Resolução do Sistema de Equações do Leito Móbil Simulado usando aproximação polinomial em elementos nitos
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- Marco Laranjeira
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1 Introdução Resolução do Sistema de Equações do Leito Móbil Simulado usando aproximação polinomial em elementos nitos Reinaldo Calderón Supelano Prof: Argimiro Resende Secchi Universidade Federal do Rio de janeiro Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia Programa de Engenharia Química 14 de Decembro de 2017 Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
2 Introdução Contextualização Figura 1: Analogia da cromatograa contracorrente com um separador de uma tartaruga e um gato. a) Esquema e analogia para a eluição cromatográca. b) Analgia de cromatograa contracorrente. c) Esquema de cromatograa contracorrente Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
3 Introdução Contextualização Figura 2: Esquema Leito Móbil Verdadeiro (TMB) e do Leito Móbil Simulado (LMS) separando uma mistura binária (A e B). Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
4 Introdução Objetivos Resolver o sistema de equações do Leito Móbil Simulado (LMS), para os casos de isoterma linear e linear-langmuir competitiva. Resolver o sistema de equações mediante o método da colocação, aplicado a elementos nitos, e comparar com o método de diferencias nitas. Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
5 Introdução Objetivos Resolver o sistema de equações do Leito Móbil Simulado (LMS), para os casos de isoterma linear e linear-langmuir competitiva. Resolver o sistema de equações mediante o método da colocação, aplicado a elementos nitos, e comparar com o método de diferencias nitas. Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
6 Modelo matemático Modelo Matemático O balanço de massa por componente para a fase uida numa coluna i do LMB é dado por: C i,k t = v m,k C i,k z + D i,k 2 C i,k z 2 ( 1 εk ε k ) qi,k t (1) Condições iniciais e de contorno C i,k (0, z) = C 0,i,k (z) C i,k ] D i,k z z=0 = v m,k [C i,k (t, 0) C j i,k (t) (3) C i,k (t, z) z z=lk = 0 (4) (2) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
7 Modelo matemático Modelo Matemático O balanço de massa por componente para a fase uida numa coluna i do LMB é dado por: C i,k t = v m,k C i,k z + D i,k 2 C i,k z 2 ( 1 εk ε k ) qi,k t (1) Condições iniciais e de contorno C i,k (0, z) = C 0,i,k (z) C i,k ] D i,k z z=0 = v m,k [C i,k (t, 0) C j i,k (t) (3) C i,k (t, z) z z=lk = 0 (4) (2) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
8 Modelo matemático Modelo Matemático Concentração de entrada da coluna C j (t) Seção I, primeira coluna C i,k I = Q IV C i,k 1 (t, l k 1 ) Q I (5) Seção III, primeira coluna C i,k(t) III = Q II C i,k 1 (t, l k 1 ) + Q f C f,i Q III (6) Qualquer outra coluna: C j i,k (t) = C i,k 1(t, l k 1 ) (7) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
9 Modelo matemático Modelo Matemático O equilíbrio entre a fase móbil e estacionária, pode ser expressado como: Equilíbrio Local q i,k t = q e,i,k t (8) q e,i = H i C i q e,i = H i C i + q m,ik i C i 1 + M K i C i i=1 (9) (10) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
10 Modelo matemático Modelo Matemático Ao substituir a isoterma no modelo tem-se: C i,k t = F i,k t (1 + R j (1 + K i C i,k ) + G j ) + F j,k t R i K j C i,k De (11) De = 1 + R i + R j + R i K j C i,k + R j K i C i,k + R i R j (i + K i C i,k + K j C j,k ) + G i + G j + G i R j + G j R i + G i R j K i C i,k + G j R i K j C j,k + G i G j (12) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
11 Modelo matemático Modelo Matemático F i,k t = v m,k C i,k z + D i,k 2 C i,k z 2 (13) R i = (1 ε k ) q m,i K i ε k (1 + K i C i,k + K j C j,k ) 2 ( 1 εk G i = ε k ) H i (14) (15) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
12 Modelo matemático Discretização Diferencias nitas dc i,k η dt = v k C i,k η C i,k η 1 z + D i,k C i,k η+1 2C i,k η + C i,k η 1 z 2 ( ) 1 εk dqi,kη dt ε k (16) C i,k η=0 = C i,k (t) + D i,k C i,k η=n+1 = C i,k η=n v k z C i,k η=1 1 + D i,k v k z (17) (18) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
13 Modelo matemático Discretização Aproximação polinomial C i,k θ = v n+1 m,k v max q=0 A p,q C i,k (t, u q ) + D n+1 i,k v max L q=o B p,q C i,k (t, u q ) ( 1 εk ε k ) qi,k θ (19) A p,q = 1 dl q (u) u m du up B p,q = 1 d 2 L q (u) u m du 2 up (20) (21) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
14 Modelo matemático Discretização Aproximação polinomial Condições de Contorno ( ) Di,k L A 0,0 v m,k C i,k + u0 D i,k L A 0,n+1C i,k = un+1 D i,k L n q=1 A 0,q C i,k v m,k C j i,k (22) A n+1,0 C i,k u0 + A n+1,n+1 C i,k un+1 = n q=1 A n+1,q C i,k (23) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
15 Modelo matemático Discretização Aproximação polinomial Condições de Continuidade m m A n+1,0 C i,k + (A n+1,n+1 A 0,0 ) C i,k A 0,n+1 C i,k u 0 u n+1 = n q=1 m+1 u n+1 A n+1,q C i,k m + n q=1 A 0,q C i,k m+1 (24) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
16 Resultados Isoterma Linear Resultados Isoterma Linear Tabela 1: Parâmetros para a separação da mistura racêmica de Uridina (A) -guanosina (B). O índice A faz referência ao enantiômero menos retenido e o B ao mais retenido. Parâmetros Valor Parâmetros Valor Parâmetros Valor l (cm) 10 C f,b (g L 1 ) 1 d (cm) 1 H A (L g 1 ) θ (min) 2 ε H B (L g 1 ) Q I (cm 3 min 1 ) D A (cm 2 min 1 ) 0.84 K f,a (min 1 ) Q II (cm 3 min 1 ) D B (cm 2 min 1 ) 1.02 K f,b (min 1 ) Q III (cm 3 min 1 ) C f,a (g L 1 ) 1 Q IV (cm 3 min 1 ) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
17 Resultados Isoterma Linear Isoterma Linear Mobile phase Concentration (-) raf feed ext 4 des Total Bed Length (-) Figura 3: Perl de separação de Uridina(A)-guanosina(B) para 4, 8, 16, e 32 pontos internos, usando aproximação polinomial global (Tol Absoluta= 1e-05 e tol Relativa=1e-06) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
18 Resultados Isoterma Linear Isoterma Linear Mobile phase Concentration (-) raf feed ext 1 des Total Bed Length (-) Figura 4: Perl de separação de Uridina(A)-guanosina(B) para elementos nitos internos (Tol Absoluta= 1e-05 e tol Relativa=1e-06) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
19 Resultados Isoterma Linear Isoterma Linear Mobile phase Concentration (-) raf feed ext 8 des Total Bed Length (-) Figura 5: Perl de separação de Uridina(A)-guanosina(B) para 8, 16, 32, 64 e 128 pontos internos, usando Diferencias nitas (Tol Absoluta= 1e-05 e tol Relativa=1e-06) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
20 Resultados Isoterma Linear Isoterma Linear Mobile phase Concentration (-) raf feed ext AP(16) des DF(128) Total Bed Length (-) Figura 6: Perl de separação de Uridina(A)-guanosina(B) usando diferencias nitas (128 pontos) e aproximação polinomial (16 pontos) (Tol Absoluta= 1e-05 e tol Relativa=1e-06). Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
21 Resultados Isoterma Linear-Langmuir Competitiva Isoterma Linear-Langmuir Competitiva Tabela 2: Parâmetros para a separação da mistura racêmica de Praziquantel. O índice A faz referência ao enantiômero menos retenido e o B ao mais retenido. Parâmetros Valor Parâmetros Valor Parâmetros Valor l (cm) 25 q m,b (g L 1 ) C f,b (g L 1 ) 1 d (cm) 0.46 K A (L g 1 ) θ (min) 1.17 ε 0.82 K B (L g 1 ) Q I (cm 3 min 1 ) D A (cm 2 min 1 ) K f,a (min 1 ) Q II (cm 3 min 1 ) D B (cm 2 min 1 ) K f,b (min 1 ) Q III (cm 3 min 1 ) q m,a (g L 1 ) C f,a (g L 1 ) 1 Q IV (cm 3 min 1 ) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
22 Resultados Isoterma Linear-Langmuir Competitiva Isoterma Linear-Langmuir Competitiva Mobile phase Concentration (-) raf feed ext 4 des Total Bed Length (-) Figura 7: Perl de separação de Praziquantel para 4, 8, 16, e 32 pontos internos, usando aproximação polinomial. global (Tol Absoluta= 1e-05 e tol Relativa=1e-06) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
23 Resultados Isoterma Linear-Langmuir Competitiva Isoterma Linear-Langmuir Competitiva Mobile phase Concentration (-) raf feed ext 1 des Total Bed Length (-) Figura 8: Perl de separação de Praziquantel para 1, 2, 4, 8, 16 elementos nitos internos (Tol Absoluta= 1e-05 e tol Relativa=1e-06) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
24 Resultados Isoterma Linear-Langmuir Competitiva Isoterma Linear-Langmuir Competitiva Mobile phase Concentration (-) raf feed ext 1 des Total Bed Length (-) Figura 9: Perl de separação de Praziquantel para 1, 2, 16 elementos nitos internos (Tol Absoluta= 1e-05 e tol Relativa=1e-06) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
25 Resultados Isoterma Linear-Langmuir Competitiva Isoterma Linear-Langmuir Competitiva Mobile phase Concentration (-) raf feed ext 8 des Total Bed Length (-) Figura 10: Perl de separação de Praziquantel para 8, 16, 32, 64 e 128 pontos internos, usando Diferencias nitas (Tol Absoluta= 1e-05 e tol Relativa=1e-06) Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
26 Resultados Isoterma Linear-Langmuir Competitiva Isoterma Linear Mobile phase Concentration (-) raf feed ext AP(16) des DF(128) Total Bed Length (-) Figura 11: Perl de separação de Praziquantel usando diferencias nitas (128 pontos) e aproximação polinomial (16 pontos) (Tol Absoluta= 1e-05 e tol Relativa=1e-06). Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
27 Conclusões Conclusões Foi implementado o método de aproximação polinomial sobre elementos nitos no SiMoBed. Foram considerados dois casos de estudo, com diferentes isotermas de adsorção. O que apresentava a isoterma linear teve um melhor comportamento que o outro. O número de pontos internos no método da aproximação polinomial é muito menor que no de diferencias nitas. O método de aproximação polinomial está em estudo para otimização e controle do LMS. Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
28 Conclusões Referências 1 AS Andrade Neto, AR Secchi, MB Souza, and AG Barreto. Nonlinear model predictive control applied to the separation of praziquantel in simulated moving bed chromatography. Journal of Chromatography A, 1470:4249, Markus Juza, Marco Mazzotti, and Massimo Morbidelli. Simulated movingbed chromatography and its application to chirotechnology. Trends in Biotechnology, 18(3):108118, Roger M Nicoud. Simulated moving bed (smb): some possible applications for biotechnology. Bioseparation and Bioprocessing: Biochromatography, Membrane Separations, Modeling, Validation, pages 139, Stefanie Abel, Marco Mazzotti, and Massimo Morbidelli. Solvent gradient operation of simulated moving beds: I. linear isotherms. Journal of chromatography A, 944(1):2339, Reinaldo Supelano (UFRJ/COPPE/PEQ) Equilíbrio de Fases 14 de Decembro de / 25
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