Funções e Gráficos 1

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1 Funções e Gráficos 1

2 Funções e Gráficos 2 Os cientistas, ao estudarem os fenômenos que ocorrem na natureza, verificam que geralmente estão presentes nestes fenômenos duas (ou mais) grandezas relacionadas entre si. Isto significa que, fazendo variar uma das grandezas, a outra também varia. Por exemplo: o comprimento de um trilho de estrada de ferro aumenta quando sua temperatura aumenta; a força que um ímã exerce em um prego diminui quando aumentamos a distância entre eles etc. Quando isto ocorre, isto é, quando as grandezas estão relacionadas, dizemos que uma grandeza é função da outra. Assim, o comprimento do trilho é função de sua temperatura e a força que o ímã exerce no prego é função da distância entre eles. Conforme veremos neste capítulo, existem diversas maneiras pelas quais as grandezas se relacionam. Em outras palavras, existem vários tipos de funções relacionando duas grandezas. Estudaremos algumas, que serão de grande utilidade no seu curso de Física, iniciando com a mais simples delas: a função proporção direta PROPORÇÃO DIRETA O que é uma proporção direta - Suponha que duas grandezas estejam relacionadas de tal modo que, dobrando o valor de uma delas, o valor da outra também dobre; triplicando a primeira, a segunda também fique multiplicada por três etc. Sempre que isto acontece, dizemos que existe, entre as grandezas, uma proporção direta. Por exemplo, medindo as massas de blocos de ferro de diversos volumes, encontramos os seguintes resultados: um volume V1 = 1 cm 3 tem massa M1 = 8 gramas um volume V2 = 2 cm 3 tem massa M2 = 16 gramas um volume V3 = 3 cm 3 tem massa M3 = 24 gramas um volume V4 = 4 cm 3 tem massa M4 = 32 gramas e assim sucessivamente. Observe, então, que ao duplicarmos o volume (de 1 cm 3 para 2 cm 3 ), a massa também duplicou (de 8 gramas para 16 gramas); ao triplicarmos o volume (de 1 cm 3 para 3 cm 3 ) a massa também triplicou (de 8 gramas para 24 gramas) etc. Assim, concluímos que: "a massa de um bloco de ferro é diretamente proporcional ao seu volume". Para expressar a frase anterior por meio de símbolos, designaremos a massa por M, o volume por V e representaremos a proporcionalidade direta por (que se lê "é proporcional a"). Desta maneira, escreveremos: M V Constante de proporcionalidade - Observando os valores das massas e dos volumes apresentados, verificamos que M1 8 gramas 3 8 gramas/cm V1 3 1 cm M2 16 gramas 8 gramas/cm V2 3 2 cm M3 24 gramas 8 gramas/cm V3 3 3 cm 3 3 Portanto, ao variar o volume V do bloco, sua massa M também varia, mas o quociente entre M e V permanece constante (igual a 8 gramas/cm3). Podemos escrever: M K V onde K é a constante de proporcionalidade entre M e V e vale K = 8 gramas/cm 3. Assim, quando duas grandezas são diretamente proporcionais, o quociente entre elas permanece constante e este quociente é denominado constante de proporcionalidade entre as grandezas. No exemplo citado, o valor da constante de proporcionalidade era K = 8 gramas/cm 3. Evidentemente, em outros exemplos teremos valores diferentes para K, característico para cada exemplo. Da expressão M/V = K, vem que M = KV. Chegamos, assim, à conclusão:

3 Se M V podemos escrever M = KV. Funções e Gráficos 3 Exemplo 1 - Uma pessoa, recolhendo a água que jorra de uma mangueira, obtém os seguintes dados: em 5 s recolhe 15 litros em 10 s recolhe 30 litros em 30 s recolhe 90 litros etc. a) Podemos dizer que há uma proporção direta entre o volume recolhido e o tempo empregado na operação? Sim; o volume recolhido é diretamente proporcional ao tempo porque, dividindo-se cada volume pelo tempo correspondente, verificamos que este quociente permanece constante, isto é: 15 litros 30 litros 90 litros 5 s 10 s 30 s b) Qual é o valor da constante de proporcionalidade entre estas grandezas? A constante de proporcionalidade é igual ao quociente de qualquer volume pelo tempo correspondente: 15 litros K K = 3 litros/s 5 s c) Designando o volume recolhido por V e o tempo correspondente por t, como poderemos expressar a relação entre estas grandezas? Poderemos escrevê-la de várias maneiras, a saber: V t (que se lê: V é diretamente proporcional a t), ou V K V = K.t, onde a constante K vale K = 3 litros/s. t Exemplo 2 - Abandonando um corpo de uma certa altura, obtivemos os seguintes dados para as distâncias percorridas após 1 s, 2 s e 3 s de queda: em um tempo ti = 1 s percorreu uma distância d1 = 5 m em um tempo t2 = 2 s percorreu uma distância d2 = 20 m em um tempo t3 = 3 s percorreu uma distância d3 = 45 m Podemos dizer que a distância percorrida, d, é diretamente proporcional ao tempo de queda t? Não; observando os valores fornecidos, verificamos que, ao dobrar o tempo de queda, o valor da distância percorrida não dobra, ao triplicar o tempo, a distância não triplica etc. De outra maneira, verificamos também que o quociente entre d e t não é constante, isto é: 5 m 20 m 45 m d1 d2 d3 ou 1 s 2 s 3 s t1 t2 t3 Portanto, neste caso, a distância não é diretamente proporcional ao tempo.

4 Representação gráfica - Até agora, representamos a relação entre M e V por meio de equações. Outro modo de analisar a dependência entre duas grandezas é o método gráfico. Para traçar o gráfico que representa a relação entre M e V (ou, como também se diz, M em função de V, ou ainda, M versus V, isto é, M X V), reproduziremos, na tabela seguinte, os valores dessas grandezas já referidos anteriormente: V (cm 3 ) M (gramas) Funções e Gráficos 4 Tracemos duas retas perpendiculares (o uso de papel quadriculado facilita seu trabalho) como na fig Sobre uma delas representaremos os valores tabelados do volume (eixo dos volumes) e, sobre a outra, os valores da massa (eixo das massas). Para isto, devemos escolher escalas apropriadas, isto é, devemos escolher um determinado comprimento, sobre o eixo, para representar um dado valor da grandeza. Por exemplo, no eixo dos volumes vamos escolher a seguinte escala: cada 1,5 cm para representar 1 cm 3. Com esta escala, marcamos, na fig. 2-1, as divisões correspondentes a 1 cm 3, 2 cm 3 etc. No eixo das massas usaremos uma escala diferente: cada 1 cm para representar 4 gramas. Observe, na fig. 2-1, as divisões correspondentes a 4 gramas, 8 gramas, 12 gramas etc. Fig. 2-1: Este gráfico representa a relação entre a massa e o volume de um pedaço de ferro. Após a escolha das escalas dos eixos, passaremos a lançar os pontos do gráfico. Cada par de valores da tabela apresentada corresponderá a um ponto do gráfico. Por exemplo: o ponto A, na fig. 2-1, foi obtido com os valores V = 1 cm 3 e M = 8 gramas; o ponto B com os valores V = 2 cm 3 e M = 16 gramas etc. Lançados os pontos A, B, C e D e verificando que eles estão alinhados, podemos uni-los por uma reta obtendo, assim, o gráfico de M em função de V. Observe que a reta passa pela origem O, isto é, quando V = 0, temos também M = 0. Isto acontecerá sempre que tivermos duas grandezas ligadas por uma proporção direta: O gráfico que representa uma grandeza variando em proporção direta com outra é uma reta passando pela origem. A declividade do gráfico - Já vimos, na equação M = KV, que a constante de proporcionalidade K é uma característica importante da proporção direta. Vejamos como podemos obter o seu valor através do gráfico da função. Na fig. 2-2, que é uma reprodução da fig. 2-1, consideremos dois pontos quaisquer como, por exemplo, os pontos A e C. O ponto A corresponde a um volume VA = 1 cm 3 e a uma massa MA = 8 gramas. Para o ponto C, temos VC = 3 cm 3 e MC = 24 gramas. Portanto, no gráfico, ao passarmos de A para C, observamos uma variação no volume e uma correspondente variação na massa. A variação no volume será representada por V (a letra grega é usada sempre, diante do símbolo de uma grandeza, para representar sua variação). Assim, V = VC VA. Do mesmo modo, M representa a variação da massa, isto é, M = MC MA. Na fig. 2-2 estão indicadas estas variações, V e M.

5 Funções e Gráficos 5 A declividade da reta é definida pela seguinte relação: declividade da reta = M V Verifica-se que, quanto maior for o quociente M/ V para uma dada reta, maior será o ângulo que ela forma com o eixo dos volumes. Justifica-se, assim, a denominação de declividade para este quociente. Por exemplo: na fig. 2-3, que mostra o gráfico M X V para o Fe e para o Hg, observamos que o gráfico do Hg apresenta maior declividade do que o gráfico do Fe. Voltando à fig. 2-2, calculemos o valor da declividade da reta. Observando, na figura, que V = VC VA = 3 cm 3 1 cm 3 ou V = 2 cm 3 M = MC MA = 24 gramas 8 gramas ou M = 16 gramas declividade da reta = M V 16 gramas 3 2 cm ou declividade da reta = 8 gramas/cm 3. Como já foi visto, a constante de proporcionalidade K, da equação M = KV, vale também K = 8 gramas/cm 3. Isto acontece todas as vezes que estivermos tratando com uma proporção direta, isto é, a declividade da reta fornece o valor da constante de proporcionalidade. Portanto, no gráfico de uma proporção direta, temos K = declividade da reta. Generalização Acabamos de estudar um exemplo de duas grandezas que variam em proporção direta: a massa e o volume. Existem muitos outros exemplos de grandezas ligadas por uma proporção direta. Consideremos duas grandezas quaisquer, que designaremos, de maneira geral, por Y e X (poderiam ser, por exemplo, a massa e o volume, ou a pressão e a temperatura de um gás, ou a distância percorrida e a velocidade de um carro etc.). Com base no que foi visto, se verificarmos que Dobrando X Y também dobra Triplicando X Y também triplica Quadruplicando X Y também quadruplica

6 podemos afirmar: Funções e Gráficos 6 1 ) Y é diretamente proporcional a X: Y X ou Y = ax, onde a representa a constante de proporcionalidade. 2 ) O gráfico Y x X é uma reta passando pela origem (fig.2-4). 3º) O Y/ X é a declividade do gráfico e seu valor é igual à constante de proporcionalidade a. Fig. 2-4: Para uma proporção direta, Y = ax, o gráfico Y x X é uma reta passando pela origem, cuja declividade é igual ao valor de a. ` Em seguida, usando os valores fornecidos na tabela acima, marcamos os três pontos indicados na figura. Unindo os três pontos, obtivemos uma reta passando pela origem, como devíamos esperar, porque no exemplo 1 já tínhamos visto que as duas grandezas estão relacionadas por uma proporção direta. b) Calcular a declividade do gráfico V x t. Inicialmente, escolheremos dois pontos quaisquer da reta, como, por exemplo, os pontos A e B mostrados na fig Pela figura obtemos

7 Funções e Gráficos 7 Observe que este é o valor da constante de proporcionalidade, já calculado no exemplo 1. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Quando uma pessoa compra um tecido (de largura constante), ela paga um preço P que depende do comprimento L adquirido. Suponha que 1 m de determinado tecido custasse Cr$ 50,00. a) Complete a tabela deste exercício com os valores de P correspondentes aos valores de L indicados. b) Quando você completou a tabela, ao duplicar o valor de L (por exemplo, de 1 m para 2 m) o valor de P duplicou? c) E ao triplicar o valor de L? d) Então, que tipo de relação existe entre P e L? 2. Considere a tabela do exercício anterior. a) Divida cada valor de P pelo correspondente valor de L. O quociente P/L varia ou é constante? b) Qual o valor da constante de proporcionalidade K entre P e L? c) Como podemos expressar matematicamente a relação entre P e L? 3. Como você sabe, o volume V de um balão de borracha é tanto maior quanto maior for o seu raio R. Medindo os valores de V e R para diversos balões, encontramos que quando R = 10 cm, temos V = 4,2 litros. quando R = 20 cm, temos V = 33,4 litros. quando R = 30 cm, temos V = 113 litros. a) Se o raio de um balão é duplicado, o seu volume duplica? b) E se o raio for triplicado, o volume triplica? c) Então, podemos dizer que V R? L (m) P (Reais) Uma sala de aula tem 8 m de comprimento e 6 m de largura. Usando uma escala em que 1 cm representa 2 m (escala 1 cm/2 m = 1:200): a) Faça um desenho que represente essa sala de aula (planta da sala). b) A partir do canto inferior esquerdo de seu desenho assinale, sobre os lados, os pontos correspondentes a cada 1 m de distância. c) Um pedaço de giz encontra-se no chão da sala, em uma posição situada às seguintes distâncias do canto inferior esquerdo: 6 m ao longo do comprimento, 4 m ao longo da largura. Assinale, em sua planta, a posição do pedaço de giz.

8 Funções e Gráficos 8 5. Nos eixos mostrados na figura deste exercício estão representados os valores de P e L fornecidos no exercício 1. a) Marque, na figura, os pontos correspondentes a cada par de valores de P e L. b) Ligue estes pontos. Qual a forma do gráfico obtido? c) Você esperava este resultado? Por quê? 6. Usando o gráfico que você construiu no exercício anterior, responda: a) Qual o preço que se deve pagar por 3,5 m do tecido? b) Quantos metros do tecido poderiam ser comprados com Cr$ 75,00? 7. Na figura deste exercício, reproduzimos o gráfico P x L e assinalamos, nele, dois pontos A e B. a) Trace, no gráfico, o segmento, L que indica a diferença entre os comprimentos correspondentes aos pontos A e B. b) Trace, também, o segmento que representa a variação AP para estes pontos. c) Quais são estes valores de L e P? d) Usando os valores obtidos em (c), calcule a declividade do gráfico. e) Compare este valor da declividade com o valor de K obtido no exercício Uma pessoa verificou que entre duas grandezas X e Y existe a seguinte relação matemática: Y = 4X. a) Podemos dizer que Y X? b) Se o valor de X passar de X = 2 para X = 10 (isto é, o valor de X foi multiplicado por 5), por qual fator será multiplicado o valor de Y? c) Qual o valor da constante de proporcionalidade a entre Y e X? d) Qual a forma do gráfico Y x X? e) Qual o valor da declividade deste gráfico? 2.2. VARIAÇÃO LINEAR Já vimos que, na proporção direta, cuja equação é Y = ax, quando X = 0 temos Y = 0 e, assim, o gráfico Y x X é uma reta que passa pela origem. Entretanto, há casos em que isto não acontece, isto é, quando X = 0 temos Y 0, como veremos no exemplo seguinte. Experiência com uma mola -- Consideremos uma mola, como a mostrada na fig. 2-6-a, cujo comprimento é de 6 cm. Dependurando em sua extremidade uma massa M, o comprimento C da mola aumenta (fig. 2-6-b). A tabela seguinte apresenta os valores de C para diversos valores de M, obtidos através de uma experiência. M (gramas) C (cm)

9 Funções e Gráficos 9 Fig. 2-6: O comprimento C de uma mola é função da massa M pendurada em sua extremidade. Usando estes dados, foi construído o gráfico da fig Observe que, quando M = 0, temos C = 6 cm e, assim, o gráfico C X M é uma reta, mas não passa pela origem. Conseqüentemente, a relação entre C e M não é uma proporção direta. Sempre que representarmos graficamente os valores de duas variáveis e obtivermos um gráfico retilíneo que não passe pela origem, diremos que as duas variáveis estão relacionadas por uma variação linear. Assim, no exemplo da mola, podemos dizer que C varia linearmente com M. Para obter a relação matemática entre C e M, basta observarmos que se a reta da fig. 2-7 tivesse todos os seus pontos deslocados 6 cm para baixo, ela iria passar pela origem. Nesta situação, a relação entre C e M seria C = 0,03 M onde 0,03 cm/grama é a declividade da reta. Como a reta da fig. 2-7 tem seus pontos situados 6 cm acima da reta que passa pela origem, é claro que os valores de C serão dados por C = 0,03 M + 6

10 Funções e Gráficos 10 Esta é, portanto, a relação matemática entre C e M. Observe que 0,03 é a declividade do gráfico C x M e a constante 6 representa o valor inicial de C, isto é, o valor de C quando M = 0. Generalização: Acabamos de apresentar um exemplo de duas grandezas ligadas por uma variação linear. De maneira geral, sempre que duas grandezas quaisquer, X e Y, estiverem relacionadas de tal modo que o gráfico Y X X seja uma reta que não passe pela origem, como na fig. 2-8, poderemos concluir que: 1 ) Y varia linearmente com X. 2 ) A relação matemática entre Y e X é Y = ax + b. 3 ) A constante a é dada pela declividade do gráfico Y x X e b representa o valor de Y quando X = 0 (fig. 2-8). Exercícios de Fixação 9. Analisando a tabela com os valores de M e C, apresentada no início desta secção, responda: a) Quando o valor da massa M pendurada na mola é duplicado (por exemplo, de 100 gramas para 200 gramas), o valor do comprimento C, da mola, duplica? b) E quando o valor de M é triplicado, C triplica? c) Então, podemos dizer que C M? 10. Observando o gráfico da fig. 2-7, responda: a) Por que podemos afirmar que C não é diretamente proporcional a M'' b) Como se denomina a função que relaciona C e M? c) Qual foi a escala usada para representar os valores de M? d) Qual foi a escala usada para representar os valores de C'? 11. No gráfico da fig. 2-7, considere o primeiro e o último pontos marcados. a) Para estes pontos, qual o valor de M? e o de C? b) A partir destes valores, calcule a declividade do gráfico. 12. Verificou-se que entre duas grandezas X e Y existe a seguinte relação matemática: Y = 3X + 4. a) Como se denomina este tipo de relação entre X e Y? b) Qual o valor de Y quando X = 0? 1 c) Se traçássemos o gráfico Y x X, qual seria sua forma? d) Em que ponto este gráfico cortaria o eixo OY? e) Qual seria o valor da declividade deste gráfico? 13. Observe o gráfico mostrado na figura deste exercício e responda: a) A relação entre as grandezas Y e X representadas é do tipo Y = ax+ b? b) Escolha dois pontos quaisquer do gráfico. Determine, para estes pontos, os valores de X e de Y e calcule a declividade do gráfico. c) Qual é o valor da constante a? e o de b? d) Escreva a relação matemática entre Y e X.

11 Funções e Gráficos VARIAÇÃO COM O QUADRADO E COM O CUBO Variação com o quadrado Você já sabe que a área A de um quadrado é dada por A = L 2, onde L é o lado do quadrado. L = 1 m A = 1 m 2 L = 2 m A = 4 m 2 Observe que, ao dobrarmos o lado L do quadrado, sua área A não foi apenas duplicada, tendo-se tornado quatro vezes maior (fig. 2-9). Então, a relação entre A e L não é uma proporção direta, pois a área está crescendo em uma proporção maior do que o lado do quadrado. Observe ainda que para L = 3 m A = 9 m 2 para L = 4 m A = 16 m 2 etc. Desta maneira, quando L é multiplicado por 2, a área A é multiplicada por 2 2 ; quando L é multiplicado por 3, a área A é multiplicada por 3 2 etc. Isto é: duplicando L A torna-se 4 vezes maior triplicando L A torna-se 9 vezes maior quadruplicando L A torna-se 16 vezes maior etc. Neste caso, dizemos que "a área A de um quadrado é proporcional ao quadrado de seu lado L" e escrevemos A L 2 Como outro exemplo de variação com o quadrado, consideremos um disco de área A e raio R. Como é do seu conhecimento, temos (fig. 2-10) A = R 2. Aqui, também, temos A R 2, pois duplicando R A torna-se 4 vezes maior triplicando R A torna-se 9 vezes maior etc. Esta variação com o quadrado é observada sempre que estivermos tratando com áreas: ao ampliarmos uma figura, isto é, ao multiplicarmos todas as suas linhas por um certo fator, verificamos que a área desta figura fica multiplicada pelo quadrado deste fator. Fig. 2-9: Quando o lado de um quadrado é duplicado, sua área torna-se 4 vezes maior.

12 Funções e Gráficos 12 Representação gráfica: Retomemos, na tabela seguinte, os valores já citados de A e L para o quadrado L (m) A(m 2 ) Com estes valores, vamos traçar o gráfico de A em função de L (gráfico A X L). Para isto, conforme mostra a fig. 2-11, traçamos os dois eixos, escolhemos as escalas e, usando os valores tabelados, marcamos os pontos A, B, C e D. Naturalmente, o gráfico deverá passar pela origem pois, quando L = 0, ternos A = 0. Como você deveria esperar, já que não se trata de uma proporção direta, ao unirmos os pontos não vamos obter uma linha reta. 0 gráfico A X L será uma curva, como mostra a fig. 2-11, curva esta que se denomina uma parábola. Se traçássemos o gráfico A X R para o disco, também obteríamos uma curva semelhante à da fig e isto aconteceria sempre que representássemos graficamente uma variação com o quadrado. Em todos os casos, a curva obtida seria sempre uma parábola. Generalização: Além dos exemplos citados, existem vários outros casos em que uma grandeza varia com o quadrado de outra. Designemos, de maneira geral, estas grandezas por Y e X. Se verificarmos que duplicando X Y torna-se 4 vezes maior triplicando X Y torna-se 9 vezes maior quadruplicando X Y torna-se 16 vezes maior etc poderemos afirmar que 1º) Y é proporcional ao quadrado de X: Y X 2 2 ) Y = ax 2, onde a é a constante de proporcionalidade entre Y e X 2. 3º) O gráfico Y x X é uma parábola, como na fig Variação com o cubo - Existem casos em que duas grandezas, X e Y, estão relacionadas de tal modo que duplicando X Y torna-se 8 vezes maior triplicando X Y torna-se 27 vezes maior quadruplicando X Y torna-se 64 vezes maior etc. Observe que, neste caso, Y está crescendo em uma proporção maior do que na variação com o quadrado, isto é, quando X é multiplicado por um fator, Y é multiplicado pelo cubo deste fator (note que 8 = 2 3 ; 27 = 3 3 ; 64 = 4 3 etc.). Fig. 2-11: Este gráfico mostra como a área, A, de um quadrado varia ao variarmos o seu lado L. Fig. 2-12: Quando Y é proporcional ao quadrado de X temos Y - ax2 e o gráfico Y x X é uma curva, denominada parábola. Fig. 2-13: Quando as arestas de um cubo são duplicadas, o seu volume torna-se 8 vezes maior.

13 Funções e Gráficos 13 Quando isto acontece, dizemos que Y é proporcional ao cubo de X", e escrevemos Y X 3 ou Y = ax 3 onde a é a constante de proporcionalidade entre Y e X 3. Exemplo 1 - Consideremos um cubo de aresta L e volume (fig a). Como você sabe, o volume do cubo é dado por V = L 3 Esta relação nos mostra que o volume V é proporcional ao cubo da aresta L. Portanto, quando duplicamos a aresta L de uma caixa dágua cúbica, por exemplo, o volume desta caixa torna-se 8 vezes maior (fig b). Se construirmos o gráfico de Y em função de L, obteremos a curva mostrada na fig Esta curva é semelhante ao gráfico da variação com o quadrado (fig. 2-12), mas deve-se observar que ela não é uma parábola, pois apresenta uma declividade mais pronunciada, à medida que L cresce. Exemplo 2 - Outro exemplo de variação com o cubo é encontrado na relação entre o volume V de uma esfera e o seu raio R. Conforme você sabe, temos 4 V R 3 3 Sendo (4/3) uma constante, vemos que Y R 3. Logo duplicando R V torna-se 8 vezes maior triplicando R V torna-se 27 vezes maior etc. Esta variação com o cubo é observada sempre que estivermos tratando com volumes: ao ampliarmos um corpo, isto é, ao multiplicarmos todas as suas linhas por um certo fator, verificamos que o volume deste corpo fica multiplicado pelo cubo deste fator. Fig. 2-14: Este gráfico mostra como o volume de um cubo varia ao aumentarmos a sua aresta. Exercícios de Fixarão EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 14) a) Complete a tabela deste exercício com os valores das áreas dos quadrados cujos lados são indicados na tabela. b) Duplicando L (por exemplo, de 2 m para 4 m), por qual fator fica multiplicada a área A? c) E triplicando L (por exemplo, de 2 m para 6 m), quantas vezes maior torna-se a área A? d) Que tipo de relação existe entre A e L? L (m) A(m 2 )

14 Funções e Gráficos a) Se duplicarmos o raio de um disco, quantas vezes maior torna-se sua área? b) Então, se a área de um disco é 30 cm 2, qual será a área de outro disco de raio duas vezes maior? 16. A relação matemática entre duas grandezas X e Y é Y = 2 X 2. a) Qual o valor da constante de proporcionalidade a entre Y e X 2? b) Se o valor de X for multiplicado por 5, quantas vezes maior torna-se o valor de Y? 17 a) Considerando a relação matemática do exercício anterior, complete a tabela deste exercício. b) Usando os eixos mostrados na figura deste exercício e os valores da tabela, construa o gráfico Y x X. c) Como se denomina a curva que você obteve? 18. a) Que tipo de relação existe entre o volume V de uma esfera e seu raio R? b) Se triplicarmos o raio de uma esfera, quantas vezes maior torna-se o seu volume? c) Então, se uma esfera tem um volume igual a 5,0 cm3, qual será o volume de outra esfera de raio três vezes maior? 19) Suponha que entre duas grandezas X e Y exista a seguinte relação matemática: Y = 0,1 X 3. a) Se o valor de X for multiplicado por um certo número, por qual fator ficará multiplicado o valor de Y. b) Considerando esta equação, complete a tabela deste exercício. c) Com os valores desta tabela, construa o gráfico Y x X nos eixos mostrados na figur d) A curva que você obteve é uma parábola? 2.4. RELAÇÕES INVERSAS No estudo da proporção direta, da variação com o quadrado e da variação com o cubo, vimos que a grandeza Y aumenta à medida que X aumenta. Entretanto, há casos de relações entre duas variáveis em que o aumento de uma acarreta a redução da outra. Em outras palavras, quando X aumenta, Y diminui. Vamos estudar duas situações em que isto ocorre. Proporção inversa: Consideremos duas grandezas, X e Y, tais que duplicando X Y fica dividido por 2 triplicando X Y fica dividido por 3 quadruplicando X Y fica dividido por 4 etc. Quando isto ocorre, dizemos que "Y é inversamente proporcional a X" ou "Y é proporcional ao inverso de X".

15 Podemos, portanto, escrever y Funções e Gráficos 15 1 x e, introduzindo a constante de proporcionalidade a, temos a y x Exemplo 1 - Suponhamos que uma pessoa, em um automóvel, faça uma viagem entre duas cidades, distanciadas de 180 km. Seja a velocidade do carro e Y o tempo gasto na viagem. É fácil concluir que se X = 30 km/h Y = 6 h se X = 60 km/h Y = 3 h se X = 90 km/h Y = 2 h etc. Vemos que, duplicando X, o valor de Y ficou reduzido à metade; triplicando X, o valor de Y ficou dividido por 3 etc. Portanto, podemos dizer que "o tempo de viagem entre duas cidades é inversamente proporcional à velocidade desenvolvida". Se construirmos o gráfico Y x X com os dados apresentados, obteremos a curva da fig Sempre que representarmos graficamente a relação Y = a/x, encontraremos uma curva deste tipo, que se denomina hipérbole. Variação com o inverso do quadrado - Vejamos, agora, uma situação em que, quando X aumenta, Y diminui em uma proporção maior do que o caso estudado no item anterior. duplicando X Y torna-se 4 vezes menor triplicando X Y torna-se 9 vezes menor quadruplicando X Y torna-se 16 vezes menor etc. Quando isto ocorre dizemos que "Y é inversamente proporcional ao quadrado de X " ou "Y é proporcional ao inverso do quadrado de X" Podemos, portanto, escrever: 2 y 1/x, a y x e, introduzindo a constante de proporcionalidade a, vem 2

16 Exemplo 2 - Suponhamos uma pequena lâmpada enviando luz em todas as direções. Interceptando o feixe luminoso, por meio de uma folha de papel, colocada a uma certa distância d da lâmpada, teremos, sobre a folha, uma certa intensidade luminosa I (fig. 2-16). Esta intensidade luminosa pode ser medida por meio de um fotômetro. Afastando a folha da lâmpada, observamos uma diminuição na intensidade luminosa, que é acusada pelo fotômetro. Em uma experiência, colocando a folha de papel a diversas distâncias, d, da lâmpada, obtivemos, no fotômetro, para cada posição, as leituras seguintes: para d = 10 cm I = 72 para d = 20 cm I = 18 para d = 30 cm I = 8 para d = 40 cm I = 4,5 etc. Observando esta tabela, verificamos que duplicando d I fica dividido por 4 triplicando d I fica dividido por 9 quadruplicando d I fica dividido por 16 etc. Funções e Gráficos 16 Portanto, concluímos que a intensidade luminosa sobre a folha é inversamente proporcional ao quadrado de sua distância à lâmpada e podemos escrever: a y 2 d Se construirmos o gráfico I x d, obteremos a curva da fig. 2-17, que é semelhante à hipérbole (fig. 2-15). Entretanto, na hipérbole (proporção inversa), o número pelo qual X é multiplicado é igual ao número pelo qual Y é dividido, enquanto que, na variação com o inverso do quadrado (fig. 2-17), os valores de Y diminuem numa proporção maior do que na proporção inversa. Existem muitas outras relações entre duas grandezas, além dessas que apresentamos neste capítulo. O que foi visto, entretanto, será suficiente para que você tenha condições de analisar e entender praticamente a totalidade dos fenômenos físicos que serão estudados em nosso curso. Fig. 2-17: Este gráfico foi construído com os valores de / e d obtidos ao deslocarmos o anteparo mostrado na fig

17 20. Observando a tabela deste exercício, responda: Funções e Gráficos 17 Exercícios de Fixação a) Quando o valor de X é duplicado (de X = 1 para X = 2), por quanto fica dividido o valor de Y? b) E quando o valor de X é triplicado, o que acontece com o valor de Y? c) Então, que tipo de relação existe entre Y e X? d) Baseando-se na resposta dada ecn (c), complete a tabela. 21. a) Com os dados da tabela do exercício anterior, construa o gráfico Y x X, usando os eixos mostrados na figura deste exercício. b) Como se denomina a curva que você obteve? Sabe-se que entre duas grandezas X e Y existe a seguinte relação matemática: y 2 x a) Considerando esta relação, construa uma tabela para os valores de x = 2, x = 4 e x = 6 b) Quando o valor de X é duplicado (de X = 2 para X = 4), por quanto fica dividido Y? c) E quando o valor de X é triplicado, o que acontece com o valor de Y? d) Que tipo de relação existe entre Y e X? e) Se construíssemos o gráfico Y x X, obteríamos uma hipérbole? REVISÃO 1. O que significa dizer que uma grandeza é função de outra? Dê exemplos. 2. Suponha que duas grandezas, X e Y, estejam relacionadas de tal modo que, quando o valor de X é multiplicado por um número N, o valor de Y também torna-se N vezes maior. a) Que tipo de relação existe entre Y e X? b) Como se expressa matematicamente esta relação? c) À medida que Y e X variam, o que acontece com o quociente Y/X? d) Como se denomina este quociente? e) Cite pelo menos um exemplo de duas grandezas que se relacionam desta maneira. 3. Entre duas grandezas X e Y existe a relação Y = ax. a) Faça um desenho mostrando (qualitativamente) como é o gráfico Y x X. b) Usando o gráfico, descreva como você deve proceder para calcular a sua declividade. Como você obtém o valor da constante de proporcionalidade a partir do gráfico? 4. a) Uma grandeza Y varia linearmente com outra grandeza X. Como se expressa matematicamente a relação entre elas? b) Como é o gráfico Y x X? c) Como se determina, através do gráfico, os valores das constantes que aparecem na relação matemática entre Y e X? d) Cite pelo menos um exemplo de duas grandezas que se relacionam desta maneira.

18 5. Duas grandezas, X e Y, estão relacionadas pela equação Y = ax 2. Funções e Gráficos 18 a) Como se denomina este tipo de relação? b) Quando o valor de X é multiplicado por um número N, o que acontece com o valor de Y? c) Faça um desenho mostrando o aspecto do gráfico Y x X. d) Cite pelo menos um exemplo de duas grandezas que se relacionam desta maneira. 6. Duas grandezas, X e Y, estão relacionadas pela equação Y = ax 3. a) Como se denomina este tipo de relação? b) Quando o valor de X é multiplicado por um número N, o que acontece com o valor de Y? c) Faça um desenho mostrando o aspecto do gráfico Y x X. d) Cite pelo menos um exemplo de duas grandezas que se relacionam desta maneira. 7. Duas grandezas, X e Y, estão relacionadas pela equação Y = a/x. a) Como se denomina este tipo de relação? b) Quando o valor de X é multiplicado por um número N, o que acontece com o valor de Y? c) Faça um desenho mostrando o aspecto do gráfico Y x X. d) Cite pelo menos um exemplo de duas grandezas que se relacionam desta maneira. 8. Duas grandezas, X e Y, estão relacionadas pela equação Y = a/x 2. a) Como se denomina este tipo de relação? b) Quando o valor de X é multiplicado por um número N, o que acontece com o valor de Y? c) Faça um desenho mostrando o aspecto do gráfico Y x X. d) Cite pelo menos um exemplo de duas grandezas que se relacionam desta maneira. PROBLEMAS E TESTES 1. A tabela deste problema apresenta distâncias percorridas por um automóvel e o consumo de gasolina correspondente a cada distância. a) Usando os valores tabelados, construa o gráfico d x V. b) Que tipo de relação existe entre d e V? c) Calcule a declividade do gráfico. d) Interprete o significado desta declividade. 2. A figura deste problema mostra a distância percorrida, d, em função do consumo de gasolina, V, para dois carros A e B. Baseando-se em sua resposta à questão (d) do problema anterior, responda: qual é o carro mais econômico? 3. Você sabe que o comprimento, C, de uma circunferência de raio R é dado por C = 2 R. a) Que tipo de relação existe entre C e R? b) Como seria o gráfico C x R? c) Qual o valor da declividade deste gráfico?

19 Funções e Gráficos Assinale, entre as afirmações seguintes, aquelas que correspondem a uma relação de proporção direta entre duas grandezas Y e X. a) Multiplicando X por um fator, Y fica multiplicado por este mesmo fator. b) O produto X Y permanece constante. c) O gráfico Y x X é uma reta passando pela origem. d) À medida que X cresce, Y diminui: e) O quociente Y/X permanece constante. 5. Considere o gráfico Y x X mostrado na figura deste exercício. a) Usando os pontos B e C, calcule a declividade deste gráfico. b) Repita o cálculo da declividade usando, agora, outros pontos (A e D, por exemplo). c) Compare as respostas de (a) e (b) e tire uma conclusão. 6. Em uma corrida de táxi, deve-se pagar Cr$ 10,00 de "bandeirada" e Cr$ 4,00 por quilômetro rodado. Seja d a distância percorrida por um táxi e P o preço a ser pago pela corrida. a) Complete a tabela deste problema. b) Usando os valores desta tabela, construa o gráfico P x d. c) Através do gráfico, determine o preço de uma corrida de 3,5 km. d) Qual é o tipo de relação entre P e d? e) Escreva a expressão matemática que relaciona P e d. 7. Considere duas grandezas X e Y tais que o valor de Y permaneça constante enquanto o valor de X aumenta. Faça um desenho mostrando o aspecto do gráfico Y x X. 8. Um carpinteiro fabrica discos de madeira com diâmetros de 10 cm e de 20 cm, ambos com a mesma espessura. Sendo R$ 10,00 o preço do disco menor, quanto deve custar cada disco maior? D (Km) Preço (R$) Um corpo, abandonado de uma certa altura, após ter caído durante um tempo t, percorre uma distância d. A tabela deste problema mostra valores de t e d obtidos em uma experiência. Analise a tabela e escolha, entre as opções seguintes, aquela que expressa cozjretamente a relação entre d e t. a) d t b) d varia linearmente com t c) d t 2 d) d t 3 e) d 1/t 2 t (s) d (m)

20 Funções e Gráficos Suponha que a caixa d água de uma residência seja cúbica e tenha um volume de litros. Se esta caixa for substituída por outra, também cúbica, de aresta três vezes menor, então: a) Quantas vezes menor seria o volume da nova caixa? b) Quantos litros d água poderiam ser armazenados na nova caixa? 11. Um medicamento deve ser ministrado a um doente em doses de 8 gotas de cada vez, usando-se um determinado conta-gotas. Não se dispondo deste conta-gotas, usou-se outro que fornecia gotas de diâmetro duas vezes maior. Neste caso, quantas gotas deveriam ser ministradas ao doente? 12. Sabe-se que o volume de um gás, mantido a temperatura constante, é inversamente proporcional à pressão exercida sobre ele. Considere, então, 100 cm 3 de um gás, sob uma dada pressão. Mantendo-se constante sua temperatura e fazendo-se com que a pressão sobre o gás torne-se quatro vezes maior, qual será o volume que ele ocupará? 13. Duas grandezas, X e Y, variam de tal modo que o seu produto permanece constante. Assinale, entre as opções seguintes, aquela que descreve corretamente a relação entre estas duas grandezas: a) Y é diretamente proporcional a X. b) Y varia linearmente com X. c) Y é proporcional ao quadrado de X. d) Y é inversamente proporcional a X. e) Y é inversamente proporcional ao quadrado de X. 14. Experiências mostram que a força de atração entre um ímã e um pequeno prego é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. Suponha que um ímã, situado a 2,0 cm de um prego, exerça sobre ele uma força de atração de 27 unidades. Qual será o valor desta força se a distância entre o prego e o ímã for aumentada para 6,0 cm? 15. Uma pessoa, fazendo medidas em um laboratório, verificou que uma certa grandeza F é função de três outras grandezas m, R e T.Suas medidas lhe permitiram construir os gráficos mostrados na figura deste problema. Observando estes gráficos, assinale, entre as relações seguintes, aquela que poderá descrever corretamente o resultado dessas experiências.

21 16. Escreva a relação matemática entre Y e X para o gráfico (a) da figura deste problema. Faça o mesmo para o gráfico (b). Funções e Gráficos Ao adquirir um terreno plano, uma pessoa examina um desenho (uma planta) deste terreno, construído na escala de 100:1. a) Qual é a distância entre dois pontos do terreno que corresponde, no desenho, a uma distância de 0,20 m? b) Qual é a área do terreno, sabendo-se que a área do desenho é de 0,20 m 2? 18. O alcance A de uma estação de TV está relacionado com a altura h da antena da emissora por uma equação cuja forma aproximada é: (m) A (m) 3 h 4 10 h (com A e h medidos em metros) a) Quando a altura de uma antena é duplicada, quantas vezes maior torna-se o alcance da emissora? b) Quantas vezes mais alta devia ser a antena para que o alcance da emissora fosse duplicado? c) Usando a relação matemática entre A e h, complete a tabela deste problema e construa o gráfico A x h (observe que, assim, você construiu o gráfico de uma grandeza que varia proporcionalmente à raiz quadrada de outra grandeza). 19. Um menino sai de sua casa, caminha ao longo da rua até uma confeitaria onde toma um refrigerante e, em seguida, retorna à sua residência. Na figura deste exercício, t representa o tempo decorrido desde o instante em que ele saiu de casa e d a distância do menino àsua residência em cada instante. Procure interpretar este gráfico que descreve o movimento do menino e responda: a) Qual a distância da casa do menino à confeitaria e quanto tempo ele gasta para chegar até lá? b) Quanto tempo ele permanece na confeitaria? c) Quanto tempo ele gastou para fazer a caminhada de volta?

22 Funções e Gráficos Em Congonhas do Campo (MG), onde se encontram as célebres estátuas dos profetas, esculpidas pelo Aleijadinho, os artistas modernos reproduzem miniaturas destas obras com o mesmo tipo de pedra-sabão usada pelo famoso artista. Uma destas miniaturas, com 20 cm de altura, pesa cerca de 2 quilos. Sabendo-se que a estátua original tem 2 metros de altura, qual deve ser, aproximadamente, o peso desta estátua? 21. Considere uma pessoa com 1,80 m de altura, pesando 80 quilos, capaz de transportar em suas costas, no máximo uma carga de 100 quilos, a) Se todas as dimensões lineares dessa pessoa fossem multiplicadas por dois, qual a carga máxima que esse gigante seria capaz de transportar? b) Até que altura máxima seria possível ampliar essa pessoa, sem que o gigantes assim obtido desabasse sob a ação de seu próprio peso? 22. O grande físico italiano, Galileu Galilei, no século XVII. interessou-se pelo estudo dos efeitos acarretados por alterações nas dimensões dos objetos, como vimos na secção 2.5 (Mudança de Escalas). Em uni de seus trabalhos, Gaiileu imaginou dois animais semelhantes, tais que um deles tivesse suas dimensões lineares três vezes maiores do que as do outro. Analisando essa mudança de escalas, ele concluiu que o animal maior deveria ter os diâmetros de seus ossos nove vezes maior do que os do animal menor, para que ambos tivessem a mesma agilidade. Há um engano na conclusão de Galileu. Por quê'' 23. Um problema experimental - A tabela deste problema apresenta as massas de diversos conjuntos de moedas. Todas elas são iguais. a) Construa o gráfico massa (m) X número de moedas (N), abandonando alguma medida duvidosa. b) Esse gráfico deve passar pela origem? Por quê? c) Usando o gráfico, determine a massa de 20 moedas. d) Quantas moedas terão uma massa total de 127 gramas? (Use o gráfico) e) Determine a declividade do gráfico. O que ela representa? f) Escreva a relação matemática entre m e N. Nº de moedas m (g) QUESTÕES DE VESTIBULAR 1. Suponha que uma pessoa lhe diga que uma grandeza Y é diretamente proporcional a outra grandeza X. As opções seguintes apresentam conclusões que você poderá tirar desta informação. Assinale aquela que está errada: a) Duplicando X, o valor de Y duplica. b) O gráfico Y x X é uma reta passando pela origem. c) O quociente Y/X é constante. d) A relação entre Y e X é da forma Y = ax. e) Os valores de Y são sempre iguais aos valores de X.

23 Funções e Gráficos Seja L o comprimento de uma mola suspensa verticalmente e M o valor de uma massa pendurada em sua extremidade. A tabela seguinte mostra valores de!_ e M obtidos em uma experiência: M (kg) 0,50 1,0 1,5 2,0 L (cm) Todas as conclusões seguintes são corretas, exceto: a) L varia linearmente com M. b) O gráfico L x M é retilíneo. c) A declividade do gráfico L x M vale 4,0 cm/kg. d) A relação matemática entre L e M é L = 4,0 M e) Quando M = 0, devemos ter L = Duas grandezas físicas estão relacionadas de acordo com a seguinte expressão: y = 7,2 + 3,1x. Dos gráficos cartesianos seguintes, o que melhor representa esta relação é: 4. Para se esgotar uma piscina, usa-se uma bomba de sucção que a esvazia com vazão constante. Qual dos gráficos abaixo melhor representa a massa de água na piscina (mp) em função da massa de água que é esgotada (m e )?

24 Funções e Gráficos Em uma experiência, a interdependência entre três grandezas X, Y e Z foi pesquisada da seguinte maneira: arbitraram-se valores para Y e os valores correspondentes de X foram medidos, obtendo-se o gráfico (1). A seguir, atribuindo-se valores arbitrários a Z, mediram-se os valores correspondentes de Y, obtendo-se o gráfico (2). Quando Z vale 1,5 o valor de X será: a) 11 b) 13 c) 17 d) 18 e) Diferente dos valores apresentados nas alternativas anteriores. 6. Durante um período de 30 dias, registra-se a diferença (T, - TZ) entre as horas indicadas por dois relógios 1 e 2. Os resultados estão indicados no gráfico cartesiano ao lado. Em relação a este período de 30 dias, qual das seguintes alternativas é correta, conforme os dados do gráfico? a) Ao final dos 30 dias, um relógio estava 4 minutos adiantado em relação ao outro. b) Durante os 30 dias, o maior atraso de um relógio em relação ao outro foi de 1 minuto. c) Um dos relógios sempre ficou adiantado ou simultâneo em relação ao outro. d) Pelo menos três vezes os relógios indicaram horas iguais. e) Durante aproximadamente uma semana, um dos relógios ficou adiantado em relação ao outro. 7. Uma pizza, cujo raio é de 20 cm, custa Cr$ 80,00. Então, outra pizza, de 40 cm de raio (e de mesma espessura que a primeira) deverá custar: a) Cr$ 160,00 b) Cr$ 320,00 c) Cr$ 120,00 d) Cr$ 40,00 e) Cr$ 20,00 8. Seja u a área de cada face de um cubo. A área total A do cubo é a soma das áreas de cada face. Se ampliarmos 3 vezes todas as dimensões lineares do cubo, teremos: a) a aumenta 3 vezes e A também. b) a aumenta 9 vezes e A aumenta 54 vezes. c) u aumenta 9 vezes e A também. d) a aumenta 9 vezes e A aumenta 6 vezes.

25 Funções e Gráficos Numa experiência de laboratório foi obtida a tabela abaixo. Analisando esta tabela você pode concluir que: X 2,00 4,00 6,00 8,00 10,0 a) X é proporcional a Y b) A razão X/ Y é constante. c) Y = 2,5 X. d) Y é inversamente proporcional a X. e) Y é inversamente proporcional a XZ. Y 5,00 2,50 1,67 1,25 1, Uma lata está completamente cheia d'água. Fazendo-se um orificio, cujo diâmetro é d, no fundo da lata, decorre um tempo t para que a lata se esvazie totalmente. Verifica-se que t é inversamente proporcional ao quadrado de d. Então, se com um orificio de diâmetro d = 0,50 cm uma lata se esvazia em um tempo t = 200 s, com um orifício de diâmetro d = 1,0 cm está lata se esvaziará em: a) 100 s b) 75 s c) 50 s d) 25 s e) 10 s 11. Você vê uma fonte luminosa situada a uma distância de 1,8 x 10 m de seus olhos, cerca de 10 4 vezes mais brilhante do que outra fonte idêntica a ela. Isto significa que a segunda está distante de você cerca de: a) 1,8 x 10 3 m b) 1,8 x 10 5 m c) 10 5 m d) 1,8 x 10 2 m e) 10 3 m 12. Se uma pessoa tivesse suas dimensões lineares aumentadas 5 vezes, o quociente P/R (P = peso, R = resistência dos ossos) para esta pessoa seria: a) Diminuído 5 vezes. b) Diminuído 25 vezes. c) Aumentado 25 vezes. d) Aumentado 5 vezes. e) Aumentado 125 vezes. 13. Uma coluna, cuja área de secção reta vale (10 x 10) cm 2, é capaz de sustentar, no máximo, uma caixa d'água cúbica de 2,0 m de aresta. Para que esta coluna conseguisse suportar uma caixa d'água de 4,0 m de aresta, a área de sua secção reta deveria valer, no mínimo ( em cm 2 ): a) (40 x 40) b) (20 x 20) c) (10 x 20) d) (40 x 20) e) (40 x 30) 14. Uma pilastra de seção reta quadrada sustenta exatamente uma caixa cheia de água de 0,50 m x 0,50 m x 0,50 m. Se trocarmos a caixa por uma outra que tenha o dobro de suas dimensões lineares, igualmente cheia de água, devemos: a) Dobrar todas as dimensões lineares da pilastra para que ela continue a sustentar a nova caixa. b) Dobrar apenas as dimensões da seção reta da pilastra, não importando a altura que a nova pilastra possa ter. c) Dobrar a área da seção reta da pilastra, não importando a altura que a nova pilastra possa ter. d) Devemos aumentar de oito vezes a área da nova pilastra, ainda que conservemos a mesma altura para a nova pilastra. e) Devemos construir a nova pilastra com uma seção reta quadrada de ' 8 m, conservando a mesma altura.

26 Funções e Gráficos 26

27 Funções e Gráficos 27

28 Funções e Gráficos 28

29 Funções e Gráficos 29 Revisão sobre como construir gráficos Eixo vertical x eixo horizontal Unidades Escalas vertical e horizontal Linhas-guia Razão de proporção nas relações diretamente proporcionais

30 Funções e Gráficos 30 Uma característica importante das relações diretamente proporcionais, é que a razão entre o valor de uma grandeza, e o respectivo valor da outra grandeza, fornece sempre o mesmo valor constante. Exemplo: 30 m 60 m 90 m 120 m m 30 1 s 2 s 3 s 4 s s Vemos que a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto fornece um valor constante, que é o valor da velocidade do corpo. Declividade de um gráfico Usar o gráfico traçado na seção e pegar dois pontos quaisquer, mostrando os valores que eles representam. Definição: A declividade entre dois pontos de um gráfico é dada pela razão entre a variação dos valores no eixo Y e os valores dos respectivos pontos no eixo X. Essa variação é representada pela letra grega delta ( ), que significa variação. Y Declividade X Declividade comparativa Declividade de A: d 75 Km Km 15 t 5 h h Declividade de B: d 30 Km Km 6 t 5 h h Quanto mais próximo da vertical, maior a declividade. No caso do exemplo acima, os corpos A e B percorreram distâncias diferentes no mesmo intervalo de tempo. O cálculo dessa declividade revelou uma unidade muito usada em nosso dia-adia, o Km/h, que é uma unidade de velocidade. Concluímos, então, que em um gráfico d t, quanto maior a declividade, maior a velocidade.

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