Permutação. Série Matemática na Escola

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1 Permutação Série Matemática na Escola Objetivos 1. Ensinar o conceito de permutação; 2. Deduzir a fórmula para permutações; 3. Apresentar usos da permutação no cotidiano.

2 Permutação Série Matemática na Escola Conteúdos Permutação. Duração Aprox. 10 minutos. Objetivos 1. Ensinar o conceito de permutação; 2. Deduzir a fórmula para permutações; 3. Apresentar usos da permutação no cotidiano. Sinopse Sinopse Dois amigos conversam sobre como a permutação pode solucionar problemas de contagem de possibilidades. Material relacionado Vídeos: Desejos, Roda roda; Experimentos: Táxi e combinatória; Experimento: De quantas maneiras posso passar meu cadarço? Quadrado mágico aditivo; Softwares:Embaralhando imagens; Áudios: O que é permutação?

3 Introdução Sobre a série A série Problemas e Soluções trata de problemas típicos de matemática do ensino médio contextualizados por uma ficção. Em cada programa um ou dois problemas são interpretados no primeiro bloco de cinco minutos, ao final do qual o leitor é convidado a tentar resolver. No contexto da sala de aula, o professor então tem a oportunidade de discutir os métodos ou as formas possíveis de resolver o problema. O segundo bloco do programa apresenta as soluções e alguns comentários ou informações adicionais. Durante o programa os alunos devem exercitar a sua abstração, pois estarão apenas ouvindo os problemas e as suas soluções, mas é sempre recomendável que os ouvintes façam anotações para melhor aproveitar o conteúdo. Sobre o programa Lucas é um DJ em Fortaleza, e precisa montar listas de música com diferentes ordens, para tocar em festas. Para resolver esse problema, se encontra em um shopping com sua amiga Cláudia, que irá ajudá-lo. Cláudia sugere que Lucas utilize a permutação para saber quantas listas são possíveis de se fazer e começa explicando com apenas duas músicas. Nesse caso, é possível apenas duas possíveis listas. Em seguida, o problema passa a ter três músicas, e é explicado que cada música pode agora ocupar a primeira, segunda ou terceira posição na lista. Assim, supondo que a música C ocupe a posição um, as músicas A e B devem ocupar as posições dois e três, retornando ao problema com duas músicas. O mesmo acontece quando a música C ocupar a posição dois ou três, em que as músicas A e B deverão ocupar as posições um e três ou um e dois. Assim, o problema com Permutações 3/10

4 três músicas é solucionado multiplicando por três o total de listas possíveis com apenas duas músicas. Depois de explicado o problema para duas e três músicas, Cláudia diz que utilizando o mesmo raciocínio, o problema pode ser resolvido para quatro, cinco, seis músicas e assim por diante. Cláudia esclarece que para o caso geral, quando há n ítens, o total de maneiras distintas de ordenar esses n ítens é n! (n fatorial). Lucas pergunta qual será então o total de possibilidades se acrescentarmos mais um ítem, e Cláudia explica que haverá (n+1) vezes o total de ordenações dos n ítens, ou seja, (n+1)xn! = (n+1)!. Lucas pergunta em que outras situações a permutação pode ser utilizada. O primeiro exemplo dado é em uma festa junina, em que se deseja saber quantos diferentes casais podem ser formados com cinco homens e cinco mulheres. Suponha que essas mulheres sejam Maria, Vera, Sara, Lúcia e Joana. Para formar o primeiro casal, há cinco homens disponíveis para Maria; para formar o segundo casal, há agora quatro homens disponíveis para Vera; para formar o terceiro casal, há três homens disponíveis para Sara; para formar o quarto casal, há dois homens disponíveis para Lúcia, e finalmente para formar o último casal, há apenas um homem disponível para Joana. Portanto, o total de casais diferentes que podem ser formados na festa é 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1. O segundo exemplo é de quantas maneiras diferentes pode-se pintar as seis faces numeradas de 1 a 6 de um dado com cores distintas, e a resposta é 6!, pois a primeira face pode ser pintada com seis cores, a segunda com cinco cores, a terceira com quatro cores, a quarta com três cores, a quinta com duas cores e a sexta com uma única cor. Por fim, Lucas pergunta como usar a permutação para calcular de quantas formas diferentes é possível dispor cinco homens e cinco mulheres em uma fila de cadeiras, respeitando a condição que duas pessoas do mesmo sexo não podem se sentar lado a lado. Permutações 4/10

5 Cláudia explica que para respeitar a condição basta formar casais e ordená-los na fila. Como o problema de quantos casais possíveis já foi calculado, sabe-se que há 5! possibilidades. Agora, no entanto não há apenas 5! maneiras de ordenar esses casais na fila de cadeiras, pois a fila pode ser da forma Homem, Mulher, Homem, Mulher, Homem, Mulher, Homem, Mulher, Homem, Mulher, ou então Mulher, Homem, Mulher, Homem, Mulher, Homem, Mulher, Homem, Mulher, Homem. Logo, há 2 x 5! Maneiras de ordená-los. Portanto há 5! x 5! x 2 = maneiras de formar casais e ordená-los com os cinco homens e cinco mulheres, sem que duas pessoas do mesmo sexos sentem-se lado a lado. Sugestões de atividades Antes da execução Este programa pode ser apresentado como introdução às permutações (primeiro bloco) com duas aplicações (final do primeiro e segundo blocos) ou uma revisão de permutação com os dois problemas como foco da aula. É recomendável que os alunos já tenham entendido os princípios fundamentais de contagem. Problema: O professor dispõe de N moedas iguais para colocar em M cofrinhos diferentes. Quantas maneiras os alunos podem fazer essa distribuição? Considere os casos N=5, M=2 e N=7, M=3. Solução: O caso N=5, M=2, temos: 5+0, 4+1, 3+2,2+3,1+4,0+5. Assim, há seis maneiras para distribuir cinco moedas iguais em dois cofres diferentes. Os demais casos seguem o padrão. Permutações 5/10

6 Depois da execução Exercícios 1. Quantos anagramas podemos construir com a palavra AMOR? (4!=24) 2. De quantas formas diferentes é possível ordenar cinco livros distintos em uma estante? (5!=120). É importante enfatizar os princípios de contagem e incentivar a análise de casos para então contar as possibilidades. Com este objetivo, se for apropriado para a sua turma, desenvolva os seguintes problemas com os seus alunos. O primeiro é bem simples, mas o segundo é relativamente complicado. Pode ser um desafio para alguns alunos. Torres no Xadrez O tabuleiro de Xadrez pode ser visto como uma matriz 8x8 e as torres no jogo de Xadrez podem se movimentar apenas em percursos retos, pelas linhas ou pelas colunas da matriz. De quantas maneiras posso colocar 8 torres no tabuleiro de forma que elas não estejam em rotas de colisão, isto é, que tenha uma e apenas uma torre por linha ou coluna no tabuleiro? Solução. Uma maneira é colocá-las em uma diagonal: Se trocarmos duas linhas ou duas colunas nós obtemos outras configurações possíveis. Assim, usando o princípio de contagem, temos que para a primeira torre a ser colocada no tabuleiro, dispomos de 8 linhas (ou colunas), em seguida vamos dispor de 7 possíveis linhas e assim por diante. Com esta forma de contar, teremos 8!=40320 maneiras de colocar 8 torres de forma que tenha uma e apenas uma torre por linha ou coluna. Permutações 6/10

7 Bloco de Euler Uma escola de samba tem que fazer um bloco de 25 componentes em uma formação quadrada 5x5 com as seguintes restrições. Existem cinco fantasias diferentes, digamos A, B, C, D, E, sendo que cada fantasia é patrocinada por um dos cinco padrinhos ou patrocinadores diferentes, digamos α, β, γ, δ, ε. Cada fila e cada coluna deve ter apenas um tipo de fantasia de apenas um padrinho. Quantos arranjos a escola de samba pode formar para este bloco? Observação. Não existe um jeito fácil e direto de obter a quantidade de arranjos para esse problema, mas o objetivo é enfatizar o modo sistemático de construção e análise de casos. O professor pode usar o caso mais simples de quadrado com nove componentes. O caso de dezesseis componentes é complicado. E o caso de 25 células tem os principais passos de desenvolvimento abaixo. Veja referências para mais detalhes. Tente desenvolver a atividade prática com a turma, se possível. Esse é um caso particular de arranjos conhecidos pelo nome de quadrado greco-latino. O problema foi apresentado pelo matemático Euler, no contexto de oficiais com patentes A, B, C, D, E de regimentos α, β, γ, δ, ε. Solução: Podemos pensar no quadrado formado por 25 células tais que em cada célula tem um par ordenado (F,Π) que indique a fantasia F e o padrinho Π. As restrições acima implicam que em cada linha ou cada coluna, só aparece um tipo de fantasia F e um tipo de patrocinador Π. Além disso, um determinado par ordenado não pode se repetir no quadrado pedir aos alunos que justifiquem esta afirmação. Em função desta análise podemos pensar em duas formações independentes: Uma para as fantasias e outra para os patrocinadores. Permutações 7/10

8 Em cada caso há cinco possibilidades que vamos identificar pelos números 0, 1, 2, 3 e 4. Podemos construir quadrados com estes números usando um pouco de álgebra. Some os números das entradas do quadrado e divida por cinco. O número da entrada dessa matriz vai ser o resto da divisão. Assim na entrada 3,2 (da terceira linha e segunda coluna) teria 0 e na entrada 4,2 (quarta linha e segunda coluna) teria 1 (que é o resto de 6 por 5). Em outras palavras, os elementos desse quadrado serão dados por S ij = resto da divisão de (i+j) por 5. Temos então o seguinte quadrado de ordem 5: Tabela 1 Um quadrado latino de ordem Na figura acima, os números externos mostram os números das linhas e das colunas. Esta pequena tabela foi feita em uma planilha eletrônica com o comando do tipo MOD(F$1+$A6;5), que quer dizer o resto da divisão por cinco. Observe que o número que aparece em uma determinada célula da tabela não se repete na linha nem na coluna correspondente. Este tipo de quadrado é conhecido por quadrado latino por que se consideravam as letras do alfabeto latino. Neste caso vamos associar 0, 1, 2, 3 e 4 a A, B, C, D e E. Podemos fazer milhares de outros quadrados latinos de ordem 5. Para sermos exato, há quadrados latinos de ordem 5. Mas para o bloco da escola de samba, pequenas variações de patrocinador e fantasia não seriam relevantes. Vamos considerar as variações independentes (ortogonais) desses quadrados latinos. Isto é, se juntarmos os dois quadrados, teríamos em cada célula um par ordenado diferente. Permutações 8/10

9 Veja o exemplo ao lado de dois quadrados superpostos. Para facilitar a visualização colocamos os pares ordenados (letra latina maiúscula, letra grega minúscula, daí o nome quadrado greco-latino). Em cada entrada tem um único par ordenado. Assim os quadrados das letras latinas e os quadrados das letras gregas são ditos ortogonais. O conceito de ortogonalidade para os quadrados latinos é bem elaborado pelos matemáticos, mas vamos assumir, por simplicidade, que podemos combinar os dois quadrados latinos e construí-los de forma semelhante à anterior, a saber, um quadrado das fantasias seria dado por F ij (s)=si+j mod 5, e o quadrado dos patrocinados dado por Π ij (t)=ti+j mod 5. Aqui usamos a notação mod 5 para indicar que consideramos apenas o resto da divisão por 5. Para serem ortogonais devemos exigir que para todos os quartetos i,j,m,n, os pares ordenados (F ij, Π ij ) e (F mn, Π mn ) sejam diferentes. Vamos supor que eles sejam iguais, isto é (F ij, Π ij )=(F mn, Π mn ). Isto implica si+j=sm+n mod 5, e portanto i=m e j=n. E assim concluímos que todos os pares ordenados (F ij, Π ij ) são distintos para os distintos pares ordenados (i,j). Como vamos pegar o resto da divisão por 5, os valores de s e t que dariam valores diferentes só podem ser 1 e 2. Assim temos apenas dois pares ordenados distintos para os quadrados latinos, a saber (i+j,2i+j) e (2i+j,i+j). Conclusão. O bloco de Euler, que é um quadrado greco-latino, pode ter duas formações ortogonais distintas. O professor pode então desenvolver a atividade quadrado mágico aditivo. Sugestões de leitura A. S. Machado (1996). Matemática na escola do segundo grau. Editora Atual. I. Stewart (2010). Incríveis Passatempos Matemáticos: Tradução D. Alfaro. Editora Zahar J. Dénes & A. D. Keedwell (1974) Latin squares and their applications. Academic Press. Permutações 9/10

10 Ficha técnica Autores Beatriz Castro Dias Cuyabano e Samuel Rocha de Oliveira Revisão José Plinio de Oliveira Santos Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Caio José Colletti Negreiros Vice-diretor Verónica Andrea González-López Permutações 10/10