Secretaria de Educação a Distância

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Thereza Pereira Farinha
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1 Objetivos da unidade Elaborar, verificar e reformular hipóteses sobre um fenômeno observado; Aplicar conceitos básicos de geometria plana e espacial. Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação

2 Montanhas geométricas O experimento Sinopse Nesta atividade o aluno construirá diversos polígonos usando papelão e areia. O objetivo é construir o que chamaremos de Montanhas Geo métricas. Esses polígonos possuem diversos traços peculiares, que são, na verdade, o conjunto de pontos que são centros de circunferências que tangenciam, ao menos, dois lados. A proposta é que, sem conhecerem esse resultado, os alunos construam hipóteses sobre a formação de areia. Por fim, o professor deverá discutir as hipóteses criadas pelos alunos bus cando formalizá-las, utilizando para isso o conhecimento prévio que eles possuem. Conteúdos Geometria Plana, Semelhança de Triângulos; Geometria Analítica, Distâncias Objetivos Elaborar, verificar e reformular hipóteses sobre um fenômeno observado; Aplicar conceitos básicos de gometria plana e espacial. Duração Uma aula simples.

3 Neste experimento os alunos irão se deparar com um fenômeno que pode ser descrito através de conceitos básicos de geometria. O que causa a formação daqueles padrões nem sempre intuitivos? Seria possível descrevê-los? O simples ato de despejar areia sobre uma figura de papelão, se bem explorado, permite retomar conceitos de Geometria Plana e Espacial, e também introduzir conceitos de Geometria Analítica.

4 Material necessário Papelão; Areia ( de preferência fina e seca); Tesoura; Régua; Compasso; Jornais. fig. 1

5 Preparação A sala deve ser dividida em duplas ou trios. Dessa forma, a construção dos polígonos será mais rápida e menos cansativa para os alunos. Preparação do material etapa Peça aos alunos que se organizem dentro dos grupos de modo a otimizar o tempo de construção. Eles irão construir os polígonos a partir das ilustrações presentes no Anexo, buscando seguir a proporção apresentada. O primeiro passo será desenhar as figuras no caderno, de acordo com as medidas indicadas. Em seguida, recortar o papelão usando estes desenhos como moldes para obter cada figura geométrica:! Não é necessário distribuir o Anexo aos alunos, pois os polígonos podem ser desenhados na lousa.

6 fig. 2 Nesta etapa é importante passar pelos grupos verificando se a construção está de acordo com os moldes, principalmente nos casos do quadrado e do retângulo. Neles, fique atento à precisão, à formação dos ângulos retos e ao tamanho dos lados. Nos outros casos a precisão também é necessária, mas pequenos desvios não irão comprometer a observação de padrões. Montanhas de areia etapa Peça aos alunos que despejem aos poucos areia sobre os polígonos até que ela se estabilize sobre o papelão. Essa estabilização acontece quando o monte não retém mais areia, sendo que aquela que é despejada cai para fora do polígono formado.

7 Oriente-os a posicionar o polígono a uma altura de aproximadamente 2 cm da superfície da carteira para evitar que a areia acumule-se em volta da figura. Mesmo assim, será necessário limpar o jornal onde a areia se acumular. Recomendamos o uso de jornais para forrar as carteiras para facilitar a limpeza da sala após a atividade.! Certifique-se de que os alunos jogam a areia aos poucos e no centro da figura. Caso contrário os padrões dificilmente aparecerão. fig. 3 O surgimento de padrões Ao despejar a areia sobre os polígonos, observe as divisões de plano que surgem a partir dos vértices. Chamaremos estas figuras de espinha do polígono. Peça aos alunos que identifiquem essas divisões, observando o monte de areia atentamente. O desafio é tentar entender o motivo de seu surgimento, para, finalmente, conseguir prever sua formação sobre qualquer figura poligonal. No Anexo há uma sequência de polígonos que deve ser seguida. Os 3 primeiros casos servirão, principalmente, para os alunos criarem hipóteses sobre as espinhas que observarão em cada montanha, tentando prever como elas serão nas 3 últimas figuras.

8 A primeira figura será o quadrado. Após despejar areia, a figura formada é essa: fig. 4 fig. 5 Pergunte sobre a origem das linhas, sobre como elas surgiram. Questione também sobre o que essas linhas representam em um quadrado. Uma conclusão correta mas precipitada seria dizer que as linhas serão as diagonais do polígono. Para o retângulo e para o triângulo, eles repetirão os procedimentos.

9 Peça aos alunos que desenhem sobre os moldes suas previsões para que possam compará-las com os montes de areia que serão formados fig. 6 fig. 7 fig. 8

10 fig. 9 Novamente questione sobre como surgiram as linhas das espinhas. Caso eles tenham criado a hipótese das linhas serem diagonais, instigue-os apresentando as novas formas observadas no retângulo e no triângulo. Peça que tentem explicar o que há em comum nas linhas observadas nas 3 montanhas. Na Folha do Aluno propomos que os alunos prevejam as espinhas dos próximos polígonos. Observe se eles estão desenhando suas previsões antes de jogarem a areia. Sem este palpite, o foco do experimento se perde. O próximo polígono é o trapézio: fig. 10

11 s fig. 11 Para criar um clima de expectativa, pergunte aos alunos se alguém acertou a previsão, mas guarde a discussão sobre as hipóteses para o fechamento. O próximo polígono é um paralelogramo. A figura formada se assemelha àquela formada sobre o retângulo. fig. 12

12 fig. 13 Questione novamente se alguém fez uma boa previsão. É importante que os alunos registrem os sucessos e insucessos de suas hipóteses. Assim, poderão, ao fim da atividade, refletir sobre as escolhas que fizeram ao longo dela. O último polígono é o pentágono. Esta figura condensa características das anteriores. As figuras 14 e 15 mostram a montanha formada: fig. 14

13 fig. 15

14 É importante transmitir ao aluno o que está por trás do experimento, a matemática envolvida. Quando despejamos areia sobre um monte, a tendência é que ela deslize sobre o lado mais inclinado, o que nos leva a crer que o monte se estabilizará quando a inclinação nas duas direções for a mesma. Podemos ainda constatar, por congruência de triângulos, que as inclinações são iguais quando a projeção da altura divide a base em segmentos iguais, ou seja, quando a altura é a mediatriz. fig. 16

15 Se olharmos para o retângulo, por exemplo, especificamente para um determinado vértice, veremos qual ponto da espinha é equidistante a duas arestas do polígono, conforme podemos ver na figura abaixo, onde e são as arestas equidistantes, ou seja, os comprimentos dos segmentos e são iguais. A a b r B fig. 17 Assim, os triângulos assinalados na figura 16 são triângulos retângulos com hipotenusa comum e catetos iguais e portanto são congruentes, donde segue que a reta é a bissetriz do ângulo correspondente ao vértice. Como para cada ponto desta reta temos que a distância aos lados e são iguais, podemos dizer que cada ponto é o centro de uma circunferência que tangencia estes dois lados.

16 P S Q fig. 18 R P S Q fig. 19 R O mesmo ocorre nos outros vértices, como abaixo: P S Q fig. 20 R

17 P S Q fig. 21 R Se partirmos dos vértices e ao longo da espinha do retângulo e cada ponto construirmos a circunferência máxima centrada neste ponto da espinha e contida no polígono, obtemos, a partir de cada um dos vértices, família crescente de círculos, até que seus centros coincidem (no ponto de bifurcação da espinha) e neste caso a circunferência é tangente a 3 lados do polígono. P C S s Q fig. 22 B R

18 Se continuarmos ao longo do segmento da espinha, veremos que esta última contém os centros das circunferências que tangenciam e apenas até que atinja um ponto em que tangencia 3 lados novamente, a partir daí temos uma situação análoga a das figuras 20 e 21. Todas as retas consideradas, são partes de bissetrizes, inclusive a reta da figura anterior, ela é a bissetriz definida pelos lados e, se assumirmos que a bissetriz entre duas retas é o conjunto de pontos eqüidistantes das retas. Desta discussão, podemos concluir que a espinha de um polígono é o lugar geométrico formado pelos centros das circunferências que tangenciam dois ou mais lados do polígono. Para concluir a atividade, peça-lhes que realizem a atividade final da Folha do Aluno, que consiste em criar um polígono convexo, e desenhar de antemão a espinha do polígono, a partir dos conceitos discutidos aqui e em seguida despejem areia sobre ele, para verificarem se a previsão está correta. Esta previsão estruturada pode ser baseada na construção das bissetrizes de cada ângulo e também na construção de circunferências que tangenciam mais de um lado. Para mais discussões sobre a espinha do polígono e variações do problema veja o Guia do Professor.

20 Autor Marcelo Firer Coordenação de redação Fabrício de Paula Silva Redação Rafael Santos Revisores Matemática Antonio Carlos do Patrocínio Língua Portuguesa Carolina Bonturi Pedagogia Ângela Soligo Projeto gráfico e ilustrações técnicas Preface Design Ilustrador Lucas Ogasawara de Oliveira Fotógrafo Augusto Fidalgo Yamamoto Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-Reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Matemática Multimídia Coordenador Geral Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de Experimentos Leonardo Barichello Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc unicamp) Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-Diretor Edmundo Capelas de Oliveira licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação

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