BOLA SALTITANTE. 2. Coloque a sensibilidade do CBR2 em normal, deslocando o botão para o lado da bola.

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1 BOLA SALTITANTE Aspectos matemáticos: - Funções quadrática e parábola Material a utilizar: - Calculadora TI83 ou TI84, família Plus. - CBR2 TM - Aplicação EasyData TM para a calculadora - Uma bola de ténis ou Basket Procedimentos da realização da experiência: 1. Para realizar actividade relativamente a esta experiência, é conveniente a presença de três pessoas, uma para utilizar o CBR2, outra para utilizar a calculadora e outra para utilizar a bola. 2. Coloque a sensibilidade do CBR2 em normal, deslocando o botão para o lado da bola. 3. Conecte o CBR2 à calculadora. Se o fizer através da porta mini- USB a aplicação Easy Data surgirá automaticamente. Se o fizer com o cabo I/O-I/O, terá de aceder à aplicação EasyData em APPS. 4. Pressione a tecla Y= para aceder a File, de onde deve seleccionar a opção 1:New pressionando 1, ou ENTER desde que a opção pretendida esteja com fundo negro. Deste modo será feito um reset ao programa, limpando dados anteriores. (fig. 1 e 2) 5. De seguida, no menu Setup (que acede pressionando WINDOW), fig. 1 fig. 2 fig. 3 seleccione 5: Ball Bounce. (fig. 3) 6. Accione o menu Start (pressionando ZOOM), e siga as instruções que se vão seguir. fig. 4 1

2 7. Enquanto uma pessoa segura no CBR2, outra coloca sob ele uma bola a uma distância mínima de 15 cm (se se tratasse de um CBR mais antigo esta distância mínima deveria ser de 50 cm). Seguindo as instruções que vão surgindo no ecrã, pode destacar o CBR2 do cabo que o liga à calculadora. Terá, a seguir, de premir no CBR2 o botão TRIGGER para iniciar a recolha de dados. Assim que o CBR começar a emitir um som, a pessoa que segura a bola deve soltála, afastando-se de seguida. Se a bola se afastar do campo de fig. 5 fig. 6 acção do CBR2, deve deslocá-lo horizontalmente sobre a bola. (fig. 5 e 6) 8. Quando o CBR2 parar de emitir o som, cerca de 5 segundos depois de ter começado, volte a conectar o CBR2 à calculadora e seleccione Next. Os dados serão transferidos para a calculadora e de seguida surgirá uma representação gráfica desses dados em função do tempo. Essa representação será idêntica à da figura 9, com o aspecto de saltos de bola. Caso contrário pode repetir a recolha fig. 7 fig. 8 de dados. (fig. 7 e 8) fig Para repetir a recolha de dados seleccione Main, e de seguida Start, repetindo os procedimentos já referidos anteriormente. Deve seleccionar OK quando surgir a indicação de que os dados anteriores serão substituídos pelos novos. (fig. 9) 10. Assim que o resultado da experiência seja do seu agrado poderá estudar o gráfico, seja ele da distância em função do tempo, da velocidade em função do tempo ou da aceleração em função do tempo. Seleccione Plots para aceder ao menu onde escolherá o gráfico pretendido. 11. Escolha o gráfico de distância/tempo seleccionando 1: Dist vs Time. Poderá obter coordenadas de pontos do gráfico pressionando as teclas de cursor, sem activar TRACE. Se acidentalmente premir a tecla TRACE, sairá do menu Main, mas poderá facilmente voltar ao gráfico activando o menu Graph, novamente premindo TRACE. Neste momento, ao trabalhar com alunos, é oportuna uma discussão acerca do significado das coordenadas de pontos, da representação gráfica em geral, preferencialmente num contexto interdisciplinar. Reflicta sobre as questões que poderá colocar aos fig. 10 fig. 11 alunos e responda às questões 1 a 4. (fig. 10 e 11) 2

3 De seguida vamos proceder a uma análise de dados mais pormenorizada. Esta análise poderá ser realizada de diversas formas. Vamos aqui trabalhar dos seguintes modos: A. Analisar os dados dentro da aplicação Easy Data. Deste modo os alunos terão de trabalhar em grupo porque só é possível trabalhar com a calculadora que foi utilizada na experiência. B. Sair da aplicação e: B1. utilizar a regressão da calculadora B2. utilizar a relação entre os parâmetros da função quadrática e a parábola de modo a determinar manualmente a regressão. Nestes casos, os dados podem ser transferidos para outra calculadora, pelo que há maior possibilidade de autonomia para realizar o trabalho desta forma. A) Análise de dados dentro da aplicação Easy Data 1. Seleccionar Analyz e escolher a opção 7: Select Region para trabalhar com uma parábola apenas. (fig. 1) 2. Surge uma mensagem de aviso informando que ao seleccionar uma região, os dados fora da mesma serão perdidos. Vamos continuar, pelo que deve seleccionar OK, surgindo o gráfico. Coloque o cursor no início do 1º salto completo, com as teclas direccionais, e pressiona ENTER. Faça procedimento análogo para o último fig. 1 fig. 2 fig. 3 ponto do 1º salto completo. (fig. 2 e 3) 3. Aparecerá no ecrã a representação gráfica desse salto, com a janela automaticamente ajustada. Consegue-se assim melhor percepcionar a parábola. (fig. 4) 4. Se seleccionar o gráfico 3: Accel(m/s 2 ) vs Time em Graph, e utilizar o cursor ao longo da representação pode observar os valores da aceleração em função do tempo. Responda à questão 5. (fig. 5 e 6) 5. Voltando ao gráfico Distância/Tempo, trabalhando no menu Graph, podemos obter uma regressão quadrática ao seleccionar Analyz e 3: Quadratic Fit. (fig. 7 e 8) 6. Pressione OK para traçar a curva de regressão. (fig. 9 e 10) fig. 4 fig. 5 fig. 6 fig. 7 fig. 8 Este método reveste-se de grande vantagem pelo facto de ser rápida e precisa a obtenção da curva de regressão, sendo de considerar desvantajosa qualquer impossibilidade didáctica considerada pelo professor, bem como a perda dos dados para além da região analisada. fig. 9 fig. 10 3

4 B1) Regressão da calculadora, fora da aplicação Easy Data Repita a experiência de recolha de dados se começou por realizar os procedimentos do modo A). 1. Uma vez observado um gráfico plausível no ecrã da calculadora, active Main, e de seguida Quit. 2. Surge uma informação no ecrã a indicar para onde serão transferidos os dados. Nesta experiência o tempo será colocado na lista L1, e os restantes dados: distância, velocidade e aceleração, serão colocados nas listas L6, L7 e L8, respectivamente. (fig. 1) fig. 1 fig. 2 fig Pressionando 2ND Y=, para fazer as escolhas necessárias, e depois ZOOM 9 podemos obter uma representação gráfica análoga à observada dentro da aplicação Easy Data. (fig. 2 e 3) 4. Vamos seleccionar uma região correspondente ao primeiro salto completo, sem eliminar o conjunto de dados. Vamos colocar na lista L2 os tempos correspondentes à nova região, e na lista L3 a altura da bola correspondente a esses valores de tempo. 5. Aceda ao Menu List, pressionando sucessivamente 2ND e STAT. fig. 4 fig. 5 fig. 6 Coloque o cursor sobre OPS e seleccione 8: Select. (fig. 4) 6. Posteriormente complete a expressão como na figura 5. Faça ENTER e de seguida posicione o cursor no início de região pretendida, pressione ENTER e faça o mesmo relativamente ao final da mesma região. Nas listas L2 e L3 ficarão os dados da região fig. 7 fig. 8 que seleccionou e um gráfico dessa região surgirá. (fig. 6 e 7) 7. Obtenha agora uma regressão quadrática, a da calculadora. Pressione STAT e de seguida aceda a Calc e active a opção 5: QuadReg. De seguida complete com L2,L3,Y1 e pressione ENTER no final. Surgirá uma representação gráfica da função quadrática de regressão. (fig. 8 e 9) 8. Pressione GRAPH e obterá o traçado da parábola correspondente à função quadrática de regressão, em conjunto com a representação do salto seleccionado. fig. 9 fig. 10 fig. 11 4

5 B2) Regressão manual, fora da aplicação Easy Data Repita a experiência de recolha de dados se começou por realizar os procedimentos do modo A). 1. Efectue os procedimentos descritos nos primeiros 6 pontos do modo anterior. 2. Escreva no editor de funções a expressão A( X H) 2 + K. fig. 1 fig. 2 Utiliza a tecla TRACE e obtenha as coordenadas do vértice da parábola. Responda à questão 6. (fig. 2) 3. Atribua valores aos parâmetros, pressionando sucessivamente: o [valor a atribuir], STO e ALPHA [letra]. Para os parâmetros H e K utilize a recolha realizada no ponto anterior. Para A, sendo uma parábola com a concavidade para baixo, atribua, por exemplo, -1. fig. 3 fig. 4 Pressione de seguida GRAPH. (fig. 3 e 4) 4. Surge um gráfico que é desajustado em termos de abertura da parábola. Proceda a correcções. Responda à questão 7. Verá que um valor negativo que esteja relacionado com a aceleração de gravidade é um bom valor. (fig. 5, 6 e 7) fig. 5 fig. 6 Responda as questões 8 a 11, e posteriormente 12 a 14. fig. 7 QUESTIONÁRIO 1. Que propriedade física está representada no eixo dos xx? Quais são as unidades? 2. Que propriedade física está representada no eixo dos yy? Quais são as unidades? 3. O que representa o ponto mais alto de cada parábola? E os pontos mais baixos? 4. Porque é que a representação gráfica se assemelha aos saltos da bola a partir do solo? 5. Qual o significado dos valores da aceleração em função do tempo? 5

6 Realizada a experiência e efectuando procedimentos no modo B2, pode observar que a parábola é um bom gráfico para relacionar a altura da bola em função do tempo. Aliás, em condições ideais, não considerando, por exemplo, a resistência do ar e as aproximações com que a calculadora trabalha, seria uma parábola perfeita. A equação que descreve o movimento é uma equação quadrática do tipo Y = A(X H) 2 + K em que A está relacionado com a abertura e concavidade da parábola e (H, K) é o seu vértice. 6. Efectue TRACE sobre a representação gráfica para identificar as coordenadas do vértice do salto que escolheu e registe os valores X e Y obtidos como H e K H = K = Poderá guardar estes valores em H e K na calculadora. Uma possibilidade que tem é a atribuição dos valores como foi referido no ponto 3 dos procedimentos, ou então realizando a seguinte sequência de teclas: 7. Para encontrar a equação da parábola poderá utilizar o método da tentativa e erro no caso do parâmetro A. Inicie com A = 1 e vá ajustando guardando novos valores em A. Para cada novo valor de A que teste, pressione GRAPH para visualizar a nova parábola correspondente. Experimente até obter um bom traçado. Registe o valor de A. A = 8. Escreva agora a equação da parábola. Y = 9. Qual o efeito do sinal de A na parábola? 10. Qual o efeito do aumento de A no aspecto da parábola? E da diminuição de A? 11. Que mudanças pensa que podem ocorrer na equação da parábola se considerar outro salto da bola? 6

7 UM POUCO MAIS LONGE 12. Retome a representação gráfica com as listas L1 e L6 e repita os procedimentos anteriores para um outro salto da bola. Quando utilizar a função Select, escolha L4 e L5 para guarder os dados. Encontre uma equação para este novo salto. De seguida, escreva a expressão emy2,do editor de funções, e trace o gráfico para observar se é adequado ao salto. 13. Utilizando a descoberta sobre o valor de A na equação quadrática, escreva a equação de uma parábola correspondente a um salto da bola que tenha vértice (7; 0,48). Considere que os dados estão em metros. 14. Se uma bola for mais ou menos saltitona do que a utilizada, será que isso afecta o valor de A na equação? Explica! MAIS LONGE AÍNDA Aspectos matemáticos: - Funções quadrática e parábola - Função exponencial 1. Considere os primeiros 8 saltos completos e represente-os graficamente. 2. Faça TRACE no vértice da 1ª parábola e guarde os valores de X e de Y, coordenadas do mesmo, em listas separadas. Repita o procedimento com os restantes vértices. 7

8 3. Represente graficamente os vértices e as parábolas, e de seguida experimente diferentes regressões para o conjunto dos vértices. Linear e exponencial, por exemplo. 4. A observação do coeficiente r 2 permite, neste caso, concluir que a curva exponencial se ajusta melhor ao conjunto de pontos, mas poderia também ter feito um ZOOM 1:ZBox sobre alguns dos saltos para conjecturar sobre a melhor curva de uma forma visual. 5. Volte ao editor de funções e analise as expressões, nomeadamente a exponencial. É oportuno discutir com os estudantes que a exponencial é uma espécie de multiplicação repetida, por exemplo, 0 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) 0,6 0,72 0,6 0,72 0,6 0,72 0,72 0,6 0,72 0,72 0,72 6. É oportuno discutir com os estudantes o significado deste produto sucessivo em termos de percentagem da altura máxima de um salto relativamente ao anterior. 7. Considere a razão entre a altura de cada salto e a altura do anterior. Registe no quadro da questão A média dos dados da lista L3 é um bom candidato para representar a percentagem de cada salto relativamente ao anterior. Diz-nos que a altura máxima de cada salto é cerca de 86% da do anterior. Registe no quadro da questão Para encontrar uma expressão da função exponencial, que se ajuste ao conjunto de pontos, é necessário conhecer a altura inicial do lançamento da bola. Não temos esse valor, mas podemos obter uma aproximação tendo em conta que L2(1)=0,855X[essa altura], donde L2(1)/0,86 é um ( ) bom candidato para a na expressão a 0,855 n. 10. Regresse ao editor de funções e escreva em Y4 a expressão A x M. Pressione GRAPH e obtenha o gráfico, juntamente com os anteriores. É diferente!! Porquê? Tente explicar! Faça verificações com a utilização da calculadora! 8

9 E AÍNDA MAIS LONGE 1. Considere novamente o salto completo da bola e encontre a função quadrática de regressão da máquina que modela o salto. Para apresentar o gráfico, faça ZOOM 9 de modo a ajustar a representação ao ecrã. 2. Estudemos agora a velocidade instantânea em 0,7. Vamos recorrer ao estudo dos declives das secantes que passam nos pontos de abcissas 0,7 e 0,7+h, sendo h valores pré-definidas e tendentes para zero. Podemos colocar em Y2 uma expressão dos declives destas secantes. Neste caso, x representa o valor dos acréscimos h. Nada tem que ver com a variável x de Y1. O gráfico da função Y2 não tem interesse especial. Poderá, no entanto, retirar dele alguma informação relevante? 3. É possível, com muita rapidez, o estudo numérico dos declives das secantes (também para a esquerda de 0,7) recorrendo a uma tabela. Os acréscimos podem ser facilmente refinados. Podemos constatar que os valores dos declives das sucessivas secantes estão a estabilizar à volta de 1,435, o que nos leva a concluir que a velocidade instantânea (declive da tangente) será um valor muito próximo de 1, Vamos verificar este valor, recorrendo ao menu CALC, actuando sobre o modelo quadrático. É habitual o professor de matemática tratar este assunto fazendo, no quadro, a representação das sucessivas secantes e provocando a intuição a partir da representação geométrica sobre a aproximação à tangente. Será vantajoso tirar partido da calculadora gráfica e do que foi observado numericamente no sentido de proporcionar ao aluno esse efeito visual. Isto pode ser feito, apesar de ser necessário efectuar alguma álgebra, o que é vantajoso por permitir a completa compreensão do que a calculadora vai mostrar. 9

10 5. Coloquem-se numa lista, L4 neste caso, valores numéricos que correspondem à diferença entre 0,7 e a abcissa do outro ponto de intersecção da secante com o gráfico, e cada vez mais próximos de zero por forma a termos secantes cada vez mais próximas da recta tangente. 6. Noutra lista, L5, coloquem-se os declives das rectas secantes correspondentes a cada um dos valores de L4. Na lista L6 coloquem-se as ordenadas na origem de cada uma das rectas secantes. 7. De seguida podemos colocar no editor de funções a família de funções afins cujos gráficos são as sucessivas rectas secantes e podemos traçá-las. Estes procedimentos têm de ser cuidadosamente tratados, pois doutra forma pode perder-se as suas vantagens didácticas, que se ajustam aos programas oficiais de matemática do ensino secundário. São bastante versáteis, na medida em que se podem alterar a janela de visualização, a função e os acréscimos, sem voltar a ter de se refazer todo o trabalho. 10