Halloween. Série Matemática na Escola

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1 Halloween Série Matemática na Escola Objetivos 1. Através da festa do Halloween, construir um chapéu de brua, utilizando a planificaçao do cone para diferentes ângulos; 2. Estudar diferentes medidas de ângulos: grau e radiano; 3. Gerar uma função matemática da forma C/, para não nulo e C constante, bem como o gráfico de tal função.

2 Halloween Série Matemática na Escola Conteúdo Cone, planificação. Duração Apro. 10 minutos. Objetivos 1. Estudar a planificação de um cone circular reto, reconhecendo as suas propriedades; 2. Estudar as medidas de ângulos: radiano, grau e sua relação; 3. Introduzir uma função matemática da forma f() = C/, para não nulo e C constante, e estudar o seu gráfico. Sinopse Uma jovem estudante sonha em trabalhar com moda. Ela recebe uma encomenda, por telefone, de chapéus para uma festa de Halloween, ou seja, de chapéus de brua. Fica aflita e pede ajuda a uma senhora, que é modista e entende matemática. Esta senhora lhe ensina a fazer o molde do corpo do chapéu, que, na realidade, é de um tronco de cone circular reto, e em seguida as abas que são faias circulares. Surgem alguns parâmetros que estão relacionados e geram uma função do tipo f() = C/, para positivo. Material relacionado Eperimentos: Princípio de Cavalieri; Vídeos: 3,2,1, mistério; Softwares: Volume de um cone; Áudios: O que é hipérbole?

3 Introdução Sobre a série A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do Ensino Médio através de situações, ficções e contetualizações. Os programas desta série usualmente são informativos e podem ser introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula ou fechamentos de um tema ou problema desenvolvidos pelo professor. Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao conteúdo mais matemático; além disso, pequenos documentários trazem informações interdisciplinares. Sobre o programa O programa aborda um problema cujo modelo matemático é um cone cirucular reto. As abas dos chapéus são obtidas por faias circulares. As planificações são obtidas e o chapéu é construído. As medidas de radiano e grau de um ângulo são relacionadas. Professor, atenção às figuras do vídeo: o ângulo que aparece denotado por α é denotado aqui por θ. Halloween 3/13

4 A construção do chapéu de brua é também um bom eemplo de como obter como modelo uma função da forma f() = C/, para real não nulo e C uma constante. Vamos refazer a construção do cone para diferentes ângulos. A figura abaio mostra um chapéu de brua, a planificação do corpo do chapéu e da aba. A planificação de um cone reto. g é geratriz do cone r é o raio da base θ é o ângulo do vértice na planificação A parte pontilhada é onde deve ser dobrado. Halloween 4/13

5 Sugestões de atividades Depois da eecução Atividade 1) Sugira aos alunos que construam corpos de chapéus, em cartolina, para os diferentes ângulos : 2 radianos( 90 graus); 3 radianos(60 graus); 4 radianos (45 graus); 2 3 radianos ( 120 graus); e radianos ( 180 graus). Eemplos de como fazer: Halloween 5/13

6 Eemplo 1. Vamos considerar uma pessoa que tenha 54 cm de medida do comprimento C, da maior circunferência da cabeça. No caso de radianos, observe que o comprimento deste arco de circunferência 2 de raio g 2g correspondente a este ângulo é (ver a figura). 4 Sendo assim, 2g = 4 C, onde C = 54cm, ou seja, 54 2 g =. Vamos considerar g aproimadamente igual a 35 cm ( 3, ). Daí, com um compasso feito de barbante, faça o cone. Feche o cone com cola. Halloween 6/13

7 Eemplo 2. Considere novamente C = 54 cm. No caso de radianos, o 3 comprimento do arco da circunferência de raio g correspondente a 2g este ângulo é (ver figura). 6 Daí 2g = 6 C, ou seja, 54 3 g = ou aproimadamente 52 cm. Halloween 7/13

8 Eemplo 3. Considere novamente C = 54 cm. No caso de 4 radianos, teremos que o arco da circunferência de raio g correspondente a este 2 g 2g ângulo é de, e daí = C. 8 8 Neste caso, g é aproimadamente igual a 69 cm. Como a folha de cartolina mede 50 cm 66 cm, deve ser colado um pedaço de papel na etremidade da folha, como mostra a ilustração. 2 Eemplo 4. Considere C = 54cm. No caso de radianos, o 3 comprimento do arco da circunferência de raio g correspondente a Halloween 8/13

9 este ângulo é cm. 2 g 54 3, e daí g = ou g é aproimadamente igual a Eemplo 5. Para C = 54 cm, o comprimento do arco da circunferência 2 g 54 2 de raio g correspondente a este ângulo é, e daí g = ou 2 2 aproimadamente igual a 17,5 cm, no caso de 180 graus. Halloween 9/13

10 Atividade 2. Sugira aos alunos fazerem a aba de cada chapéu. Desenvolvimento: seja r o raio da cabeça, que é obtido por C r =. 2 Trace dois círculos concêntricos de raios r e r + 4 cm, por eemplo, e recorte por dentro e por fora, ou seja, fazendo uma coroa circular com raios r e r + 4. Para facilitar, recorte um quadrado bem grande e o dobre em 4. A partir do centro, marque os arcos de raios r e r+4. Recorte o papel por dentro e por fora. Cole a aba no cone. Segue uma sequência do procedimento no caso de 90 graus. Halloween 10/13

11 Veja os chapéus com diferentes ângulos. Atividade 3) Sugira a generalização da solução do problema, ou seja, encontrar a geratriz g em função do angulo θ. Desenvolvimento: sabemos que o comprimento do arco de ângulo central θ de uma circunferência de raio g é igual a g θ. Veja na figura ao lado. Assim, temos que g θ = C, onde C é o comprimento da maior C circunferência da cabeça. Temos então que g =, para o ângulo θ, θ medido em radianos. Considere novamente C = 54cm. Peça aos alunos que analisem algumas 54 características da função g =. θ É importante que todos se deparem com as conclusões que seguem: Halloween 11/13

12 1) A função é decrescente, ou seja, seθ 1 > θ 2, então θ < θ ) Não eiste θ tal que g ( θ ) = 0. 3) Quando θ cresce indefinidamente, θ 54 se aproima de zero. 4) Quando θ decresce, se aproimando de zero, rapidamente. 54 θ cresce A partir dessas informações, peça aos alunos que desenhem um esboço do gráfico desta função num plano coordenado g por θ, para θ positivo, em papel quadriculado, marcando alguns pontos obtidos nas etapas anteriores. Sugestão: compare os esboços obtidos pelos alunos com o gráfico de g, obtido num software gráfico ou numa calculadora gráfica, sem esquecer que o domínio de g é o conjunto dos reais positivos y p/4 p/2 3p/4 p 5p/4 3p/2 7p/4 2p 9p/4 5p/2 A figura mostra o gráfico da função 54 g = feita na tela do Winplot. θ Halloween 12/13

13 Atividade 4: Estenda esta função, que dá a geratriz em função do ângulo, para uma função definida no conjunto dos números reais não a nulos da forma f ( ) =, onde a é uma constante real não nula. Utilizando uma calculadora gráfica ou um software gráfico ou um papel quadriculado, desenhe os gráficos das seguintes funções: 1 f ( ) =, 2 f ( ) =, 3 f ( ) =, 2 f ( ) =, 3 f ( ) =. Sugestões de leitura 1. E.Wagner, Construções Geométricas. Rio de Janeiro, SBM, Elon L.Lima, P.C.P.Carvalho,E.Wagner,A.C.Morgado, A Matemática do Ensino Médio- Coleção do Professor de Matemática, volume 2 SBM, Rio de Janeiro, E.L.Lima- Medidas e Formas em Geometria- Rio de Janeiro, SBM, E.Q.Frota, M.L.B.Queiroz, Geometria Plana Euclidiana e construções geometricas- Editora da UNICAMP Ficha técnica Autor Otilia Terezinha W. Paques Revisor Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira Halloween 13/13