Experimento. Guia do professor. Com quantas cores posso pintar um mapa? Ministério da Educação. Ministério da Ciência e Tecnologia

Transcrição

1 Análise de dados e probabilidade geometria e medidas Guia do professor Experimento Com quantas cores posso pintar um mapa? Objetivos da unidade 1. Apresentar o Teorema das Quatro Cores; 2. Introduzir questões de Topologia; 3. Capacitar o aluno a tomar decisões de acordo com determinadas restrições. licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação

2 Com quantas cores posso pintar um mapa? Guia do professor Sinopse Neste experimento, abordaremos o Teorema das Quatro Cores. Os alunos serão convidados a pensar sobre como colorir diversos mapas utilizando apenas quatro cores. Posteriormente, trocaremos os mapas por curvas fechadas, e proporemos aos alunos pintá-las também com o mínimo de cores possível. No Fechamento, apresentamos a demonstração do caso das curvas fechadas e sugerimos alguns jogos e um desafio. Conteúdo Geometria, Topologia Objetivos Apresentar o Teorema das Quatro Cores; Introduzir questões de Topologia; Capacitar o aluno a tomar decisões de acordo com determinadas restrições. Duração Uma aula dupla.

3 O Teorema das Quatro Cores afirma que todo mapa pode ser colorido com quatro ou menos cores, respeitando-se a condição de que países vizinhos, com alguma linha de fronteira em comum, tenham cores diferentes. Conta-se que, em 1852, o então jovem matemático, Francis Guthrie, estava colorindo um mapa dos condados da Inglaterra. Enquanto pintava, estava atento em não colorir com a mesma cor países que dividissem alguma linha de fronteira. Guthrie notou, experimentalmente, que quatro cores seriam suficientes para colorir todo o mapa. Como matemático, tentou fazer uma demonstração acerca de sua descoberta, mas isso estava longe de ser encontrado facilmente. Este problema ficou cada vez mais conhecido por outros matemáticos, inclusive pela Comunidade Matemática Britânica. Assim, em 1879, Alfred Bray Kempe publicou um artigo no qual supostamente dava uma demonstração de que quatro cores são suficientes para colorir qualquer mapa. Porém, onze anos depois, em 1890, Percy John Heawood apontou um erro sutil na demonstração de Kampe e foi capaz de demonstrar que cinco cores são suficientes para colorir qualquer mapa. Apenas em 1976, mais de um século após o problema ter sido conjecturado, Wolfgang Haken e Kenneth Appel demonstraram que quatro cores são, de fato, suficientes. O trabalho de Haken e Appel foi o primeiro resultado de impacto cuja prova foi feita utilizando um computador. Basicamente, o que eles fizeram foi exibir um conjunto de 1936 mapas, de forma que qualquer contraexemplo para o teorema pode ser descartado através da análise de um desses mapas. Foi uma prova engenhosa, que necessitou de um programa de computador especialmente escrito para encontrar certas compatibilidades entre os mapas. Em 1996, uma nova demonstração foi apresentada por quatro matemáticos, Neil Robertson, Dan Sanders, Paul Seymor e Robin Thomas. No entanto, além de bastante complexa, também exige a análise de um número gigantesco de casos particulares no computador, o que impossibilita que a prova seja escrita formalmente.

4 Formalmente, o conteúdo abordado por este experimento não faz parte da grade curricular do Ensino Médio. Porém, trata-se de um problema de formulação simples que motivou o trabalho de muitos matemáticos e que mistura elementos de geometria e grafos de maneira bastante acessível e atraente. Esta pode ser uma boa oportunidade para colocar os seus alunos em contato com questões matemáticas realmente complexas e atuais. O experimento está dividido em duas etapas e o Fechamento. As atividades estão organizadas de forma intuitiva, em ordem crescente de dificuldade. O problema das quatro cores Na primeira etapa, os alunos são convidados a colorir diferentes mapas tentando utilizar o menor número de cores possível. Ao longo desta etapa, incentive os alunos a criarem suas próprias conjecturas de quantas cores são suficientes para pintar qualquer mapa. Ao final, mencione o Teorema das Quatro Cores. Quem não tem quatro, caça com cinco O objetivo principal desta seção é apresentar uma demonstração do Teorema das Cinco Cores. Como dissemos na Introdução, a demonstração do Teorema das Quatro Cores utiliza um programa de computador, o que

5 dificulta sua escrita formal num papel. Felizmente, para cinco cores a tarefa é possível (daí o título dessa seção). A arte de colorir mapas do ponto de vista matemático. Dizemos que um mapa está apropriadamente colorido, ou simplesmente colorido, quando duas regiões que tenham qualquer fronteira em comum estão pintadas com cores diferentes. Regiões que possuem apenas um ponto em comum podem receber a mesma cor. A região que fica por fora do mapa, denominada oceano, também precisa estar pintada. Três regiões mutuamente vizinhas em um mapa possuem exatamente um ponto em comum denominado vértice. Os contornos do mapa que conectam dois vértices são denominados fronteiras. É importante salientar que, conforme definido acima, os vértices de um mapa são diferentes dos vértices de cada região que forma o mapa. Na figura abaixo os pontos e são vértices do mapa. O ponto, ao contrário, não é considerado um vértice do mapa. B C A fig. 1 Iremos nos concentrar em mapas cujas regiões são limitadas por polígonos fechados ou fronteiras circulares. Vamos supor também que a cada vértice do mapa estejam conectadas exatamente três fronteiras. Tal mapa é denominado regular. Essas suposições não implicam perda da generalidade. Se um mapa possui algum vértice que esteja conectado com mais de três fronteiras,

6 podemos fazer um pequeno círculo em torno de, juntando seu interior a uma das regiões e obtendo um novo mapa onde cada vértice está conectado com exatamente três fronteiras. A fig. 2 fig. 3 O novo mapa conterá o mesmo número de regiões do mapa anterior. A região que foi aumentada tem, no entanto, mais vizinhos. Se este novo mapa, que é regular, puder ser colorido com cinco cores, o mapa original também o pode. Assim, é suficiente demonstrar o teorema para mapas regulares. Vamos iniciar demonstrando dois fatos que serão utilizados para provar o Teorema das Cinco Cores. O primeiro deles é entender que a fórmula de Euler ( ) vale para o mapa. Considere um mapa regular no plano com vértices,

7 fronteiras e regiões, incluindo o oceano. Estamos interessados em verificar que vale a relação. Para tanto, observe que, se adicionarmos uma fronteira no mapa, estaremos criando uma nova região. Neste caso, os valores de e de serão acrescidos de uma unidade. Como e têm sinais opostos na fórmula, os aumentos serão cancelados e a relação não será alterada, ou seja, podemos acrescentar ou subtrair fronteiras sem alterar o valor de. Também podemos inserir um ponto (um pseudovértice) sobre uma fronteira qualquer. Fazendo isso, estaremos adicionando também uma fronteira a mais. Ou seja, o valor de e de aumentarão em uma unidade. Como e têm sinais opostos na fórmula, os aumentos serão cancelados e a relação não será alterada. Assim, podemos ir apagando regiões no mapa, produzindo um mapa cada vez menor, com menos regiões, menos fronteiras e menos vértices, até chegar a um mapa com uma única região poligonal. Sem perder a generalidade, vamos contar todos os vértices e lados dessa região poligonal. Neste mapa, podemos triangularizar a região, incluindo fronteiras, sem alterar. Finalmente, apagamos todas as regiões criadas, exceto um triângulo. Neste triângulo teremos,, e, portanto,. Como as alterações feitas no mapa original para produzir o último triângulo não afetam, concluímos que no mapa original também vale. Note que, ao contar os elementos para o triângulo, não incluímos o oceano. Fazendo isso, chegamos a. Ou seja, a relação de Euler,, vale para o mapa. Com isso, podemos demonstrar o seguinte fato: Lema 1 Todo mapa regular contém pelo menos uma região poligonal com menos de seis lados.

8 Demonstração Seja o número de regiões com vértices e o número total de regiões no mapa. Note que, se uma dada região não tem vértices ou tem apenas um vértice, então ela tem apenas um país vizinho e podemos colori-la com qualquer cor, exceto com a cor do vizinho. Como essas regiões não causam problemas, vamos deixá-las de lado e supor, no resto da prova, que elas não estão presentes. Assim, temos que.... (1) Cada fronteira está ligada a exatamente dois vértices e em cada vértice se conectam três fronteiras. Se é o número total de fronteiras no mapa e é o número total de vértices, temos. (2) Os países com dois vértices têm duas fronteiras; países com três vizinhos têm três fronteiras, e assim por diante. Como cada fronteira pertence a dois países, o resultado da soma... é igual ao dobro do número de fronteiras no mapa, isto é,.... (3) Multiplicando ambos os lados da fórmula de Euler ( ) por seis, temos. (4) De (2), podemos ver que. Substituindo em (4), temos.

9 Como..., chegamos a......, que pode ser escrita na forma.... Como o lado direito da última equação é um número positivo, podemos concluir que pelo menos um dos números,,, deve ser positivo. Ou seja, o mapa deve conter pelo menos uma região com menos de seis lados, e o Lema 1 está provado. W Vamos iniciar agora a demonstração do teorema. O Teorema das Cinco Cores Todo mapa pode ser colorido com, no máximo, cinco cores. Teorema Demonstração Pelo Lema 1, podemos considerar que o mapa possui pelo menos uma região com menos de seis fronteiras (menos de seis vizinhos). Vamos separar a demonstração em dois casos. Caso 1: O mapa contém uma região com 2, 3 ou 4 vizinhos Neste caso, para pintar o mapa com regiões, vamos remover uma das fronteiras da região, unindo-a, momentaneamente, a alguma região vizinha. O mapa resultante será regular, com regiões. Como a região possui no máximo quatro vizinhos, se puder ser colorido com cinco cores, o mapa original também poderá. Para tanto,

10 basta voltar ao mapa original (devolvendo a fronteira retirada) e pintar a região com uma cor diferente das de seus vizinhos. R fig. 4 M. R fig. 5 M1. R fig. 6 M pintado.

11 Caso 2: O mapa contém uma região com 5 vizinhos Neste caso, vamos denotar por,,, e as cinco regiões vizinhas a. Sempre podemos encontrar duas dessas vizinhas que não estejam lado a lado. Vamos supor que e não são vizinhas entre si. Podemos remover as fronteiras de, formando uma grande região que engloba, e. O novo mapa será regular e terá regiões. Se este novo mapa puder ser colorido com cinco cores, o mapa original também poderá. Para tanto, basta voltar ao mapa original, devolvendo as fronteiras retiradas. Neste caso, como e possuem a mesma cor, a região estará em contato com, no máximo, quatro cores distintas e uma quinta cor pode ser atribuída a ela. W 1 W 2 W 5 R W 4 W 3 fig. 7 M. W 1 W 2 W 5 R W 4 W 3 fig. 8 M1.

12 W1 W 2 W 5 R W 4 W3 fig. 9 M pintado. Procedendo de acordo com o descrito nos casos 1 e 2, podemos converter qualquer mapa regular em um novo mapa que tem ou regiões, com a seguinte propriedade: se puder ser pintado com cinco cores, também poderá. Esse processo pode ser aplicado recursivamente a, produzindo uma sequência de mapas,,,..., tal que, se puder ser pintado com cinco cores, então também poderá. Como o número de regiões nos mapas dessa sequência sempre diminui, chegaremos a um mapa que contém cinco ou menos regiões. Tal mapa pode claramente ser colorido com, no máximo, cinco cores. Assim, retornando etapa por etapa, concluímos que o mapa original pode ser colorido com cinco cores, o que completa a prova. W Note que a prova apresentada é construtiva, no sentido de que pode ser perfeitamente aplicável na prática para colorir qualquer mapa com cinco cores em um número finito de passos. Curvas fechadas Na segunda etapa são analisados mapas especiais, formados por curvas fechadas. O desafio proposto é: Quantas cores são suficientes para colorir este tipo de mapa?

13 fig. 10 Exemplo de mapa formado por curvas fechadas. Os alunos terão a possibilidade de desenhar seus próprios mapas e chegarão à conclusão de que, neste caso, duas cores são suficientes. No Fechamento é apresentada uma demonstração para esse fato. No fechamento do experimento é proposto um método para colorir qualquer mapa formado por uma curva fechada utilizando apenas duas cores. Este método pode ser considerado como uma demonstração do resultado obtido na Etapa 2. O procedimento apresentado utiliza argumentos bastante simples e certamente será compreendido e apreciado pelos alunos. Para encerrar, é proposto um desafio. Na verdade, um super desafio. O mapa proposto nesse encerramento foi apresentado em 1º de abril de 1975, por Martin Gardner, editor por muitos anos da coluna de jogos mate-

14 máticos da revista Scientific American. Gardner publicou o mapa com a alegação de que eram necessárias cinco cores para colori-lo. Obviamente se tratava de uma brincadeira de 1º de Abril. No entanto, se passou um bom tempo até que uma solução com quatro cores fosse conhecida. Portanto, não esperamos que alguém resolva o desafio imediatamente. Mas, afinal, para que servem os desafios? Os jogos propostos no Fechamento podem ser utilizados como motivação inicial do experimento. Para tornar os jogos mais difíceis, pode ser sugerido aos alunos considerar o oceano como uma grande região que também deve ser colorida (isso foi incluído na demonstração do Teorema das Cinco Cores, mas não estava explicitamente dito no Experimento). Courant, Richard; Robbins, Herbert. What is mathematic? An Elementary Approach to Ideas and Methods. Oxford University Press: New York, 1996.

15 Ficha técnica Autor Cristiano Torezzan Revisores Matemática Antônio Carlos Patrocínio Língua Portuguesa Carolina Bonturi Pedagogia Ângela Soligo Projeto gráfico e ilustrações técnicas Preface Design Ilustrador Lucas Ogasawara de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-Reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Matemática Multimídia Coordenador Geral Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de Experimentos Leonardo Barichello Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc unicamp) Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-Diretor Edmundo Capelas de Oliveira licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação