GERAÇÃO DE APROXIMAÇÕES PARA CORRELAÇÕES EM CÓDIGOS DE ANÁLISE TERMO-HIDRÁULICA. Luiz Carlos Martins Pereira* e Eduardo Gomes Dutra do Carmo**

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1 GERAÇÃO DE APROXIMAÇÕES PARA CORRELAÇÕES EM CÓDIGOS DE ANÁLISE TERMO-HIDRÁULICA Luiz Carlos Martins Pereira* e Eduardo Gomes Dutra do Carmo** *Comissão Nacional de Energia Nuclear (CNEN) Rua General Severiano 90 - Sala 419/A , Rio de Janeiro **Coordenação dos Programas de Pós-Graduação em Engenharia - COPPE/UFRJ Programa de Engenharia Nuclear Caixa Postal: , Rio de Janeiro RESUMO Para simulação eficiente dos fenômenos de transporte de massa, energia e momentum associados à geração de potência em centrais nucleares, uma avaliação rápida e precisa das propriedades termodinâmicas e de transporte do fluido faz-se necessária. É apresentado um código de geração de aproximações, para correlações com uma ou duas variáveis independentes, inteiramente automático. Comparações em termos de velocidade de acesso e precisão são feitas com correlações originais de uso corrente, mostrando a validade das aproximações geradas. I. INTRODUÇÃO Na representação computacional dos fenômenos de transporte de massa, energia e momentum em análises de segurança de reatores nucleares, todos os termos que compõem as equações de conservação devem ser avaliados tão precisa e rapidamente quando for possível. Esse requisito, importante em qualquer tipo de análise, se torna imprescindível no caso de simulação em tempo real. Para a eficiente avaliação dos termos constituintes das equações de conservação, é necessário que as propriedades termodinâmicas e de transporte, que participam de suas formulações, sejam avaliadas eficientemente. Portanto, os códigos termo-hidráulicos utilizados hoje em dia, como o Relap5 [1], empregam um grande número de aproximações para essas propriedades, que em geral são de dois tipos: tabelas a serem interpoladas durante a própria execução do programa e funções simplificadas, que podem ser avaliadas mais rapidamente que a função original. Evidentemente cada aproximação tem um erro associado dentro de uma tolerância considerada aceitável pelo projetista/usuário do código de análise termo-hidráulica em questão. O objetivo desse trabalho é a apresentação de um código de geração de aproximações de propriedades termodinâmicas e de transporte para água, o PITVAP (Gerador de Aproximações Polinomiais Interpolantes por Partes para Tabelas de Vapor), para funções com uma ou duas variáveis independentes, escrito na linguagem FORTRAN90. Esse código apresenta características interessantes, como, por exemplo, completo automatismo na geração das aproximações, de forma que essas aproximações são escritas em rotinas em FORTRAN diretamente pelo próprio código, e um eficaz controle da tolerância apresentada pela aproximação em relação à função original. As aproximações geradas são do tipo polinomial por partes, ou seja, são funções cujas restrições em cada um dos subdomínios, em que se divide o domínio total, são polinômios simples de grau especificado pelo usuário. Neste trabalho, essas e outras características do código PITVAP são discutidas e também são apresentados resultados de sua aplicação para aproximação de algumas funções de interesse na área de simulação termohidráulica. II. DESCRIÇÃO DO CÓDIGO PITVAP O código PITVAP foi desenvolvido usando o software de compilação e linkedição Fortran Power Station 4.0 da Microsoft [2], que possibilita o uso da linguagem FORTRAN90 que, além de facilitar o desenvolvimento de programas bem estruturados, permite o uso de variáveis ponteiro de modo direto, tornando desnecessária a utilização do Supervetor, como era

2 comum para alocação dinâmica de programas escritos em FORTRAN77. O código usa um procedimento simples para geração das aproximações. Ele divide toda a região de interesse em subdomínios e em cada subdomínio a função original é aproximada por um polinômio linear, quadrático ou cúbico, no caso de uma variável independente, e bilinear, biquadrático ou bicúbico, no caso de duas variáveis independentes. Esses polinômios em cada subdomínio são escritos na forma de Newton com potência deslocada, de forma a se garantir que a função aproximada seja calculada com o menor número de operações aritméticas e que o valor da aproximação seja o mais preciso possível. Por exemplo, para o caso de uma função com duas variáveis independentes, Fr(x,y), a restrição bicúbica da função aproximada, Fa(x,y), em um dado subdomínio e, pode ser expressa por: e e e e e Fa ( x, y) = ((( α ~ x + ) ~ x + ) x ~ 1 α 2 α 3 + α 4 ). (1) Os coeficientes α e i são funções de y, α i e ( y) = ((( βi e ~ 1y + βi e 2 ) y ~ + βi e 3) y ~ + βi e 4 ), (2) onde β e ij são constantes e ~ ~ x e y são coordenadas locais, que podem ser expressas em função das coordenadas globais x e y como: ~ x = x x (3) e ~ y = y y, (4) sendo x e y coordenadas globais de um ponto qualquer do subdomínio e. A partir da Eq. (1), que expressa a restrição da função aproximada em um subdomínio e, pode-se obter a forma da aproximação para o domínio total: Ne e Fa( x, y) = η Fa ( x, y), (5) e= 1 e onde Ne representa o número total de subdomínios, e η e é uma função tal que: 1, se ( x, y) subdomínio " e", η e = 0, se ( x, y) subdomínio " e". Deve-se notar que (5) representa apenas uma expressão matemática para a função aproximada no domínio total, não indicando a forma como se calcula Fa(x,y) para um dado par (x,y). No procedimento de (6) cálculo, primeiro se determina o subdomínio e a que pertence o par (x,y) e depois se utiliza a Eq. (1) para o cálculo do valor da função aproximada. No cálculo da função aproximada, a escolha do subdomínio a que pertence um determinado conjunto de variáveis independentes, e, portanto, a determinação de qual conjunto de coeficientes da função aproximada deve ser usado para avaliação da propriedade em questão, é realizada de acordo com o seguinte algoritmo. A partir do valor da variável independente x, determina-se um elemento na direção x de uma malha uniforme, que encontra-se armazenada na rotina com a aproximação. A esse elemento na malha uniforme associa-se, através de um vetor de ligação, um determinado elemento na mesma direção x de uma malha não uniforme. No caso de funções com duas variáveis independentes, o mesmo procedimento é utilizado para a direção y. Então o subdomínio correspondente à junção dos elementos determinados em cada uma das direções da malha não uniforme é o subdomínio de interesse, e, para o qual, os coeficientes de aproximação estão armazenados e são utilizados no cálculo da aproximação. No processo de geração da função aproximada, a determinação das malhas de elementos uniforme e não uniforme, citadas acima, é efetuada a partir do dados que representam o domínio das variáveis independentes. Inicialmente determina-se uma malha uni ou bidimensional (de acordo com o caso) para todo o domínio, com subdomínios de tamanhos variáveis e os maiores possíveis, que permitam que as restrições polinomiais atendam à tolerância imposta em relação à função original. A partir dessa malha não uniforme, gera-se uma uniforme, na qual os subdomínios possuem tamanho fixo igual ao menor subdomínio da malha não uniforme. Vetores de ligação são então criados, indicando a que elemento na malha não uniforme corresponde um elemento da malha unifome. Para a divisão da região de interesse nos subdomínios onde são calculados os coeficientes da função aproximada, utiliza-se o procedimento descrito a seguir. A partir de um ponto ou uma aresta que determina o início de um determinado elemento (ou subdomínio), o ponto ou aresta seguinte da malha é determinado buscando-se a maior raiz (posição na malha) que garanta a validade da seguinte restrição: Fa( x, y ) Fr( x, y ) Fr x y (7) (, ) < 0. 9Tol, onde Tol é a tolerância especificada pelo usuário e o valor 0.9 representa um fator de segurança. A escolha do método utilizado na determinação da raiz fica bastante restrita, por não se ter necessariamente a derivada da função original, o que dificulta o uso do método de Newton-Raphson. Outros métodos como o da secante e o da falsa posição também não devem ser aplicados, pois, às vezes, esses métodos apresentam problemas de convergência. Portanto usou-se o mais

3 grosseiro método de determinação de uma raiz em um intervalo, o método da bissecção, que gasta um tempo relativamente elevado na busca da raiz, mas sempre a encontra, o que é muito importante em um código que pode ter que calcular milhares (ou mesmo milhões) de raízes para determinação de apenas um conjunto de coeficientes para uma função aproximada. O código PITVAP, no caso de uma variável independente, pode ser usado em qualquer intervalo de interesse, mas a região de domínio, para o caso de duas variáveis independentes, deve atender as seguintes restrições: os limites da primeira variável independente devem ser valores fixos, fornecidos pelos usuário; já para a segunda variável independente, os limites podem ser valores fixos ou curvas conhecidas (a serem compiladas conjuntamente com o código). Isso garante, por exemplo, no caso do plano termodinâmico Pressão x Entalpia, a possibilidade de fazer aproximações para todas as 3 regiões: líquido subresfriado, vapor superaquecido e mistura bifásica, no caso de pressão abaixo do ponto crítico. Nesse caso, a curva limitante seria a entalpia de saturação (líquido e/ou vapor). O código possui, como um procedimento póscálculo, rotinas de teste para verificar se as aproximações estão atendendo às tolerâncias impostas pelo usuário. Uma interessante característica do código é a sua saída de dados. Ele gera (escreve) uma rotina em linguagem FORTRAN77, com os coeficientes e malha calculados pelo código, que podem substituir diretamente a função original. Os coeficientes, malha e vetores de ligação são alocados em comandos DATA nessas rotinas. exemplo, aproximações contínuas ou com derivadas contínuas. Uma versão usando um método de polinômios interpolantes por partes foi então desenvolvida. A nova dificuldade encontrada era que o uso de uma malha bidimensional em que os valores de coordenadas em cada uma das direções eram independentes, apesar de levar à geração de elementos retangulares em quase toda região, implicava no aparecimento de subdomínios triangulares e até pentagonais junto ao domo de saturação. Desenvolveu-se assim a atual versão, em que os pontos da malha relativos à segunda variável independente são dependentes dos pontos relativos à primeira, originando subdomínios sempre quadriláteros, mesmo em subdomínios próximos ao domo de saturação. Uma tentativa de representar uma malha bidimensional para região de vapor superaquecido, com pressão e temperatura como variáveis independentes, é feita na Figura 1, que apresenta um conjunto de 40 subdomínios com 8 intervalos de pressão e 5 de temperatura Pressão (psia) Figura 1. Malha Bidimensional (P x T) III. DIFICULDADES NA IMPLEMENTAÇÃO DO CÓDIGO PITVAP Durante o período de desenvolvimento do código PITVAP, surgiram dificuldades em se gerar aproximações para funções com duas variáveis dentro de tolerâncias aceitáveis em uma grande faixa de domínio termodinâmico. Uma discussão dessas dificuldades, que são, em sua maioria, relacionadas com a forma dos subdomínios junto à curva limite da segunda variável independente (que, de agora em diante, será referida como domo de saturação), será realizada a seguir. Nas primeiras versões do programa, utilizava-se o método dos mínimos quadrados para obtenção dos coeficientes, mas esse método foi abandonado, pois o seu uso implica na necessidade de integração em área na região do subdomínio, o que dever ser feito por um processo numérico como quadratura de Gauss, com o respectivo erro inerente à integração. Além disso, determinar a área de integração nos subdomínios junto ao domo de saturação, e o próprio processo de integração, exigiriam o uso de procedimentos específicos para aqueles subdomínios. Por fim, não poder-se-ia gerar aproximações com regularidade no contorno dos subdomínios, como, por IV. LIMITAÇÕES DO CÓDIGO O código praticamente não apresenta limitações relevantes na busca de aproximações para funções conhecidas. O uso de variáveis ponteiro, pelo FORTRAN90, garante a utilização de toda memória RAM disponível pelo conjunto máquina/compilador. Porém duas questões merecem ser discutidas mais profundamente. A primeira refere-se ao tipo de função a ser aproximada. Como não se sabe, a priori, todos as possíveis formas das funções que se pretende aproximar, também não se sabe o tipo de distribuição a que os pontos gerados por essas funções obedecem. Logo um controle do erro médio em um subdomínio não é garantia suficiente de obtenção de um erro máximo local dentro da tolerância desejada. A solução encontrada, tanto na geração dos subdomínios quanto no teste final, foi checar a validade da aproximação, ponto a ponto, em um grande número de pontos na região de interesse. Essa solução tem se mostrado satisfatória, mas eventualmente pode falhar, como, por exemplo, no caso de a função original possuir singularidades, que não seriam detectadas pela malha de teste. Tais anomalias não são esperadas para correlações

4 termodinâmicas ou de transporte, que são funções regulares. A segunda questão relaciona-se com os sistemas lineares de equações a serem formados e resolvidos pelo código para obtenção dos coeficientes de aproximação. Os sistemas gerados podem apresentar um alto grau de malcondicionamento. Esses problemas podem ser amenizados utilizando-se um esquema de solução de sistemas lineares em que primeiro é efetuado um esquema de fatorização LU e em seguida o sistema é resolvido e sua solução é refinada por um método iterativo. Além disso, os polinômios devem ser avaliados na forma de potência deslocada, como indicado na seção II, o que garante resultados mais precisos. Mesmo com esses procedimentos, sistemas malcondicionados ocasionalmente ainda ocorrem, em determinadas situações, especialmente na geração de aproximações com duas variáveis independentes não bilineares. V. RESULTADOS Para validação do código PITVAP, um conjunto de rotinas de correlações para propriedades de vapor da ASME (The American Society of Mechanical Engineers) [3] foi usado. Os valores dessas funções estão de acordo com a referência [4], também da ASME. As três correlações escolhidas em [3] com uma variável independente foram: entalpia de vapor saturado em função de pressão, dada pela rotina HGP; temperatura de saturação em função da pressão, dada pela rotina TSL; volume específico de vapor saturado em função da temperatura, dado pela rotina VGT. Todas essas funções foram aproximadas com um erro relativo de 0.01%. A TABELA 1 apresenta os erros máximos e médios das funções aproximadas e a razão no tempo de acesso das funções originais e aproximadas. Foram usados pontos na determinação desses erros. Volume (ft3/lb) Entalpia (Btu/lb) 1.24E E E E E E E E E E E+03 Pressão (psia) Figura 2. Entalpia Específica de Vapor Saturado 7.20E E E E E E E E E+03 Pressão (psia) Figura 3. Temperatura de Saturação 4.00E E E E E E E E E E E+02 Figura 4. Volume Específico de Vapor Saturado TABELA 1. Funções com 1 Variável Função Erro % Máximo Erro % Médio Razão de Tempo de Acesso HGP 9.65e e TSL 9.00e e VGT 9.00e e Gráficos com as aproximações e funções originais, para HGP, TSL e VGT, são apresentados nas Figs. 2-4, onde representa a curva com os pontos da função original e, a curva com os pontos da função aproximada. As quatro correlações escolhidas em [3] com duas variáveis independentes foram: condutividade térmica de vapor superaquecido em função de pressão e temperatura, dada pela rotina CONDV; entalpia de vapor superaquecido em função de pressão e temperatura, dada pela rotina HPDT; viscosidade dinâmica de vapor superaquecido em função de pressão e temperatura, dada pela rotina VISV; volume específico de vapor superaquecido em função de pressão e temperatura, dado pela rotina VPTD. Todas essas funções foram aproximadas com um erro relativo de 0.1%. A escolha de funções na região de vapor superaquecido justifica-se pela maior complexidade no cálculo dessas correlações nessa região, e a escolha das variáveis independentes como pressão e temperatura (e não, como poder-se-ia preferir, pressão e entalpia) foi motivada por uma maior velocidade de cálculo das funções originais com

5 o uso daquelas. As funções foram aproximadas no intervalo de pressão de 100 a 2700 psia, com valores de temperatura desde a linha de vapor saturado até 680 F. A TABELA 2 apresenta os erros máximos e médios das funções aproximadas e a razão no tempo de acesso das funções originais e aproximadas para pressão de 1000 psia. Foram usados pontos na determinação desses erros. Entalpia (Btu/lb) 1.35E E E E E E+03 Figura 6. Entalpia Específica de Vapor Superaquecido TABELA 2. Funções com 2 Variáveis Função Erro % Máximo Erro % Médio Razão de Tempo de Acesso CONDV 8.95e e HPTD V 8.93e e VISV 4.68e e VPTD 8.67e e Viscosidade (Btu/lb) 1.55E E E E E E-05 Figura 7. Viscosidade Dinâmica de Vapor Superaquecido As razões de tempo de acesso referidas nas TABELAS 1-2 indicam um valor médio entre os tempos necessários para se chamar a rotina original e a rotina com a aproximação. Certamente esses tempos têm uma forte dependência do sistema operacional usado Gráficos com as aproximações e funções originais para CONDV, HPTD e VISV e VPTD, para mesma pressão de 1000 psia, são apresentados nas Figs. 5-8, sendo e como descrito acima. Volume (lb/ft3) 6.00E E E E E-01 Condutividade (Btu/hftF) 3.80E E E E E E-02 Figura 5. Condutividade Térmica de Vapor Superaquecido Figura 8. Volume Específico de Vapor Superaquecido Tentativas de gerar aproximações para a função calor específico de vapor superaquecido, dada pela rotina CPPTD em [3], dentro da mesma faixa de valores de pressão e temperatura e com tolerância de 0.1%, mostraram-se infrutíferas. Esse fato pode ser explicado por variações locais (descontinuidades) acima de 5% nos contornos das regiões usadas pelas funções originais, como é discutido na página 6 de [4]. CONCLUSÃO O programa de geração de aproximações polinomiais interpolantes por partes foi desenvolvido para correlações de propriedades termodinâmicas ou de transporte, com uma ou duas variáveis independentes. Correlações de propriedades para água, contidas em um

6 conjunto de rotinas de propriedades bem conhecido, foi aproximado dentro de um domínio limitado, mas suficiente para aplicações em análises termo-hidráulicas. Os resultados foram satisfatórios para quase todos os casos testados, com um significativo ganho no tempo de avaliação das propriedades, para as tolerâncias impostas. Problemas encontrados na geração da função aproximada para calor específico de vapor superaquecido podem ser explicados pela falta de regularidade na função original.

7 REFERÊNCIAS [1] Ransom, V. H., et al., RELAP5/Mod2 Code Manual, Idaho National Engineering Laboratory, NUREG/CR- 4312, EGG-2396, August [2] Fortran Power Station Programmer s Guide, Microsoft Corporation, [3] Properties of Steam & Water using the 1967 IFC Formulation for Industrial Use and other IAPWS Releases, The American Society of Mechanical Engineers, New York, October [4] ASME Steam Tables, 6th Edition, The American Society of Mechanical Engineers, New York, ABSTRACT A fast and precise evaluation of fluid thermodynamic and transport properties is needed for the efficient simulation of mass, energy and momentum transport phenomena related to nuclear plant power generation. Here, a fully automatic code capable to generate suitable approximation for correlations with one or two independent variables is presented. Comparison in terms of access speed and precision with original correlations currently used shows the adequacy of the approximation obtained.