UTILIZAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR E DO MÉTODO SIMPLEX PARA OTIMIZAÇÃO DA PRODUÇÃO DE PÃES EM UMA EMPRESA DE PANIFICAÇÃO

Transcrição

1 UTILIZAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR E DO MÉTODO SIMPLEX PARA OTIMIZAÇÃO DA PRODUÇÃO DE PÃES EM UMA EMPRESA DE PANIFICAÇÃO Danilo Alcantara Milhomem (UEPA) daniloalcantaramilhomem@gmail.com MELISSA LARA PORTO (UEPA) melissalaraporto@hotmail.com Alexandre Amaral machado (UEPA) alexsanderamaral@hotmail.com adriane chaves lima (UEPA) Adrianechaves-lima@hotmail.com alan araujo teixeira (UEPA) alan-xk@hotmail.com Atualmente percebe-se uma crescente atuação da pesquisa operacional em vários setores da indústria e do comércio. Com o intuito de desenvolver e aplicar esses conceitos escolheu-se uma Panificadora localizada no Município de Marabá-PA. O objetivo geral deste artigo foi a obtenção da programação mais próxima do ótimo possível identificando o modelo que permita o melhor aproveitamento dos recursos disponíveis para fabricação de pão de massa grossa e pão de massa fina, maximizando o lucro da panificadora. A metodologia utilizada foi o estudo de caso, onde primeiramente escolheu-se as variáveis a serem usadas (itens mais vendidos na panificadora), que são o pão de massa grossa (X1) e o pão de massa fina (X2), e posteriormente identificou-se as respectivas restrições dos recursos (quantidades disponíveis de: trigo e fermento em Kg, água em Litro, e mão de obra em homens x hora). No presente estudo, a PO revelou-se como uma importante ferramenta de gestão que pode ser utilizada pelo gestor dono da panificadora para a tomada de decisão. O resultado da programação mais próxima do ótimo possível, maximizando o lucro da empresa, foi de R$ ,00, e para isso seria necessário produzir somente o pão de massa grossa, devido ao mesmo proporcionar maior lucro com a produção de 100 lotes por mês. Palavras-chave: Pesquisa operacional, Programação linear, Método simplex, Panificação

2 1. Introdução Atualmente percebe-se uma crescente participação da pesquisa operacional em vários setores empresarias para fins lucrativos, pois a mesma atua na programação da produção a fim de aproximá-la do ótimo. Com intuito de se desenvolver e aplicar esses conceitos escolheu-se uma panificadora localizada no município de Marabá-PA. A empresa possui um turno de 8 horas diárias de trabalho, e disponibilizam aos seus clientes diversos produtos como pães, bolos, salgados, refrigerantes, entre outros. A panificadora em estudo oferece uma vasta gama de produtos, mas o foco do presente artigo é a fabricação de pães (massa grossa e massa fina), por ser considerado o carro chefe dentro da empresa, logo, considera-se que qualquer alteração no modelo de produção deste item gera impactos significativos nas finanças da panificadora. A Pesquisa Operacional tem por objetivo encontrar a combinação de recursos, dentro do sistema de produção, mais próxima do ótimo possível possibilitando a empresa alcançar seus objetivos (maximizar ou minimizar respectivamente, lucros e custos). De acordo com Oliveira (2010): A pesquisa operacional (PO) é a ciência aplicada formada por um conjunto de técnicas que visa à determinação das melhores condições de aproveitamento dos recursos em uma situação na qual estejam sob restrições: econômica, material, humana e a temporal (p.151). Portanto, ao aplicar os conceitos de PO juntamente com o método simplex e programação linear, desenvolve-se um modelo de distribuição de recursos (que na maioria das vezes são limitados) no processo produtivo, reduzindo desperdício de material, da mão de obra humana e dos custos. O objetivo geral deste artigo foi a obtenção da programação mais próxima do ótimo possível identificando o modelo que permita o melhor aproveitamento dos recursos disponíveis para fabricação de pão de massa grossa e pão de massa fina, maximizando o lucro da panificadora. Já os objetivos específicos são: fazer a modelagem do problema, aplicação da programação linear utilizando o método simplex através do suplemento do Excel (solver); fazer análise de sensibilidade dos resultados encontrados com a modelagem do problema; e fazer um diagnóstico dos resultados encontrados e da importância da aplicação de PO, propondo melhorias. 2

3 O presente artigo é estruturado em referencial teórico, metodologia, estudo de caso, conclusões e referências bibliográficas. 2. Referencial teórico Para alcançar o objetivo do artigo, entendeu-se como necessário referenciar alguns conceitos que constituem a Pesquisa Operacional, a saber: Programação linear; Método simplex; Panificação. 2.1 Pesquisa operacional A pesquisa Operacional (PO) surgiu, na Segunda Guerra Mundial, como resultado de estudos de equipes interdisciplinares de cientistas contratados para resolver problemas militares de ordem estratégica e tática. Em Hillier e Lieberman (2013), relata-se que desde o seu surgimento até os dias atuais, a Pesquisa Operacional vem apresentando uma crescente participação em vários setores empresariais: fábricas, industrias, transporte, investimentos financeiros e agropecuária. Em contrapartida tem diminuído seu uso para fins militares, pois não há mais a grande incidência de guerras como no período em que a PO surgiu. Para Silva et al (2010), Pesquisa Operacional, em linhas gerais, consiste na descrição de um sistema organizado com o auxílio de um modelo, e através da experimentação com o modelo, na descoberta da melhor maneira de operar o sistema. A PO tem como objetivo determinar as melhores condições de aproveitamento de recursos que estão sob restrições econômicas, materiais, de recursos humanos e a temporal Programação linear Para Silva et al (2010), é um modelo utilizado para auxiliar nas decisões estratégicas no que tange a maior eficiência possível dos recursos disponíveis em cada sistema de produção para fins de alcançar os objetivos estabelecidos pela empresa. O Problema de Programação Linear são equações que expressam algo a ser alcançado, além das limitações dos recursos. Os modelos de Programação Linear (PL) são básicos à compreensão de todos os outros modelos de programação matemática, e os conceitos neles firmados serão estendidos aos demais problemas que tenham a mesma modelagem, concedendo suporte a estudos mais avançados. Uma outra vantagem desse modelo está na eficiência dos algoritmos de solução 3

4 hoje existentes, o solver por exemplo (suplemento encontrado no Excel), disponibiliza alta capacidade de cálculo sendo facilmente implementado até mesmo através de planilhas com auxílio de microcomputadores. Segundo Hillier e Lieberman (2013), o modelo de programação deve apresentar as seguintes características: Proporcionalidade: a quantidade de recursos consumidos por uma dada atividade deve ser proporcional ao nível dessa atividade na solução final do problema. Além disso, o custo de cada atividade é proporcional ao nível de operação da atividade; Não Negatividade: deve ser sempre possível desenvolver dada atividade em qualquer nível não negativo e qualquer proporção de um dado recurso deve sempre ser utilizado; Aditividade: o custo total é a soma das parcelas associadas a cada atividade; Separabilidade: pode-se identificar de forma separada o custo (ou consumo de recursos) específico das operações de cada atividade. Tais características são necessárias para desenvolver corretamente um problema de programação linear. Ao manter os pressupostos citados acima, tem-se a certeza de que as equações terão relações de proporcionalidade independentemente da quantidade, tornando as respostas mais precisas e eficientes. Um modelo de Programação Linear sempre será formado por equações lineares e para Ragsdale (2009), é possível expressar todas as funções de um modelo de PL como uma soma ponderada, ou combinação linear das variáveis de decisão. Assim, um modelo de PL possui uma função objetivo, e as demais são inequações que representam as restrições: MAX. (ou MIN): c 1 X 1 + c 2 X c n X n Sujeito a: a 11 X 1 + a 12 X a 1n X n b 1 : a kn X 1 + a k2 X a kn X n b k : a m1 X 1 + a m2 X a mn X n = b m 4

5 Qualquer problema formulado da maneira mostrada acima é considerado como uma PL. A função objetivo mede o desempenho do sistema, ou seja, a capacidade de gerar lucro ou reduzir custos. Se o objetivo for maximizar o lucro, as restrições garantem que essa solução seja de acordo com as limitações técnicas impostas pelo sistema. Uma observação importante sobre as restrições, segundo Ragsdale (2009), é a existência de situações em que elas representam recursos que não são limitados, e em casos como esse é necessário aplicar a PO para evitar o desperdício exagerado dos recursos. 2.2 Método simplex Na estruturação do problema de programação linear há a necessidade de resolver o modelo proposto e para isso existe uma grande variedade de recursos matemáticos, dentre eles, algoritmos que possibilitam as resoluções de forma rápida e eficiente. Um algoritmo muito utilizado denomina-se método simplex, que geralmente é utilizado com auxílio de equipamentos e programas computacionais (HILLIER; LIEBERMAN, 2013). No entanto existem métodos de resolução manual, feitos através da geometria analítica, representando os dados em gráfico e fazendo a interpretação geométrica dos mesmos para obter as resoluções ótimas. Porém com grande quantidade de funções e variáveis, a interpretação geométrica se torna incapaz de resolver o modelo, enquanto o método simplex permite encontrar tal solução facilmente. O Método Simplex é o mais recomendado para resolução de problemas de PL, e funciona, com o auxílio do solver, da seguinte forma: [...] O solver converte temporariamente todas as restrições de desigualdade em restrições de igualdade, somando uma nova variável a cada restrição menor ou igual a e subtraindo uma nova variável de cada restrição maior ou igual a. As novas variáveis usadas para criar restrições de igualdade são chamadas variáveis de folga (RAGSDALE, 2009, p.164). Portanto, ao inserir um modelo matemático de uma PL, o solver transforma as desigualdades em igualdades, adicionando uma variável de folga em cada restrição. Mas essas modificações 5

6 são automáticas, configuradas pelo solver e por isso não ficam visíveis na tela do computador. Os valores de folga só aparecem quando cria-se um relatório de resposta. Para Hillier e Lieberman (2013), com a análise de sensibilidade obtém-se os seguintes dados: Variações nos coeficientes da FO (Função Objetiva); variações nas quantidades dos recursos; acréscimo de variável e acréscimo de restrição. Analisando esses dados, poderemos responder perguntas do tipo: Dentro de que intervalo pode o preço de venda do produto variar sem afetar a solução ótima? ; Como seria afetada a decisão ótima se a disponibilidade do recurso b fosse reduzida em k unidades? ; Seria interessante fabricar um determinado produto que hoje não faz parte da minha programação de produção?. 2.3 Panificação O setor de panificação vem contribuindo consideravelmente nos últimos anos para o crescimento do food service (cadeia de distribuição de alimentos e serviços) no Brasil. De acordo com a Abip, estima-se a participação aproximada da Panificação em 36% do faturamento do setor de food service. Segundo o levantamento do Instituto Tecnológico de Panificação e Confeitaria (ITPC) em parceria com a Associação Brasileira da Indústria de Panificação e Confeitaria (Abip), através de pesquisa em mais de empresas de todo o país, abrangendo representantes do setor de todos os portes, revelou o desempenho do setor de panificação em 2014: o índice de crescimento das empresas de Panificação e Confeitaria em 2014 foi de 8,02% com o faturamento atingindo R$ 82,5 bilhões. 3. Método de pesquisa Adotou-se como estratégia de pesquisa o Estudo de Caso, método que permite a análise através da observação de determinado assunto como: uma organização social, um grupo de pessoas, ou até mesmo um líder de alguma comunidade. Para Godoy (1995), esse tipo de pesquisa oferece muitas vantagens, por se tratar de uma investigação empírica, pois é necessária a observação para identificar o fenômeno ou problema no contexto da atualidade dentro do ambiente de pesquisa, tendo-se então, a oportunidade de análise e descrição detalhada da real situação dentro de uma empresa ou grupo social. 6

7 O desenvolvimento do artigo apoiou-se em estudos embasados no campo de conhecimento da Pesquisa Operacional (PO). As referências bibliográficas da pesquisa foram desenvolvidas tendo como base os conceitos de Pesquisa Operacional, voltados à Programação Linear. Tais concepções foram adquiridas em aulas, livros, artigos científicos, dissertações de mestrado e teses de doutorado. A pesquisa ocorreu em uma panificadora, onde de acordo com entrevista in loco com o proprietário, obteve-se informações sobre o processo de produção identificando as restrições presentes na organização, necessárias à formulação do modelo em programação linear. Os produtos escolhidos para serem analisados foram definidos a partir de critérios quantitativos, sendo os mais produzidos na empresa, são eles: pão de massa grossa e pão de massa fina. Na etapa de produção desses itens foram feitas as seguintes observações (restrições): a quantidade de mão-de-obra necessária, a quantidade de cada recurso utilizado para fabricar os produtos, tempo para a realização das atividades necessárias na produção e quantidade disponível de cada recurso. Como o objetivo do presente artigo é apresentar a distribuição ótima dos recursos, e ao mesmo tempo maximizar o lucro da panificadora, utilizou-se as informações colhidas no processo de fabricação dos pães, e com auxílio do suplemento solver do Microsoft Office Excel encontrou-se a solução. As etapas dessa fase de resolução são descritas a seguir: Montou-se uma tabela no Excel com os dados de cada variável, portanto, os tipos de pães a serem produzidos, e apresentou-se também as restrições, os recursos necessários, e por último o valor da produção em lotes; Construiu-se uma segunda tabela com as variáveis que representavam as quantidades dos tipos de pães à serem produzidos e o valor do lucro pela venda de cada lote; Com as restrições escolhidas no processo, também desenvolveu-se uma tabela para demonstrar a quantidade de cada recurso a ser utilizado sem extrapolar o limite do estoque disponível de cada material; Cumpridas as etapas acima, foram acionadas as fórmulas matemáticas a cada célula e em seguida utilizou-se o suplemento solver do Excel, no qual foram selecionadas: as células da Função objetivo, quantidade das variáveis e as restrições. Como a 7

8 modelagem feita é um problema de programação linear, utilizou-se a opção LP simplex e por fim acionou-se a tecla para gerar resultado. Com a resolução do problema foi possível fazer análises sobre: a melhor quantidade de cada recurso a ser utilizado; a quantidade certa de itens que devem ser produzidos; e o lucro máximo do processo representado pelo valor da função objetivo. Também foram criados relatórios de resposta e sensibilidade, os quais possibilitaram a análise crítica do sistema produtivo através das seguintes informações: preço sombra; as margens desnecessárias no sistema de produção; programação da produção; e também os espectros dos coeficientes da função objetivo, os quais estimam até quanto esses valores podem ser alterados sem mudar a programação ótima. 4. Estudo de caso Com o intuito de aplicar os conceitos trabalhados no decorrer do artigo, escolheu-se uma panificadora na qual o objetivo principal a ser alcançado é a maximização do lucro. As variáveis utilizadas no estudo, são o pão de massa grossa (X1) e o pão de massa fina (X2), que apresentam respectivamente os lucros por unidade: R$ 0,15 e R$ 0,10. A determinação das restrições foi feita com base nas receitas dos pães, ou seja, os matérias e suas respectivas quantidades necessárias para produzir determinada quantidade de outputs, sendo esta a única restrição, pois os recursos estão sempre disponíveis nos estoques. Os ingredientes são: o trigo (em Kg), fermento (em Kg), água (em L) e mão de obra (em homens x hora). É importante observar na tabela 1 a organização das restrições, o total de recursos disponíveis está em razão dos recursos gastos por mês (para produzir os dois produtos em estudo), com base nas receitas dos pães e em cálculos feitos pelo próprio dono da panificadora. Coletou-se com o administrador da panificadora os dados imprescindíveis à determinação da equação linear (função objetivo), e das inequações também lineares (restrições). Organizaram-se os valores colhidos na tabela abaixo. Tabela 1- Modelagem do problema de programação linear Elementos Pão massa grossa (1 lote de Pão massa fina (1 lote de 2000 pães) X Total/mês pães) X 2 Trigo (Kg)

9 Fermento (Kg) 0,5 0,5 50 Água (L) Mão de obra (homensxhoras) Lucro por lote R$ 300,00 R$ 120,00 Fonte: Autores (2015) Com os dados organizados na tabela modelou-se o problema: Função objetivo: F.O máx. = 300X X 2 Restrições: Trigo: 100X X Fermento: 0,5X 1 + 0,5X 2 50 Água: 30X X Mão de Obra: 4X 1 + 4X 2 = 940 Não negatividade: X 1 e X 2 0 Após a modelagem feita, inseriu-se tanto a tabela 1 quanto a própria modelagem do problema no Microsoft Excel, adicionando todas as informações (não negatividade, maximização do lucro) necessárias à obtenção dos resultados. Amarrando as fórmulas com o auxílio do suplemento Solver encontrou-se os resultados organizados nas tabelas 2 e 3 a seguir: Tabela 2- Resultados da Função Objetivo e Variáveis Função objetivo R$ ,00 Variáveis X 1 X 2 Quantidade Lucro total R$ ,00 R$ - Fonte: Autores (2015) De acordo com os valores obtidos na tabela 2, para o proprietário da panificadora obter um lucro máximo de R$ ,00 por mês, seria correto seguir somente em uma linha de produção: o pão de massa grossa (variável X1), produzindo 100 lotes por mês. Tabela 3- Restrições da programação linear 9

10 Restrições Quantidade Trigo <= Fermento 50 <= 50 Água 3000 <= 4500 Mão de obra 400 <= 940 Fonte: Autores (2015) Já na tabela 3 percebeu-se que alguns componentes, trigo, água e mão de obra, utilizados na produção dos lotes não foram totalmente aproveitados. O trigo teve sobra de 5000 Kg, a água apresentou 1500 litros e sobraram 540 homensxhoras. Para verificar se a função objetivo está correta, fez-se a dual, onde inverteu-se as linhas e colunas da matriz (transposta da tabela 1) transformando assim as restrições em variáveis e as variáveis em restrições. A modelagem e a tabela estão descritos abaixo: Função objetivo: F.O mín. = 15000y y y y 4 Restrições: 100y 1 + 0,5y y 3 + 4y y 1 + 0,5y y 3 + 4y Tabela 4- Dual da tabela 1 Dual Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Total , , Lucro R$15.000,00 R$ 50,00 R$4.500,00 R$940,00 - Função objetivo R$ , Variáveis Y1 Y2 Y3 Y4 - Quantidade Lucro total R$ - R$ ,00 R$ - R$ - - Restrições >= >= Fonte: Autores (2015) De acordo com a tabela 4, a função objetivo da dual é igual a FO da primal, logo, os resultados expostos nas tabelas 1 e 2 são realmente próximos do ótimo. Visando o 10

11 detalhamento mais preciso gerou-se o relatório de resposta e de sensibilidade organizados nas tabelas 5 e 6. O objetivo desses relatórios de sensibilidade e de resposta é identificar as alterações que podem ser feitas no sistema produtivo, como: valor máximo e mínimo que os coeficientes da função objetivo e os coeficientes das restrições podem assumir, sem que a programação da produção seja alterada. Além disso, foi possível identificar o valor do acréscimo de uma unidade em uma determinada restrição no valor final da função objetivo. Tabela 5 - Relatório de resposta Célula do Objetivo (Máx.) Célula Nome Valor Original Valor Final $B$8 F.O Pão massa grossa R$ ,00 R$ ,00 Células Variáveis Célula Nome Valor Original Valor Final Número Inteiro $B$10 Qt. X Conting. $C$10 Qt. X Conting. Restrições Célula Nome Valor da Célula Fórmula Status Margem de Atraso $B$14 Trigo X $B$14<=$D$14 Não-associação 5000 $B$15 Fermento X1 50 $B$15<=$D$15 Associação 0 $B$16 Água X $B$16<=$D$16 Não-associação 1500 $B$17 Mão de obra X1 400 $B$17<=$D$17 Não-associação 540 Fonte: Autores (2015) Tabela 6 - Relatório de sensibilidade Células Variáveis Final Reduzido Objetivo Permitido Permitido Célula Nome Valor Custo Coeficiente Aumentar Reduzir $B$10 Qt. X E $C$10 Qt. X E+30 Restrições Final Sombra Restrição Permitido Permitido Lateral Célula Nome Valor Preço R.H. Aumentar Reduzir $B$14 Trigo X E

12 $B$15 Fermento X $B$16 Água X E $B$17 Mão de obra X E Fonte: Autores (2015) De acordo com o relatório de resposta, a função objetivo é R$ ,00 e a programação ótima é de 100 lotes de pão massa grossa. Na margem de atraso estão os valores que excedem a quantidade realmente necessária para se produzir estes mesmos lotes de pães. Já no relatório de sensibilidade, o intervalo em que o lucro (coeficiente de decisão), pode variar sem afetar a solução ótima é entre e 180. Também obteve-se o espectro das restrições que são representados no permitido aumentar e diminuir. Caso seja acrescentado uma unidade em coeficiente de restrição específico, soma-se o valor do sombra preço correspondente na função objetivo, o mesmo ocorre se for subtraído uma unidade num determinado coeficiente de restrição, então diminui-se o respectivo sombra preço na função objetivo. É importante respeitar os limites do que é permitido aumentar e diminuir em cada coeficiente de restrição, sob pena de alterar a solução ótima. Com toda essa interpretação do relatório de sensibilidade descrito acima, observou-se ainda que, a única restrição que, sofrendo aumento ou redução, possui um valor de sombra é o fermento (valor sombra R$ 600,00). 5. Conclusões Para se obter uma programação da produção mais próxima do ótima possível, maximizando o lucro da empresa e trazendo-o ao valor de R$ ,00 (de acordo com os dados obtidos através da resolução do problema de programação linear pelo método simplex), seria viável seguir somente em uma linha de produto, ou seja, o pão de massa grossa devido ao mesmo proporcionar maior lucro com a produção de 100 lotes por mês. Já o pão de massa fina, de acordo com a solução encontrada, não deveria ser produzido por não gerar grande impacto na maximização do lucro da padaria. Porém a realidade é um pouco diferente, pois por questões estratégicas e também de demanda pelo produto X 2 (pão de massa fina), ocorre a produção do pão de massa fina com o intuito de atender àqueles clientes que demandam por este produto. 12

13 Como a eliminação do item pão de massa fina não pode ser feita, e este por sua vez tem participação irrisória na maximização do lucro, o ideal seria fazer investimentos para aperfeiçoar a parte do sistema produtivo que trabalha com o pão de massa grossa, considerado o carro chefe da empresa. Logo, desenvolver-se-ia tanto a receita quanto o sistema produtivo deste item. Umas das melhorias seria a automatização dos processos, que a priori poderia ser considerado um investimento de alto custo e de retorno demorado. Mas é preciso enfatizar que além do mercado de panificação e confeitarias estar em alta no cenário brasileiro (como foi visto em pesquisas da Abip), e também o fato da cidade de Marabá oferecer boas oportunidades de crescimento para o negócio, os resultados positivos devidos a automatização com certeza virão rapidamente (redução de custo, melhor aproveitamento dos recursos e padronização dos processos). Outro aspecto importante e necessário para redução de custos dentro desta empresa, é a redução ou eliminação de alguns excessos de inputs apresentados no relatório de resposta. Utilizou-se kg de trigo, 3000 L de água e 400 h-h para a produção dos 100 lotes de pães, e o que se excedeu desses elementos foi, 5000 Kg, 1500L e 540 h-h respectivamente. Essas margens desnecessárias geram estoques que por sua vez necessitam de manutenção aumentando os custos, e sua eliminação ou redução seriam viáveis. No presente estudo, a PO revelou-se como uma importante ferramenta de gestão que pode ser utilizada pelo gestor dono da panificadora para a tomada de decisão. Com o auxílio da programação linear é possível montar um problema envolvendo todas as espécies de produtos fabricados pela panificadora e dessa forma é possível prever através de simulação e do solver se os estoques disponíveis são suficientes, e a partir dos resultados encontrados determinar se há necessidade de fazer compras de matéria prima ou se haverá estoque. Futuras pesquisas podem ser desenvolvidas nessa empresa de panificação, como o estudo de tempos e movimentos, para encontrar a capacidade produtiva da empresa e dessa forma estabelecer novas restrições de mão de obra humana, além de encontrar novas maneiras de realizar o trabalho, eliminando atividades que não agregam valor. Referências Bibliográficas ABIP- Associação Brasileira da Indústria da Panificação e Confeitaria. Desempenho do setor de panificação e confeitaria brasileiro Disponível em: Acesso em: 01/06/

14 GIL, A. C. Como elaborar projetos de pesquisa. São Paulo: Atlas, GODOY, Arilda Shimidt. Pesquisa qualitativa: tipos fundamentais. Revista de Administração de Empresas. São Paulo, vol. 35, n.3, p Mai./jun HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald. J. Introdução à Pesquisa Operacional. 9º ed. São Paulo: Editora Bookman, OLIVEIRA, Renata Melo e Silva de. Engenharia de Produção: tópicos e aplicações. / Renata Melo e Silva de Oliveira et al. Belém: EDUEPA, p. : il.; 21 cm Volume 1. RAGSDALE, Clift T. Modelagem e Análise de Decisão. 6ª edição. São Paulo: Cengage Learning, SHAMBLIN, James E. & STEVENS JR, G.T.. Pesquisa Operacional Uma Abordagem Básica. Editora Atlas, São Paulo/SP; p , e p ; SILVA, Ermes Medeiros da, SILVA, Elio Medeiros da, GONCALVES, Valter. Pesquisa operacional: programação linear, simulação. 3. ed. São Paulo : Atlas,2010. YIN, Robert. Estudo de caso: planejamento e métodos. 2. ed. Porto Alegre: Bookman,