Modelo matemático para o desenvolvimento de tumor

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1 Modelo matemático para o desenvolvimento de tumor Maurício P. C. Menezes, Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, CEFET-MG 3.51-, Belo Horizonte, MG profmauriciopessoa@yahoo.com.br Maria E. Gouvêa IFMG - Instituto Federal de Minas Gerais - Campus Formiga , Formiga, MG elizabeth.gouveia@ifmg.edu.br Resumo: Apresentamos um modelo que pretende estudar a relação entre células-tronco e câncer, considerando os tempos de maturação e de duplicação das células, além das interações existentes entre os compartimentos celulares. O modelo é estruturado hierarquicamente em compartimentos, sendo eles: o de células-tronco, progenitoras imaturas e não-imaturas e células completamente diferenciadas. A estrutura é análoga à da eritropoiese, processo de formação de eritrócitos (hemácias). A ocorrência de mutação em qualquer compartimento, exceto no de células diferenciadas, leva à criação de um subcompartimento de células cancerígenas (anormais). Os resultados mostram que as mutações que afetam a população de células-tronco são mais significativas e podem conduzir a um câncer. Palavras-chave: Modelo matemático, células-tronco, câncer, equações diferenciais. 1 Introdução A capacidade que as células-tronco possuem de se tornarem malignas está na origem de alguns tipos de câncer e pode ser a causa de muitos outros. De acordo com Clarke e Becker [1], durante muito tempo, acreditou-se que qualquer célula cancerígena que permanecesse em um indivíduo seria potencialmente capaz de reiniciar a doença no mesmo. No entanto, atualmente é sabido que, para alguns tipos de câncer, apenas uma ínfima fração dessas células tumorais tem a capacidade de originar um novo tecido canceroso. Tais células, por serem os motores que comandam o crescimento de novas células cancerígenas e, muito provavelmente, a origem da própria doença, são denominadas de células-tronco cancerígenas, pois acredita-se que essas células tenham sido células-tronco ou que suas descendentes imaturas tenham passado por transformações malignas. Algumas semelhanças entre células-tronco e a pequena fração de células cancerígenas que são capazes de reiniciar a doença foram observadas pelos cientistas [1, 2, 9]. Dentre elas, temos: a longevidade ilimitada, a capacidade em diferenciar em uma ampla gama de tipos celulares e a capacidade de invadir tecidos distantes no corpo. Tais elementos em comum, assim como diversas evidências experimentais, indicam que a explicação para o nascimento, manutenção e disseminação dos cânceres pode estar na falha dos mecanismos de regulação das células-tronco [1, 2, 5, 8, 9]. A estrutura básica do nosso modelo matemático, isto é, a hierarquia dos compartimentos, o número de mitoses, os tempos de ciclo celular e de maturação, é baseada no sistema hematopoiético (sistema responsável pelo processo de formação de todas as células do sangue) - consideramos um processo semelhante ao de formação de eritrócitos (glóbulos vermelhos do sangue) [6, 1]. Acreditamos que o modelo proposto é adequado para descrever tecidos formados por células que percorrem vários estágios até atingirem o requerido grau de especialização e que 753

2 recebem sinais de curto e longo alcance do sistema celular. Por exemplo, as células neurais, das mamas e da pele possuem dinâmicas celulares semelhantes ao das células do sangue [1]. Neste trabalho, propomos investigar a relação existente entre células-tronco e câncer, num modelo que considera as interações existentes entre os compartimentos celulares [3, 1]. Os parâmetros que determinam as taxas da auto-renovação, de diferenciação e mortalidade de uma célula dependem de vários fatores [4]. Com exceção da taxa de mortalidade, os fatores citados dependem das populações dos diversos compartimentos. Consideramos, também, o atraso temporal, característica inerente aos processos de desenvolvimento celular (tempos requeridos para a duplicação e maturação celular). Nosso objetivo é investigar como esses fatores associados as mutações que ocorrem em diferentes estágios do desenvolvimento celular afetam o comportamento do tecido. Analisamos, também, quais tipos de defeitos provocados por uma mutação podem levar à formação de um tumor. 2 Modelo matemático O modelo matemático que propomos descreve a formação de células cancerígenas a partir de células-tronco. Consideramos quatro compartimentos principais: o de células-tronco - SC (células que podem se auto-renovar um número ilimitado de vezes), de progenitoras imaturas - EP (células que podem se auto-renovar um número limitado de vezes), de progenitoras nãoimaturas - LP (não podem se auto-renovar, são submetidas a sucessivos estágios de divisão celular e a um período de maturação celular) e de células completamente diferenciadas - M C (células responsáveis por tarefas específicas). A ocorrência de mutação em qualquer um desses compartimentos, exceto no M C, leva à criação de subcompartimentos de células anormais (cancerígenas), a saber, o de células-tronco anormais (SCA), de células progenitoras imaturas anormais (EP A), de progenitoras não-imaturas anormais (LP A) e células anormais completamente diferenciadas (AP ). Esses processos estão representados, de forma esquemática, na Figura 1. Figura 1: Representação esquemática do processo de formação de células cancerígenas. Segundo Hanahan e Weinberg [4], para que uma célula se torne maligna, ela precisa adquirir algumas habilidades extraordinárias, ou seja, cinco ou seis sistemas regulatórios diferentes precisam ser alterados. São eles: crescimento mesmo na ausência de sinais de avance normais, crescimento apesar dos comandos de pare emitidos pelas células vizinhas, evasão à apoptose (morte celular), imortalidade efetiva, habilidade de estimular a construção de vasos sanguíneos e capacidade de produzir metástases. Nosso modelo incorpora as quatro primeiras habilidades. O modelo matemático proposto é uma extensão do trabalho apresentado no 33 o CNMAC/21 - Categoria 3, intitulado: Um modelo de equações diferenciais com atraso para a dinâmica do tecido eritropoiético, de nossa autoria [7]. Naquele trabalho, consideramos nula a taxa de mutação - definida por M β - e, assim, o efeito devido a mutações não foi considerado. Para dar continuidade ao nosso estudo e analisar esse efeito, usaremos o modelo - e as equações - 754

3 apresentado no trabalho citado [7]. As equações diferenciais que determinam a dinâmica dos vários compartimentos celulares do modelo são apresentadas a seguir. Essas equações incluem a taxa de mutação, M β com β = SC, EP ou LP em cada compartimento. Os parâmetros usados nos diversos compartimentos são listados na Tabela 1. Aqui, usamos β 1 = SC, SCA, EP, EP A, LP, LP A e, também, igual a MC e AP, para a taxa de mortalidade desses compartimentos. Alguns dos parâmetros do modelo são funções que dependem da população total de células em cada compartimento. Ressaltamos que, no texto, usamos o termo parâmetro para designar diferentes processos como, por exemplo, a probabilidade de autorenovação e a taxa de divisão celular. Esses parâmetros não são constantes e, sim, funções das populações de células. Parâmetros usados no modelo Dependem das pop. de células Não dependem das pop. de células ω β1 taxa de divisão celular M β taxa de mutação α β fração mitótica τ β1 tempo de preparação P sc probabilidade de auto-renovação ω,β1 taxa de mortalidade Tabela 1: Parâmetros do modelo. Para o número de células em cada compartimento, isto é, as variáveis do modelo, usamos a notação N β1. Na Tabela 1, usamos o termo tempo de preparação para o tempo requerido para a célula completar sua divisão e amadurecer. Para as SC, SCA, EP e EP A, o tempo de preparação corresponde apenas ao tempo para completar todo o processo de duplicação, em torno de 8 horas [3]. No entanto, no compartimento LP e LP A, é também necessário um tempo para a maturação da célula. Assim, se designamos por τ g o tempo para a duplicação em LP e LP A, se τ m é o tempo de maturação e se o número de mitoses nesses compartimentos é n lp, temos que τ lp = τ lpa = n lp.τ g + τ m. Nesse trabalho, usamos [3] τ g = 8 horas, τ m = 48 horas, n lp = 6 divisões e, portanto, τ lp = 96 horas. Para a probabilidade de auto-renovação [1], temos onde P sc =.1 tanh( Y ) +.5, (1) Y = { (Nsc 1)p s 2 ( N 3 ep + Nlp + Nmc 3 )} {, onde p s 2(N = sc ).6 se Nsc 1, 2 se Nsc > 1. (2) Nas equações acima, o símbolo * usado como sobrescrito representa valores normalizados, isto é, a população total (normais + anormais) de células de um tipo, dividido pelo valor de equilíbrio dessa população. Assim, por exemplo, N sc = N sc + N sca /N sc,equil. A taxa de divisão celular para as células-tronco normais é definida em termos da fração mitótica, α sc, que corresponde à porcentagem de células em divisão. Para α sc, temos [1], XS = α sc = exp( X) +.1 exp(x), onde X = a(xs + XE) + b, (3) exp( X) + exp(x) { ln N sc se N sc 1, N sc 1 se N sc > 1, { } 1 e XE =.3 ln 3 (N ep + Nlp + Nmc). (4) Para as células tronco, os valores das constantes que aparecem na equação (3) são a =.5457 e b =.49. A equação que descreve a dinâmica das SC é, então, 755

4 dn sc = ω sc (2P sc 1 M sc P sc )N sc (t τ sc ) ω,sc N sc (t). (5) Observe que a variação dessa população num instante qualquer t depende da população que, nesse instante t, morre e da população que, em (t τ sc ), pode se dividir, sofrendo ou não mutação. As células no compartimento EP devem passar por um número finito de mitoses, n ep, antes de estarem aptas a se transformarem em LP. Para identificar o número de divisões sofridas por uma célula EP, subdividimos o compartimento EP em n ep subcompartimentos e usamos N epi onde i = 1,..., 6. As equações para a dinâmica das células EP é dada por dn ep1 dn ep[i=2,6] = ω sc {(2 M sc )(1 P sc )} N sc (t τ sc ) ω ep N ep1 (t τ ep ) ω,ep N ep1 (t), para i = 1 e (6) = ω ep (2 M ep )P epi 1 N epi 1 (t τ ep ) ω ep N epi (t τ ep ) ω,ep N epi (t), para i = 2,..., 6. (7) é, Nas equações acima, ω ep = (α ep /τ ep )ln2 onde α ep é definida de modo semelhante a α sc, isto α ep = exp( X) +.3 exp(x), (8) exp( X) + exp(x) onde X é dado pela eq. (3) usando a = 2.65 e b = Para simplificar o modelo e evitar subdividir o compartimento LP em n lp subcompartimentos (como feito para EP ), admitimos que o fluxo de células vindas de EP 6 é amplificado por um fator Z in ao entrarem em LP. Do mesmo modo, ao deixarem esse compartimento em direção à população MC, consideraremos um outro fator de amplificação, Z out, tal que Para Z in, usamos [1] Z in.z out = 2 n lp. (9) Z in = (2 n lp 1). τ g τ lp + 2 n lp. τ m τ lp. (1) Dessa forma, a variação da população LP depende das células provenientes de EP 6 que, ao sofrerem mitose num instante anterior, foram promovidas e das células LP que morrem. Assim, temos dn lp = Z in. {ω ep (2 M ep ) N ep6 (t τ ep )} ω lp N lp (t τ lp ) ω,lp N lp (t). (11) Finalmente, para a dinâmica das células M C temos dn mc = Z out.ω lp (1 M lp ) N lp (t τ lp ) ω,mc N mc (t). (12) Segue abaixo, as equações diferenciais que determinam a dinâmica dos compartimentos de células anormais do modelo. A equação que descreve o comportamento das células-tronco anormais é dada por dn sca (t) = ω sca (2P sca 1)N sca (t τ sc ) + ω sc M sc P sc N sc (t τ sc ) ω,sca N sca (t). (13) Para o compartimento SCA, admitimos que essas células mantêm a capacidade de se dividirem um número ilimitado de vezes e que a mutação adquirida aumenta a probabilidade de 756

5 se renovarem, isto é, consideramos P sca = (1 + a) P sc, onde a [,.2]. Da mesma forma, consideramos que a aquisição de mutação resulta numa célula com maior auto-suficiência de proliferação e/ou maior insensibilidade aos sinais inibidores de crescimento [1] e, por isso, adotamos ω sca = (1 + b) ω sc, onde b [,.5]. As equações para a dinâmica das células EP A é dada por dn epa1 = 2ω sca (1 P sca )N sca (t τ sc ) + ω sc (1 P sc )M sc N sc (t τ sc ) ω epa N epa1 (t τ ep ) ω,epa N epa1 (t) para i = 1 e (14) dn epai = 2ω epa P epai 1 N epai 1 (t τ ep ) + ω ep M ep P epi 1 N epi 1 (t τ ep ) ω epa N epai (t τ ep ) ω,epa N epai (t) para i = 2,...,6. (15) Nos compartimentos EP e EP A, admitimos probabilidades de auto-renovação iguais, P epi = P epai = 1, para os cinco primeiros subcompartimentos incluídos em EP e EP A. Isso significa que todas as células irão se auto-renovar após a mitose. Uma célula que alcança o último (i = 6) subcompartimento não pode mais se auto-renovar; pode apenas se diferenciar e migrar para os compartimentos LP, na ausência de mutação, ou LP A, caso ocorra mutação. Novamente, assumimos que as células mutantes adquirem vantagens [1], e têm maior capacidade de proliferação. Assim, definimos ω epa = (1 + c) ω ep, onde c [,.5]. Para a população de células LP A, temos dn lpa (t) = Z in (2ω epa N epa6 (t τ ep ) + ω ep N ep6 (t τ ep )M ep ) ω lpa N lpa (t τ lp ) ω,lpa N lpa (t). (16) Onde consideramos o ω lp = ω lpa. E finalmente, para a população de, temos dn ap (t) = Z out (ω lpa N lpa (t τ lp ) + ω lp N lp (t τ lp )M lp ) ω,ap N ap (t). (17) Com relação a taxa de morte das células anormais, conforme discutido em [1], uma das habilidades especiais que uma célula precisa adquirir para dar origem a um tumor, é a evasão à apoptose. Para simular a habilidade de evasão à apoptose [1], consideramos a taxa de morte das células anormais igual à (1 d) vezes a taxa de morte das normais, com d [,.5]. 3 Resultados Em todos os resultados que apresentamos a seguir, utilizamos, como condição inicial, SC(t = ) = 1. (normalizada) e todas as outras populações iguais a zero. Na Figura 2, gráfico a esquerda, apresenta a dinâmica de crescimento das para a ocorrência de mutação nos diferentes compartimentos. Consideramos que o valor do tempo de atraso para cada compartimento é o mesmo usado no trabalho anterior (tecido saudável),ou seja, 8 horas, assim como, o valor dos parâmetros: P sc, ω sc, taxas de mortalidade. Além disso, para esta simulação, utilizamos uma probabilidade de ocorrência de mutação da ordem de 1 7. Sendo P sca.1% maior do que P sc, as taxas de divisão e de morte das células anormais, sendo, respectivamente, 5% maior e 5% menor, em comparação com as células normais. A Figura 2, gráfico a esquerda, mostra que a taxa de crescimento de é muito maior quando a mutação ocorre na população de células-tronco, SC. O modelo confirma que mutações que afetam a população SC são mais significativas e podem conduzir a um câncer. 757

6 ocorrência de mutação em SC ocorrência de mutação em EP ocorrência de mutação em LP 8 7 taxa de morte 5% menor taxa de divisão 5% maior P sca.1% maior que o P sc P sca.7% maior que o P sc parâmetros iguais t (horas) x 1 4 Figura 2: Gráfico à esq.: Dinâmica de crescimento de AP - ocorrência de mutação em diferentes compartimentos. Gráfico a dir.: Dinâmica de crescimento de AP - uma alteração genética. Para as simulações que se seguem, utilizaremos um tempo de duplicação de 16 horas; os demais parâmetros permanecem inalterados. Dessa forma, poderemos simular a evolução das em um intervalo de tempo maior, aproximadamente 52 anos (28. - cada iteração corresponde a 16 hs), porém com um número menor de. Como nosso modelo não incorpora a habilidade para estimular a construção de vasos sanguíneos - fundamental para o desenvolvimento de um tumor - apenas populações de de até, no máximo, 1% da população M C devem ser consideradas como significativas. Na Figura 2, gráfico a direita, apresentamos a dinâmica de crescimento das devido a uma mutação que provoca apenas uma alteração genética. No entanto, são considerados diferentes efeitos resultantes dessa alteração. Como vemos, o valor da probabilidade de auto-renovação de SCA tem como efeito um número maior de e, consequentemente, favorece um surgimento prematuro do tumor. Entre os fatores considerados, a taxa de mortalidade aparece como segundo fator mais importante para o crescimento do tumor, embora seu efeito seja apenas ligeiramente superior a uma alteração na taxa de divisão. Na Figura 3, gráfico a esquerda, apresenta a dinâmica de crescimento das para uma alteração genética que provoca um aumento no valor do P sca em relação as suas irmãs normais. Podemos verificar que uma pequena variação no valor de P sca é suficiente para o surgimento prematuro do tumor taxa de morte 5% menor e taxa de divisão 5% maior taxa de morte 5% menor e P sca.1% maior taxa de divisão 5% maior e P sca.1% maior 6 células MC P sca 1% maior que o P sc células x x x 1 4 Figura 3: Gráfico à esquerda: Dinâmica de crescimento de AP - alteração genética que provoca um aumento no valor de P sca. Gráfico ao centro: Dinâmica de crescimento de AP - 2 alterações genéticas simultaneamente. Gráfico à direita: Dinâmica de crescimento de AP - 3 alterações genéticas simultaneamente. Analisamos a dinâmica de crescimento das para situações em que a mutação resulta em duas alterações genéticas, Figura 3, gráfico ao centro. Foram considerados três casos. No primeiro, consideramos que as células mutantes passam a ter uma taxa de morte menor e uma taxa de divisão maior do que as célula normais. Numa segunda situação, consideramos que, devido à mutação, as células anormais adquirem uma taxa de morte menor e uma probabilidade de auto-renovação das células-tronco anormais maior. Por último, consideramos uma alteração genética em que as células mutantes passam a ter uma taxa de divisão maior e uma probabilidade 758

7 de auto-renovação de SCA maior. Como dito antes, o valor do P sca é crucial na determinação do aparecimento prematuro do tumor. Quanto maior for o valor de P sca em relação ao do P sc, maior será a quantidade de no tecido em menores tempos. Analisamos agora, Figura 3 - gráfico a direita, a dinâmica de crescimento das para uma situação onde são permitidas três alterações genéticas simultaneamente. Observamos, nessa situação, que a taxa de crescimento da população de torna-se maior, em comparação com o caso anterior. Assim, concluímos que, caso ocorra uma mutação, quanto maior o número de alterações genéticas provocadas pela mutação, maior será a população de células anormais completamente diferenciadas, AP, e consequentemente, mais rápido o aparecimento de um tumor. Observamos ainda, que o crescimento da população AP é obtido às custas do encolhimento da população de células normais, M C. 4 Conclusões Apresentamos um modelo matemático que investiga a relação entre células-tronco e o desenvolvimento de tumores, ou seja, a hipótese da existência de células-tronco cancerígenas. Os aspectos inovadores desse modelo são: a inclusão de um atraso temporal, que é inerente ao processo de desenvolvimento celular, e a utilização de funções dependentes de todas as populações de células (normais e anormais) para simular as sinalizações celulares presentes num tecido. Mostramos que, as mutações que afetam a população de células-tronco, SC, são mais significativas e podem conduzir ao câncer. Além disso, caso ocorra uma mutação, quanto maior o número de alterações genéticas provocadas pela mutação, maior será a população de células anormais AP e, consequentemente, mais rápido o aparecimento de um tumor. A mutação que provoca um aumento do valor de P sca em relação ao do P sc maior que.1%, é mais significativa e conduz para uma rápida progressão de células anormais completamente diferenciadas, AP, e, consequentemente, um aparecimento prematuro do tumor. Referências [1] M.F. Clarke e M.W. Becker, O potencial maligno das células-tronco, Scientific American Brasil: Câncer - o lado maligno das células-tronco, 51 (26), [2] M.F. Clarke e M. Fuller. Stem Cells and Cancer: Two faces of eve, Cell, 124 (26), [3] R. Ganguly e I.K. Puri, Mathematical model for the cancer stem cell hypothesis, Cell Prolif., 39 (26), [4] D. Hanahan e R.A. Weinberg, The hallmarks of cancer, Cell, 1 (2), [5] B. J. P. Huntly e D. G. Gilliland. Leukaemia stem cells and the evolution of cancer-stem-cell research, Nature Reviews - Cancer, 5 (25), [6] M.C. Mackey, Mathematical models of hematopoietic cell replication and control, [7] M.P.C. Menezes, M.E. Gouvêa, Um modelo de equações diferenciais com atraso para a dinâmica do tecido eritropoiético, Anais do CNMAC 21, 3 (21), [8] R. Pardal, M.F. Clarke e S.J. Morrison, Applying the principles of stem-cell biology to cancer, Nature Reviews, 3 (23), [9] T. Reya, S.J. Morrison, M.F. Clarke e I.L. Weissman, Stem cell, cancer, and cancer stem cells, Nature, 414 (21), [1] H-E. Wichmann, M. Loeffler, Mathematical Modeling for Cell Proliferation: Stem Cell Regulation in Hematopoiesis, CRC Press, Inc, Florida,