Capítulo Modelagem matemática

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1 Capítulo 1 Este capítulo apresenta uma breve introdução à Otimização, uma área da Pesquisa Operacional que se baseia em modelos matemáticos e métodos computacionais para a representação e resolução de problemas. O enfoque será na Programação Linear, a qual é bastante utilizada devido a seu grande potencial em modelagem de situações práticas e a disponibilidade de métodos e softwares eficientes. 1.1 Modelagem matemática Desde os primeiros anos de escola, aprendemos a modelar o mundo matematicamente. Um exemplo típico de problema matemático visto nessa época é o seguinte: Exemplo 2.1. Um estacionamento possui um número desconhecido de carros e motos. Sabe-se que, no momento, existem 450 rodas e 250 retrovisores no total. Assumindo-se que todos os carros possuem quatro rodas e dois retrovisores e que todas as motos possuem duas rodas e dois retrovisores, quantos carros e quantas motos se encontram no estacionamento? Quando queríamos resolver um problema como esse, o primeiro passo era escrevê-lo em linguagem matemática, usando equações e sistemas lineares. Vamos então fazer o mesmo para esse exemplo. Primeiro, identificamos o que é conhecido no problema. Sabemos que existem 450 rodas e 250 retrovisores no estacionamento, bem como dois retrovisores em cada carro e cada moto. Entretanto, não conhecemos a quantidade de carros e motos. Podemos usar a variável (ou incógnita) x para representar o número de carros, enquanto a variável y representa o número de motos. Assim, são os valores de x e y que queremos determinar. A primeira relação entre carros e motos está no total de rodas, dado por 450, sendo que cada carro tem quatro rodas e cada moto tem duas rodas. Isso pode ser expressado matematicamente pela equação 4x + 2y = 450. Carros e motos também estão relacionados com o número de retrovisores, dado por 250, sendo que ambos possuem dois retrovisores. 1

2 Assim, temos a equação 2x + 2y = 250. Juntas, essas duas equações definem o sistema linear: { 4x + 2y = 450 2x + 2y = 250 Este sistema possui duas equações e duas variáveis e, assim, podemos resolvê-lo para obter a resposta que buscamos. De fato, pela primeira equação, temos que y = (450 4x)/2. Substituindo na segunda equação: 2x + (450 4x) = 250 2x = 200 x = 100 y = ( )/2 y = 50/2 y = 25. Portanto, temos x = 100 carros e y = 25 motos no estacionamento. Veja que a representação desse problema em linguagem matemática permitiu resolvê-lo usando técnicas matemáticas e, ao final, expressar o resultado obtido em termos do enunciado do problema. Embora o exemplo anterior seja bastante simples, veremos que os modelos de otimização usam uma ideia bastante similar. Em um primeiro passo, identificamos os dados de entrada e definimos as variáveis de decisão do problema. Em seguida, representamos as características da situação real em termos de equações ou inequações, as quais impõem restrições sobre as variáveis de decisão. Essas restrições formam um sistema linear, que é um modelo para a situação em estudo. Por fim, determinamos uma solução para esse modelo, isto é, determinamos valores para as variáveis, que satisfaçam as restrições impostas. Note que todos esses passos foram feitos para o exemplo que acabamos de ver. A única diferença para um modelo de Otimização é que o sistema que geralmente obtemos possui muitas soluções possíveis e, assim, precisamos determinar a melhor dentre todas, de acordo com um dado objetivo. Vamos então estudar nosso primeiro modelo de Otimização, tendo o exemplo a seguir como motivação. Exemplo 2.2. Um agricultor acabou de comprar uma fazenda para o plantio de trigo e arroz. A área total disponível para plantio é de hectares, e o agricultor deseja plantar, no mínimo, 1 hectare de trigo e 2 hectares de arroz. Estima-se que o lucro do trigo seja de R$ 5.000,00 e do arroz de R$ 3.000,00, por hectare plantado. O agricultor deseja determinar quanto plantar de cada cultura, de modo a maximizar seu lucro. Para modelarmos matematicamente esse problema, o primeiro passo é identificar quais os parâmetros ou dados de entrada do problema, isto é, as informações conhecidas a priore. Sabemos que: A área total disponível é de hectares; A área mínima de trigo deve ser de 1 hectare; 2

3 A área mínima de arroz deve ser de 2 hectares; O lucro do trigo é 5 mil reais/hectare; O lucro do arroz é 3 mil reais/hectare; O próximo passo deve ser definir as variáveis de decisão do modelo. Para isso, devemos responder à pergunta: O que queremos determinar? Pelo enunciado, queremos determinar o quanto plantar das culturas trigo e arroz. Assim, definimos as seguintes variáveis de decisão: : área a ser plantada de trigo (em hectares); : área a ser plantada de arroz (em hectares). São chamadas de variáveis, pois, diferentemente dos parâmetros, ainda não sabemos seus valores. O termo decisão é usado para enfatizar o intuito desta variável, embora seja comumente omitido em alguns contextos. São geralmente representadas por letras do alfabeto e índices subscritos. Neste exemplo, usamos uma única letra (x) e diferenciamos as variáveis pelos índices 1 e 2, que ficam subscritos à letra. As variáveis de decisão que acabamos de definir parecem ser suficientes para resolvermos o exemplo acima. Entretanto, ainda nos resta escrever as restrições que devem ser impostas sobre essas variáveis, de modo que seus valores satisfaçam requisitos reais e recursos escassos definidos no exemplo. Uma primeira restrição é dada pela área total disponível para o plantio. Esse é um recurso escasso por ser limitado em hectares. Assim, observando-se que a área total a ser plantada de trigo e de arroz é dada por +, devemos garantir que +. Outras duas restrições podem ser determinadas a partir da exigência do agricultor em ter áreas mínimas para trigo e arroz. Devemos ter, no mínimo, 1 hectare de trigo, o que resulta na restrição 1, e 2 hectares de arroz, o que resulta em 2. Também é importante impor que os valores de e sejam não-negativos, já que uma resposta com uma área negativa não faria sentido na prática. Observe que, embora isso possa parecer óbvio para nós, o modelo matemático não tem esse conhecimento e, portanto, precisamos impor 0 e 0 como restrições. Não havendo mais restrições sobre as variáveis de decisão, resta-nos definir a função objetivo do modelo. Sabemos que o lucro por hectare do trigo é de 5 mil reais e, então, o lucro total que será obtido com o plantio de hectares de trigo é dado por 5 mil reais. Pelo mesmo raciocínio, o lucro total a ser obtido com o plantio do arroz é de 3 mil reais. Portanto, queremos maximizar 5 + 3, que corresponde ao lucro total com o plantio das duas culturas. Essa maximização deve estar sujeita às restrições que definimos anteriormente. Isso resulta no seguinte modelo de otimização: 3

4 maximizar sujeito a , 0. O modelo acima expressa em linguagem matemática os requisitos e o objetivo definidos no enunciado do Exemplo 2.2. Essa é uma maneira formal de representar o problema. Observe que ainda não solucionamos o problema do agricultor, mas apenas reescrevemos ele em outra linguagem, a matemática. Para determinarmos uma solução, precisamos obter os valores ótimos para e. Para isso, existem métodos computacionais que, atualmente, estão implementados em softwares de otimização, os quais serão abordados mais à frente, na Seção 1.6. Antes disso, vamos entender melhor o que é um problema de Otimização. 1.2 Problemas de Otimização e algumas nomenclaturas A Otimização é também conhecida como Programação Matemática. Neste contexto, o termo programação não se refere à programação de computadores, tendo o significado de planejamento. Assim, a Otimização busca usar a Matemática para apoiar no planejamento de atividades. Um problema de otimização é geralmente definido como: minimizar (ou maximizar) uma função objetivo sujeito a um conjunto de restrições. Formalmente, temos: minimizar/maximizar f(x) sujeito a x X. Nesse problema, x é a variável de decisão que representa os valores que desejamos determinar. Em geral, x é definida na forma de um vetor de n variáveis de decisão, dado por x = (,,..., x n ), onde n é um número inteiro. A função f(x) é chamada de função objetivo e determina um valor único para cada solução do problema, de forma que seja possível comparar diferentes soluções e, assim, escolher a melhor dentre elas. A escolha de valores para x deve satisfazer certas restrições representadas por x X. Diz-se que X é o conjunto factível do problema, também chamado de domínio. É nesse conjunto que estão todas as soluções factíveis (possíveis) para o problema. Uma solução para o problema é obtida atribuindo-se valores para as variáveis de decisão. Por exemplo, (, ) = (5, 2) é uma solução do modelo definido no Exemplo 2.2, onde assume valor 5 e assume valor 2. Uma solução é factível quando satisfaz todas as restrições. A solução (, ) = (5, 2) é factível, pois quando substituímos seus valores nas restrições do problema, todas são satisfeitas. Por outro lado, a solução (, ) = (3, 5) viola a restrição + e, portanto, é uma solução infactível. Por fim, uma solução é ótima quando ela é factível e não existe nenhuma outra solução factível que tenha valor melhor, em relação à função objetivo. Retomando novamente a solução (, ) = (5, 2) 4

5 do Exemplo 2.2, podemos calcular seu valor substituindo-a na função objetivo do modelo: = = 31. Mais à frente neste capítulo, veremos que não existe nenhuma outra solução factível que tenha valor maior que 31 e, portanto, (, ) = (5, 2) é solução ótima do problema definido no exemplo. Assim, dizemos que 31 é o valor ótimo para esse modelo. Qualquer solução factível do problema tem valor menor ou igual a 31. A função objetivo f(x) e o conjunto de restrições X podem ser expressos por meio de qualquer tipo de expressão matemática. No modelo do Exemplo 2.2, usamos apenas expressões lineares, isto é, fórmulas matemáticas que relacionam as variáveis usando apenas somas e/ou multiplicações por parâmetros (constantes). Alguns problemas podem exigir o uso de expressões não-lineares, como a multiplicação entre variáveis (p.ex. ( ) 2 e ), funções logarítmicas e trigonométricas (p.ex. log(x) e sen(x)), dentre outras relações não triviais. Na prática, o uso de expressões não-lineares pode complicar demasiadamente a resolução do problema e, portanto, busca-se sempre por uma formulação linear, quando possível. Embora tipicamente mais simples que as não-lineares, as expressões lineares podem ser bastante poderosas para elaborar problemas práticos que modelam contextos industriais e logísticos. Além disso, o uso de expressões lineares permite recorrermos a métodos de solução confiáveis e de propósito geral, que estão implementados de forma eficiente em diversos softwares. Problemas de Otimização nos quais a função objetivo e todas as restrições são descritas por expressões lineares recebem o nome de Problemas de Programação Linear. A facilidade em se modelar, a possibilidade de se abordar um grande número de situações práticas e a existência de software de propósito geral, fazem com que a Programação Linear seja umas das subáreas da Otimização mais utilizadas atualmente. 1.3 Programação Linear Um problema de Programação Linear com n variáveis de decisão e m restrições, sendo n e m escalares inteiros, pode ser definido na seguinte forma geral: min f(,..., x n ) = c 1 + c c n x n s.a a 11 + a a 1n x n b 1 a 21 + a a 2n x n b 2... a m1 + a m a mn x n = b m,..., x n 0 O termo min na primeira linha do modelo é uma abreviação para minimizar. Caso o intuito seja maximizar a função objetivo, devemos usar a abreviação max. Na segunda linha, o termo s.a abrevia a expressão sujeito a. As variáveis de decisão do problema são representadas por,,..., x n. Os coeficientes c 1, c 2,..., c n são parâmetros (constantes) geralmente chamados de coeficientes de custo da função objetivo. Embora representados por letras, correspon- 5

6 dem a valores numéricos conhecidos a priore. Da mesma forma, os termos a 11, a 12..., a 1n ; a 21, a 22..., a 2n ;...; a m1, a m2..., a mn também representam parâmetros e recebem o nome de coeficientes da matriz tecnológica. Por fim, os parâmetros b 1, b 2..., b m são chamados de termos independentes, pois não multiplicam nenhuma variável de decisão. Cada linha abaixo da função objetivo determina uma restrição do problema. A primeira delas é uma inequação, ou restrição de desigualdade, e impõe que a soma a 11 + a a 1n x n seja menor ou igual ao valor b 1. A segunda restrição também é uma inequação, mas impõe que a soma a 21 + a a 2n x n seja maior ou igual ao valor b 2. A restrição seguinte é definida na forma de equação, ou restrição de igualdade, e impõe que a m1 +a m a mn x n deve ser igual a b m. Esses são os três tipos possíveis de restrições em um problema de programação linear: menor-ou-igual ( ), maior-ou-igual ( ) e igualdade (=). Não é permitido definirmos restrições com desigualdades estritas, isto é, usando apenas menor (<) ou maior (>). Note que na última linha do problema, temos restrições que exigem a não-negatividade das variáveis. Tais restrições são tipicamente chamadas de condições de não-negatividade. Retomando o modelo elaborado no Exemplo 2.2, o leitor irá certamente identificá-lo como um problema de Programação Linear. Nesse modelo, temos n = 2 variáveis e m = 3 restrições, sendo as variáveis de decisão dadas por e, e os parâmetros dados por: c 1 = 5, c 2 = 3; a 11 = 1, a 12 = 1; a 21 = 1, a 22 = 0; a 31 = 0, a 32 = 1; b 1 =, b 2 = 1 e b 3 = 2. Na sequência, vamos estudar alguns exemplos de uso da Programação Linear com o intuito de fixar os conceitos de modelagem e a nomenclatura relacionada. Embora os problemas que iremos ver são relativamente simples, eles são versões simplificadas de problemas típicos da Engenharia de Produção, que surgem no planejamento, controle e distribuição da produção. Problema 2.1. Uma metalúrgica produz dois tipos de ligas metálicas. Cada liga é composta de proporções diferentes de Cobre, Zinco e Chumbo, os quais estão disponíveis em quantidades limitadas em estoque. Deseja-se determinar quanto produzir de cada liga metálica, de modo a maximizar a receita bruta, satisfazendo-se as seguintes composições das ligas e a disponibilidade de matéria-prima em estoque: Matéria-prima Liga 1 Liga 2 Estoque Cobre 50% 30% 3 ton Zinco 10% 20% 1 ton Chumbo 40% 50% 3 ton Preço venda 3 mil 2 mil (R$ por ton) 6

7 Liga 1 Liga 2 Cobre 3 ton Estoque Zinco 1 ton Chumbo 3 ton Cobre 50% Zinco 10% Chumbo 40% Cobre 30% Zinco 20% Chumbo 50% R$ 3 mil/ton R$ 2 mil/ton (Composição) (Preço) Figura 1.1: Ilustração do enunciado do Problema 2.1. O primeiro passo para resolver o Problema 2.1 é identificar seus parâmetros (dados de entrada). A Fig. 1.1 ilustra o enunciado do problema. Sabemos que existem duas ligas metálicas, produzidas a partir de três matérias-primas, sendo elas Cobre, Zinco e Chumbo. O primeiro dado corresponde à disponibilidade de matérias-primas em estoque: 3 toneladas de Cobre, 1 tonelada de Zinco e 3 toneladas de Chumbo. Além disso, cada tonelada da liga 1 é vendida por 3 mil reais e deve ser composta de 50% de Cobre, 10% de Zinco e 40% de Chumbo. Cada tonelada da liga 2 é vendida por 2 mil reais e deve ser composta de 30% de Cobre, 20 % de Zinco e 50% de Chumbo. Identificados todos os parâmetros, o próximo passo é definir as variáveis de decisão. Queremos determinar o quanto produzir de cada liga metálica e, assim, nossas variáveis de decisão podem ser definidas como: x i quantidade a ser produzida da liga i, para i = 1, 2. A produção das ligas consome as matérias-primas Cobre, Zinco e Chumbo, as quais estão disponíveis em quantidades limitadas em estoque. Assim, são recursos escassos que limitam nossa decisão e, portanto, devemos expressá-las por meio de restrições. Em relação ao Cobre, sabemos que ele é usado em 50% de cada tonelada da Liga 1 e 30% de cada tonelada da Liga 2. Assim, usando as variáveis de decisão definidas acima, a quantidade total a ser usada de Cobre nas duas ligas, em toneladas, é dada por 0,5 + 0,3. Como a disponibilidade de Cobre é de 3 toneladas, devemos ter a restrição 0,5 + 0,3 3. O mesmo raciocínio se aplica para obtermos as restrições para Zinco e Chumbo, dadas por 0,1 + 0,2 1 e 0,4 + 0,5 3, respectivamente. Não podemos nos esquecer de definir as condições de não-negatividade, dadas por 0 e 0. Por fim, o objetivo deve ser maximizar a receita total com a venda das ligas. A receita obtida com a produção de toneladas da liga 1 é igual a 3 mil reais. De modo similar, tem-se uma receita de 2 mil reais com a venda de toneladas da liga 2. Logo, devemos maximizar O modelo de Programação Linear resultante é dado por:

8 max s.a 0,5 + 0,3 3 0,1 + 0,2 1 0,4 + 0,5 3 0, 0. Com isso, obtemos a representação do problema como um modelo matemático, finalizando a etapa de modelagem. Mais à frente neste capítulo, veremos como resolver modelos deste tipo usando um software de otimização. Antes disso, vamos estudar agora um exemplo típico de uma classe de problemas conhecidos na literatura como problemas de mix de produção. Nesses problemas, tem-se um conjunto de diferentes produtos que podem ser fabricados e, sabendo-se suas demandas mínimas e máximas, busca-se decidir quanto produzir de cada um deles de modo a maximizar o lucro total. Problema 2.2. Uma fábrica produz utensílios domésticos feitos de metal. São feitos 3 produtos por meio de 3 operações (estamparia, perfuração e montagem), sendo que cada operação possui um limite máximo de horas disponíveis. A fabricação dos produtos 2 e 3 consome um material que está disponível em quantidades limitadas em estoque. A disponibilidade do material e de horas em cada operação, bem como o quanto cada unidade produzida consome desses recursos são descritos na seguinte tabela: Taxa de produção (horas por unidade) Recurso Setor Produto 1 Produto 2 Produto 3 disponível Estamparia 0,03 0,15 0, h Perfuração 0,06 0,12 0, h Montagem 0,05 0,10 0, h Material 2,0 1,2 2000m 2 A fábrica fez um levantamento de qual o custo unitário e o preço de venda adequado para cada produto, bem como uma estimativa para o mínimo e máximo de vendas, sendo: Produto 1 Produto 2 Produto 3 Preço unitário Custo unitário Mínimo vendas Máximo vendas Deseja-se determinar quanto fabricar de cada produto, de modo a maximizar o lucro. Vamos primeiramente identificar os parâmetros do problema. Sabemos que existem três operações, sendo elas Estamparia, Perfuração e Montagem, com disponibilidade de 400, 400 8

9 e 500 horas, respectivamente. Também estão disponíveis 2000m 2 do material usado na fabricação dos produtos 2 e 3. De acordo com a primeira tabela do enunciado, cada unidade do Produto 1 consome 0,03 horas da operação de Estamparia, 0,06 horas da operação de Perfuração e 0,05 horas da operação de Montagem. A taxa de consumo dos demais produtos pode ser obtida de forma similar a partir da mesma tabela. Também sabemos que cada unidade do Produto 2 consome 2m 2 do material limitado e que cada unidade do Produto 3 consome 1,2m 2 do mesmo material. Outro parâmetro relevante é dado pela estimativa de vendas de cada produto, sendo que a venda do Produto 1 está entre 1000 e 6000 unidades, a do Produto 2 é de no máximo 500 unidades e a do Produto 3 está entre 100 e 1000 unidades. Por fim, temos os custos e preços unitários de cada produto, dos quais podemos obter os lucros unitários correspondentes: 4 reais para o Produto 1, 10 reais para o Produto 2 e 6 reais para o Produto 3. O lucro de cada produto foi obtido pois o objetivo do problema é maximizar o lucro total com a venda dos produtos. Para definir as variáveis de decisão, basta observar que queremos determinar o quanto produzir de cada produto e, assim, temos: x i quantidade a ser fabricada do produto i, para i = 1, 2, 3. A escolha dos valores ótimos para essas variáveis deve satisfazer a disponibilidade dos recursos escassos. O primeiro deles é dado pela disponibilidade máxima de horas em cada operação. Para a operação de Estamparia, podemos calcular o consumo total de horas para produzir os três produtos, usando as quantidades a serem fabricadas (variáveis de decisão) e as respectivas taxas de produção: 0,03 +0,15 +0,10x 3. Essa soma deve ser menor ou igual às 400 horas disponíveis para essa operação, determinando nossa primeira restrição 0,03 + 0,15 + 0,10x De forma análoga, obtemos uma restrição para a operação de Perfuração, 0,06 +0,12 +0,10x 3 400, e para a operação de Montagem 0,05 +0,10 +0,12x O material usado pelos produtos 2 e 3 também é um recurso escasso e, assim, resulta na restrição 2,0 + 1,2x Embora todos os recursos escassos já tenham sido representados na forma de restrições, temos ainda requisitos que influenciam diretamente na escolha dos valores ótimos das variáveis de decisão e, assim, também devem ser impostos por meio de restrições. As quantidades mínimas e máximas de vendas impõem limitantes inferiores e superiores sobre os valores de cada variável de decisão, os quais ficam bem representados pelas restrições , e 100 x Note que o limite inferior para a variável foi definido igual a zero, pois não foi definido um mínimo de vendas para o Produto 2 e precisamos garantir que o valor a ser atribuído a essa variável não seja negativo. Com isso, não precisamos definir as condições de não-negatividade explicitamente, pois as quantidades mínimas de vendas garantem que as variáveis não se tornem negativas. Para definir a função objetivo, observamos que o lucro total com a venda dos três produtos é dado por x 3, o qual deve ser maximizado. Logo, o problema de Programação Linear resultante é dado por: 9

10 max x 3 s.a 0,03 + 0,15 + 0,10x ,06 + 0,12 + 0,10x ,05 + 0,10 + 0,12x ,0 + 1,2x x A seguir, temos um exemplo de um problema da mistura. Problemas desse tipo são caracterizados pela produção de um único produto (mistura) usando-se um conjunto de diferentes ingredientes. Devemos determinar o quanto usar de cada ingrediente, de modo que o custo total de produção seja mínimo e que as especificações da mistura sejam satisfeitas. Problema 2.3. Uma fábrica de alimentos deseja produzir um novo sabor de barra de cereais. Os requisitos nutricionais exigem que as barras tenham certas quantidades mínimas e máximas de certos nutrientes principais, sendo: no mínimo 22% de fibra e % de proteína; e no máximo 55% de carboidrato e 8% de gorduras. Para produzir as barras, a fábrica usará como ingredientes, farinha de cereais, mel, soja e banana. As proporções de nutrientes em cada ingrediente, bem como os custos por quilograma de cada ingrediente são apresentados na tabela a seguir: Ingredientes Nutrientes Cereais Mel Soja Banana Barra Fibra 0,26 0,01 0,25 0,10 0,22 Proteína 0,05 0,05 0,26 0,02 0,0 Carboidrato 0,60 0,5 0,45 0,24 0,55 Gorduras 0,0 0,01 0,01 0,08 Custos (R$/kg) 5,20 6,80,10 2,50 A fábrica deseja determinar em que quantidades os ingredientes devem ser misturados de modo a produzir 1 kg da barra de cereais que satisfaça às restrições nutricionais e tenha custo mínimo. Neste terceiro problema, temos uma fábrica interessada em produzir um único tipo de produto, diferentemente dos problemas anteriores que possuíam um mix de produtos. A produção da barra de cereais requer a mistura de um conjunto de quatro ingredientes, sendo que cada um contribui com determinadas proporções dos nutrientes exigidos na composição da barra. Há muitas formas de se combinar esses ingredientes de modo a obter a composição desejada, mas a fábrica busca a que minimiza o custo de compra dos ingredientes. Em outras palavras, existem muitas soluções factíveis, mas estamos interessados naquela que minimiza 10

11 os custos de produção. Observe que a resposta para este problema pode auxiliar a empresa em diversos estágios. Por exemplo, pode-se verificar a viabilidade econômica deste produto no mercado de acordo com seu custo de produção; é possível determinar quanto comprar de cada matéria-prima, de acordo com a demanda prevista/contratada de barras desse sabor; pode-se estudar o impacto da contratação de outros fornecedores ou da adição de diferentes ingredientes à composição da barra; entre muitas outras análises. Pela tabela dada no enunciado, vemos que cada quilograma da farinha de cereais custa R$ 5,20 e possui 26% de fibra, 5% de proteína, 60% de carboidrato e % de gorduras. De forma análoga, podemos observar as mesmas informações para os demais ingredientes. A fábrica deseja determinar quais as quantidades ótimas de ingredientes para produzir 1kg de mistura para a barra de cereais. Assim, as variáveis de decisão podem ser definidas como: x i quantidade do ingrediente i em 1kg da mistura, para i = 1, 2, 3, 4. As quantidades mínimas e máximas exigidas para os nutrientes que devem compor a mistura afetam diretamente a escolha das quantidades de cada ingrediente (variáveis de decisão). Assim, devemos expressá-las por meio de restrições. Sabemos que a mistura deve ter, pelo menos, 22% de fibra. Para calcularmos a quantidade total de fibra na mistura, usamos a proporção de fibra em cada ingrediente multiplicada pela quantidade a ser usada do ingrediente. Assim, a restrição é dada por 0,26 + 0,01 + 0,25x 3 + 0,10x 4 0,22. O mesmo raciocínio pode ser usado para obtermos restrições para os demais nutrientes, observando que carboidrato e gordura devem ter quantidade máximas e, portanto, resultam em restrições do tipo menor-ou-igual. Outro requisito da fábrica é o de produzir 1kg da mistura para a barra da cereais. Assumindo que as quantidades dos ingredientes sejam mantidas as mesmas após a mistura, podemos garantir esse requisito usando a restrição + + x 3 + x 4 = 1. Resta agora, definirmos as condições de não-negatividade, dadas por 0,..., x 4 0. O objetivo é minimizar o custo total de uso dos ingredientes. Esse custo é dado por 5,2 + 6,8 +,1x 3 + 2,5x4. Assim, temos o modelo de Programação Linear: min 5,2 + 6,8 +,1x 3 + 2,5x 4 s.a 0,26 + 0,01 + 0,25x 3 + 0,10x 4 0,22 0,05 + 0,05 + 0,26x 3 + 0,02x 4 0,0 0,60 + 0,5 + 0,45x 3 + 0,24x 4 0,55 0,0 + 0,01x 3 + 0,01x 4 0, x 3 + x 4 = 1 0, 0, x 3 0, x 4 0. O próximo problema que vamos estudar é um exemplo dos chamados problemas de transporte. Nesses problemas, dado um conjunto de pontos de produção e um conjunto de pontos de consumo com demandas conhecidas, deseja-se determinar quanto enviar de cada ponto de 11

12 produção para cada ponto de consumo, de modo a minimizar os custos de transporte. Problema 2.4. Uma fabricante de bebidas possui dois centros de produção: um em Ribeirão Preto-SP e outro em Cariacica-ES. A empresa deseja planejar qual a melhor forma de atender a demanda para a próxima semana, de mercados consumidores em três capitais: São Paulo, Belo Horizonte e Rio de Janeiro. O custo unitário de se transportar 1 fardo de bedida de cada centro de produção a cada mercado consumidor é dado na tabela a seguir, juntamente com as demandas de cada mercado e as quantidades disponíveis em cada centro de produção: Custos (R$/unid) SP BH RJ Disponível Ribeirão Preto 3,0 4,30 6, unid Cariacica 9,80 6,90 2, unid Demanda (unid) A empresa deseja determinar como atender a demanda de cada mercado consumidor, minimizando os gastos totais com transporte. Neste problema, uma fábrica possui duas plantas para fabricar um produto que deve ser entregue em três mercados consumidores diferentes. A planta de Ribeirão Preto tem 1100 unidades disponíveis de fardos do produto, enquanto a planta de Cariacica tem 1800 unidades. A demanda é de 960 fardos em São Paulo, 510 em Belo Horizonte e 895 no Rio de Janeiro. Os custos de transporte entre essas cidades é conhecido. Por exemplo, o custo de cada fardo transportado de Ribeirão Preto até São Paulo é de R$ 3,0. A partir desses dados de entrada, queremos determinar quantas unidades devem ser transportadas de cada centro de produção até cada mercado consumidor. Para definirmos nossas variáveis de decisão, é importante observarmos primeiramente que não estamos preocupados em uma decisão que afeta um único elemento do nosso problema. Por exemplo, nos problemas anteriores, cada variável de decisão estava relacionada a um dado produto ou ingrediente e, assim, a um único elemento do problema. Agora, nossa decisão está relacionado a quanto transportar de um ponto (centro de produção) até outro (mercado consumidor). Assim, cada variável de decisão se relaciona com dois elementos distintos do problema, um ponto de origem e outro de destino. Em casos assim, é comum termos dois índices definindo a variável, um para cada elemento, como definido a seguir: x ij : quantidade a ser transportada da origem i até o destino j, com i = 1, 2 e j = 1, 2, 3. Com essa definição, temos que o primeiro índice da variável representa as origens. Ribeirão Preto é indicado por i = 1, enquanto Cariacica é indicada por i = 2. O segundo índice se refere aos destinos São Paulo (j = 1), Belo Horizonte (j = 2) e Rio de Janeiro (j = 3). Os recursos escassos desse problema são dados pelas disponibilidades do produto em cada centro de produção. O quantidade total transportada de Ribeirão Preto até os mercados consumidores não pode ultrapassar 1100 unidades. Essa quantidade pode ser determinada pela 12

13 soma , já que essas variáveis correspondem à quantidade a ser transportada de Ribeirão Preto até cada capital. Isso define a restrição Analogamente, obtemos a restrição para o centro de produção em Cariacica. Observe que caso não haja transporte de um centro de produção para uma dada capital, a variável de decisão correspondente será nula e, assim, não influenciará no cálculo dessas restrições. Cada mercado consumidor possui uma demanda conhecida. Assim, precisamos garantir que essas demandas sejam totalmente atendidas na decisão a ser tomada. Para isso, a quantidade total transportada dos centros de distribuição até uma dada capital deve ser igual à demanda dessa capital. Isso pode ser garantido para São Paulo impondo-se a restrição = 960. Assim, as quantidades que chegam em São Paulo (j = 1), sejam vindo de Ribeirão Preto (i = 1) ou de Cariacica (i = 2), devem totalizar 960 unidades. Da mesma forma, temos = 510 para Belo Horizonte (j = 2) e = 895 para Rio de Janeiro (j = 3). Para definirmos a função objetivo, devemos usar os custos de transporte entre origens e destinos. Para cada centro de produção e cada mercado consumidor temos um custo unitário de transporte. Ao multiplicar pelas quantidades a serem transportadas, temos o custo total de transporte 3,1 + 4,32 + 6,13 + 9,81 + 6,92 + 2,13, o qual deve ser minimizado. Com isso, obtemos o seguinte problema de Programação Linear para o Problema 2.4: min 3,1 + 4,32 + 6,13 + 9,81 + 6,92 + 2,13 s.a = = = 895 1, 2,..., 3 0. Exercício da seção Uma fábrica produz tintas para exterior e interior a partir de duas matérias primas, M1 e M2. Considere as seguintes informações: Consumo de material Disponível Material Exterior Interior (ton/dia) M M Lucro/ton 5 mil 4 mil Uma pesquisa de mercado indicou que a demanda diária da tinta para interior não excede a da tinta para exterior em mais de 1 ton. Além disso, a demanda diária 13

14 máxima da tinta para interior é de 2 tons. Elabore um modelo de programação linear para determinar o mix de produtos ótimo, isto é, quanto produzir de cada tipo de tinta de modo a maximizar o lucro total diário. Em seguida, escreva as seguintes restrições para esse problema (independentes): 1. A demanda da tinta para interior excede a de exterior por pelo menos 1 ton. 2. A disponibilidade de M2 é no máximo 6 ton e no mínimo 3 ton. 3. A demanda da tinta para interior não pode ser menor que a demanda da exterior. 4. A quantidade minima total que pode ser produzida das duas tintas é 3 ton. 5. A proporção de tinta para interior em relação à produção total de ambas não pode exceder Representação gráfica do modelo Na seção anterior, estudamos vários exemplos de problemas de Programação Linear. Vamos agora entender como um problema pode ser representado graficamente e, então, resolvê-lo por meio desta representação. Deve ficar claro para o leitor que este desenvolvimento é possível apenas para problemas muito pequenos, com até 2 variáveis. Assim, o intuito deste estudo é compreender melhor os problemas de Programação Linear e suas propriedades. Além disso, os insights proporcionados ajudarão a interpretar as respostas obtidas pelos softwares de Otimização, como veremos mais adiante neste capítulo. Vamos iniciar nosso estudo retomando o modelo matemático desenvolvido no Exemplo 2.2 deste capítulo. A Fig. 1.2 reapresenta esse modelo e ilustra a representação gráfica de sua região factível. Na sequência, veremos passo-a-passo como desenhar essa região factível. max s.a + 1 2, Figura 1.2: Modelo matemático do Exemplo 2.2 e sua região factível. O modelo em estudo possui duas variáveis, e, e assim usaremos os eixos Cartesianos 14

15 para representá-las. O eixo das abscissas representará os valores de, enquanto o eixo das ordenadas representará os valores de, como apresentado no gráfico da Fig. 1.3(a). + = (a) (b) Figura 1.3: Desenhando a equação + = 1 associada à primeira restrição do modelo. Vamos iniciar o desenho da região factível por sua primeira restrição, +. Como toda inequação, essa restrição é satisfeita pelo conjunto de pontos que ficam em um dos lados definidos pela equação + =, obtida substituindo-se o sinal de desigualdade pela igualdade. Em outras palavras, a equação + = define uma reta que divide o plano em duas partes, sendo que apenas uma dessas partes contém os pontos que satisfazem a inequação. Para ficar claro, vamos desenhar a reta da equação + = no plano Cartesiano. Como toda reta fica bem definida por dois pontos distintos no plano, basta determinar quaisquer dois pontos que satisfaçam a equação. Isso pode ser feito atribuindo-se valor para uma das variáveis, pois assim a outra variável fica determinada de forma única. Por exemplo, para = 0, devemos ter = e, assim, o ponto (0, ) pertence à reta. De modo análogo, fazendo = 0 observamos que o ponto (, 0) também pertence à reta. Assim, marcamos esses dois pontos nos eixos do gráfico, conforme ilustrado na Fig. 1.3(a). A partir desses dois pontos, podemos traçar a reta que passa por ambos e, portanto, corresponde à reta da equação + =, ilustrada na Fig. 1.3(b). Embora tenhamos traçado a reta da equação + =, o que queremos desenhar é a região do plano que satisfaz a inequação +. Como mencionado anteriormente, essa inequação é satisfeita pelos pontos que estão em um lado específico da reta. Para determinar qual lado é esse, tomamos um ponto qualquer do plano que não esteja sobre a reta e o substituímos na inequação. Por exemplo, substituindo o ponto (0, 0) na inequação, obtemos 0 + 0, o que é verdadeiro e portanto esse ponto pertence ao conjunto de pontos que satisfazem +. Como os pontos de apenas um dos lados da reta podem satisfazer a inequação, temos que + é dada pelos pontos que pertencem à área colorida da Fig. 1.4(a), incluindo os pontos sobre a reta. Para evitar confusão no desenho das próximas 15

16 restrições, marcamos o lado correto da inequação no gráfico usando um hachurado em uma das pontas da reta usada para defini-la, conforme ilustrado na parte superior da Fig. 1.4(b). Vale ressaltar que, no caso de uma restrição descrita originalmente por uma equação, apenas os pontos sobre a reta correspondente podem pertencer à região factível. + (a) (b) Figura 1.4: Desenhando a equação + = associada à primeira restrição do modelo. As demais restrições do modelo podem ser desenhadas usando o mesmo raciocínio que acabamos de descrever. Essas restrições são ainda mais simples, pois são definidas por apenas uma variável. Para desenhar a restrição 1, o primeiro passo é desenhar a reta = 1, conforme ilustrado na Fig. 1.5(a). Apenas os pontos com valor maior ou igual a 1 na primeira coordenada satisfazem a restrição e, portanto, 1 é dada pelos pontos que estão à direita da reta desenhada (incluindo os pontos sobre a reta). Em seguida, desenhamos a restrição 1 de forma análoga, obtendo o gráfico apresentado na Fig. 1.5(b). Tendo desenhado as restrições do problema, a região factível fica determinada pelos pontos pertencentes à intersecção de todas essas restrições, conforme ilustrado na Fig. 1.6(a). As condições de não-negatividade ficaram implícitas no gráfico resultante, pois a região factível já pertence naturalmente ao quadrante 0 e 0. De um modo geral, deve-se sempre garantir que a região factível esteja inscrita nesse quadrante para que as condições de nãonegatividade sejam satisfeitas. Além da região factível do modelo, podemos representar graficamente o vetor gradiente da função objetivo. Para isso, basta desenharmos o vetor cuja primeira coordenada é dada pelo coeficiente de custo da variável e a segunda coordenada é dada pelo coeficiente de custo da variável. No modelo do exemplo em estudo, temos que o gradiente é dado pelo vetor (5, 3). Para traçá-lo, desenhamos uma seta que se inicia no ponto (0, 0) e termina no ponto (5, 3), conforme ilustrado na Fig. 1.6(b). Toda reta perpendicular ao vetor gradiente corresponde a uma curva de nível da função objetivo. Isso significa que todos os pontos pertencentes a uma dessas retas perpendiculares possuem o mesmo valor na função objetivo. Por exemplo, 16

17 = (a) (b) Figura 1.5: (a) Desenhando a reta = 1; (b) Região factível com todas as restrições do modelo. Região factível (a) (b) Figura 1.6: Representação gráfica da região factível e do vetor gradiente da função objetivo. 1

18 na Fig. 1. ilustramos quatro curvas de nível da função objetivo 5 + 3, relacionados a diferentes retas perpendiculares ao vetor gradiente as curvas de nível são representadas por linhas tracejadas. Na Fig. 1.(a), temos a curva de nível correspondente ao valor 11 da função objetivo, indicado por f = 11. Todos os pontos que estão sobre essa reta resultam no valor 11 quando substituídos na função objetivo faça o teste. Ao deslizarmos essa reta na direção do gradiente, observamos que o valor da função objetivo aumenta. De fato, as demais curvas de nível ilustradas na Fig. 1. têm valor 23 (b), 31 (c) e 40 (d) f =11 f = (a) (b) f =31 f = (c) (d) Figura 1.: Desenhando a reta = 1 (à esquerda) e as restrições 1 e 2 (à direita). As curvas de nível ilustradas na Fig. 1. podem nos ajudar a determinar uma solução ótima do problema, usando os pontos da região factível. Observe que se deslizarmos a reta perpendicular ao gradiente, apenas por dentro da região factível, o maior valor que podemos obter é o da curva de nível representada na Fig. 1.(c). No ponto (5, 2) não é mais possível mover a reta perpendicular ao gradiente no sentido de sua direção, sem sair da região factível. Logo, esse é o ponto factível com o maior valor possível para a função objetivo. Como o leitor 18

19 já deve ter concluído, podemos afirmar que esse ponto é a solução ótima do problema. A Fig. 1.8 ilustra essa solução ótima, dada por = 5 e = 2, com valor ótimo 31. Assim, em termos do enunciado do Exemplo 2.2, o agricultor deve plantar 5 hectares de trigo e 2 hectares de arroz, para obter o lucro máximo de 31 mil reais. Valor ótimo f =31 Solução ótima =5, = Figura 1.8: Representação gráfica da região factível e solução ótima do Exemplo 2.1. Usar a representação gráfica de um modelo para determinar sua solução ótima, assim como acabamos de fazer acima, é conhecido como método de solução gráfica. Os passos desse método podem ser resumidos como segue, para um problema de maximização: 1. Traçar as retas das equações correspondentes a cada restrição. 2. Para as restrições que são inequações, determinar o lado factível da restrição verificando se o ponto 0 a satisfaz. 3. A região factível é dada pela intersecção dos lados factíveis de todas as restrições. 4. Desenhar o vetor gradiente da função objetivo e suas perpendiculares (curvas de nível). 5. Obter o ponto em que a reta perpendicular corresponde ao maior valor possível dentro da região factível. Em problemas de minimização, a reta perpendicular deve ser movida na direção contrária à do gradiente, para assim diminuir o valor da função objetivo. Exercício da seção Represente graficamente a região factível do modelo matemático desenvolvido para o Problema 2.1. Determine a solução ótima deste modelo usando o método de solução gráfica. 19

20 1.5 Características dos modelos Como vimos até o momento, o principal intuito em desenvolvermos um modelo de Programação Linear é para obter a solução ótima do problema em estudo. Entretanto, ao final do processo de modelagem, o modelo obtido pode ser infactível e, portanto, sem solução. Isto ocorre quando a região factível do modelo é vazia, ou seja, não existe nenhuma solução que satisfaça o conjunto de restrições. A Fig. 1.9 ilustra um modelo infactível e sua representação gráfica. Observe no gráfico que as áreas definidas pelas inequações não possuem pontos em comum dentro do quadrante, 0. Logo, não é possível obtermos um ponto que satisfaça ambas as restrições simultaneamente. A obtenção de modelos infactíveis pode ocorrer por vários motivos. O primeiro deles está relacionado à natureza do problema, quando as restrições definidas e os dados de entrada do problema não permitem que uma solução seja obtida. Por exemplo, quando há vários produtos que usam um recurso escasso bastante limitado, de modo que não seja possível fabricar quantidades mínimas dos produtos dentro da disponibilidade do recurso. Outra fonte de infactibilidade, pode estar na formulação incorreta do modelo, por não se ter compreendido corretamente o problema, ou na descrição incorreta dos dados de entrada. Muitos outros motivos podem existir e a experiência prática com modelagem ajuda a identificá-los e, principalmente, evitá-los. Os softwares de Otimização também podem ajudar nesse sentido. 6 ma + 3 s.a , 0. 4 Figura 1.9: Exemplo de um modelo infactível. Além da infactibilidade, um modelo de Programação Linear pode não possuir solução ótima por ser ilimitado. Isto ocorre quando o modelo possui soluções factíveis, mas é impossível determinarmos qual a melhor delas. Em outras palavras, dada uma solução factível, é sempre possível determinarmos outra solução factível que tenham valor melhor que aquela. A Fig apresenta um modelo ilimitado e sua região factível. Observe que é possível movermos ilimitadamente as retas perpendiculares (curvas de nível) na direção do vetor gradiente. Modelos ilimitados também podem ser o resultado de erros na compreensão do problema, entrada de dados e definição das restrições e função objetivo. 20

21 ma + 2 s.a , Figura 1.10: Exemplo de um modelo com solução ilimitada. Resumindo a discussão apresentada nesta seção, temos que um modelo de Programação Linear pode ser: Factível e ter solução ótima; ou Factível, porém ilimitado; ou Infactível. Nos dois últimos casos, o modelo não possui solução ótima, devendo o usuário identificar as possíveis causas dessa situação. O leitor deve tomar o cuidado para não confundir essa nomenclatura referente ao modelo, com a nomenclatura que se aplica às variáveis de decisão, apresentada na Seção 1.2. Por exemplo, uma solução pode ser infactível em um modelo factível. 1.6 Solução de modelos com o uso de software Diversos softwares de Otimização estão disponíveis atualmente e permitem a resolução de um grande número de problemas encontrados na prática. Atualmente, os mais eficientes são softwares comerciais, isto é, que requerem o pagamento de uma licença para utilizá-los. Entre eles, podemos citar: 1. IBM CPLEX: 2. Gurobi Optimizer: 3. FICO Xpress: 4. Solver/Microsoft Excel: 21

22 Existem também softwares livres disponíveis, os quais geralmente possuem um desempenho inferior em relação aos comercias, mas ainda assim podem ser capazes de resolver os modelos em tempo razoável. Entre eles estão: 1. Coin-OR: 2. GLPK: 3. lp solve: Além do tipo de licença (comercial ou livre) e eficiência computacional, esses softwares se diferenciam pela forma de interação com o usuário. Alguns possuem interfaces gráficas que permitem a entrada do modelo, interação com os algoritmos de resolução e visualização das soluções obtidas, enquanto outros exigem o conhecimento de linguagens de programação. Existem softwares de modelagem, como o GAMS e o AMPL, que facilitam a interação do usuário com um software de Otimização, pois oferecem uma linguagem de modelagem própria e interface mais amigável. Tais softwares apenas facilitam a interação do usuário, já que a resolução dos modelos é feita chamando-se um dos softwares mencionados acima. Devido à facilidade de uso e presença de interface gráfica amigável, adotaremos neste texto os softwares de otimização Solver/Microsoft Excel e lp solve. Ambos são bastante didáticos e podem ser facilmente instalados/ativados na grande maioria dos computadores pessoais. Nas seções a seguir, apresentamos como instalar/ativar esses dois softwares e ilustramos como usá-los por meio de um exemplo. Cabe ressaltar que, apesar das várias vantagens oferecidas, ambos os softwares possuem algumas limitações. Por exemplo, o Solver impõe limites sobre o número máximo permitido de variáveis e restrições no modelo que se deseja resolver. Além disso, pode ser ineficiente na solução de problemas de grande porte, devendo o usuário recorrer a softwares mais robustos, como o IBM CPLEX, em casos assim Solver/Microsoft Excel O Solver/Microsoft Excel tem a vantagem de estar integrado às planilhas do Microsoft Excel e, portanto, está disponível na maioria dos computadores pessoais. Além disso, muitas pessoas já são familiarizadas com o uso de planilhas eletrônicas, o que facilita a entrada de dados, a definição do modelo e a análise de soluções obtidas. A Fig exibe a localização do botão que invoca a interface do Solver, dentro da aba Dados do Microsoft Excel Em algumas instalações do Microsoft Excel, pode ocorrer que o botão indicado na Fig não esteja ativado automaticamente. Nesse caso, o leitor pode ativá-lo clicando no menu Arquivo Opções. Um formulário é aberto, como apresentado na Fig. 1.12, à esquerda. Após clicar no item Suplementos no menu esquerdo, clique em Ir. No novo formulário que se abre, marque a caixa de seleção Solver presente nas opções do formulário, conforme ilustrado na Fig. 1.12; depois, clique em OK nos dois formulários para finalizar. Após esses passos, o botão Solver deve estar disponível na aba Dados conforme ilustrado na Fig

23 Figura 1.11: Botão para abertura do Solver na barra de ferramentas do Microsoft Excel Figura 1.12: Passos para ativar o botão do Solver na aba Dados lp solve O software lp solve também possui uso intuitivo, pois oferece uma interface gráfica que facilita entrar com o modelo, configurar os algoritmos disponíveis e visualizar as soluções obtidas. É possível definir o modelo de forma bastante semelhante ao modelo que é escrito no papel, o que facilita o aprendizado de usuários iniciantes. Esse software pode ser baixado e instalado rapidamente e sem nenhum custo, diretamente da Internet. Para baixá-lo, acesse o endereço e siga as instruções de download. A instalação do software é simples e rápida. Ao executá-lo, a tela inicial que se abre é ilustrada na Fig Exemplo de uso dos softwares Para ilustrar como os softwares Solver/Microsoft Excel e lp solve podem ser usados para a resolução de problemas de Programação Linear, vamos usar o Exemplo 2.2 apresentado no início deste capítulo. Para facilitar a leitura, vamos retomar o enunciado desse exemplo. 23

24 Figura 1.13: Tela inicial do software lp solve. Exemplo 2.2. Um agricultor acabou de comprar uma fazenda para o plantio de trigo e arroz. A área total disponível para plantio é de hectares, e o agricultor deseja plantar, no mínimo, 1 hectare de trigo e 2 hectares de arroz. Estima-se que o lucro do trigo seja de R$ 5.000,00 e do arroz de R$ 3.000,00, por hectare plantado. O agricultor deseja determinar quanto plantar de cada cultura, de modo a maximizar seu lucro. O modelo de Programação Linear obtido para o problema do Exemplo 2.2 foi o seguinte: max s.a + 1 2, 0 Vamos iniciar nossa ilustração de uso dos softwares pelo lp solve, por permitir a entrada de forma mais próxima ao modelo matemático definido. A Fig apresenta o modelo no formato de entrada exigido pelo lp solve. Observe que o formato de entrada é, de fato, muito próximo ao modelo matemático, contendo algumas particularidades de sintaxe. A primeira delas é exigência em se colocar ponto-e-vírgula ao final de toda linha. O sentido de otimização (minimização ou maximização) também são definidos por min ou max, mas devem ser separados por dois-pontos da expressão da função objetivo. 24

25 Figura 1.14: Modelo do Exemplo 2.2 no formato do software lp solve. É permitido atribuir nomes às restrições, para facilitar a leitura das soluções obtidas ao final do processo de otimização. Por exemplo, a primeira restrição possui o nome AreaTotal. Esses nomes devem ser colocados no início das linhas e iniciar com uma letra do alfabeto; não podem conter espaços, acentos, nem caracteres especiais; e precisam ser separados por dois-pontos da expressão da restrição. O nome das variáveis também deve iniciar por uma letra e não pode conter espaços ou caracteres especiais. Coeficientes e variáveis devem ser separados por espaços. No caso de coeficientes fracionários, o separador decimal deve ser o ponto, em vez da vírgula. É possível escrever comentários junto ao modelo, os quais devem ser iniciados por /* e finalizados por */, conforme ilustrado na Fig O lp solve não permite: multiplicação ou divisão de variáveis por variáveis; uso de parênteses para expressar operações distributivas; e uso de somatórios ou conjuntos de índices. Para mais informações sobre a sintaxe e uso do lp solve, consulte o manual do software disponível em Após a definição do modelo no lp solve, podemos resolvê-lo clicando na seta verde disponível na barra de ferramentas do software, conforme destacado na parte superior da Fig Após a resolução do modelo, o software exibe algumas informações na aba Log (parte inferior da interface) e a solução ótima encontrada pode ser visualizada na aba Result, como destacado na Fig Podemos observar na figura que a solução ótima encontrada foi = 5 e = 2, com valor ótimo 31. Vamos agora estudar como esse mesmo modelo pode ser resolvido pelo Solver no Microsoft Excel. O primeiro passo é entrar com os dados em uma planilha, conforme ilustrado na Fig A disposição dos dados é livre, podendo ser feita da maneira que o usuário desejar. Aqui, usamos as células da coluna C para definir os dados da primeira cultura (Trigo) e as células da coluna D para definir os dados da segunda cultura (Arroz). Abaixo dos nomes de 25

26 Figura 1.15: Resultado do Exemplo 2.2 obtido pelo software lp solve. Figura 1.16: Modelo do Exemplo 2.2 na planilha do Microsoft Excel

27 cada cultura, reservamos duas células para armazenar a solução ótima do problema. Elas foram destacadas em amarelo e o nome Variável foi adicionado na célula à esquerda, para indicar que estas células representam as variáveis do modelo vale ressaltar novamente que essas definições não são obrigatórias, sendo o usuário livre para definir a disposição dos dados como preferir. Logo abaixo das células associadas às variáveis, definimos os lucros unitários nas colunas correspondentes a cada cultura. Nas linhas seguintes, entramos com os coeficientes de cada variável nas restrições do modelo. Por exemplo, a primeira restrição é + e, assim, temos o coeficiente 1 para a variável (Trigo) e o mesmo coeficiente para a variável (Arroz). Assim, colocamos o valor 1 nas células C10 e D10. O sinal de desigualdade <= e o valor independente são colocados nas células F10 e G10. Essas informações são apenas sobre os parâmetros da restrição, isto é, falta ainda combiná-los com as variáveis. Isto é feito na célula E10 que, embora não esteja explícito na Fig. 1.16, possui o seguinte conteúdo: =C10*C6+D10*D6. Essa expressão é uma fórmula que define, de fato, o lado esquerdo da primeira restrição do modelo (1 + 1 ). Seguindo o mesmo raciocínio, definimos as demais restrições do problema. Por fim, na célula C14 definimos a expressão da função objetivo, usando as células das variáveis definidas na linha 6 e os lucros definidos na linha 8. O conteúdo da célula C14 é =C8*C6+D8*D6, que corresponde à função objetivo Todos os passos feitos até o momento foram apenas para entrar com os dados do modelo na planilha do Microsoft Excel. Precisamos agora fazer a ligação entre esses dados e o Solver. Para isso, clicamos na aba Dados e, em seguida, no botão Solver (veja parte superior da Fig. 1.1). Caso o botão não esteja ativo na aba Dados, consulte a Seção para ver como ativá-lo. Após clicarmos no botão Solver, é aberto o formulário apresentado na Fig É neste formulário que definimos o modelo de fato, fazendo a ligação dos dados da planilha com o Solver. O primeiro passo é preencher a caixa Definir Objetivo com a célula contendo a expressão da função objetivo. Para isso, clicamos na caixa de texto logo à frente do nome Definir Objetivo e, em seguida, clicamos na célula contendo a fórmula da função objetivo célula C14 na Fig O próximo passo é definir o sentido de otimização como Max. Em Alterando Células Variáveis precisamos colocar o intervalo de células que reservamos na planilha para armazenar o valor das variáveis de decisão. Novamente, basta clicar na caixa de texto e, em seguida, selecionar o intervalo de células correspondente na planilha. Em nosso exemplo, usamos o intervalo de células C6:D6. Para definir as restrições do modelo, clicamos no botão Adicionar que fica ao lado do quadro Sujeito às Restrições. Um novo formulário se abre, conforme ilustrado na Fig Neste formulário, entramos com a célula contendo a fórmula da restrição na caixa Referência de Célula. Em nosso exemplo, a fórmula da primeira restrição foi definida na célula E10. Em seguida, definimos o tipo da restrição na caixa de seleção ao lado e, então, entramos com a célula que contém o valor independente na caixa Restrição. Para finalizar, basta clicar 2

28 Figura 1.1: Formulário para definição do modelo no Solver/Microsoft Excel em OK para voltar ao formulário anterior. Em vez do botão OK, podemos usar o botão Adicionar que realiza a inclusão da restrição e mantém o formulário atual aberto para que seja possível adicionar uma nova restrição. Figura 1.18: Formulário para incluir restrições no Solver/Microsoft Excel As restrições de não-negatividade não precisam ser adicionadas explicitamente ao Solver. Para defini-las, basta ativarmos a caixa de seleção Tornar Variáveis Irrestritas Não Negativas, no formulário apresentado na Fig Após isso, podemos escolher qual método de solução desejamos usar, na caixa de seleção Selecionar um Método de. Por se tratar de um modelo de Programação Linear, devemos selecionar a opção LP Simplex. Ao finalizarmos esses passos, o modelo foi definido no Solver. Basta clicarmos no botão Resolver para iniciar sua resolução. Ao finalizar a resolução do modelo, uma caixa de diálogo é apresentada na tela, conforme ilustrado na Fig Além disso, as células reservadas para as variáveis de decisão e 28