Elvis Magno da Silva, autor Vladas Urbanavicius Júnior, autor

Transcrição

1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PESQUISA OPERACIONAL ANTES DO SURGIMENTO DOS SOFTWARES: UMA ABORDAGEM SOBRE O ALGORITMO SIMPLEX Elvis Magno da Silva, autor Vladas Urbanavicius Júnior, autor 1 FACESM/Gpde, Av. Presidente Tancredo de Almeida Neves, 45 - Itajubá MG 2 FAPEMIG/IC, Rua Raul Pompéia 101, São Pedro, Belo Horizonte MG 3 UNINOVE/PMDA, Rua Guaranésia, 425, Vila Maria, São Paulo-SP Resumo Sendo muito requisitada nos últimos anos, a Pesquisa Operacional é um método científico de tomada de decisão, e tem como uma de suas principais ferramentas o estudo da Programação Linear. A Programação Linear é uma formulação matemática que determina um montante fixo de recursos que satisfaça certa demanda de tal modo que uma função-objetivo seja otimizada e ainda satisfaça a outras condições prédefinidas pelo problema. A Programação Linear pode ser resolvida por alguns métodos diferentes que são o método gráfico, o método algébrico e por softwares como o solver do Microsoft Office ou QM for Windows ou ainda o Lindo, entre outros. O objetivo deste trabalho é apresentar o método algébrico Simplex de cálculo de problemas de programação linear. Este é um trabalho quantitativo e de pesquisa bibliográfica. Também será proposto um caso hipotético para auxiliar na compreensão da aplicação do Algoritmo Simplex. Durante o trabalho será visto conceitos sobre Pesquisa Operacional, Programação Linear e sobre o Simplex. Também poderá ser observado como resolver um problema de maximização utilizando o Simplex. Para isso será demonstrado à formulação matemático do problema e todos os passos para a aplicação do Simplex até se chegar à solução ótima, e por fim, serão mostradas quais as conclusões que se pode obter da tabela do resultado ótimo. Palavras-chave: Simplex, Pesquisa Operacional, Programação Linear. 1. Introdução Girão e Ellenrieder (1971, p.xi) comentam que nos últimos anos, um novo ramo do conhecimento altamente geral vem sendo desenvolvido, sob o nome de Pesquisa Operacional. O objetivo deste novo ramo do conhecimento é resolver problemas de decisão nas áreas de economia, administração, finanças e organização em geral; e isso com uma abordagem científica de tais problemas. Dentro da Pesquisa Operacional, pode ser encontrada uma ferramenta chamada de Programação Linear. Dantzing (1991, p.1) coloca que a Programação Linear pode ser encarada como parte de um grande desenvolvimento revolucionário que deu a humanidade a capacidade geral de estabelecer metas e um caminho detalhado para se tomar decisões no sentido de "melhor" atingir os seus objetivos quando confrontados com situações concretas de grande complexidade. Uma forma de calcular problemas de Programação Linear de forma algébrica é através do Algoritmo Simplex, o qual será visto neste trabalho. Ainda sobre o Simplex, Mirshawka (1978, p.28-29) explica que este algoritmo utiliza conceitos básicos de álgebra matricial para achar a intersecção de duas ou mais retas ou planos. Afirma que parte de um pressuposto de uma solução ótima viável, e sucessivamente obtém soluções em intersecções que fornecem valores cada vez melhores para a função objetivo. E que, além disso, fornece um indicador que determina quando a solução ótima é atingida. Para confecção deste trabalho será utilizada o método de pesquisa bibliográfica, onde Medeiros (2007, p.49), diz que pesquisa bibliográfica se constitui num procedimento formal para a aquisição de conhecimento sobre a realidade. E que ainda, exige pensamento reflexivo e tratamento científico. Este se aprofunda na procura de resposta para todos os porquês envolvidos pela pesquisa. Também será utilizado um caso hipotético onde será demonstrada a resolução do método Simplex. 2. Pesquisa Operacional Para Shamblin e Stevens Jr (1979, p. 13), Pesquisa Operacional (PO) é um método científico de tomada de decisão. Ela iniciar-se descrevendo um sistema por intermédio de um modelo e depois lida com este modelo para levantar o melhor modo de operar o sistema. Duckworth (1972, p ) diz também que a parte mais importante do conceito de Pesquisa Operacional é soluções ótimas para os problemas... que dizem respeito ao funcionamento de um sistema. Lachtermacher (2004), salienta que até a década de 1990, os problemas matemáticos de programação na resolução de questões gerenciais eram muito difíceis de se implementar. 1

2 Que somente com o advento das planilhas eletrônicas e sua crescente utilização, proporcionaram um aumento significativo na aplicabilidade da Pesquisa Operacional. Ainda segundo Lachtermacer (2004, p.1), a PO pode ser utilizada para ajudar nos processos de decisão. Como por exemplo: Problemas de Otimização de Recursos; Problemas de Localização; Problemas de Roteirização; Problemas de Carteiras de Investimento; Problemas de Alocação de Pessoas; e Problemas de Previsão e Planejamento. Segundo Lachtermacer (2004, p.27) falase que um problema de programação linear está em sua forma padrão se tivermos uma Maximização da função-objetivo e se todas as restrições forem do tipo menor ou igual, bem como os termos constantes e variáveis de decisão não-negativos. De forma matemática pode-se representar um problema padrão por: Maximizar: Z = c 1x 1 + c 2x c nx n a 11x 1 + a 12x a 1nx n b 1 a 21x 1 + a 22x a 2nx n b a m1x 1 + a m2x a mnx n b m x 1, x 2,, x n 0 Shamblin e Stevens Jr (1979, p. 263) afirmam que é possível expressar matematicamente tanto o objetivo como as restrições. Como o próprio nome da técnica sugere, estas relações devem ser todas lineares. Para eles, a programação linear, é de forma resumida, a aplicação da álgebra matricial para resolver estas equações usando algumas regras especiais que garantem que a solução seja satisfatória à todas as condições necessárias e ainda, trazer os melhores resultados com relação ao objetivo. Garvin (1960, p.3) comenta que o problema central de programação linear é para minimizar ou maximizar uma função linear, e que proponha condições de que as variáveis sejam não negativas e devam satisfazer a formulação da equação linear. Para melhor se entender a formação algébrica da formulação do problema. Observe um exemplo hipotético de Montevechi (2006, p.20): Uma fábrica produz dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido por $27 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo adicional de $14 relativo à mão de obra. Um trem é vendido por $21 e gasta $9 de matéria prima. O custo de mão de obra adicional para cada trem é de $10. A fabricação destes brinquedos requer dois tipos de mão de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para acabamento e 1 hora de carpintaria. Um trem necessita de 1hora para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada semana, a fábrica pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas tem a disposição até 100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens é ilimitada, mas a venda de soldados é de no máximo 40 por semana. A fábrica quer maximizar seu lucro diário (receitas-custo). Com estes dados, será formulado o modelo matemático que poderá auxiliar na maximização do lucro semanal. Montevechi (2006, p ), nos ajuda a esclarecer este exemplo. Primeiramente devemos levantar a questão problemas, que é quantos soldados e trens devem ser feitos na semana?. Para esclarecer ainda mais, devem-se representar as variáveis de decisão. Neste caso, o número de soldados produzidos e o número de trens produzidos. Veja: X1 = número de soldados produzidos a cada semana X2 = número de trens produzidos a cada semana Para obtenção da função objetivo, consideremos três pontos: a receita e custos podem ser expressos em termos das variáveis X1 e X2, será assumido que todo brinquedos produzidos possam ser vendidos, e que a receita da semana é igual a receita dos soldados mais a receita dos trens, disto posto: Receita por semana = 27*X1 + 21*X2, e Custos de M.P. = 10*X1 + 9*X2 Custos de M.O. = 14*X1 + 10*X2 Desta forma afirma-se que a fábrica quer maximizar: (27*X1 + 21*X2) (10*X1 + 9*X2) (14*X1 + 10*X2) Simplificando esta equação, obtemos que a maximização da questão é: Max Z = 3X1 + 2X2 X1 e X2 são limitadas por algumas restrições. Vejam quais são: 1) Cada semana, não há mais que 100 horas de acabamento; 2) Cada semana, não há mais que 80 horas de carpintaria; 3) Limitação da demanda, não mais de 40 soldados por semana O passo a seguir, é a transformação destas restrições em expressões matemáticas em termo das variáveis de decisão X1 e X2. Restrição 1: 2X1 + X2 100 Restrição 2: X1 + X2 80 Restrição 3: X1 40 Porém, Montevechi (2006, p. 25) nos lembra que deve-se tomar outras duas restrições matemáticas para a formulação deste problema, que são: 2

3 Restrição adicional 1: X1 0 Restrição adicional 2: X2 0 De forma resumida, se tem, matematicamente: Max Z = 3X1 + 2X2 2X1 + X2 100 X1 + X2 80 X1 40 X1 0 X2 0 O problema deste exemplo hipotético é típico de muitas empresas, que precisam maximizar os lucros e ao mesmo tempo estão sujeitos a recursos limitados. 3. O Método Simplex e o Caso Hipotético Hillier e Lieberman (2005, p.103) afirmam que o método simplex é um procedimento algébrico. Contudo, ele também traz consigo um conceito geométrico. Comentam que se entendermos estes conceitos geométricos os quais pertencem a resolução gráfica que vimos no capítulo anterior, podemos então prosseguir com os estudos do simplex. Segundo Girão e Ellenrieder (1971, p.38) o algoritmo conhecido por simplex original é o algoritmo que pode parar quando é encontrada a solução ótima, ou quando não existe solução ótima. Para Silva et al (1998, p.46) o método simplex é formado por um grupo de critérios para escolha de soluções básicas que melhorem o desempenho do modelo. Montevechi (2006, p.40), afirma que problemas com mais de duas variáveis não poderiam ser solucionados com o método gráfico, e que desta forma torna-se necessário outro caminho para a busca de soluções. Corrar e Theóphilo (2007, p.344) dizem que para iniciar a aplicação do método simplex, retoma-se as equações das restrições definidas anteriormente, incluídas as variáveis de folga. Assim, dos dados do problema: Max Z = 3X1 + 2X2 2X1 + X2 100 X1 + X2 80 X1 40 X1 0 X2 0 objetivo. Chamaremos esta variável artificial de variável de folga, devido à literatura nacional usar esta nomenclatura. Max Z = 3X1 + 2X2 Max Z = 3X1 + 2X2 + 0.X3 + 0.X4 + 0.X5 2X1 + X2 + X3 100 X1 + X2 + X4 80 X1 + X5 40 Martín (2003, p.32) diz que após se acrescentar as novas variáveis, deve-se montar a tabela de algoritmo do simplex com os coeficientes da função objetivo e das restrições. Na função Z da equação de maximização, deixa-se um lado da igualdade igual a zero, de forma a deixar os coeficientes todos inversamente proporcionais. Por exemplo, na função Z= 3X1 + 2X2, têm-se: Z 3X1 2X2 = 0., e que os coeficientes das variáveis de folga são zero. Tabela 1: Tabela de montagem do algoritmo simplex Para Montevechi (2006, p.43) após montado a tabela com os coeficientes das variáveis, tem-se que determinar uma solução inicial viável para poder prosseguir. Assim, pode ser demonstrado que a solução ótima de um problema de programação linear é uma solução básica. Uma solução básica para um sistema de M equações e N incógnitas, possui M variáveis diferentes de zero e N várias iguais a zero. As variáveis que são diferentes de zero, chama-se de variáveis básicas, e aquelas iguais a zero são as não básicas. Para o método do simplex, deve ser escolhido para ocuparem o lugar de variáveis básicas, aquelas cujas colunas apareçam um valor igual a 1, e os demais valores iguais a zero. Assim volta-se a figura anterior e identifica-se na tabela, quais colunas tem um único valor 1, (um) e os demais valores 0 (zero). Montevechi (2006, p.42) coloca que existem três condições para o uso do método simples, que são: 1) Todas as restrições são do tipo b i ; 2) Todos os b i 0 ; 3) Se quiser maximizar Z. Martín (2003, p.28-29) ainda explica que para a aplicação do simplex, é necessário acrescentar uma variável artificial em cada uma das restrições, e por fim, a própria função Tabela 2: Tabela de entrada da solução básica Disto posto, irá ser procurado na linha de Z o menor número negativo. Neste caso é X1, pois seu coeficiente é -3. Assim, dividem-se os valores da coluna b pelos coeficientes respectivos na coluna X1 (coluna do menor valor negativo na linha Z). Chama-se este passo de verificação da solução. 3

4 Tabela 3: tabela de verificação da solução através da razão entre coluna b e coluna do menor negativo de Z. Cabe lembrar que para Martín (2003, p.36) pode-se chegar a uma solução finita ou a uma solução não finita. Se a solução for finita, há duas possibilidades nesta verificação: 1) Que o problema admita uma solução ótima, com todas as variáveis de folga iguais a zero, então a solução obtida é uma solução única e ótima. 2) Que o problema admita uma solução ótima na qual encontremos uma variável de folga diferente de zero, então o problema original é impossível e não há solução. Caso a solução seja não finita, também há outras duas possibilidades: 1) Com todas as variáveis de folga iguais a zero, neste caso temos uma solução não finita. 2) Que exista ao menos uma variável de folga que seja positiva, então o problema original é impossível. Ainda neste raciocínio, Montevechi (2006, p.43), coloca que se devem examinar os valores dos coeficientes das variáveis não básicas na primeira linha (linha de Z) e concluir: 1) Se todos os valores forem positivos a solução é ótima e única; 2) Se aparecerem valores positivos e alguns nulos a solução é ótima mas não única; e 3) Se aparecer algum valor negativo a solução não é ótima. Deve-se então continuar o método do simplex. Após fazer a verificação que pode ser vista na tabela 3, têm-se que na linha de Z, ainda há ao menos um valor negativo, o que indica que ainda não se chegou a uma solução ótima. Então, é-se necessário prosseguir com o método do simplex, de forma a substituir uma coluna por uma linha da base. A linha que sai é a linha da menor razão não negativa, que no caso é a linha de X5, pois apresentou a razão 40, que é a menor, como pode ser visto na tabela 4. Assim, aparece como resultados parciais: X1 = 0 X3 = 100 X5 = 40 X2 = 0 X4 = 80 A intercessão advinda da união da coluna do menor Z negativo com a linha que sai que é a da menor razão, tem o que se chama de Pivô. Tabela 5: Identificação do Pivô. Este pivô indica que X1 entra no lugar de X5. Desta forma na base da próxima tabela se terá: X3, X4 e X1. Montevechi (2006, p.44) explica que deve ser dividido a linha pivô pelo próprio pivô para se ter uma nova linha pivô que será colocada na tabela seguinte do algoritmo do simplex. Ou seja, para o Pivô = 1: 1 1 = = = 40 Assim a nova linha pivô é dada pela tabela 6: Tabela 6: Nova Linha Pivô Então será iniciada a nova tabela do simplex que começa com a nova linha pivô, como mostra a tabela 7. Tabela 7: Nova Linha Pivô Na Tabela do Simplex Prosseguindo com a montagem da tabela, agora é necessário realizar um cálculo em cada uma das demais linhas para a entrada na nova tabela do simplex. Deve-se utilizar a fórmula: Nova Linha 0 = Linha 0 (Fo Nova Linha Pivô); Onde Fo é o coeficiente menor negativo em Z (neste caso -3 ). Então: ( ) - [(-3) ( )] Tabela 4: Identificação da Linha que sai. será: Resolvendo, tem-se que a Nova Linha 0 _

5 Disto posto, a segunda linha que entrará na tabela do simplex, é a linha nova de Z. Tabela 8: Nova Linha de Z Na Tabela do Simplex Este passo será repetido para as duas próximas linhas. Assim, têm-se: Nova Linha 1 = Linha 1 (F1 Nova Linha Pivô); onde o F1 é o coeficiente seguinte da coluna de -3, que é o 2. ( ) - [(2) ( )] _ Cabe lembrar que Martín (2003, p.36-37) comenta que uma vez que existe coeficiente negativo na primeira linha (-2), a solução ainda não é ótima. Assim, deve-se calcular novamente a variável que entra e a variável que sai. E esse processo como descrito anteriormente, começa com a identificação do menor negativo na linha de Z. Tabela 13: Identificação da Coluna do Menor Negativo na Nova Tabela do Simplex. Assim, é identificado a variável que entrará na base. Após este passo, como já mostrado, faz-se a razão da coluna X2 com a coluna b. Tabela 9: Nova Linha 1 Na Tabela do Simplex Nova Linha 2 = Linha 2 (F2 Nova Linha Pivô); onde o F2 é o coeficiente seguinte da coluna de -3, que é o 1. ( ) - [(1) ( )] _ Tabela 14: Razão na Nova Tabela do Simplex. Depois de concluída a razão, identifica-se o menor valor não negativo, achando por conseqüência a variável que sai da base, bem como o novo Pivô. Tabela 10: Nova Tabela do Simplex Da identificação do Pivô, tem-se que X1 entra no lugar de X5. Tabela 11: Identificação da Saída de X5 e Entrada de X1 e X1. Assim, na coluna da base, se terá X3, X4 Tabela 12: Composição da Base da Nova Tabela do Simplex Tabela 15: Nova Linha que Sai, que Entra e Pivô. Desta forma, pode ser observada a solução parcial do problema, bem como as novas variáveis que estarão na base para a próxima tabela do simplex que será montada (X2, X4, e X1). X1 = 40 X4 = 40 X2 = 0 X5 = 0 X3 = 20 Após verificar a solução parcial, tem-se que calcular a nova linha Pivô que é a linha Pivô dividida pelo próprio Pivô. Assim dividindo a linha de X3 por 1, se tem: Tabela 16: Nova Linha Pivô (Linha de X3 1 Pivô). Com a nova linha Pivô, prossegue com o cálculo das novas da tabela através do procedimento: Nova Linha 0 = Linha 0 (Fo Nova Linha Pivô), conforme demonstrado anteriormente. Após refeito os cálculos, obteve-se a nova tabela: 5

6 Tabela 17: Nova Tabela do Simplex 3. Desta nova tabela do Simplex montada, ainda pode ser percebido que não se chegou a uma solução ótima, visto ainda haver um coeficiente negativo na linha de Z. Desta forma deve ser repetido todos os novamente: calcular a variável que entra, que saí, menor negativo, razão, pivô, novas linha e nova tabela, até chegar a uma tabela que não possua coeficientes negativos na primeira linha. Repetindo-se todos os passos novamente, pode-se chegar a quarta tabela do algoritmo Simplex. Das conclusões que podem ser obtidas da tabela do Simplex, tem-se: O máximo valor que é possível para a função objetivo é de 180; A solução ótima do problema é X1 = 20; X2 = 60; e X5 = 20; A restrição 4 (restrição da demanda de soldados) que está relacionada com X5 (variável de folga) não é escassa, possuí uma folga de 20 o que significa que será deixado de atender a demanda de 20 unidades de soldados. Disto posto, este trabalho traz uma contribuição ímpar para o estudo científico, visto não haver muitas publicações descrevendo os por menores da aplicação do Simplex. Essa é uma dificuldade tanto de educadores como de alunos. Vários livros da área de Pesquisa Operacional não mencionam mais o Simplex e outros de forma superficial, mas este não é um problema recente, pois literaturas datadas deste as décadas de 60 e 70 já não traziam muita contribuição. É claro que há boas referencias sobre o assunto, contudo não são fáceis de serem encontradas. Tabela 18: Cálculo do Pivô para 4ª Tabela do Simplex. Tabela 19: Nova Tabela do Simplex. Desta ultima tabela do Simplex pode ser observado que não há coeficiente negativo na primeira linha, ou linha de Z. Assim, tem-se a solução ótima tanto almejada. 4. Conclusão Foi visto neste trabalho que a Pesquisa Operacional é um método científico de tomada de decisão. Ela iniciar-se descrevendo um sistema por intermédio de um modelo e depois lida com este modelo para levantar o melhor modo de operar o sistema. (SHAMBLIN e STEVENS JR, 1979, p. 13). Foi então proposto um caso hipotético para ilustrar como proceder a resolução de um problema de Programação Linear por intermédio do método Simplex. Da ultima tabela deste caso hipotético, que indicou a solução ótima do Simplex, pode ser observado: Tabela 20: Considerações Quanto a Solução na Nova Tabela do Simplex. 5. Referências AGOSTI, Cristiano. Apostila de Pesquisa Operacional; Universidade do Oeste de Santa Catarina; CERVO, Amado Luiz; BERVIAN, Pedro Alcino. Metodologia Científica; 3ª edição; Ed. McGraw Hill do Brasil; São Paulo; DANTZIG, George B. Linear Programming. Departmente of Management Science and engineering, Satnford Unviersity. 1991, encontrado em ming_article.pdf, em 08/04/2009. DUCKWORTH, Eric. Guia à Pesquisa Operacional; Editora Atlas; São Paulo, GARVIN, Walter W. Introduction to Linear Programming. Ed. McGraw-Hill; New Yourk/USA; GIRÃO, Sérgio Ellery; ELLENRIEDER, Alberto Ricardo Von. Programação Linear; Ed.Alveida Neves; Rio de Janeiro; LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa Operacional Na Tomada De Decisões, 2ª edição; editora Campus; São Paulo/SP; HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald J. Introduction To Operations Research; 8ª edition; Ed. McGraw-Hill; New York/USA; MARTÍN, Quintín Martí. Investigación Operativa; Ed. Prentice Hall; Madrid; MONTEVECHI, José Arnaldo. Pesquisa Operacional; Universidade Federal de Itajubá (UNIFEI); OLIVEIRA, Silvio Luiz de. Tratado de Metodologia Científica; Ed. Pioneira; São Paulo; SHAMBLIN, James E. & STEVENS JR, G.T.. Pesquisa Operacional Uma Abordagem Básica; editora Atlas, São Paulo/SP; SILVA, Ermes Medeiros da. Et Al. Pesquisa Operacional; editora Atlas; 3ª edição; São Paulo; /po/aulas/aula_04/Aula_MetodoSimplex/Metodo_Simplex.htm consultado em 06/11/