiões do escoamento. São elas: Região de escoamento retardado, à montante; Duas camadas limites na superfície; Duas regiões laterais de fluido deslocado e acelerado; Região de esteira à jusante.

6 Figura 1 - Regiões de Escoamento A parte fluida que chega ao ponto de estagnação (PE) chega ao ponto de maior pressão de todo o domínio fluido, com velocidade zero na superfície do cilindro. O fluido na camada limite é na sua parte inicial sujeito a um gradiente de pressão favorável (dp/dx < 0) até que contornando a superfície, o gradiente se torna adverso (dp/dx > 0), o que causa grande perda de energia e quantidade de movimento e a consequente separação do escoamento. A espessura da camada limite (δ) é geralmente muito menor que o diâmetro do cilindro e, para camada limite laminar, seu valor é dado pela seguinte fórmula: δ = D O( 1 ) Re PE Figura 2 - Ilustração do escoamento ao redor de um cilindro, mostrando o ponto de estagnação.

7 A região da esteira é uma região de baixa pressão e contém grandes variações na velocidade e conseqüentemente na tensão cisalhante do fluido (τ = µ du/dx), caracterizada pelas propriedades viscosas do fluido Regimes de escoamento Com a variação do número de Reynolds as características do escoamento mudam. Para valores de Re muito baixos, menores que 5, não há separação entre o escoamento e o cilindro. No intervalo de número de Reynolds 5 < Re < 40, há a formação de um par de vórtices a jusante do cilindro e eles não se desprendem. Eles crescem com o número de Reynolds até que para Re maiores que 40 a esteira fica instável eles se desprendem. Os vórtices são sendo liberados alternativamente em cada lado do cilindro a uma certa freqüência. Na faixa de número de Reynolds 40 < Re < 200 a esteira é laminar e é essencialmente bidimensional. A partir deste valor a esteira sofre a transição para a turbulência. A região de turbulência vai se aproximando do cilindro com o aumento de Reynolds, na faixa 200 < Re < 300, onde a esteira perde a bidimensionalidade. A partir de Re = 300 a esteira se torna totalmente turbulenta. A camada limite na superfície do cilindro permanece laminar até o número de Reynolds 3x10 5. O regime de escoamento nesta faixa é chamado de subcrítico. Na transição da camada limite laminar para a turbulenta, a região da separação do escoamento é a primeira a sofrer a transição e de acordo com o aumento do número de Reynolds, a região de transição se move à montante da superfície do cilindro em direção ao ponto de estagnação. Na faixa 3x10 5 < Re < 3,5x10 5 a camada limite se torna turbulenta no ponto de separação, mas isso ocorre somente em um lado do cilindro, continuando laminar do outro. Este regime de escoamento é chamado de crítico. O escoamento assimétrico causa o aparecimento de uma força de sustentação atuante sobre o cilindro. Esta força também muda de sentido de acordo com a mudança do lado turbulento. O próximo regime de escoamento é chamado de supercrítico e sua faixa de número de Reynolds é 3,5x10 5 < Re < 1,5x10 6. Neste regime a camada limite é completamente turbulenta dos dois lados do cilindro, porém a camada limite ainda não é totalmente turbulenta. A região de transição

8 para a turbulência está localizada entre o ponto de estagnação e o ponto de separação do escoamento. Quando Re atinge o valor de 1,5x10 6, um lado do cilindro se torna totalmente turbulento. Assim, o outro lado continua parcialmente laminar parcialmente turbulento. Este regime é chamado de upper-transition e corresponde a faixa de número de Reynolds 1,5x10 5 < Re < 4,5x10 6. Finalmente, para Reynolds maiores que 4,5x10 6, a camada limite é totalmente turbulenta. Este regime de escoamento é chamado transcrítico. Figura 3 - Regimes de Escoamento. Reproduzido de SUMER, B. M.; FREDSOE J. - 6

9 2.2. Esteira de Vórtices A mais importante característica dos regimes de escoamento é o fenômeno de desprendimento de vórtice que ocorre para todas as faixas de Re>40. A camada limite se separa da superfície do cilindro devido ao gradiente de pressão adverso imposto pela divergente geometria do escoamento a jusante do cilindro e pela conseqüente perda de quantidade de movimento. Devido à instabilidade, um vórtice se torna maior que o outro e forte o bastante para atrair o vértice oposto (menor), cuja vorticidade tem direção inversa ao maior, ou seja, se um tem vorticidade no sentido horário a do outro será no sentido anti-horário. A aproximação do vórtice oposto irá forçar a separação do vórtice maior da camada limite e neste momento será liberado. Imediatamente inicia-se a formação de um terceiro vórtice, com as mesmas características do primeiro, enquanto o segundo cresce. Daí, da mesma maneira que o primeiro foi liberado o segundo também será. O segundo irá atrair o terceiro, forçando sua separação. Este processo irá continuar todas as vezes que um vórtice for liberado de maneia alternada entre os lados do cilindro. A esteira de vórtices se forma apenas quando as duas camadas cisalhantes interagem entre si Freqüência de desprendimento de vórtice, Coeficiente de pressão e Comprimento de formação de vórtice A freqüência de desprendimento de vórtices f v está diretamente relacionada com o número de Strouhal, a freqüência de desprendimento de vórtices normalizada ou admensionalizada, que varia com o número de Reynolds. O número de Strouhal é dado pela seguinte equação: St = f v D U

10 Na faixa de 40< Re <100, o número de Strouhal varia aproximadamente de 0,1 a 0,2. A partir daí, ele apresenta pequenas variações em boa parte do regime de escoamento subcrítico. Porém esta freqüência experimenta um rápido aumento, um salto de 0,2 para 0,45 em Reynolds entre 3 e 3,5x10 5. A partir daí o número de Strouhal diminui suavemente com o aumento do número de Reynolds. O aumento do número de Strouhal pode ser explicado pelo seguinte: no regime supercrítico, a camada limite é turbulenta em ambos os lados do cilindro nos pontos de separação. Isso resulta em um atraso da separação da camada limite, pois o ponto de separação se move mais para jusante. Isso significa que os vórtices, estando mais próximos, vão interagir mais rapidamente do que no regime subcrítico, o que leva a um aumento na freqüência de desprendimento. Quando o número de Reynolds atinge o valor de 1,5x10 6, novamente St sofre uma descontinuidade devida a assimetria no escoamento, pois nesta faixa a camada limite é completamente turbulenta apenas de um lado, o que causa uma esteira irregular e desordenada. A esteira volta a ser regular quando Re atinge valores maiores que 4,5x10 6 aproximadamente, no regime transcrítico, quando St assume valores em torno 0,25 e 0,30. Figura 4 - Curva do número de Strouhal em função de Re -1/2. Faixa de Número de Reynolds: 47<Re<2x10 5. Reproduzido de Fey; König; Eckelmann (1998) - 1 O coeficiente de pressão de base é calculado para o ponto a 180 do ponto de estagnação é dado pela seguinte fórmula:

11 C pb pb p = 1 ρu 2 Além disso, o coeficiente de pressão pode ser calculado para todos os pontos na superfície do cilindro, como ilustrado na figura 5, que mostra resultados numéricos. 2 Figura 5 - Distribuição de Pressão na superfície do cilindro no campo de pressões médio. Reproduzido de Singh; Mittal - 5 Este coeficiente é diretamente relacionado com o arrasto imposto sobre a superfície do cilindro. O comprimento de formação de vórtice (L f ) também é um parâmetro de estudo no escoamento, embora existam divergências quanto ao melhor método de quantificá-lo.

12 Figura 6 - Comprimento de formação por Número de Reynolds. Reproduzido de Norberg (1987) Forças atuantes sobre um cilindro em uma corrente uniforme O escoamento ao redor de um cilindro causará o aparecimento de uma força sobre o cilindro. Há duas contribuições para essa força, uma vinda da pressão e outra da fricção. A componente força devido a pressão na direção do escoamento é dada pela seguinte fórmula: F p 0 = pcos( φ) r dφ Onde ø é o ângulo, r o é o raio e p é a pressão na superfície. (limites de integração 0e 2π) A componente da força causada pela fricção na direção do escoamento é dada por: F = τ sen( φ r dφ f o ) Onde τ o é a tensão de cisalhamento na superfície do cilindro. o

13 As forças, a pressão e a tensão de cisalhamento variam com o tempo. A soma dessas duas forças resulta no valor dão arrasto total atuante sobre o cilindro. F = ( pcos( φ) + τ sen( φ)) r dφ D o 0 F = F + F D Como conseqüência do fenômeno de desprendimento de vórtices, a distribuição pressões ao redor do cilindro sofre uma alteração periódica, resultando em uma variação periódica das componentes das forças sobre o cilindro. Prova-se que a força de sustentação oscila com a freqüência do desprendimento de vórtices, enquanto a força de arrasto oscila com uma freqüência que é o dobro da freqüência de desprendimento de vórtices. f p Para valores de Re maiores que 1x10 4, a contribuição a componente da força de arrasto devido à fricção é muito baixa e gira em torno de 2 a 3% da força total, por isso em boa parte dos casos ela é omitida Coeficiente de Arrasto e Sustentação O chamado coeficiente de arrasto C D é função do número de Reynolds e é dado pela seguinte equação: C D FD = 1 ρapu 2 Onde A p é a área projetada. A figura 7 mostra o gráfico de C D médio por Reynolds, para o escoamento ao redor de cilindro circular. O gráfico, entre outros, mostra os resultados experimentais de Wieselsberger. 2

14 Figura 7 - C D médio por Re. Reproduzido de Singh; Mittal - 5 Semelhantemente ao C D, C L é calculado a partir na força de sustentação: C L FL = 1 ρapu 2 O RMS (Root Mean Square) de C L é a chamada flutuação do coeficiente de sustentação e é um parâmetro também estudado no meio científico, embora haja divergências em resultados experimentais e numéricos. 2 Figura 8 - RMS de C L por número de Reynolds. Reproduzido de Norberg (2001) - 3

15 3. Modelação Numérica 3.1. Formulação matemática Os parâmetros C D (coeficiente de arrasto) e C L são calculados e analisados neste trabalho. Eles são calculados a partir das forças de arrasto e sustentação, respectivamente. A obtenção destes e de outros parâmetros importantes para o presente estudo é feita por simulações numéricas através da ferramenta computacional ANSYS CFX, versão 11. As equações de governo resolvidas para o escoamento pelo software, discretizadas pelo método de volumes finitos em todo domínio fluido, são as seguintes: Equação da continuidade: ρ + t ( ρu) = 0 Equação da Conservação do Momento: ρu t + T ( ρu u) = ( p + µ ( u + u ) + S M Onde u é o vetor velocidade no sentido do escoamento Formulação Numérica As características das simulações são definidas no programa ANSYS CFX-Pre. Elas são de fundamental importância para a definição das características físicas do escoamento. As características referentes ao tempo de cada simulação são apresentadas na Tabela 1. Tabela 1 Tempo de Simulação Característica Detalhe User Mode Geral Tipo de Simulação Transiente Tempo Total 60s Passo de Tempo 0,05s

16 O fluido a ser utilizado também é definido nesta etapa, assim como maiores detalhes em relação à simulação. Não se utilizou modelo de turbulência na validação da malha, as simulações foram realizadas como sendo do tipo laminar, o que é aceitável para o valor de Reynolds Re=1000 que está sendo utilizado. Entretanto, depois de se validar a malha, será introduzido um modelo de turbulência para se analisar as diferenças nos resultados. Tabela 2 Detalhes da Simulação Característica Fluido Tipo de Domínio Modelo de Turbulência Transferência de Calor Detalhe Água Domínio Simples Laminar Não As condições de contorno são definidas de acordo com as faces do modelo, onde cada face está associada a uma superfície do modelo. Figura 9 Domínio de raio 20 centímetros

17 Figura 10 Superfícies do Domínio (Right em vermelho e Left em azul) Figura 11 - Superfícies do Domínio. À esquerda, superfície do cilindro (Cylinder). À direita superfícies de entrada e saída (Inlet em amarelo e Outlet em azul) A opção Opening no Outlet foi escolhida para que quando as partículas do fluido que compõem os vórtices passarem pelo Outlet possam voltar e representar a esteira a esteira de maneira coerente. Na entrada, Inlet, é definido o valor da velocidade de acordo com as componentes cartesianas u, v e w. As duas últimas são nulas e a primeira é definida de acordo com a expressão Free Stream definida no programa. Ela é a velocidade do escoamento definida, para Re=1000, de acordo com a relação: υ Re u = FreeStream = D

18 Tabela 3 Condições de Contorno Característica Condições de Contorno Cylinder Right/Left Inlet Outlet Detalhe Parede: não-escorregamento Simetria Entrada Opening As expressões a serem monitoradas, definidas no programa, são os coeficientes de sutentação C L e C D, calculados pela relação: F C = 1 ρapu 2 2 Onde A p é a área projetada e F é a força de sustentação e arrasto, respectivamente, para C L e C D. Esta força já é calculada automaticamente pelo programa, resultado da integração numérica do campo de pressões em torno do cilindro, em x (direção do escoamento) e em z (direção transversal ao escoamento), respectivamente. Como a simulação é transiente, em cada instante de tempo observam-se valores diferentes para cada característica física do escoamento. Portanto, também foi ativada a Opção Transient Statics, onde se escolhe variáveis do escoamento para que o programa efetue uma média aritmética de seus valores. No caso, as variáveis escolhidas foram: pressão, velocidade e vorticidade. Isso nos permitirá tirar valores médios do escoamento que poderão ser comparados na análise de resultados. 4. Modelo A geração do modelo foi feita no programa ANSYS ICEM CFX, versão 11.0, onde foi desenvolvida a geometria e a malha computacional do modelo. Primeiramente foi gerada a geometria do cilindro através dos comandos do programa para geração de pontos, curvas e superfícies, com um diâmetro de 1 cm. Embora a análise seja bidimensional, é necessário utilizar uma espessura no modelo. No caso, utilizou-se 0.01 cm.

19 Da mesma forma, o domínio foi definido com forma circular, semelhante ao cilindro mas com dimensões maiores. Seu raio é 40 cm, ou seja, 80 vezes o raio do cilindro. Figura 12 - Cilindro Alguns parâmetros e nomenclaturas referentes ao modelo e aos resultados são utilizados nos itens a seguir. A descrição de cada um encontra-se na Tabela 4 Descrição da Nomenclatura Utilizada D40 Domínio de 40 cm de raio D20 Domínio de 20 cm de raio nθ Parâmetro da malha: Número de nós na direção angular do cilindro nr Parâmetro da malha: Número de nós na direção radial do cilindro θ min Espaçamento na Direção angular Mínimo r min Espaçamento na Direção Radial Mínimo D Diâmetro do Cilindro M1 Primeira Malha M2 Segunda Malha M3 Terceira Malha M4 Quarta Malha M5 Malha Final St Número de Strouhal L f Comprimento de Formação de Vórtices

20 C D C L φ C p Coeficiente de Arrasto Coeficiente de Sustentação Ângulo de Separação do Escoamento Coeficiente de Pressão 4.1. Domínio Muitas vezes o domínio, caso não seja bem dimensionado, interfere nos resultados. Neste trabalho, duas dimensões para o domínio foram testadas na tentativa de quantificar esta interferência. O raio do menor domínio é 20 cm e o do maior, 40 cm, como mencionado no item anterior. Este último será utilizado em todas as outras simulações deste trabalho. Ambos foram testados com a mesma malha e as mesmas condições de simulação. Figura 13 Domínio de raio 40 centímetros Quanto maior o domínio, menor será a interferência deste nos resultados, ainda mais se tratando de um cilindro que é um corpo rombudo ou pouco aerodinâmico. Entretanto, existe a limitação

21 computacional de trabalhar com um domínio grande, pois conseqüentemente a malha fica mais pesada, e mais tempo será gasto na simulação do modelo. Como esperado, o domínio maior apresentou melhores resultados, mais próximos dos experimentais. Pressao Média (Pa) D40 D20 x (m) Figura 14 Pressão Média na entrada do domínio até a superfície do cilindro O escoamento ao redor do cilindro para o Reynolds estudado (Re=1000) neste trabalho é caracterizado por seu desprendimento de vórtices e a formação da esteira. Isso, portanto, gera resultados transientes, em que a pressão, velocidade e outros parâmetros variam em função do tempo. Por isso, para melhor análise dos resultados foi feita a média temporal do campo de pressões, da velocidade e da vorticidade. Isso nos possibilita adquirir resultados da mesma forma que faríamos para um escoamento estacionário, simplificando portanto o trabalho. A Figura 14 Pressão Média na entrada do domínio até a superfície do cilindro é o gráfico de pressão média plotada em função de x, ou seja, o gráfico mostra a pressão numa reta que vai do início do domínio até a superfície do cilindro. O pico, portanto é a pressão no ponto de estagnação. Por esta figura, nota-se que com o domínio menor o resultado da pressão é subestimado na região a montante do cilindro. Isso também é demonstrado pelo valor de C p na Tabela 5, pois este valor divergiu do valor experimental, que vale 1. Para os outros parâmetros o domínio maior também apresenta melhores resultados, exceto o número de Strouhal, que se mantém praticamente constante. Tabela 5 Comparação entre os resultados dos domínios

22 D40 D20 Ângulo de Separação (graus) 75,3 74,9 Lf Médio (m) 0,012 0,011 C p 0,987 1,003 C D Médio 1,322 1,298 C L 0,679 0,670 St 0,196 0, Malha Para a definição da malha foram testados alguns parâmetros referentes ao seu refinamento. Os parâmetros analisados foram nθ, que é o número de nós na superfície do cilindro, nr, número de nós na direção radial, nos limites perpendiculares ao cilindro. Estes parâmetros estão definidos dentro de uma região definida no modelo que envolve a superfície do cilindro, com o fim de refinar esta região, onde ocorrerá a parte mais crítica do escoamento. Figura 15 Domínio Compartimentado em Blocos

23 Figura 16 Região do Cilindro O segundo círculo, externo ao cilindro, tem raio igual a 1 cm e é definido para que a malha no seu interior, ou seja, entre ele e o cilindro, tenha espaçamento na direção radial constante, nr constante para todos os elementos de malha dentro deste limite. Fora deste limite, os espaçamentos entre os elementos de malha vão aumentando geometricamente até o limite do domínio, onde o espaçamento nr vale 0,5 cm. A divisão do domínio em blocos é feita como mostrado na Figura 15 Domínio Compartimentado em Blocos e na Figura 16 Região do Cilindro. Eles são delimitados pelas linhas verdes, que são associadas às curvas para que a malha seja distribuída pela superfície do cilindro e ao longo de todo o domínio. No total, cinco malhas foram testadas. Em todas elas, o comprimento do último elemento de malha, nos limites do domínio, foi mantido em 0,5 cm. Os valores dos parâmetros de malha definidos nos limites dos blocos para a primeira malha M1, foram os seguintes: Tabela 6 Parâmetros da Malha M1 Número de nós Espaçamento min nθ graus nr cm

24 Figura 17 - Malha M1 O primeiro parâmetro variado foi nr. Foram feitas 3 simulações, a primeira com os valores acima, e as outras duas aumentando seu valor para 41 e 81 nós. E o resultado foi comparado para se determinar o valor final de nr. Tabela 7 Parâmetro das Malhas Malha nr (nós) r min nθ (nós) θ min M cm M2 41 0,01250 cm M3 81 0,00625 cm Figura 18 - Malhas M1, M2 e M3, respectivamente

25 Nos resultados das simulações, analisando o C D médio e a flutuação de C L, observa-se uma diminuição de seus valores com o refinamento da malha. Isto é explicado pelo fato de que estes parâmetros são calculados a partir da integração do campo de pressões e das tensões viscosas, e com o refinamento, os gradientes de pressão são resolvidos para elementos menores o que é essencial para se obter melhores resultados nesta região de grandes variações. O número de Strouhal, por sua vez, não apresenta grandes variações com o refinamento na direção radial, portanto, a freqüência de desprendimento de vórtice se mantém constante. Tabela 8 - Variação dos resultados Malha C D Médio C L St M1 1,362 0,704 0,194 M2 1,357 0,702 0,194 M3 1,323 0,701 0,194 Observando-se o perfil de velocidade a 90 do ponto de estagnação, também se observa a clara diferença entre as malhas. Na superfície do cilindro, a malha 3 é a que mais se aproxima da velocidade zero na superfície, mostrando maior capacidade de representação física neste ponto. Entretanto, afastando-se um pouco mais da superfície, nota-se que a velocidade diverge com o refinamento do parâmetro nr. A conclusão que se tira destas simulações é que as três malhas ainda não possuem o refinamento adequado para representar a física do escoamento, apesar de o parâmetro nr já estar bem refinado.

26 Perfil u z (m) M1 M3 M velocidade u (m/s) Figura 19 - Perfil de Velocidades Perfil u z (m) M1 M3 M velocidade u (m/s) Figura 20 Perfil de Velocidades Decidiu-se então utilizar o maior valor do parâmetro testado, nr = 81. Feito isso, foram geradas mais duas malhas variando-se nθ para 360 e 720, com nr já escolhido.

27 Tabela 9 Parâmetros das Malhas M4 e M5 Malha nr (nós) r min nθ (nós) θ min M4 81 0,00625 cm M5 81 0,00625 cm 720 0,5 Os resultados das simulações IV e V também se comportaram como o esperado, convergindo como no caso do o C D médio e a flutuação de C L. O número de Strouhal se manteve praticamente constante. Com o refinamento de nθ, obtém-se a malha V que gera resultados mais precisos que as malhas anteriormente testadas e é a malha final. Tabela 10 Variação dos resultados Malha C D Médio C L St M4 1,310 0,679 0,195 M5 1,298 0,670 0, Resultados Como mencionado anteriormente, sabe-se que esse escoamento caracterizado pelo valor do número de Reynolds, Re = 1000, está dentro do regime subcrítico, em que a camada limite é laminar e a esteira é turbulenta. Assim, tenta-se representar a física deste escoamento de duas maneiras: uma simulação sem modelo de turbulência (laminar) e outra com modelo de turbulência Laminar Observa-se que a física do escoamento é bem representada na simulação laminar. O desprendimento de vórtices, que é um fenômeno característico do escoamento está sendo reproduzido de forma coerente.

28 Figura 21 Vetores Velocidade Os valores experimentais para Re = 1000 para St e C D médio são 0.21 (Figura 4 - Curva do número de Strouhal em função de Re -1/2. Faixa de Número de Reynolds: 47<Re<2x10 5. Reproduzido de Fey; König; Eckelmann (1998) - 1) e 1 (Figura 7 - C D médio por Re. Reproduzido de Singh; Mittal - 5), respectivamente. O valor de C L tomado como referência é 0.65 (Figura 8 - RMS de C L por número de Reynolds. Reproduzido de Norberg (2001) - 3), resultado numérico. Tabela 11 Comparação dos Resultados com Referência Laminar Referência C D Médio 1,298 1 C L 0,670 0,65 St 0,194 0,21 Observa-se uma pequena diferença entre os resultados de St e C L, 8 e 3%, respectivamente. O fato de o valor de St ter sido menor que o experimental indica que o período de desprendimento de vórtices está maior que o experimental, portanto, estão se desprendendo mais lentamente. Além destes parâmetros, também se analisa parâmetros médios, calculados através de uma média temporal.o resultado de C p está bem próximo do experimental, com uma diferença de 0,3%, o que indica que o campo de pressões está sendo bem representado bem representado. Além disso conclui-se que o erro referente ao C D médio é atribuído ao seu componente viscoso, ou

29 friccional, que diz respeito às tensões de cisalhamento na parede, diretamente dependente do gradiente de velocidades. Isso indica que o campo de velocidades não está sendo tão bem representado quanto o campo de pressões. Tabela 12 - Comparação dos Resultados com Referência Laminar Referência Cp 1,003 1 L f /D 1,06 2 Coeficiente de Pressão Médio Cp ângulo (graus) Figura 22 Coeficiente de Pressão

30 Nota-se uma grande diferença referente aos valores de L f. Um dos fatores que influencia nestes é o fato de o resultado experimental ter sido feito num canal retangular, diferente das simulações feitas neste estudo, onde se adotou um domínio circular. O fluido deslocado para as laterais do cilindro é acelerado, e isso é acentuado pelo bloqueio das paredes do tanque, o que consequentemente alonga o vórtice formado. Esse comprimento de formação também é dependente do campo de velocidades, portanto confirma-se que ele não está sendo representado fielmente Modelo de Turbulência Utilizando a malha M5, foi adicionado à simulação o modelo de turbulência SST que resolve equações de dissipação da energia cinética e de vorticidade e é em termos gerais uma composição entre os modelos de turbulência κ-ε e κ-ω. Basicamente, as equações de transporte do modelo κ-ε são mais adequadas para a região do escoamento longe da parede e as do κ-ω para a parede, pois o κ-ε não prevê descolamento e o κ-ω se comporta mais adequadamente para a condição de gradiente de pressão adverso. Na aplicação do modelo, as equações de transporte para κ-ω são utilizadas na região próxima à parede, enquanto as equações transformadas de transporte para κ-ε são adotadas na região externa. Os resultados gerados utilizando o modelo de turbulência estão na Tabela 13 Comparação entre os resultados. Percebe-se que os parâmetros relacionados à pressão apresentam resultados mais acurados na região próxima à parede do cilindro, que é o caso de C p e C D médio, apresentando uma diferença de 0,05% e 8%, respectivamente, em relação aos resultados experimentais. Tabela 13 Comparação entre os resultados Laminar SST Referência φ 74,9 71,8 - Cp 1,003 0,999 1 L f /D 1,06 1,29 2 C D Médio 1,298 1,084 1

31 C L 0,67 0,43 0,65 St 0,194 0,189 0,21 Entretanto, os outros parâmetros apresentam diferenças significativas em relação à simulação sem modelo de turbulência, como o C L por exemplo. A força de sustentação média é nula, e é a integração das forças verticais. Basicamente as forças de um lado anulam as do outro. Isso não acontece com o arrasto onde as forças a montante e a jusante se somam. Portanto, qualquer alteração na vertical influencia no resultado de C L A introdução de um modelo de turbulência faz o programa interpretar que o escoamento é turbulento em todos os pontos do domínio. Entretanto, sabe-se que apenas a esteira é turbulenta. Outro fator que também interfere nos resultados é o refinamento da malha. Pelo manual do CFX, o parâmetro y + deve ter valor máximo 2 para a boa resolução dos resultados na parede do cilindro. Isso foi respeitado. Além disso, para a boa resolução da camada limite, devem existir pelo menos 15 pontos (elementos de malha) dentro da camada limite (δ). Isso não é respeitado, pois o primeiro elemento da malha tem espessura maior que a da camada limite ( r min > δ). δ = 0,0013 cm Para solucionar este problema, uma opção seria diminuir o tamanho da região circular que envolve o cilindro, onde a malha é uniforme, e diminuir o valor de r mínimo até que este requisito seja atendido. Conclui-se também que a malha definida para o caso laminar não é a ideal para o caso com turbulência, pois com isso outros parâmetros do escoamento são alterados. Para uma boa representação com modelo de turbulência a malha deveria ter sido validada, como foi feito para o caso laminar. Um parâmetro das simulações que não foi testado é o passo de tempo. Melhores resultados poderiam ser obtidos com a validação deste parâmetro.

32 6. Conclusão As dimensões do domínio representam um ponto onde se poderia trabalhar p obter melhores resultados. Um parâmetro das simulações que não foi testado é o passo de tempo. Melhores resultados poderiam ser obtidos com a validação deste parâmetro. Conclui-se também que a malha definida para o caso laminar não é a ideal para o caso com turbulência, pois com isso outros parâmetros do escoamento são alterados. Para uma boa representação com modelo de turbulência a malha deveria ter sido validada, como foi feito para o caso laminar. 7. Referências 1. FEY, U.; KÖNIG, M.; ECKELMANN, H. A new Strouhal-Reynolds number relationship for the circular cylinder in the range 47<Re< Physics of Fluids, v.10, n.7, p , NORBERG, C. Effects of Reynolds Number and a Low-Intensity Freestream Turbulence on the Flow Around a Circular Cylinder, NORBERG, C. Flow Around a Circular Cylinder: Aspects of Fluctuating Lift. Journal of Fluids and Structures, RAHMAN, M.; KARIM M.; ALIM A. Numerical Investigation of Unsteady Flow Past a Circular Cylinder Using 2-D Finite Volume Method. Journal of Naval Architecture and Marine Engineering. 5. SINGH, S. P.; MITTAL S. Flow Past a Cylinder: Shear Layer Instability and Drag Crisis. 6. SUMER, B. M.; FREDSOE J. Hydrodynamics Around Cylindrical Structures. 7. Ansys CFX Tutorials 8. scienceworld.wolfram.com

33 Apêndice A Resultados obtidos a partir de cada malha Malha 1 Malha 2 Malha 3 Malha 4 Malha 5 SST Unidade Angulo de separação: graus Comprimento médio Lf: m Cp: Cd médio: Cl': St: Perfil u z (m) M1 M4 M velocidade u (m/s) Coeficiente de Pressão Médio - SST Cp Ângulo (graus)