Conversas Sobre Matemática

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1 Conversas Sobre Matemática Lista de palestras Qual o tamanho do infinito?, Ana Isabel Santos Os modelos estatísticos e as asas de Ícaro, Ana Sampaio Redes Complexas e a Matemática: redes sociais, redes tecnológicas, redes biológicas, redes complexas e a internet, Clara Grácio Como comparar números sem saber contar?, Clara Grácio Como mentir com a Estatística, Dulce Gomes Matemática e Magia, Feliz Minhós A Área do círculo há dois mil anos. E agora?, Fernando Carapau A matemática no xadrez: breve introdução histórica, regras e dinâmica do jogo, Fernando Carapau Modelação Matemática, Joaquim M.C. Correia Estatística tornada fácil numa folha de cálculo, Jorge Santos Internet e telecomunicações? Sim, também aqui precisamos da Matemática, Gonçalo Jacinto A Matemática e o Princípio de Ação Mínima, Graça Carita Como uma formiga pode segurar um elefante? Luís Bandeira As Galáxias e a Matemática, Miguel Avillez Uma Viagem ao Controlo Estatístico de Qualidade, Paulo Infante Jogos e Estatística, Paulo Infante e Anabela Afonso Algumas sucessões, e curiosidades sobre elas, Pedro Marques Geometrias não-euclidianas, Rui Albuquerque Vamos contar animais selvagens, Russell Alpizar-Jara Indução matemática, dominó e árvores genealógicas, Sara Fernandes Princípio de Dirichlet, Vladimir Bushenkov Como ganhar uma corrida ou Matemática e Desporto, Vladimir Bushenkov A procura do "óptimo" ao longo dos tempos, Vladimir Bushenkov ou António Ornelas

2 Qual o tamanho do infinito? Ana Isabel Mendes dos Santos Nesta palestra aborda-se, de modo algo informal, o conceito de infinito. A evolução do conceito de infinito é apresentada numa perspetiva histórica que vai desde a antiguidade, com os paradoxos de Zenão dos quais se destaca o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, até ao século XIX, com a teoria de Cantor. A teoria de Cantor é introduzida e explicada sem grandes formalismos, bem como algumas das suas conclusões. São ainda apresentados alguns problemas em aberto, nomeadamente, através dos paradoxos de Cantor, de entre os quais se salienta o paradoxo do Hotel Infinito. Os modelos estatísticos e as asas de Ícaro Ana Sampaio Redes Complexas e a Matemática: redes sociais, redes tecnológicas, redes biológicas, redes complexas e a internet Clara Grácio O estudo das redes complexas baseia-se em áreas distintas do conhecimento e é caracterizado por ser capaz de modelar os relacionamentos existentes na natureza, na sociedade ou até num conjunto de documentos. São exemplos as redes sociais, as redes tecnológicas, as redes biológicas ou as redes complexas e a internet. O estudo das redes complexas é transversal a toda a ciência, desde a neurobiologia à física estatística. Entender como um enorme conjunto de sistemas dinâmicos que interagem, sejam eles neurónios, estações de energia, lasers, aeroportos, proteínas ou administrações de empresas, se comporta coletivamente dadas as suas características individuais e a sua arquitetura de acoplamento. Os investigadores estão apenas a começar a desvendar a estrutura e dinâmica das redes complexas. Nesta palestra falaremos de questões tais como: - O que é uma rede complexa? - Redes complexas no mundo real; - Propriedades importantes de redes complexas; - Alguns modelos de rede; - Exemplos de redes sociais, tecnológicas, biológicas, internet;

3 - Aplicações a redes reais; - Exemplos de investigações atuais desenvolvidas no Departamento de Matemática da Universidade de Évora em equipas internacionais. Como comparar números sem saber contar? Clara Grácio Esta palestra diferencia o ato de contar com o ato de comparar e estuda a história dos números desde os primeiros que estão identificados, há anos, até aos nossos dias, passando pela civilização suméria, chinesa, indiana ou a linguagem digital. São considerados, como exemplos, números muito famosos como o pi ou o número de ouro. Esta viagem é realizada através de objetos artísticos, visando contribuir para a aproximação da arte e da cultura com a matemática. Como mentir com a Estatística Dulce Gomes Nos dias de hoje a informação que nos chega quer seja no discurso político, quer nos vários dados publicados pelo INE (Instituto Nacional de Estatística) quer mesmo em casos mais simples (mas por vezes de repercussões sérias) de resultados de inquéritos ou de sondagens feitas por várias entidades é, por vezes, de leitura acessível e imediata a qualquer um mas nem sempre a forma como esta informação nos é apresentada e/ou interpretada está correta. Em termos gerais, o que se pretende com esta palestra é chamar a atenção dos alunos para os erros que por vezes, até de um modo bastante fácil, se cometem quer na interpretação dos dados quer mesmo na extrapolação de conclusões. Em conclusão, apresentar-se-ão alguns exemplos chave de situações do dia-a-dia em que se cai facilmente em erros (de interpretação ou de extrapolação de conclusões), de modo a levar os alunos a adquirirem um maior sentido crítico relativamente às estatísticas que ouvem ou que leem diariamente Matemática e Magia Feliz Minhós Isto é magia?!!!...não. É só Matemática A Área do círculo há dois mil anos. E agora? Fernando Carapau Resumo

4 As civilizações mais antigas já sabiam determinar a área de regiões planas, cujo contorno eram linhas retas, por exemplo, entre outros: quadrados, triângulos, rectângulos e trapézios. O problema surgiu quando o contorno deixou de ser uma linha reta e passou a ser uma linha curva. Nesta apresentação, vamos apresentar as ideias sugeridas pelo erudito grego Antiphon (± 430 a.c.) as quais foram posteriormente esquematizadas, pelo matemático grego Eudoxio, em um algoritmo chamado de método de exaustão. Posteriormente, serão feitas generalizações para o cálculo da área de uma região plana com contorno curvilíneo qualquer. A matemática no xadrez: breve introdução histórica, regras e dinâmica do jogo Fernando Carapau De acordo com a lenda, um jogo de guerra semelhante ao xadrez foi criado há aproximadamente dois mil anos atrás na Índia. Sofrendo ligeiras mudanças, efetuou uma longa jornada através do sul da Ásia Central, Pérsia e países Árabes do Médio Oriente até à Península Ibérica. No entanto, a versão hindu da origem do jogo de xadrez tornou-se conhecida dos europeus apenas em finais do século XVII. O xadrez moderno teve a sua origem no século XV, no Mediterrâneo, tendo chegado aos dias de hoje registos de partidas realizadas nessa altura. Trata-se de um jogo intelectual, nos moldes de uma guerra psicológica. De realçar que no século XVI, mais precisamente em 1512, o português Pedro Damião (natural de Odemira) publicou em Itália (provavelmente, quando o autor vivia em Roma, fugindo da Inquisição portuguesa) um dos primeiros tratados impressos sobre o xadrez, onde as regras utilizadas eram já as modernas. Nos dias de hoje a sociedade reconhece a importância do ensino do xadrez no desenvolvimento das crianças e jovens ao longo da sua escolaridade. O ensino o xadrez tem sido objeto de estudo segundo as mais diferentes abordagens: filosófica, sociológica, psicanalítica, psicológica e pedagógica. Trabalhos de investigação relacionados com jogos de estratégia têm apresentado resultados positivos, tanto em ambiente extraescolar como em ambiente escolar. O xadrez, por excelência, um jogo de estratégia e de extrema importância para o desenvolvimento intelectual e cívico de um indivíduo e, como tal, devia ser uma disciplina obrigatória no Ensino Básico. Os objetivos gerais desta comunicação são a transmissão das noções básicas elementares do jogo do xadrez e ainda de alguns conceitos sólidos sobre esta modalidade.

5 Modelação Matemática Joaquim M.C. Correia [Pressupostos:] Considerando as limitações impostas pelos níveis de escolaridade a, as áreas vocacionais b, o número de alunos envolvidos c e a duração da palestra d,... [Âmbito:]... Visamos mostrar como a matemática se torna uma ferramenta ou linguagem da ciência e. Os exemplos/modelos escolhidos f poderão apelar às suas várias disciplinas (lógica, álgebra, geometria, análise, estatística e mecânica) e deverão servir para discutir a natureza (in)determinista de um problema bem como elucidar os significados de teoria e solução. [Mátodo: ] Um caso de estudo" selecionado permitir-nos-á analisar-simplificar-equacionar, i.e., formular um problema g. De seguida... (quanto tempo temos?) [Restrições: ] Estar vivo... e: N.B. Precisarei, previamente à palestra, de alguma caraterização da assistência, digamos, de respostas às primeiras quatro notas de rodapé, as relativas aos `Pressupostos'. Até breve!? a A que se adaptará quer o discurso quer os exemplos de ligação, explícita, aos seus programas curriculares (pensamos em todos os ciclos do E. Básico e E. Secundário). b Escolher-se-ão, em cumplicidade com a escola, temas e assuntos de entre as várias áreas científicas pertinentes. c De que depende uma efetiva interação-discussão. d De que depende a sua profundidade ou oportunidade de rever conhecimentos, estabelecer conexões, lançar pistas... e Alguns dizem a matemática está em tudo."(... ) f De entre as ciências humanas (história, sociologia, economia,... ) ou não (física, química, biologia,... ). A propósito, o que são a arquitetura ou a engenharia? g Agora, em relativo despropósito: eu interesso-me por `coagulação-fragmentação' e `transporte, com difusão e dispersão, de fluidos', o que pode isto significar se o fluxo for a fuga de uma multidão em pânico?

6 A Matemática e o Princípio de Ação Mínima Graça Carita O Princípio de Ação Mínima foi proposto por Maupertuis no século XVIII. A ideia subjacente a este princípio é a da existência de uma lei de economia na natureza. E ideia já estava presente nos trabalhos de Platão e Aristóteles. Nesta palestra iremos perceber a perceber a importância da Matemática na resolução de vários problemas de minimização. Serão apresentados problemas clássicos de minimização bem como problemas bem recentes do nosso dia a dia onde a Matemática é fundamental. Estatística tornada fácil numa folha de cálculo Jorge Santos Uma vez dominados os conceitos básicos, põe-se a questão de como obter resultados sem perder muito tempo PRECIOSO com contas. Já tenho mais de duas dúzias de anos de experiencia com mais de uma dúzia de softwares estatísticos e já em 2010 no EURO XXIV LISBON fiz uma apresentação: "Open-Source Software in OR Education", que servirá de base a esta palestra. Abordarei o problema do ensino de estatística sobretudo recorrendo a uma folha de cálculo, desmistificando algumas fórmulas, que após implementadas numa folha de cálculo se percebem muito melhor. Além da representação de dados e da estatística descritiva ainda mostrarei alguns testes de hipóteses. Internet e telecomunicações? Sim, também aqui precisamos da Matemática Gonçalo Jacinto No dia-a-dia utilizamos a Internet e os telemóveis com bastante regularidade, sem termos consciência que para existirem foi necessário desenvolver modelos matemáticos para avaliar a sua funcionalidade e a qualidade do serviço prestado. Estes modelos matemáticos simulam as condições reais destes complexos sistemas necessitando de conhecimentos de Estatística para serem implementados Portanto a Estatística teve um papel fundamental no aparecimento da Internet e das redes de telecomunicações, e continua a tê-lo nas constantes melhorias destes sistemas. Nesta palestra irei apresentar alguns exemplos de modelos matemáticos utilizados no âmbito da Internet e das redes de telecomunicações. Ao nível da Internet iremos ver exemplos simples de simulação do tráfego da Internet e técnicas estatísticas para estimar esse mesmo tráfego. Ao nível das redes de telecomunicações iremos ver como as redes de telecomunicações funcionam e simples exemplos de como podemos avaliar a sua qualidade. A Matemática e em particular a Estatística estão presentes em coisas tão banais como ir à Internet ou fazer um simples telefonema, e é por estarem em quase tudo o que se fazemos no

7 dia-a-dia que estas ciências desempenham um papel tão importante mas muitas vezes incompreendido e desconhecido da sociedade. Uma Viagem ao Controlo Estatístico de Qualidade Paulo Infante A qualidade é um fator fundamental na seleção de produtos e serviços. Cada vez mais a sobrevivência de empresas e instituições públicas ou privadas passa pela melhoria contínua da qualidade dos serviços prestados ou dos produtos colocados no mercado. O controlo estatístico da qualidade tem primordial importância neste contexto. Nesta palestra procuramos dar uma panorâmica muito simples e intuitiva de como pode ser feito, em diferentes fases e para diferentes tipos de variáveis, o controlo estatístico da qualidade de um qualquer bem ou serviço. Em particular, daremos um enfoque particular a uma ferramenta estatística que assume um papel central: a carta de controlo. Nos dias de hoje, as cartas de controlo podem aplicar-se a quase tudo. Recorrendo a dados reais, daremos vários exemplos de aplicação, com interpretações críticas e sugestivas, de vários tipos de cartas de controlo nas áreas da indústria, serviços e com particular relevância na área da saúde, onde o interesse por esta ferramenta muito tem crescido nos últimos anos. Jogos e Estatística Paulo Infante e Anabela Afonso Nos últimos anos temos vindo a assistir a um crescimento exponencial do interesse dos alunos de vários ciclos de ensino pelos Jogos Matemáticos, quer participando em atividades realizadas nas suas escolas, quer na massiva participação no Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos (CNJM) que se realiza desde Também os programas dos Cursos Profissionais do Ensino Secundário incluem um módulo de Jogos (módulo B5 Jogos e Matemática). O envolvimento em atividades de jogos contribui para estimular o raciocínio, motivar a procura de estratégias, suscitar a reflexão e assim melhor compreender a utilidade da matemática, despertando ou acentuando o gosto por esta. Nesta palestra interativa apresentamos brevemente alguns jogos matemáticos que fazem parte do CNJM. Por cada jogo e consoante o nível de ensino dos alunos a que a palestra se destina, procura mostrar-se a utilidade da estatística através da caracterização dos alunos que disputam o CNJM e da procura de associações entre desempenhos escolares, preferências dos alunos, frequência com que jogam, tipo de jogos que habitualmente jogam e desempenho escolar a algumas disciplinas, entre outras. Terminamos com um minitorneio onde participarão todos os alunos, aproveitando para falarmos um pouco sobre as regras de organização de um torneio de acordo com o sistema suíço (que permite realizar em poucas jornadas um torneio onde o número de participantes é elevado).

8 Algumas sucessões, e curiosidades sobre elas Pedro Marques Todos conhecemos desde cedo algumas sucessões de números naturais, como a dos múltiplos de um número ou a dos números primos. E sobre estas sucessões bastante simples, há várias perguntas que podemos fazer. Por exemplo, dizemos que 5 e 7 são primos gémeos porque a diferença entre eles é dois. Também 11 e 13 são primos gémeos. Quantos primos gémeos há? São infinitos? Vamos ver algumas sucessões com propriedades surpreendentes e o que a matemática nos pode dizer sobre elas. Geometrias não-euclidianas Rui Albuquerque O que é a geometria euclidiana? É uma parte da matemática em que se estuda o espaço a duas ou três dimensões, tal como aprendemos na escola, e que o matemático Euclides (séc. IV-III a.c.) descreveu com grande mestria num livro, os célebres Elementos de Geometria, recolhendo todos os conhecimentos do seu tempo. Mas em que é que se fundamenta a geometria hoje e o que fazem os geómetras? Afinal a geometria euclidiana é só uma de muitas geometrias. Discutindo o famoso Axioma das paralelas, os matemáticos perceberam que havia motivo para construir novos espaços, que seriam, e são, tão necessários de estudar como os dos habituais 2D ou 3D. Das suas interrogações nasceu a matemática da teoria da Relatividade ou da Mecânica Quântica, dois exemplos onde há muitas aplicações. Desenvolvendo-se hoje sobre a nova geometria, não euclidiana, com muitas perguntas interessantes e à qual se deu o nome de "geometria de Riemann". Vamos contar animais selvagens Russell Alpizar-Jara Uma das principais preocupações da sociedade moderna é o consumo desmesurado e a exploração dos recursos naturais. Os animais selvagens servem-nos com indicadores para avaliar o estado de saúde da natureza, e a sua monitorização torna-se indispensável para a gestão adequada dos recursos naturais e da biodiversidade. Desde longa data, biólogos e matemáticos trabalham em forma conjunta para desenvolver e melhorar técnicas de amostragem que permitam estimar a abundância de populações selvagens. Estes métodos de amostragem estão baseados em fundamentos matemáticos que permitem estimar, com certo grau de precisão, parâmetros demográficos (por exemplo: taxas de natalidade, mortalidade e migração) associados às populações de interesse. Nesta palestra, faremos uma breve descrição, com exemplos reais, de algumas das técnicas de estimação mais utilizadas para estimar populações animais.

9 Indução matemática, dominó e árvores genealógicas Sara Fernandes Pretende-se com esta palestra abordar o Teorema da Indução Matemática de forma intuitiva e apelativa para os alunos do ensino secundário. A Indução matemática é um tema do Programa do 11º ano, mas não é geralmente leccionado. Por ser um método de demonstração bastante simples e baseado em princípios facilmente apreendidos pelos alunos, através de exemplos práticos como o dominó ou a estrutura de uma árvore genealógica, é um modelo de pensamento matemático muito rico e que vale a pena explorar. Como uma formiga pode segurar um elefante? Luís Bandeira As Galáxias e a Matemática Miguel Avillez Princípio de Dirichlet Vladimir Bushenkov Como ganhar uma corrida ou Matemática e Desporto Vladimir Bushenkov A procura do "óptimo" ao longo dos tempos Vladimir Bushenkov ou António Ornelas