Colisões Guia de Ensaio Laboratorial

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1 Colisões Guia de Ensaio Laboratorial Mecânica Aplicada II Cursos MEAer, MEMec, LEAN Abril 2017

2 Conteúdo 1 Introdução Objectivo do Ensaio Fundamentos Teóricos Movimento do Centro de Massa Energia Cinética Colisões Conservação da Quantidade de Movimento Total Transferência da Quantidade de Movimento Energia Cinética Descrição do Equipamento 5 4 Procedimento Experimental Preparação Preparação da mesa de ar Preparação dos Corpos Cilíndricos Descrição do procedimento Colisão Elástica Colisão Inelástica Tratamento dos Resultados A Momentos de Inércia 12 ii

3 1. Introdução A mesa de ar possibilita experiências sobre o movimento bidimensional em condições em que o atrito é desprezável. Numa superfície plana fazem-se deslizar dois corpos cilíndricos que possuem um ventilador incorporado. Este ventilador produz uma almofada de ar que, à escala das grandezas em jogo, se pode considerar que elimina completamente o atrito. Os corpos cilíndricos são alimentados electricamente através de um cabo flexível ligado a um suporte. A trajectória do movimento dos corpos cilíndricos é registada num papel metalizado, sobre o qual os corpos se movimentam, através de pequenas marcas criadas por descargas eléctricas produzidas a uma frequência constante por um eléctrodo que se encontra posicionado na parte inferior do corpo. 1.1 Objectivo do Ensaio No presente trabalho ir-se-ão produzir entre os corpos cilíndricos dois tipos de colisões, uma elástica e uma inelástica, com o objectivo de verificar que: a quantidade de movimento um sistema de partículas, composto por partículas de diferentes massas e com diferentes velocidades de deslocação relativamente a um referencial inercial, é igual à soma da quantidade de movimento de cada partícula, ou seja, que o sistema se comporta como toda a massa estivesse concentrada no CG do sistema; não havendo forças exteriores sobre o sistema, a velocidade do CG do sistema é constante, verificando, assim, o princípio da conservação da quantidade de movimento do sistema; quando duas partículas entram fisicamente em contacto, há uma alteração dos seus movimentos com transferência da quantidade de movimento, e; numa colisão elástica há conservação da energia cinética, o que não se verifica na colisão inelástica. 1

4 2. Fundamentos Teóricos 2.1 Movimento do Centro de Massa A quantidade de movimento de um sistema de partículas é dada por P = M v G (2.1) em que M é a massa total do sistema e v G a velocidade do centro de massa. Por outro lado, a velocidade do centro de massa é dada por v G = i m i v i M (2.2) em que m i representa a massa de cada partícula e v i a respectiva velocidade. A quantidade de movimento de cada partícula é dada por p i = m i v i (2.3) ou seja, combinando (2.1), (2.2) e (2.3), P = i p i. (2.4) Se não actuarem forças exteriores sobre o sistema, sabemos pelo princípio da conservação da quantidade de movimento, que P é constante. Portanto, o centro de massa de um sistema isolado move-se com velocidade constante em qualquer referencial. Em particular, podemos ligar um referencial inercial ao centro de massa de um sistema isolado e, relativamente a esse referencial inercial, o centro de massa estará em repouso. 2.2 Energia Cinética A energia cinética de uma partícula de massa m i é definida como T i = 1 2 m i v i 2. (2.5) A energia total de um sistema de partículas é T = i 1 2 m i v i 2. (2.6) 2

5 Pode mostrar-se que, no caso de corpos rígidos em movimento plano, a energia cinética é dada por T = 1 2 M v G Īω2, (2.7) em que Ī é o momento de inércia baricêntrico e ω é a velocidade angular de rotação do corpo. 2.3 Colisões Conservação da Quantidade de Movimento Total Durante uma colisão podemos admitir que o impulso das forças exteriores é nulo, dado que o intervalo de tempo que uma colisão dura é habitualmente muito pequeno. As forças de colisão entre os dois corpos que colidem têm grande intensidade, mas são forças interiores ao sistema. Pode portanto concluir-se que nas colisões que vamos tratar existe conservação da quantidade de movimento total. Usando a plica ( ) para designar as grandezas após a colisão, podemos escrever M v G = M v G v G = v G, (2.8) ou, de forma equivalente, m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2. (2.9) Transferência da Quantidade de Movimento Quando duas partículas de massa m 1 e m 2 se aproximam e colidem, a interacção mútua altera os seus movimentos, existindo uma transferência da quantidade de movimento. Como não existe a acção de forças exteriores, a quantidade de movimento é conservada, ou seja, P 1 + P 2 = P 1 + P 2, (2.10) onde P 1 e P 2 são as quantidades de movimento das partículas 1 e 2 antes da colisão e P 1 e P 2 são as respectivas quantidades de movimento após a colisão. Se definirmos P 2 = P 2 P 2 e P 1 = P 1 P 1, então da equação (2.10) segue-se que P 2 = P 1, (2.11) ou seja, ou ainda m 2 v 2 = m 1 v 1 (2.12) v 2 v 1 = m 1 m 2, (2.13) o que indica ser a razão entre a massa das partículas inversamente proporcional à razão do módulo das variações da sua velocidade. 3

6 2.3.3 Energia Cinética Colisão Elástica Uma colisão elástica caracteriza-se por haver conservação da energia cinética durante a colisão, ou seja, a energia cinética do sistema mantém-se inalterada, antes e depois da colisão. Se durante o movimento os corpos não tiverem rotação, então T = 1 2 m 1 v m 2 v 2 2 = 1 2 m 1 v m 2 v 2 2 = T (2.14) Colisão Inelástica Numa colisão totalmente inelástica, os corpos permanecem juntos após a colisão. No caso da experiência a realizar, vamos admitir que antes da colisão o corpo 1 está em movimento de translação e o corpo 2 está em repouso. Depois da colisão, que é totalmente inelástica, ambos os corpos terão movimento de translação e rotação, e permanecerão unidos pelo ponto de contacto onde se deu a colisão. A energia cinética antes da colisão será apenas T = 1 2 m 1v 2 1. (2.15) Após a colisão os dois corpos terão a mesma velocidade angular ω porque seguem juntos. Assim, a energia cinética total será dada por T = 1 2 m 1(v 1) Ī1(ω ) m 2(v 2) Ī2(ω ) 2, (2.16) em que Ī1 e Ī2 são os momentos de inércia dos corpos 1 e 2 relativamente aos respectivos centros de massa. Note-se que também é possível escrever a energia cinética como T = 1 2 m(v G) Ī(ω ) 2. (2.17) Dado que a colisão é inelástica, T < T. 4

7 3. Descrição do Equipamento A figura 3.1 ilustra as partes que compõem o equipamento. A mesa tem dimensões exteriores 79 cm 67 cm e peso aproximado de 18 kg, com tampo de vidro (60 cm 55 cm) para experiências e extremos limitados por um elástico de borracha. Figura 3.1: Equipamento. 1. Consola fixa do suporte de três pés 2. Parafusos de ajuste para pés adicionais 3. Parafusos de nivelamento 4. Reentrância para papel de registo metalizado 5. Fonte de alimentação (220 V/50 Hz) para ventilador e eléctrodo de registo 5.1 Selector de frequência (10 Hz/50 Hz) dos impulsos de registo 5.2 Interruptor de alimentação 5

8 5.3 Suporte de fusível T B 5.4 Ligação do braço de alimentação eléctrica Tensão de saída: 24 V d.c. para o ventilador 24 V/ 10 Hz ou 50 Hz para circuito de registo 6. Barra de fixação do papel metalizado, fornece o contacto eléctrico do circuito de registo 7. Conector que estabelece ligação interna entre a barra de fixação e o circuito de registo 8. Ficha com botão de campainha para comando ON/OFF dos impulsos de registo 9. Rolo de papel metalizado para registo, comprimento de 20m, 45 cm de largura. 10. Braço de alimentação eléctrica a ligar em (5.4); com duas ligações em paralelo para ligar os fios de alimentação 11 aos dois corpos cilíndricos Fio de alimentação (2 ), com 85 cm de comprimento, para ligação ao corpo cilíndrico. 12. Corpo cilíndrico (2 ) com ventilador para produzir a almofada de ar e eléctrodo central em contacto leve com o papel de registo. Diâmetro: aprox. 10cm Altura: aprox. 10 cm Massa: 950 g 12.1 Tomada para o fio de alimentação 12.2 Interruptor ON/OFF para comando do ventilador 12.3 Tomada para ligação do eléctrodo adicional, utiliza a tensão de registo, independentemente da configuração do interruptor (12.4) 12.4 Interruptor ON/OFF para a tensão de registo no eléctrodo central 12.5 Eléctrodo central. O registo é efectuado com o interruptor (12.4) na posição de fecho e o botão de campainha na ficha (8) pressionada simultaneamente. 13. Massa adicional (2 ) para o corpo cilíndrico 12. Massa: 500 g 14. Anel elástico suportado por molas (2 ) a instalar no corpo cilíndrico (12) servindo como suporte de um eléctrodo periférico adicional. Massa: 61g 15. Anel Inelástico (2 ) a instalar no corpo cilíndrico (12) servindo como suporte de um eléctrodo periférico adicional. Massa: 60g 6

9 4. Procedimento Experimental 4.1 Preparação O aluno deve encontrar o equipamento preparado para a realização das experiências. No entanto, descreve-se aqui o procedimento para preparação da mesa e dos corpos cilíndricos Preparação da mesa de ar Colocar a mesa numa superfície de trabalho estável. Limpar a superfície de vidro e a base dos corpos cilíndricos (lenço de papel humedecido em álcool) e deixar secar. Colocar o rolo de papel de registo (face metálica para cima) na reentrância, desenrolar o papel através da mesa de vidro e fixá-lo através da barra de fixação (6). Inserir o braço de alimentação (10) na tomada (5.4) e a ficha com o botão de campainha (8) no conector (7). Alinhamento horizontal: Levantar os pés adicionais com o parafuso (2) até a mesa estar apenas apoiada na consola fixa (1) e nos dois pés ajustáveis pelos parafusos (3) (suportada em três pés). Colocar o corpo cilíndrico no centro da mesa e ligar o fio de alimentação (11). Pressionar o interruptor de alimentação (5.2) e ligar o ventilador através do interruptor (12.3) para produzir a almofada de ar. Ajustar os parafusos de nivelamento (3) de modo a que o corpo cilíndrico não se desloque. Rodar lentamente os parafusos (2) para os pés adicionais até encostarem à superfície de trabalho sem desnivelar a mesa previamente (o corpo cilíndrico deve permanecer em repouso). Usar as contraporcas para fixar os parafusos (2) Preparação dos Corpos Cilíndricos Atenção: A instalação de peças nos corpos cilíndricos não deve ser feita em cima da mesa de ar. Segurar sempre o corpo cilíndrico (12) pelo corpo e não pelas peças instaladas. 7

10 Colocar o corpo cilíndrico (12), sem o fio (11) instalado, numa zona limpa (por ex. uma folha de papel) Dependendo da experiência a realizar, encaixar a massa adicional (13) e/ou o anel elástico (14), ou o anel inelástico, no corpo cilíndrico. Rodar o anel até a came de batente do corpo cilíndrico encaixar no rasgo do anel. Quando necessária a massa adicional (13) deve ser instalada antes do anel elástico (14) ou do anel inelástico (15). 4.2 Descrição do procedimento Colisão Elástica Equipamento a usar: Mesa de ar Corpo cilíndrico (2 ) Anel elástico Massa adicional (o professor indicará se irá ser usada, ou não) Papel de registo Operação: Em cada corpo cilíndrico, deve estar instalado o anel elástico e, se for o caso, a massa adicional. Através do selector (5.1) a frequência de registo deve estar seleccionada para 50 Hz (intervalo de tempo de registo 0.02 s). Ligar a alimentação eléctrica aos corpos cilíndricos. Ligar o ventilador através do interruptor (12.2). Para registar o movimento no eléctrodo central (12.5) fechar o interruptor (12.4). Colocar os corpos cilíndricos em cantos opostos do topo inferior da mesa. Pressionar o botão de campainha (8) e, simultaneamente, impulsionar os corpos de forma a colidirem no centro da mesa e dirigirem-se, nas direcções diagonais, para os cantos opostos no topo superior, só libertando o botão quando os corpos colidirem com os elásticos limitadores. Retirar os corpos da mesa e desligar os ventiladores através do interruptor (12.2). A trajectória dos corpos deve ser semelhante à indicada na figura Colisão Inelástica Atenção: O papel de registo é o mesmo da colisão elástica. 8

11 Figura 4.1: Trajectória dos corpos, na colisão elástica Equipamento a usar: Mesa de ar Corpo cilíndrico (2 ) Anel inelástico Massa adicional Papel de registo Operação: Em cada corpo cilíndrico, devem estar instalados a massa adicional e o anel inelástico. Através do selector (5.1) a frequência de registo deve estar seleccionada para 50 Hz (intervalo de tempo de registo 0.02 s). Ligar a alimentação eléctrica aos corpos cilíndricos. Ligar o ventilador através do interruptor (12.2). Para registar o movimento no eléctrodo central (12.5) fechar o interruptor (12.4). Colocar os corpos cilíndricos, um num canto do topo inferior da mesa e o outro, aproximadamente, a um terço do eixo vertical que passa pelo centro da mesa, a partir do topo inferior. Pressionar o botão de campainha (8) e, simultaneamente, impulsionar o corpo que se encontra no canto, de forma a colidir com o outro tangencialmente e prosseguirem colados, só libertando o botão quando os corpos atingirem os elásticos limitadores. Retirar os corpos da mesa e desligar os ventiladores através do interruptor (12.2). 9

12 Figura 4.2: Trajectória dos corpos, na colisão inelástica Retirar a porção da folha de papel metalizado (9) onde ficaram registadas as trajectórias. A trajectória dos corpos deve ser semelhante à indicada na figura Tratamento dos Resultados No papel metalizado, ficam registadas as trajectórias dos corpos cilíndricos, antes e após a colisão. Como a frequência dos impulsos, no papel metalizado, é de 50 Hz, isto significa que o intervalo de tempo entre cada ponto é t = 1/(50Hz) = 0.02s. Por exemplo, 10 impulsos correspondem a 0.2s. Portanto, a partir dos registos, é possível determinar o vector velocidade de cada corpo, antes e após a colisão, bem como a velocidade do centro de massa do sistema. A figura 4.3 exemplifica os procedimentos para o caso da colisão elástica. inelástica é análogo. O caso da colisão As velocidades de cada uma das partículas determinam-se a partir dos comprimentos sucessivos segmentos A i A i+1 e B i B i+1, dividindo-os pelos respectivos intervalos de tempo. Note-se que a velocidade é uma grandeza vectorial, com módulo, direcção e sentido. Para determinar a posição do centro de massa, devem-se unir, com intervalos regulares, os pares pontos registados sincronizadamente, A i B i, como mostra a figura. Em cada instante t i a posição do centro de massa G i pode ser obtida a partir de G i B i A i G i = m 1 m 2 (4.1) 10

13 Figura 4.3: Determinação gráfica da trajectória do CG, na colisão elástica. e A i G i + G i B i = A i B i, (4.2) obtendo-se A i G i = A ib i 1 + m1 m 2. (4.3) Dividindo os comprimentos dos sucessivos segmentos G i G i+1 pelos respectivos intervalos de tempo é possível determinar a velocidade do centro de massa v G ao longo da sua trajectória. No caso da colisão inelástica é necessário também determinar a velocidade angular dos dois corpos. Esta pode ser estimada a partir na variação de ângulo que a linha que une os centros dos dois corpos faz com uma direcção de referência. Medindo o ângulo θ i que o segmento A i B i faz com uma linha de referência, a velocidade angular obtém-se dividindo θ = θ i+1 θ i pelo tempo percorrido. Durante esta fase do trabalho pretende-se verificar: a conservação da quantidade de movimento do sistema, usando quer a equação (2.8) quer a equação (2.9) (note-se que ambas são equações vectoriais); a transferência da quantidade de movimento de um corpo para outro, dado pela equação (2.13); a conservação da energia para a colisão elástica, dada pela equação (2.14): que na colisão inelástica existe dissipação de energia mecânica, calculando as energias antes (equação (2.15)) e depois (equação (2.16)) da colisão. 11

14 A. Momentos de Inércia Para o cálculo da energia cinética depois da colisão inelástica é necessário saber o momento de inércia de cada corpo relativamente a um eixo vertical que passa pelo centro de massa. Na falta de um valor experimental, pode usar-se para cada um dos corpos cilindros o valor que o momento de inércia teria se o corpo fosse homogéneo: Ī = 1 2 mr2. (A.1) Para um anel cilíndrico homogéneo de massa m, raio exterior r ext e raio interior r int a expressão para o momento de inércia relativamente ao eixo de simetria do anel é Ī = m r2 ext + r2 int. (A.2) 2 Para obter o momento de inércia de um corpo constituído por várias partes basta somar os momentos de inércia de cada uma das partes relativamente ao mesmo eixo. No caso vertente será necessário somar as contribuições do corpo cilíndrico, do anel de massa adicional e do anel inelástico (o qual se pode supôr ter espessura desprezável, pelo que r ext = r int ). 12