Matemática Experimental

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1 Matemática Experimental Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação 1 o Semestre de 2011/2012 Professor responsável: Juha Videman ( videman@math.ist.utl.pt)

2 0. Introdução Matemática Experimental é uma área de matemática que utiliza ferramentas computacionais para estudar, de forma exploratória, conceitos matemáticos. Tem sido útil para identificar aspectos que devem ser melhor estudados; explorar esses aspectos através de exemplos, gráficos, etc.; descobrir padrões e relações que permitam formular hipóteses acerca do problema em estudo; explicar esses padrões utilizando ferramentas computacionais; ajudar provar ou desprovar teorias e conjecturas; proporcionar uma abordagem mais intuitiva das demonstrações; confirmar resultados anaĺıticos através de cálculo simbólico.

3 Exemplo: Teorema das quatro cores Dado um mapa plano, dividido em regiões, não são necessárias mais de quatro cores para colori-lo de forma a que regiões vizinhas não partilhem a mesma cor. O teorema foi conjecturado por Francis Guthrie em 1852 e demonstrado pela primeira vez em 1976 por Kenneth Appel e Wolfgang Haken da Universidade de Illinois com a ajuda de um computador IBM360. Apple e Haken conseguiram reduzir o número de possíveis mapas a 1936 configurações que tinham que ser verificadas uma a uma. Em 2004 Benjamin Gonthier e Georges Werner mostraram o resultado recorrendo ao sistema Coq de demonstrações assistidas por computador. Francis Guthrie ( ), um matemático e botanista sulafricano

4 Contraexemplo? (Gardner, 1975) MathWorld é uma enciclopédia online de matemática criada por Eric Weisstein e financiada por Wolfram Research Inc

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6 WolframAlpha é um mecanismo de conhecimento computacional desenvolvido pela Wolfram Research

7 Ver a demonstração Mondrian Four-Coloring Piet Mondrian ( ), um pintor modernista holândes

8 Exemplo: Conjectura de Kepler Qual a disposição que permita colocar o maior número de esferas no menor espaço possível? Conjectura de Kepler (1611) : é empilhá-las em pirâmide como se empilham as laranjas, um empilhamento conhecido como cúbico de face centrada (CFC). Neste caso a densidade média, isto é, a razão entre os espaços ocupado e não ocupado pelas esferas é π Johannes Kepler ( ), um matemático e astrónomo alemão

9 Em 1831, Carl Friedrich Gauss ( ) mostrou que o arranjo CFC é o mais denso dos arranjos regulares. No entanto, a eliminação dos possíveis arranjos irregulares tornou-se num problema complicado. O problema fez parte da lista de 23 problemas em aberto propostos pelo matemático alemão David Hilbert ( ) no Congresso Internacional de Matemáticos em Paris em 1900.

10 Em 1992, Thomas Hales da Universidade de Michigan afirmou que a densidade máxima de todos os arranjos podia ser determinada através de minimização de uma função com 150 variáveis. Hales completou a sua demonstração em 1998, apresentando 250 páginas de notas e 3 GB de código, dados e resultados. A demonstração foi publicada nos Annals of Mathematics, 162, (2005), depois de ter sido considerada 99% correcta pelos referees. Ver também o artigo In Math, Computers Don t Lie. Or Do They?, NYT, April 6, in-math-computers-don-t-lie-or-do-they.html

11 Exemplo: Problema dos 36 oficiais Considere seis regimentos, cada um com seis oficiais e todos eles de postos diferentes. É possível alinhar os 36 oficiais numa formação quadrada (seis linhas e seis colunas) de tal modo que cada linha e cada coluna contenha exactamente um oficial de cada patente e de cada regimento? Leonhard Euler ( ) propôs este problema em 1782 e conjecturou que ele não tem solução. Em 1901, Terry confirmou o resultado (sem ajuda de computador).

12 Um quadrado latino de ordem n é uma matriz n n preenchida com n diferentes símbolos de tal modo que cada símbolo ocorre apenas uma vez em cada linha e coluna. Dois quadrados latinos dizem-se ortogonais se os pares de símbolos formados pelas entradas de cada quadrado na mesma linha e na mesma coluna aparecem sem repetição.

13 Um quadrado latino ortogonal diz-se também quadrado greco-latino ou quadrado de Euler. Por exemplo, um quadrado greco-latino de ordem 3: A solução para o problema dos 36 oficiais teria sido um quadrado greco-latino de ordem 6 com os pares (patente, regimento).

14 A conjectura de Euler sobre quadrados greco-latinos dizia na sua forma mais geral que eles não existem quando n = 4k + 2, k = 1, 2,..., isto é, para n = 6, 10, 14,.... Em , Parker, Bose, e Shrikhande mostararam que a conjectura de Euler é falsa para todo o n 10, ou seja, existem quadrados greco-latinos de todas as ordens n 3 excepto quando n = 6. Foi um dos primeiros problemas de combinatória resolvidos pelo computador. Exercício: Construir os quadrados greco-latinos de ordem 2 e 4.

15 O puzzle Sudoku é um quadrado latino de ordem 9, dividido em nove blocos 3 3, com a restrição adicional de que os números 1 a 9 ocorrem apenas uma vez em cada bloco 3 3. O número de soluções válidas de Sudoku para uma grade 9 9 é (Felgenhauer, 2005). Qual o número mínimo de casas pré-preenchidas para que o jogo tenha apenas uma solução? É um problema em aberto o número mínimo conhecido até hoje é 17.

16 Um exemplo de um Sudoku com 16 casas preenchidas com apenas duas soluções.

17 1. Noção de algoritmo problema modelo matemático algoritmo código Mathematica

18 Abū Abdallāh ibn al-khwārizmi (c ) foi um matemático e astrônomo persa. A palavra Álgebra é derivada de al-jabr, uma das duas operações que al Khawarizmi usou para resolver equações quadráticas. As palavras algarismo e algoritmo vêm de algoritmi, a forma latina de escrever o seu nome. Na sua obra Sobre a Arte Hindu de Calcular (Algoritmi de Numero Indorum), al Khawarizmi introduziu o sistema de numeração hindu, isto é, os algarismos indo-arábicos, no mundo islâmico e ocidental.

19 Algoritmo é uma sequência finita de instruções bem definidas para resolver um problema. Um bom algoritmo deve satisfazer os seguintes critérios: os dados de entrada (input) pertencem a um conjunto bem definido; para qualquer valor (admissível) do input, o algoritmo produz a resposta correcta para o problema; cada instrução é precisa e realizável; o algoritmo termina em tempo finito.

20 Instruções fundamentais para escrever um algoritmo: atribuições x = Range[5]; z = Reverse[x] testes de variáveis If[OddQ[x[[i]]], z[[i]] = z[[i]]+x[[i]], z[[i]] = 0] While[b!= 0, {a, b} = {b, Mod[a, b]}] ciclos Do[Print[x[[i]]],{i,1,5}] For[i = 1, i <= 5, i++, Print[x[[i]]]]

21 Na fase de concepção, o algoritmo é descrito em linguagem corrente ou pseudocódigo para ser posteriormente traduzido, na fase de implementação, para linguagem de programação. Em pseudocódigo: x {1, 2, 3, 4, 5}; If x(i) is odd then z(i) z(i) + x(i) else z(i) 0; While b 0 do { a b; b a (mod b); For i 0 to 5 do Print x(i);

22 As construções If, Do e While do Mathematica: If[condition,t,f ] gives t if condition evaluates to True, and f if it evaluates to False. Do[expr, {i, imin, imax, di}] evaluates expr with i taking on the values imin through imax in steps of di. While[test,body ] evaluates test, then body, repetitively, until test fails to give True.

23 Principais operadores lógicos: p not (also input as p) p&&q&& and (also input as p q ) p q or (also input as p q ) Xor p,q, exclusive or (also input as p q ) Nand p,q, and Nor p,q, nand and nor (also input as and )

24 Principais operadores relacionais: x==y equal (also input as x == y) x!=y unequal (also input as x y) x>y greater than x>=y greater than or equal to (also input as x y) x<y less than x<=y less than or equal to (also input as x y)

25 Exemplo: Determinar o maior número de uma lista de inteiros Algoritmo em linguagem corrente: Input: x = {x 1, x 2,..., x n }, com x i Z e n N. 1. Seja t = x 1 o máximo temporário e seja i = 2 o índice do elemento da lista a ser testado. 2. Compare t com x i, se x i > t então faça t = x i. 3. Seja i = i + 1. Se houver mais elementos repita o passo Pare quando o último elemento da lista tiver sido testado.

26 Algoritmo em pseudocódigo: maximo[x : x é lista de inteiros] t x 1 ; ( o máximo temporário ) k cardinal de x; ( a lista x tem k elementos ) i 2; ( a posição do elemento a ser testado ) while i k do output : t if x i > t then t x i ; i i + 1;

27 Algoritmo em código Mathematica: maximo x_list : programação imperativa Module t, k, i, t x 1 ; k Length x ; i 2; While i k, If x i t, t x i ; i i 1 ; t

28 Teste: In[33]:= maximo 1, 2, 3, 10, 0, 0, 1 maximo 1.2, 1 6, 0, 1 maximo maximo 1 maximo v, b, a, s Out[33]= 3 Out[34]= 1.2 Part::partw : Part 1 of does not exist. Out[35]= Out[36]= Out[37]= 1 maximo 1 v

29 maximo1 x_list ; Length x 1 && x Integers : programação funcional com validação dos dados Module t, s, t First x ; Map Function s, If s t, t s, x ; t Teste: In[39]:= maximo1 2, 9, 4 maximo1 2 maximo1 8, 2.0, 3 maximo1 Out[39]= 9 Out[40]= Out[41]= Out[42]= maximo1 2 maximo1 8, 2., 3 maximo1

30 Exercício: Escrever um algoritmo em pseudocódigo para determinar o primeiro elemento de uma lista de inteiros que seja igual a algum elemento anterior. {1, 4, 2, 5, 6, 1, 2} 2