Programação Linear. Problema de produção. Transparências de apoio à disciplina de Métodos de Apoio à Decisão. Matéria prima disponível diariamente

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1 Programação Linear Transparências de apoio à disciplina de Métodos de Apoio à Decisão rupo de ontrolo e estão Problema de produção Matéria prima disponível diariamente 8 Legos pequenos 6 Legos grandes Produtos a fabricar Mesa Lucro = adeira Lucro = 5 Objectivo: O que produzir diariamente de modo a maimizar o lucro obtido rupo de ontrolo e estão

2 Programação linear A programação linear utiliza um modelo matemático para encontrar a melhor forma de alocar recursos limitados a várias actividades de modo a satisfazer um determinado objectivo. Eemplo: maimizar lucro ou minimizar custos Para o eemplo considerado Maimizar ( lucro) = mesas + 5 cadeiras Sujeito a Legos grandes Legos pequenos mesas + cadeiras 6 mesas + cadeiras 8 e mesas, cadeiras rupo de ontrolo e estão Porque utilizar a programação linear Eiste um grande conjunto de problemas que podem ser representados adequadamente (ou pelo menos aproimadamente) por modelos lineares. Eistem técnicas eficientes para resolver este tipo de problemas. Se eistir, garante-se a obtenção da solução óptima para o problema. era um conjunto de informação útil para efectuar análises de sensibilidade (avaliação do efeito associado à variação de dados do problema). rupo de ontrolo e estão

3 omponentes de um modelo de PL Variáveis de decisão, L, n Função objectivo Restrições (, ) Z = f, R k L n (, K, n ){, =, } b k Num modelo de programação linear a função objectivo e as restrições são funções lineares das variáveis de decisão rupo de ontrolo e estão Modelo matemático de um problema de PL De uma forma genérica um modelo de programação linear consiste em: Determinar os valores das variáveis de decisão,, L n que: Ma ( Min ) Z = c + c + K+ c n n Sujeito a: a + a a + a a + a m + K+ a n + K+ a n + K+ a m e, K, n M mn n {, =, } {, =, } n n b b { }, =, bm Função objectivo Restrições funcionais Restrições de não negatividade Tendo os seguintes parâmetros conhecidos c, b, K, cn; a, K, amn; b, K m rupo de ontrolo e estão

4 Formulação de um problema de PL Que decisões devem ser tomadas? Definir as variáveis de decisão Qual é objectivo do problema? Definir a função objectivo Quais são os recursos limitadores e/ou que requisitos devem ser satisfeitos? Formular as restrições Alguns Eemplos: Mi de produção Misturas Scheduling Transportes Afectação rupo de ontrolo e estão PL (Eemplo ) Mi de produção A empresa Pedala & Anda, Lda é propriedade de dois sócios: o Sr Eduardo e o Sr Boa Vida. A empresa em questão produz bicicletas de dois modelos, uma mais sofisticada para todo-o-terreno (modelo TT) e outra mais simples para passeio (modelo PP). Dada a qualidade dos seus produtos e com a primavera a chegar, os dois sócios sabem que irão vender todas as bicicletas que conseguirem, estando apenas limitados pelo processo produtivo. Para definir o melhor plano de produção para o próimo mês fizeram uma análise ao seu sistema produtivo, tendo chegado às seguintes conclusões: ada bicicleta TT requer horas de soldadura e cada PP requer de soldadura As bicicletas TT necessitam de 6 horas de maquinação e as PP apenas 4 horas As bicicletas TT consomem 9 horas de trabalho no departamento de montagem e as PP apenas 4 O número de horas de trabalho disponíveis no próimo mês nos departamentos de maquinagem, soldadura e montagem são respectivamente 4, 5 e 7 Sabendo que as bicicletas PP originam um lucro de 4 e as TT 8, ajude os dois sócios a encontrarem o melhor plano de fabrico para o próimo mês rupo de ontrolo e estão 4

5 PL (Eemplo ) Mistura O empresário italiano Augusti Jolo pretende desenvolver um novo modelo de telha, com as seguintes características: Resistência à fleão em seco superior a 6 Kgf/cm Resistência à fleão em cozido superior a Kgf/cm Absorção de água inferior a 7% Para produzir esta telha pode-se recorrer a dois tipos de barro cujas características se apresentam na tabela seguinte: Barro RFS (Kgf/cm ) RF (Kgf/cm ) Absorção de água (%) usto MP ,7 MP ,5 4 Determine que percentagem de cada tipo de barro deve ser utilizado no fabrico das telhas, de modo a satisfazer os requisitos do produto, minimizando os custos envolvidos rupo de ontrolo e estão Método gráfico (Eemplo) Problema: Pedala & Anda MaZ = Sujeito a: , Solução Óptima = ; = Z = rupo de ontrolo e estão 5

6 Propriedades das soluções de PL A solução óptima encontra-se sobre o limite do conjunto de soluções admissíveis Um problema de programação linear pode originar: Uma solução óptima única Um número infinito de soluções Não eistem soluções óptimas A função objectivo não é limitada (não há solução óptima) Se eiste uma solução óptima ela encontra-se sobre um vértice do conjunto de soluções admissíveis Se eistem várias soluções óptimas, pelo menos duas delas devem encontrar-se sobre vértices adjacentes do conjunto de soluções admissíveis Se um vértice do conjunto de soluções admissíveis não tem nenhum vértice adjacente com melhor solução, então esse vértice é a solução óptima do problema. rupo de ontrolo e estão Número infinito de soluções óptimas MaZ = + Sujeito a: , Z = Z = 5 rupo de ontrolo e estão 6

7 Função objectivo não limitada (Eemplo) MaZ = + Sujeito a: + 6 +, rupo de ontrolo e estão Não eistem soluções óptimas MaZ = + Sujeito a: + +, rupo de ontrolo e estão 7

8 O método de Simple Algoritmo de simple:. Iniciar num vértice do conjunto de soluções admissíveis (geralmente a origem). Verificar se eiste um vértice adjacente para o qual a função objectivo apresenta uma solução melhor a. Se sim, colocar-se nesse vértice adjacente e repetir o passo b. Se não, o vértice adjacente corresponde à solução óptima. Stop rupo de ontrolo e estão Método de Simple - Inicialização Modelo original Adição de variáveis auiliares Modelo Standard MaZ = Sujeito a: , Matriz identidade Sujeito a: , K, 5, = 4 = 5 = 7 X, : Variáveis principais X, 4, 5 : Variáveis auiliares (qual o seu significado físico?) rupo de ontrolo e estão 8

9 Método de Simple - Inicialização O sistema de equações apresentado tem mais variáveis que equações. Assim, a sua resolução passa por arbitrar valores para as variáveis em ecesso, resolvendo o sistema para as restantes variáveis. Para o sistema em causa a forma mais simples de obter uma solução consiste em: = 4 = 5 = Solução inicial (,, 4, 5, 7) Z = rupo de ontrolo e estão Método de Simple - Iteração, : Variáveis não básicas. Variáveis às quais se atribuiu valor zero para resolver o sistema de equações, 4, 5 : Variáveis básicas. Duas soluções básicas encontram-se sobre vértices adjacentes se todas as suas variáveis não básicas, menos uma, forem iguais. A passagem de uma solução básica para outra adjacente implica a troca de uma variável básica por uma variável não básica Que variável não básica (ou ) deve passar a ser básica, passar a ter um valor superior a zero? Que variável básica (, 4 ou 5) deve passar a ser não básica, passar a ter valor nulo? rupo de ontrolo e estão 9

10 Método de Simple Forma tabular Forma algébrica Z = = 4 = 5 = 7 Forma tabular V. básicas 4 5 T. Independentes Z rupo de ontrolo e estão Método de Simple - Iteração Escolha da variável que entra para a base Linha Aumento de unidade em Aumento de unidade em Aumento de 8 unidades em Z Aumento de 4 unidades em Z Ma c j c j < oluna pivot V. básicas 4 5 T. Independentes Z rupo de ontrolo e estão

11 Método de Simple - Iteração Escolha da variável que sai da base X e = 4 5 = 4 = 75 = = 4 = 5 = b Min j ij ij > V. básicas 4 5 T. Independentes Z /6 4 5/ 5 9 7/9 Elemento pivot Linha pivot 4 75 rupo de ontrolo e estão Método de Simple - Iteração Reescrever o quadro de simple correspondente à nova solução, recorrendo ao método de eliminação de auss-jordan. Para a linha pivot NLP = ALP / EP Para as restantes linhas NLi = Ali Xij NLP rupo de ontrolo e estão

12 Método de Simple - Iteração V. básicas 4 5 T. Independentes Z -4/ 8/9 4 -/ 6 4 7/ -/9 9 / /9 Entra e sai 6 4 (,, 6, 9, ) Z = rupo de ontrolo e estão Método de Simple Solução óptima V. básicas 4 5 T. Independentes Z 4/6 4/54 8 / -/ 4-7/6 /54 -/6 6/7 6 Todos os coeficientes da linha são positivos, logo esta solução é óptima 4 (,,,, ) Z = rupo de ontrolo e estão

13 Simple Método das duas fases onsidere o seguinte problema de programação linear MinZ =,4 + Sujeito a:,,5,6 +, +,5 +,4,, 5 = 6 6,7 rupo de ontrolo e estão Método das duas fases - Inicialização Modelo original Adição de variáveis auiliares Modelo Standard MinZ =,4 +, 5 Sujeito a: Sujeito a:,,5,6 +, +,5 +,4,7 = 6 6,,5,6 +, + +,5 +,4 4 =,7 = 6 = 6 X, : Variáveis principais; X, 4 : Variáveis auiliares Neste caso, ao contrário do que se verifica para um problema em que as restrições são todas do tipo, a adição de variáveis auiliares não permite obter uma solução básica óbvia. rupo de ontrolo e estão

14 Método das duas fases - Inicialização Modelo Standard Adição de variáveis artificiais Modelo Aumentado, +, +,5 +,5,6 +,4 4 =,7 = 6 = 6, +, +,5 +,5,6 +, =,7 = 6 = 6 Uma solução admissível para o problema standard é admissível para o problema original. Uma solução admissível para o problema aumentado pode não ser admissível para o problema original. O problema aumentado é igual ao problema standard quando as variáveis artificiais forem nulas. rupo de ontrolo e estão Método das duas fases - ª Fase Função objectivo Min ( z) = Resolvendo o problema aumentado para esta função objectivo garante-se a anulação das variáveis artificiais Linha V. Bas T. Ind. Z,,,7 5,5,5 6 6,6,4-6 O método de eliminação de auss-jordan não pode ser aplicado rupo de ontrolo e estão 4

15 Método das duas fases - ª Fase Preparação da linha (-),5,5 6 (-),6,4-6 -, -,9 - V. Bas T. Ind. Z -, -,9 -,,,7 5,5,5 6 6,6,4-6 rupo de ontrolo e estão Método das duas fases ª Fase Iterações da ª fase e correspondente interpretação geométrica Iter. V. bás T. Ind. Z -, -,9 -,,,7 5,5,5 6 6,6,4-6 Z -6/ / -, 9 5 7/,5 6 / -,6 Z -5/ -5/ 8/ -,5 / 5/ -5/ 8 5 5/ 5/ -5/, Z /5 -, rupo de ontrolo e estão 5

16 Método das duas fases ª Fase A solução óptima da ª fase corresponde a uma solução admissível para o problema original. Assim, na ª fase esquecem-se as variáveis artificiais, e volta-se à função objectivo original. Função objectivo MinZ =,4 +, 5,4,5 O método de eliminação de auss-jordan não V. Bas. 4 T. Ind. pode ser aplicado Z -5 6, 5 6 rupo de ontrolo e estão Método das duas fases ª Fase Preparação da linha,4,5 (-,4*) -5 6 (-,5*) 5 6 -,5-5,4 V. Bas. 4 T. Ind. Z -,5-5,4-5 6, 5 6 rupo de ontrolo e estão 6

17 Método das duas fases ª Fase Iterações da ª fase e correspondente interpretação geométrica Iter. V. bás. 4 T. Ind. Z -,5-5,4-5 6, 5 6 Z,5-5,5 5 7,5 4, -5 4,5 rupo de ontrolo e estão Ecell - Solver Transparências de apoio à disciplina de Investigação Operacional rupo de ontrolo e estão 7

18 Solver Formulação Os dados do modelo devem ser introduzidos numa folha do Ecell. As relações entre esses dados devem ser construídas de uma forma clara e facilmente compreensível. Deve-se garantir que eista uma célula para cada um dos seguintes itens: A quantidade que se pretende maimizar ou minimizar Todas as variáveis de decisão Todas as quantidades que se pretendem restringir Os valores iniciais das variáveis de decisão podem ser. rupo de ontrolo e estão Solver - Formulação Input B5, 5 Variáveis de decisão. B7, 7 oeficientes da função objectivo B9:B, 9: oeficientes das restrições E9:E Termos independentes Output Função objectivo D7 = B5*B7 + 5*7 = SUMPRODUT(B5:5, B7:7) Restrições (Horas consumidas em cada departamento) D9 = SUMPRODUT(B5:5, B9:9) D = SUMPRODUT(B5:5, B:) D = SUMPRODUT(B5:5, B:) rupo de ontrolo e estão 8

19 Solver Especificação do modelo Definição da célula alvo (função objectivo) Neste passo definem-se dois parâmetros: A célula que se pretende optimizar O tipo de objectivo que se pretende, Ma ou Min a célula seleccionada rupo de ontrolo e estão Solver Especificação do modelo Identificação das células a modificar (variáveis de decisão) Neste passo definem-se as variáveis de decisão, i.e., as células cujo valor pode ser alterado para encontrar a solução óptima rupo de ontrolo e estão 9

20 Solver Especificação do modelo Adição de restriçoes aia de diálogo do Solver após se ter especificado o problema, incluindo a função objectivo, as variáveis de decisão e as restrições. rupo de ontrolo e estão Solver - Opções Escolha do tipo de modelo. Para o caso da empresa Pedala & Anda escolha de um modelo de programação linear com restrições de não negatividade. rupo de ontrolo e estão

21 Solver - Solução Após a resolução do modelo o Solver pode emitir várias mensagens: Foi encontrada uma solução. Todas as restrições foram satisfeitas. Os valores das células não convergem (solução indeterminada, a F.O. Tende para infinito). O solver não consegue encontrar uma solução admissível. As condições para assumir um modelo linear não se encontram satisfeitas rupo de ontrolo e estão Solver - Solução Se o Solver consegue encontrar uma solução óptima, esta é apresentada na folha de cálculo. rupo de ontrolo e estão

22 Solver - Relatório Solução rupo de ontrolo e estão