Soluções Cosmológicas e locais para uma Eletrodinâmica modificada
|
|
- Edison Ferreira
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Soluções Cosmológicas e locais para uma Eletrodinâmica modificada Calistrato Soares da Câmara Neto Submetida para obtenção do grau de Mestre em Física Novembro 2001
2 SUMÁRIO 1 Introdução 5 2 Eletromagnetismo de Maxwell Equações de Maxwell Formulação das Equações de Maxwell na Relatividade Especial Covariância da equação da força de Lorentz O tensor momento-energia para o campo eletromagnético na Relatividade Especial Eletromagnetismo na Relatividade Geral O Princípio da Equivalência e as equações de Einstein O Princípio da Covariância Geral e o Princípio do Acoplamento Gravitacional Mínimo Equações de Maxwell na Relatividade Geral Cálculo Variacional para a Eletrodinâmica de Maxwell na Relatividade Geral O tensor momento-energia para o campo eletromagnético na Relatividade Geral Propostas Alternativas de Eletromagnetismo Eletrodinâmica Não-Linear Lagrangeanas de Primeira Classe Lagrangeanas de Segunda Classe Lagrangeanas efetivas para uma teoria não-linear Comentários Adicionais i
3 5 Aplicações à Cosmologia Introdução Solução geral para Λ = 0 e um campo magnético dependente do tempo Solução Geral para Λ = constante 0 e um campo magnético dependente do tempo Solução Geral para um campo magnético constante e Λ dependente do tempo Um comentário sobre a solução para Λ = 0 e um campo magnético dependente do tempo a partir de correções quânticas para a eletrodinâmica clássica Aplicações ao Problema da Massa Puntual Carregada Introdução Equações fundamentais Solução das Equações de Einstein-Maxwell Conclusões 75 A Relatividade Especial 80 B Quadrivetores 83 ii
4 LISTA DE FIGURAS 5.1 O painel superior mostra o fator de escala (linha sólida) e o campo magnético (linha tracejada), enquanto que o painel inferior mostra a densidade de energia (linha sólida) e a pressão (linha tracejada) para o modelo com ω = 6, m 2 /N e Λ = 0. B 0 foi escolhido de tal forma que 2ω B 0 = 0.2 e B 0 /B cr = O painel superior mostra o fator de escala (linha sólida) e o campo magnético (linha tracejada), enquanto que o painel inferior mostra a densidade de energia (linha sólida) e a pressão (linha tracejada) para o modelo com ω = 6, m 2 /N e uma constante não-nula Λ. Os valores para Λ e B 0 são tais que λ/α 0 = e 2ω B 0 = Como na Figura 5.2 mas para λ/α 0 = e 2ω B 0 = O fator de escala (linha sólida) e o parâmetro cosmológico (linha tracejada) para o modelo com campo magnético constante, ω = 6, m 2 /N, Λ dependente do tempo e K 0 > 0 ( 2ω B 0 = 1). No painel superior λ 0 /α 0 = 1 enquanto que no painel inferior λ 0 /α 0 = Como na Figura 5.4 mas para K 0 < 0 ( 2ω B 0 = 0.1). No painel superior λ0 /α 0 = 1 enquanto que no painel inferior λ 0 /α 0 = A figura mostra o campo elétrico radial E 2, relação (6.41), para ω = m 2 /N, α = 382 C.m/s e π 3 > Θ π 6 ] A figura mostra o campo elétrico radial E 2, relação (6.41), para ω = m 2 /N, α = 382 C.m/s e π 3 > Θ π 2 ] A figura mostra o campo elétrico radial E 2, relação (6.41), para ] ω = m 2 /N, α = 382 C.m/s e π > Θ 5π A figura mostra o campo elétrico radial E 2, relação (6.41), para ω = m 2 /N, α = 382 C.m/s e 0 < Θ π 6 ] iii
5 6.5 A figura mostra o campo elétrico radial E 2, relação (6.41), para ] ω = m 2 /N, α = 382 C.m/s e 2π 3 < Θ π A figura mostra o campo elétrico radial E 2, relação (6.41), para ] ω = m 2 /N, α = 382 C.m/s e 2π 3 < Θ 5π A figura mostra o campo elétrico radial E 3, relação (6.42), para ω = m 2 /N, α = 382 C.m/s e π 3 > Θ π 2 ] A figura mostra o campo elétrico radial E 3, relação (6.42), para ω = m 2 /N, α = 382 C.m/s e π 3 > Θ π 6 ] A figura mostra o campo elétrico radial E 3, relação (6.42), para ω = m 2 /N, α = 382 C.m/s e π 3 > Θ π 2 ] A figura mostra o campo elétrico radial E 3, relação (6.42), para ] ω = m 2 /N, α = 382 C.m/s e 2π 3 < Θ π A figura mostra o campo elétrico radial E 3, relação (6.42), para ] ω = m 2 /N, α = 382 C.m/s e 2π 3 < Θ 5π A figura mostra o campo elétrico radial E 3, relação (6.42), para ω = m 2 /N, α = 382 C.m/s e 0 < Θ π 6 ] A figura mostra o gráfico da componente g 00, solução (6.55), para ω = 6, m 2 /N e α = 1, C.m/s A figura mostra o campo elétrico radial E da solução (6.58) (linha sólida) e o campo elétrico clássico (linha tracejada), obtidos para ω = 6, m 2 /N e α = 160 C.m/s A figura mostra o campo elétrico radial E da solução (6.58) (linha sólida) e o campo elétrico clássico (linha tracejada), obtidos para ω = 6, m 2 /N e α = 160 C.m/s A figura mostra o campo elétrico radial E da solução (6.60) para ω = 6, m 2 /N e α = 160 C.m/s A figura mostra a componente g 00 da métrica para a solução de Reissner-Nordström (linha sólida) e a relação (6.59) obtida numericamente (linha tracejada) para ω = 6, m 2 /N e α = 1, C.m/s iv
6 LISTA DE TABELAS 2.1 Equações de Maxwell, relações constitutivas e constantes eletromagnéticas nos principais sistemas de unidade Principais grandezas eletromagnéticas no SI e no Sistema Gaussiano A tabela abaixo mostra o comportamento das soluções E 1 para r > r c e r > r c, o comportamento assintótico (r ) e analisa a validade física dessas soluções em relação ao campo coulombiano A tabela seguinte mostra, de forma análoga a tabela anterior, o comportamento para as soluções E A tabela seguinte mostra, de forma análoga a tabela anterior, o comportamento para as soluções E
7 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE Soluções Cosmológicas e locais para uma Eletrodinâmica modificada Submetida para obtenção do grau de Novembro 2001 Calistrato Soares da Câmara Neto ABSTRACT Mestre em Física The present work investigates some consequences that arise from the use of a modified lagrangean for the eletromagnetic field in two different contexts: a spatially homogeneous and isotropic universe whose dynamics is driven by a magnetic field plus a cosmological parameter Λ, and the problem of a static and charged point mass (charged black hole). In the cosmological case, three different general solutions were derived. The first, with a null cosmological parameter Λ, generalizes a particular solution obtained by Novello et al gr-qc/ ]. The second one admits a constant Λ and the third one allows Λ to be a time-dependent parameter that sustains a constant magnetic field. The first two solutions are non-singular and exhibit inflationary periods. The third case studied shows an inflationary dynamics except for a short period of time. As for the problem of a charged point mass, the solutions of the Einstein-Maxwell equations are obtained and compared with the standard Reissner-Nordström solution. Contrary to what happens in the cosmological case, the physical singularity is not removed. 2
8 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE Soluções Cosmológicas e locais para uma Eletrodinâmica modificada Submetida para obtenção do grau de Novembro 2001 Calistrato Soares da Câmara Neto RESUMO Mestre em Física No presente trabalho são investigadas algumas conseqüências da utilização de uma nova lagrangeana para a eletrodinâmica em dois contextos: um universo espacialmente homogêneo e isotrópico com campo magnético mais um parâmetro cosmológico Λ e o problema da massa puntual carregada e estática (buraco negro carregado). No caso cosmológico, foram obtidas três soluções gerais: a primeira delas, para Λ = 0, generaliza uma solução particular obtida por Novello et al gr-qc/ ], a segunda admite um parâmetro cosmológico constante e não-nulo e a terceira corresponde a um campo magnético constante sustentado por um Λ dependente do tempo. As duas primeiras soluções são não-singulares e possuem períodos inflacionários. A terceira solução apresenta uma dinâmica inflacionária exceto por um curto intervalo de tempo. No contexto do problema da massa puntual carregada, a solução das equações de Einstein-Maxwell é obtida e comparada com a solução padrão de Reissner-Nordström. Ao contrário do caso cosmológico, a singularidade física não é removida. 3
9 AGRADECIMENTOS A Deus, por ter me dado essa oportunidade. A minha Família, pela paciência e colaboração durante todos os anos da minha vida. Ao meu orientador, Prof. Dr. Márcio Maia, pelos quatro anos de amizade. Aos Professores Joel Câmara Carvalho e José Ademir Sales de Lima, pela importante contribuição nesse trabalho. Ao colega Jailson, pelos conselhos e pela colaboração importante nos momentos decisivos. Aos demais colegas e professores da Pós-Graduação pela amizade e pela contribuição para a minha formação acadêmica. Ao DFTE e ao Programa de Pós-Graduação em Física da UFRN, pelo apoio importante para a realização desse trabalho. À Capes, pela bolsa concedida. 4
10 CAPÍTULO 1 Introdução A Relatividade Geral tem tido grande êxito na sua tentativa de explicar a origem e a evolução do universo. Várias das suas previsões teóricas foram confirmadas observacionalmente ao longo do século XX. Por outro lado, a Teoria da Gravitação de Newton é bastante adequada para descrever a maioria dos fenômenos físicos que ocorrem em nossa galáxia. Já a Eletrodinâmica Clássica de Maxwell é uma teoria formulada a partir da observação macroscópica de fenômenos eletromagnéticos e sua aplicação tecnológica atual é bastante extensa. No domínio atômico, contudo, essa teoria requer modificações. A Eletrodinâmica Quântica é uma das propostas para se descrever esse domínio da realidade. Em uma descrição mais realística da origem do universo, assim como na análise dos buracos negros, a estrutura de pequena escala deve ser considerada 1]-2]. Nessa estrutura, o acoplamento entre a gravitação e as outras interações se modificam em relação a estrutura de larga escala. O presente trabalho analisa algumas eletrodinâmicas não clássicas e suas correlações com a gravitação. Esse assunto tem sido extensivamente estudado ao longo das últimas décadas 3]-10]. Tratamos aqui, mais especificamente, da alteração de soluções cosmológicas no contexto dos modelos de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) e de soluções para uma massa puntual carregada, generalizando a solução de Reissner-Nordström 11]. A dissertação está organizada em capítulos como se segue. No Capítulo 2 é feita uma introdução ao Eletromagnetismo de Maxwell, apresentando as principais equações na formulação diferencial e na formulação covariante no contexto da Relatividade Especial. A referência 12] foi a principal fonte utilizada. No Capítulo 3 são apresentados os principais princípios e equações da Relatividade Geral. Além disso, a formulação covariante das Equações de Maxwell na Relatividade Geral é obtida 5
11 a partir do Princípio do Acoplamento Mínimo. O Capítulo 4 apresenta um resumo de algumas das propostas de eletromagnetismo não clássico e suas principais conseqüências. Dentre as fontes utilizadas, a mais analisada para esse capítulo foi a referência 4]. O Capítulo 5 constitui uma aplicação à Cosmologia do acoplamento escolhido para ser analisado neste trabalho. Esse capítulo mostra como uma eletrodinâmica não-linear altera a solução cosmológica padrão para o universo de FRW. Ao final do capítulo é feita uma comparação entre a nossa solução e a solução da referência 1], obtida a partir de correções quânticas. O Capítulo 6 é uma aplicação ao problema da massa puntual carregada. A solução padrão de Reissner-Nordström é resgatada e uma nova solução é obtida para uma eletrodinâmica não-linear. Essas duas soluções são comparadas e algumas diferenças são apresentadas e discutidas. O Capítulo 7 resume alguns resultados e dificuldades e apresenta propostas de desenvolvimento desse trabalho. O Sistema Internacional de Unidades (SI) será utilizado ao longo de toda esta dissertação, salvo menção explícita em contrário. A assinatura da métrica utilizada é 2. Os índices gregos assumirão os valores 0, 1, 2 e 3 enquanto os índices arábicos assumirão os valores 1, 2 e 3. 6
12 CAPÍTULO 2 Eletromagnetismo de Maxwell Como fundamentação teórica para essa dissertação, apresentarei um resumo da parte principal da teoria da Eletrodinâmica Clássica na Relatividade Especial, a qual será utilizada neste trabalho. As Equações de Maxwell são apresentadas, tanto nas formas diferencial e covariante, como a partir de cálculo variacional. Os aspectos e as conseqüências físicas relevantes dessas equações também são discutidos. No final do capítulo, é apresentada a formulação covariante da equação da força de Lorentz. Uma explicação mais detalhada do assunto referente a esse capítulo é encontrada nas referências 11]-13]. 2.1 Equações de Maxwell A teoria eletromagnética clássica foi desenvolvida a partir de um extenso trabalho experimental. Suas leis fundamentais são, portanto, de natureza empírica. Por essa razão, elas não podem ser provadas do ponto de vista teórico. Durante mais de dois séculos, foram realizadas diversas experiências que comprovaram macroscopicamente a sua validade. Essas leis são expressas pelas quatro Equações de Maxwell, que são as equações fundamentais da teoria eletromagnética. No SI, as equações de Maxwell, para fontes no vácuo, são 12] E = ρ ɛ 0, (2.1) B = µ 0 J + µ0 ɛ 0 E t, (2.2) E + B t 7 = 0, (2.3)
13 B = 0, (2.4) onde E, B, J, µ0, ɛ 0 e ρ são, respectivamente, o campo elétrico, a indução magnética, a densidade de corrente, a permeabilidade magnética do vácuo, a permissividade elétrica do vácuo e a densidade de carga. A primeira relação expressa a Lei de Gauss para a eletricidade e pode ser obtida da Lei de Coulomb para a a força elétrica. A dependência da força elétrica com o inverso do quadrado da distância foi mostrada quantitativamente por Coulomb e Cavendish. Através das suas experiências com a balança de torção e esferas concêntricas, eles mostraram essa dependência com pequena precisão. Experiências mais precisas testam a validade da lei do inverso do quadrado da distância de duas formas: (a) Supondo que a força varia com 1 r 2+δ, onde r é a distância entre duas cargas elétricas, e estabelecendo um limite superior para δ. (b) Admitindo que o potencial eletrostático tem a forma do potencial de Yukawa r 1 e αr e estabelecendo um limite para α ou α 1. Como α = mγc h onde m γ é a massa do fóton, c é a velocidade da luz no vácuo e h é a constante de Planck dividida por 2π, o teste da lei do inverso do quadrado da distância pode ser realizado através do estabelecimento de um limite superior para m γ. Williams, Faller e Hill 12], realizando uma experiência semelhante à de Cavendish, obtiveram o limite δ (2, 7 ± 3, 1) Medidas do campo geomagnético da terra fornecem um limite para a massa do fóton de m γ kg ou α m. Experiências mais precisas mostram que a Lei de Coulomb é válida para r m, podendo a massa do fóton ser considerada nula nesse caso. A segunda equação é uma generalização da Lei de Ampère. O termo µ 0 ɛ 0 E t foi adicionado por Maxwell à Lei de Ampère B = µ 0 J. A introdução desse termo é considerada como uma das maiores contribuições dada por Maxwell à teoria eletromagnética. A equação (2.3) expressa a Lei de Indução de Faraday e nos permite quantificar o fenômeno da indução eletromagnética. A última relação expressa a inexistência de monopólos magnéticos. 8
14 Tomando-se o divergente da relação (2.2) e empregando a equação (2.1), obtém-se uma equação de continuidade relacionando a densidade de corrente e a densidade de carga ρ t + J = 0. (2.5) Outra importante conseqüência das equações de Maxwell é que a luz é uma onda eletromagnética e sua velocidade em um determinado meio pode ser medida através da permissividade elétrica ɛ e da permeabilidade magnética µ desse meio. Para o vácuo essa velocidade é c = 2, m/s, valor este que tem extrema importância nos fenômenos óticos e no estudo da Teoria da Relatividade. Ela também é uma das constantes fundamentais da Física e é utilizada para definir o metro no SI. Outra relação importante do Eletromagnetismo é a força de Lorentz que age sobre uma partícula carregada q movendo-se com velocidade v, F = q( E + v B). (2.6) As equações de Maxwell no vácuo são lineares nos campos E e B. A dispersão cromática e a difração dos raios-x são exemplos de fenômenos físicos em que essa linearidade é válida. Diversas observações experimentais mostram que a linearidade é válida tanto para campos macroscópicos como para campos criados em níveis atômicos. Existem também situações em que efeitos não-lineares ocorrem. Os materiais ferromagnéticos e os cristais submetidos a intensos feixes de laser são alguns exemplos. Em níveis atômicos e subatômicos, a linearidade pode também não ser válida. Existe uma não linearidade dos campos eletromagnéticos na Mecânica Quântica que surge devido ao Princípio da Incerteza permitir a criação de um par elétron-pósitron por dois fótons e um subseqüente desaparecimento do par com a emissão de dois outros fótons diferentes. Este processo é conhecido como espalhamento de luz por luz. Para um meio qualquer, as equações de Maxwell são escritas para os campos macroscópicos, ou seja, não são considerados os campos produzidos por cada partícula elementar que constitui a distribuição de carga e sim a média macroscópica dos campos por elas produzidas. Essas equações são D = ρ, (2.7) H = J + D t, (2.8) 9
15 E + B t = 0, (2.9) B = 0, (2.10) onde D é o deslocamento elétrico e H é o campo magnético. As relações constitutivas D = D( E), H = H( B) e J = J( E), para meios lineares e isotrópicos, são, no SI, D = ɛ E, (2.11) H = µ B, (2.12) J = g E, (2.13) onde ɛ, µ e g são, respectivamente, a permissividade elétrica, a permeabilidade magnética e a condutividade elétrica do meio. A terceira relação constitutiva é conhecida como Lei de Ohm. É possível também relacionar D e E com a polarização P e H e B com a magnetização M, D = ɛ 0 E + P, (2.14) H = 1 µ 0 B M. (2.15) Existem ainda situações mais gerais em que (2.11), (2.12) e (2.13) são generalizadas pelas relações D = D( E, B), H = H( E, B) e J = J( E, B). A Tabela 2.1 mostra as equações de Maxwell nos sistemas de unidades mais comuns 12], assim como os valores de ɛ 0 e µ 0. As relações entre D, E e P e entre H, B e M também se encontram nesta tabela. A Tabela 2.2 mostra como converter as diversas grandezas eletromagnéticas do Sistema Gaussiano para o SI. 10
16 Tabela 2.1: Equações de Maxwell, relações constitutivas e constantes eletromagnéticas nos principais sistemas de unidade Eletrostático 1 c 2 D = E + 4π P D = 4πρ H = B 4π M Eletromagnético c 2 1 D = 1 c 2 E+4π P H = B 4π M H = 4π J c E + 1 c B = 0 D = 4πρ + 1 c D t B t = 0 H = 4π J + D t E + B t = 0 B = 0 Gaussiano 1 1 D = E + 4π P D = 4πρ Sistema ɛ 0 µ 0 D, H Equações de Maxwell Heaviside- Lorentz MSKA πmc 2 H = B 4π M H = 4π J c E + 1 c B = D = E + π P D = ρ H = B π M + 1 c D t B t = 0 H J = c + 1 D c t E + 1 c B = 0 4π 10 7 D = ɛ0 E + P D = ρ B t = 0 H = J + D t H = 1 µ 0 B M E + B t = 0 B = 0 11
17 Tabela 2.2: Principais grandezas eletromagnéticas no SI e no Sistema Gaussiano Quantidade Gaussiano Internacional Velocidade da luz c 1 ɛ0 µ 0 Campo Elétrico(potencial, voltagem) E(φ, V ) 4πɛ0 E(φ, V ) Deslocamento Elétrico D 4πɛ0 D Densidade de carga ρ(q, J, I, P ) ρ(q, J,I, P ) 4πɛ0 Indução Magnética B 4π µ 0 B Campo Magnético H 4πµ0 H Magnetização M µ0 4π M Condutividade Permissividade elétrica ɛ ɛ ɛ 0 Permeabilidade magnética µ g g 4πɛ 0 Resistência(Impedância) R(Z) 4πɛ 0 R(Z) Indutância L 4πɛ 0 L Capacitância C C 4πɛ 0 Polarização P P 4πɛ0 Densidade de corrente J J 4πɛ0 µ µ Formulação das Equações de Maxwell na Relatividade Especial Em 1904, H. A. Lorentz encontrou um tipo de transformação que deixava as Equações de Maxwell invariantes na sua forma. Apesar dessa descoberta, ele não conseguiu dar um significado físico para a mesma. Essa transformação é conhecida como transformação de Lorentz. Poincaré e Lorentz demonstraram a invariância da forma das Equações de Maxwell sob as transformações de Lorentz antes da formulação da Relatividade Especial. A invariância da forma, ou covariância, dessas equações, e da força de Lorentz, implica que as fontes ρ e J e os campos E e B transformam-se de uma maneira bem definida sob as transformações entre referenciais inerciais. As Equações de Maxwell, e as equações delas derivadas, podem ser escritas em uma forma 12
18 covariante na Relatividade Restrita. Para a equação da continuidade (2.5) podemos definir um quadrivetor corrente J α = (cρ, J 1, J 2, J 3 ), onde J 1 = J x, J 2 = J y, J 3 = J z. Dessa forma, a equação da continuidade é escrita na forma covariante como α J α = 0. (2.16) A definição de J α como quadrivetor decorre do fato que a carga elétrica q é invariante sob as transformações de Lorentz. Esta invariância é provada experimentalmente. Experiências mostram que a carga do elétron não depende significativamente da velocidade, pelo menos para velocidades da ordem de 0, 4c. Como dq é invariante e dq = ρd 3 x onde d 3 x é o elemento infinitesimal de volume, então cρ se transforma como a componente x 0 do quadrivetor posição, isto é, como a componente temporal da quadricorrente. De forma análoga, J = (J 1, J 2, J 3 ) se transforma como as componentes espaciais da quadricorrente. Das equações (2.3) e (2.4), obtemos as relações abaixo para os campos E e B onde A é o potencial vetor e φ é o potencial elétrico. E = A φ, t (2.17) B = A, (2.18) Substituindo-se (2.17) e (2.18) em (2.2), obtemos ( A = µ 0J + µ0 ɛ 0 ) A t t φ. (2.19) Usando-se um pouco de álgebra vetorial e o fato de que A = ( A) 2 A, a equação (2.19) pode ser escrita como 1 2 A c 2 t 2 2 A + ( A + µ 0 ɛ 0 φ t ) = µ 0J. (2.20) As escolhas do potencial elétrico φ e do potencial vetor A não são únicas. A partir destes dois potenciais, podemos definir vários outros potenciais φ e A que também satisfazem as equações (2.17) e (2.18) desde que φ = φ + ψ t, (2.21) A = A ψ. (2.22) onde ψ é uma função escalar arbtrária. A escolha da função ψ é denominada condição de gauge (ou condição de calibre). A escolha mais usual é a condição de Lorentz, que é dada pela relação µ 0 ɛ 0 φ t + A = 0. (2.23) 13
19 Usando-se a condição de Lorentz na relação (2.20), obtemos a equação de onda para o potencial vetor, 1 2 A c 2 t 2 2 A = µ0j. (2.24) Substituindo-se a relação (2.17) em (2.1) e utilizando-se a condição de Lorentz, obtemos a equação de onda para o potencial elétrico, 1 2 φ c 2 t 2 2 φ = ρ. (2.25) ɛ 0 A equação de onda mais geral, relação (2.20), e a condição de Lorentz são escritas em uma forma covariante se definirmos um quadripotencial A α = ( φ c, A1, A 2, A 3 ) onde A 1 = A x, A 2 = A y, A 3 = A z. Obtemos assim, A α α ( β A β ) = µ 0 J α, (2.26) β A β = 0, (2.27) onde o operador é definido no Apêndice B. Substituindo (2.27) em (2.26), obtemos a forma covariante das relações (2.24) e (2.25), A α = µ 0 J α. (2.28) As componentes dos campos E e B também são obtidas através de um tensor de segunda ordem e antissimétrico: o tensor intensidade de campo eletromagnético F αβ. Observando as relações (2.17) e (2.18), definimos este tensor em termos do quadripotencial como Na forma matricial, este tensor é escrito como F αβ = F αβ = α A β β A α. (2.29) 0 E x c E y c E z c Ex c 0 B z B y Ey c B z 0 B x Ez c B y B x 0. (2.30) Com a utilização da métrica de Minkowski η αβ, relação (B.15), obtemos o tensor intensidade de campo eletromagnético covariante na forma matricial 0 Ex c Ey c Ez c F αβ = E x c 0 B z B y E y c B z 0 B x E z c B y B x 0 14 (2.31)
20 ou pode ser definido por F αβ = β A α α A β, (2.32) onde o quadripotencial covariante A α é obtido do contravariante A α através da relação (B.16). A forma covariante das relações (2.21) e (2.22) é Ā α = A α + α Ψ. (2.33) A partir do tensor covariante F αβ é possível definir um tensor intensidade de campo eletromagnético dual F αβ. Antes disso, é necessário definir o tensor de quarta ordem totalmente antissimétrico ɛ αβγδ, como +1 para α = 0, β = 1, γ = 2, δ = 3 e permutações pares ɛ αβγδ = 1 para permutações ímpares 0 para quaisquer índices iguais. (2.34) O tensor intensidade de campo eletromagnético dual F αβ é definido na Relatividade Restrita pela relação F αβ = 1 2 ɛαβγδ F γδ. (2.35) Na forma matricial, 0 B x B y B z E F αβ B x 0 z = c Ey c B y Ez E c 0 x c E B y z c Ex c 0. (2.36) As equações (2.1) e (2.2) assumem uma forma covariante em termos de F αβ e de J α através da relação β F αβ = µ 0 J α. (2.37) A forma covariante das outras duas Equações de Maxwell, (2.3) e (2.4), é obtida em termos de F αβ e F αβ através da equação ou, alternativamente, β F αβ = 0, (2.38) α F βγ + β F γα + γ F αβ = 0. (2.39) Para o caso das Equações de Maxwell macroscópicas (ver Tabela 2.1), define-se mais um tensor G αβ. Este tensor é obtido do tensor F αβ, substituindo-se as componentes de E c 15 pelas
21 de c D e as componentes de B pelas de H. A forma covariante das Equações de Maxwell macroscópicas são dadas, então, pelas relações β G αβ = J α, (2.40) β F αβ = 0. (2.41) Uma outra forma de se obter as Equações de Maxwell na Relatividade Especial é utilizando-se a densidade lagrangeana L R para o campo eletromagnético. Para obtenção dessa densidade lagrangeana são utilizados três critérios 8] : linearidade, invariância de gauge e de Lorentz. O primeiro critério exige que as equações da eletrodinâmica envolvam derivadas primeiras dos campos elétrico e magnético. O segundo e o terceiro critério exigem que as equações de campo sejam invariantes sob a escolha do calibre e as transformações de Lorentz. Portanto, a densidade lagrangeana deve ser uma combinação linear dos invariantes de Lorentz. Para a Relatividade Especial, os invariantes de Lorentz F e F são e F = F αβ F αβ. (2.42) F = F αβf αβ. (2.43) Exigindo-se a conservação de paridade como critério adicional, L R é dada pela relação onde o índice R se refere a Relatividade Restrita. No entanto, sabemos que L R = 1 4µ 0 F J γ A γ, (2.44) F αβ F αβ = g αµ g βν F αβ F µν. (2.45) As equações de Euler para a densidade lagrangeana do campo eletromagnético são ] LR x β L R = 0. (2.46) ( β A α ) A α Usando-se a densidade lagrangeana (2.44) na relação anterior e a definição de F αβ, dada por (2.29), obtemos e L R A α = J α (2.47) L R ( β A α ) = 1 µ 0 g αµ g βν F µν = 1 µ 0 F αβ. (2.48) Substituindo as relações (2.47) e (2.48) na relação (2.46), obtemos as equações de Maxwell com fontes. 16
22 2.2.1 Covariância da equação da força de Lorentz O quadrivetor força f que atua em uma determinada partícula é definido como f α = d(mu α ) dτ = ( U f c, U 0f 1 c, U 0f 2, U ) 0f 3 = qf βα U β, (2.49) c c onde U = (U 1, U 2, U 3 ) e U 0 são as componentes espaciais e a componente temporal da quadrivelocidade U α. A quadrivelocidade covariante U β é obtida através da relação (B.16). A grandeza m é a massa do corpo medida em um referencial em que o corpo está em repouso (massa de repouso) e f = (f 1, f 2, f 3 ) é a força tridimensional que age no corpo. A força de Lorentz (2.6) que age sobre uma partícula de carga q também pode ser expressa pela relação F = d p dt = q( E + v B), (2.50) onde p = m U = (p 1, p 2, p 3 ) é a parte espacial do quadrivetor momento. Diferenciando p em relação ao tempo próprio τ e usando a relação (2.49), temos que a componente espacial do quadrivetor força é A parte temporal é dada por d p dτ = q c (U 0 E + c U B). (2.51) dp 0 dτ = q c U E. (2.52) A covariância das equações (2.51) e (2.52), bem como das equações de Maxwell, é exigida pela teoria da Relatividade Restrita e representa a covariância da equação da força de Lorentz. 2.3 O tensor momento-energia para o campo eletromagnético na Relatividade Especial No contexto da Relatividade Restrita, podemos definir um tensor que possui entre as suas componentes as densidades de energia e de momento do campo eletromagnético. Esse tensor é chamado tensor momento-energia T µν e, para o vácuo, é definido pela relação T µν = 4 L ( ) R F F µ α F LR αν + F F L R η µν. (2.53) Utilizando-se a densidade lagrangeana (2.44) na relação (2.53), encontramos o tensor momento-energia 17
23 e as suas componentes ( ) 1 T µν = F α µ F αν + µ 0 T 00 = 1 2 ( ɛ 0 E 2 + B2 µ 0 ) ( ) ] 1 F αβ F αβ η µν 4 (2.54), (2.55) (T 01, T 02, T 03 ) = 1 c ( E B), (2.56) T 11 = 1 (1 ) ( ) ( )] E 2 E 2 µ 0 2 c 2 B2 x c 2 B2 y B2 z, (2.57) T 22 = 1 (1 ) ( E 2 ) ( )] E 2 µ 0 2 c 2 y B2 c 2 B2 x Bz 2, (2.58) T 33 = 1 (1 ) ( E 2 ) ( )] E 2 µ 0 2 c 2 B2 z c 2 B2 x By 2, (2.59) ( ) ] 1 Em E n T mn = µ 0 c 2 + B m B n, (2.60) onde m n. T ij = T ji. (2.61) As relações (2.55) e (2.56) expressam, respectivamente, as densidades de energia e momento do campo eletromagnético. A grandeza ( E B) também é conhecida como vetor de Poynting. Subindo-se os índices do tensor momento-energia (2.54) com o auxílio do tensor métrico contravariante η αβ e diferenciando-o em relação a x β, obtemos através das equações de Maxwell para o vácuo β T αβ = 0. (2.62) As relações (2.62) e (2.61) expressam, respectivamente, a conservação da energia- -momento e a conservação do momento angular na Relatividade Especial. 18
24 CAPÍTULO 3 Eletromagnetismo na Relatividade Geral 3.1 O Princípio da Equivalência e as equações de Einstein A formulação da Teoria da Relatividade teve como sua hipótese principal a covariância das equações de Maxwell e da equação da força de Lorentz. Uma das principais conseqüências dessa teoria foi a necessidade de se reformular a Mecânica Clássica, de modo que suas equações permanecessem covariantes sob as transformações de Lorentz entre referenciais inerciais. A Relatividade Restrita nada nos fala sobre como as leis da Física se transformam entre referenciais não-inerciais e nem se a Teoria de Gravitação de Newton está conceitualmente correta. Para tentar resolver esses problemas, Einstein propôs, em 1911, o Princípio da Equivalência (PE), que foi o ponto inicial para o desenvolvimento de uma nova teoria de gravitação. Em 1916, ele publicou a Relatividade Geral, uma teoria mais geral, que tem a Teoria da Gravitação de Newton e a Relatividade Restrita como casos limites. A forma forte do Princípio da Equivalência pode ser enunciada como: Em cada ponto do espaço-tempo em um campo gravitacional arbitrário, é possível escolher um sistema de coordenadas inercial local, tal que, dentro de uma região suficientemente pequena e próxima deste ponto, todas as leis da Física tomam a mesma forma que na Relatividade Especial. Neste enunciado acima, a expressão uma região suficientemente pequena e próxima do ponto se refere a uma região em que o campo gravitacional seja praticamente uniforme. A principal conseqüência desta forma forte do PE é que, dentro de uma região em que exista gravidade, os sistemas de coordenadas inerciais só podem existir localmente. Outra conseqüência é que o conceito de aceleração passa a ser relativo, uma vez que as leis da Física devem ser covariantes para os referenciais não-inerciais. 19
25 Como foi dito anteriormente, a Relatividade Geral é uma generalização da Relatividade Restrita e da Lei da Gravitação de Newton. Essa última possui como uma das suas relações fundamentais a equação de Poisson 2 φ = 4πGρ m, (3.1) onde φ é o potencial gravitacional, ρ m é a densidade de massa e G = 6, m 3 kg 1 s 2 é a constante de gravitação universal. Quando passamos para a Relatividade Geral, o tensor métrico g αβ faz o papel do potencial φ e o tensor momento-energia T αβ passa a fazer o papel da densidade ρ m. A componente 00 deste último tensor é proporcional a densidade de massa e a equação (3.1) pode ser generalizada para R αβ 1 2 g αβr = kt αβ, (3.2) onde R αβ é o tensor de Ricci, R é o escalar de Ricci, k é a constante de gravitação de Einstein e T αβ é o tensor momento-energia com dois índices covariantes. A relação (3.2) fornece as equações de Einstein para a gravitação. O tensor e o escalar de Ricci são obtidos do tensor métrico através das relações Γ γ αβ = Γ γ β α = 1 2 gδγ ( gαδ x β R αβ = R βα = 2 ln g x α x β + g δβ x α g ) αβ x δ, (3.3) Γγ αβ x γ + Γδ µ α Γ µ δ β Γµ αβ ln g x µ, (3.4) R = R α α = g αβ R αβ, (3.5) onde g é o determinante do tensor métrico g αβ e Γ γ αβ são denominados símbolos de Christoffel. A relação (3.2) também pode ser escrita em termos de tensores mistos como onde δ αβ é o tensor misto delta de Kronecker. Definindo o tensor de Einstein como podemos escrever (3.2) na forma R α β 1 2 δ α β R = kt α β, (3.6) G αβ = R αβ 1 2 g αβr, (3.7) G αβ = kt αβ. (3.8) Esta equação mostra como a matéria (representada pelo tensor momento-energia) afeta a geometria do espaço-tempo (representada pelo tensor de Einstein). 20
26 Se contraírmos os índices α e β na relação (3.2) obtemos R = kt, (3.9) onde T = T α α = g αβ T αβ é o traço do tensor momento-energia. a Utilizando-se (3.9) em (3.2), temos que ( R αβ = k T αβ g ) αβt. (3.10) 2 Para o espaço vazio, o tensor momento-energia é nulo e as equações de Einstein se reduzem R αβ = 0. (3.11) As equações de Einstein no espaço vazio também são chamadas de equações de Einstein para o vácuo. O fato do tensor de Ricci ser nulo não implica que o espaço tempo é plano. Para que isso aconteça é necessário que o tensor de Riemann se anule. Este tensor é definido como R α βγδ = Γ α β γ x δ Γ α β γ x γ + Γµ β γ Γ α δ µ Γµ β δ Γ α γ µ. (3.12) A constante de gravitação de Einstein k pode ser determinada se tomarmos o limite no qual a equação (3.8) se reduz a (3.1). No SI, esta constante tem o valor k = 8πG c 4. (3.13) A derivada covariante de um tensor misto de segunda ordem E α β é dada pela relação k E α β = Eα β x k Γl β k E α l + Γ α k m Em β. (3.14) Tomando-se a derivada covariante do primeiro membro da equação (3.6), obtemos Portanto, o tensor momento-energia satisfaz a igualdade β Rα β 1 ] 2 δβ αr = 0. (3.15) β T αβ = 0. (3.16) Esta relação expressa a conservação de energia e do momento na Relatividade Geral. Uma das propriedades importantes das equações de Einstein é que elas são não-lineares em relação às componentes do tensor métrico. Conseqüentemente, o princípio da superposição não é válido para essas equações. 21
27 Na Relatividade Geral (RG), a distribuição e o movimento da matéria são obtidos através das equações de campo. Conseqüentemente, a distribuição e o movimento da matéria não podem ser determinados separadamente na RG. Existe ainda outra versão para (3.2), proposta pelo próprio Einstein, na qual as equações de campo tomam a forma onde Λ é a chamada constante cosmológica. R αβ 1 2 g αβr + Λg αβ = 8πG c 4 T αβ, (3.17) O termo Λg αβ é chamado de termo cosmológico e foi introduzido por Einstein para que se pudesse obter soluções estáticas para as equações do campo gravitacional. Sabe-se hoje que a nível cosmológico esse tipo de solução não é válida, uma vez que o universo está em expansão. Nas últimas décadas, a constante cosmológica ressurgiu em vários contextos da Cosmologia Moderna. Observações recentes envolvendo as supernovas do tipo 1a, indicando um universo acelerado têm levantado a possibilidade de existência atual de uma constante cosmológica positiva 14]. A constante cosmológica também tem sido utilizada no contexto do problema da idade do universo 15] e em contextos inflacionários 16]. 3.2 O Princípio da Covariância Geral e o Princípio do Acoplamento Gravitacional Mínimo Quando Einstein formulou a Relatividade Geral, ele elegeu dois princípios como sendo fundamentais para a sua teoria. Um deles é o Princípio da Equivalência e o outro é o Princípio da Covariância Geral. O primeiro foi utilizado para se obter as Leis de Einstein para a Gravitação, enquanto que o segundo é utilizado para encontrar a forma tomada pelas leis da Física em qualquer referencial. Sabe-se, da Relatividade Restrita, que não existe referencial inercial privilegiado, ou seja, as leis da Física são as mesmas para os referenciais desse tipo. Na Relatividade Geral, este conceito é extendido para todos os referenciais e não apenas para os inerciais. Conseqüentemente, as equações que descrevem as leis da Física devem ter a mesma forma para todos os sistemas de coordenadas. Essa última afirmação é o que nós conhecemos por Princípio da Covariância Geral e só é válida se as duas condições abaixo forem satisfeitas: 22
28 (a) As equações na Relatividade Geral devem se reduzir às equações da Relatividade Restrita quando a gravidade estiver ausente ; (b) As equações devem ser covariantes para qualquer transformação geral de coordenadas. Existe também outra forma de enunciar o princípio da covariância geral: As equações da Física devem ter uma forma tensorial. Alguns físicos acham esse enunciado muito vazio, uma vez que é possível escrever equações na forma tensorial sem que estas representem, de fato, leis da Física. Na realidade, o Princípio da Covariância Geral apenas nos diz como escrever a forma das equações da Física quando a gravitação está presente. Como foi dito anteriormente, este princípio será de grande valor para se tentar obter as leis da natureza. No entanto, essas leis só estarão corretas se tiverem comprovação experimental. Outro importante princípio é o do acoplamento gravitacional mínimo. Ele nos diz que, para generalizarmos as equações da Relatividade Especial para a Relatividade Geral, não é necessário adicionar termos a essas equações. Essa generalização é feita substituindo-se o tensor métrico de Minkowski η αβ pelo tensor métrico generalizado g αβ e as derivadas comuns pelas derivadas covariantes. Este princípio pode ser mais precisamente enunciado na forma: Nenhum termo que contenha explicitamente o tensor de Riemman deve ser adicionado às equações da Física quando elas são generalizadas da Relatividade Restrita para a Relatividade Geral. Atualmente este princípio é pouco utilizado, uma vez que há indícios de que ele não é válido para várias equações da Física. Apesar de não ter sido formulado por Einstein, este princípio foi utilizado implicitamente pelo mesmo no desenvolvimento da Teoria da Relatividade Geral. 3.3 Equações de Maxwell na Relatividade Geral Quando Minkowski introduziu o tensor intensidade de campo na eletrodinâmica, ele pensava que F αβ deveria transformar-se como um tensor apenas sob as transformações de Lorentz. Entretanto, o Princípio da Covariância Geral afirma que todas as leis da Física devem ser covariantes sob qualquer transformação geral. Sendo assim, podemos concluir que F αβ transforma-se como um tensor sob qualquer transformação de coordenadas. Para a se obter a forma das equações da Física na Relatividade Geral é usual adotar-se os seguintes procedimentos: 23
29 (a) Escrever as equações na Relatividade Especial ; (b) Verificar como cada grandeza física contida nestas equações se transforma sob uma transformação geral de coordenadas ; (c) Substituir o tensor métrico da Relatividade Restrita pelo da Relatividade Geral e as derivadas comuns por derivadas covariantes. Esses procedimentos constituem o Princípio do Acoplamento Gravitacional Mínimo. As equações resultantes possuirão covariância geral e serão verdadeiras na ausência de gravitação. Sendo assim, elas também serão válidas em quaisquer campos gravitacionais, desde que o sistema em questão seja pequeno comparado com a escala dos campos. Usando-se os procedimentos (a), (b) e (c), vemos que a definição do tensor intensidade de campo eletromagnético F αβ na Relatividade Geral é a mesma da Relatividade Restrita, uma vez que onde α e β representam as derivadas covariantes. F αβ = β A α α A β, (3.18) Repetindo-se o tratamento anterior para as equações de Maxwell não-homogêneas, obtemos a relação β F αβ = µ 0 J α. (3.19) As derivadas covariantes para os tensores de segunda ordem contravariante e covariante são dadas, respectivamente, por γ F αβ = F αβ x γ + Γ α δ γ F δβ + Γ β ν γ F αν, (3.20) γ F αβ = F αβ x γ Γδ αγ F δβ Γ ν β γ F αν. (3.21) Conseqüentemente, a relação (3.19) pode ser escrita como F αβ x β + Γα δ β F δβ + Γ β ν β F αν = µ 0 J α. (3.22) Utilizando a relação (3.3) para os símbolos de Christoffel, obtemos Como F αν é antissimétrico e Γ β ν α Γ β ν β = 1 g 2g x ν = 1 g g x ν. (3.23) é simétrico, o terceiro termo do primeiro membro de (3.22) se anula. Usando-se este fato em combinação com (3.23), reduzimos (3.22) a F αβ x β + 1 ( g g x ν 24 ) F αν = µ 0 J α, (3.24)
30 ou, de forma alternativa, 1 ( gf αν ] ) g x ν = µ 0 J α. (3.25) Pode-se definir um novo tensor intensidade de campo eletromagnético f αβ e uma nova quadricorrente j β através das relações f αβ = g F αβ, (3.26) j α = g µ 0 J α. (3.27) Multiplicando (3.25) por g e usando (3.26) e (3.27), podemos rescrever (3.25) como Derivando (3.28) em relação a x β, temos que f αβ x β = jα. (3.28) 2 f αβ x α x β = jα x α. (3.29) Como f αβ é antissimétrico, o primeiro membro da equação acima é igual a zero, portanto j α = 0. (3.30) xα A relação (3.30) expressa a equação da continuidade na Relatividade Geral. As equações de Maxwell homogêneas na Relatividade Restrita são dadas pela relação (2.39). Para a Relatividade Geral, essas equações são α F βγ + β F γα + γ F αβ = 0. (3.31) Usando-se a relações (3.21) e (3.3) e o fato do tensor intensidade de campo ser antissimétrico, reduzimos (3.31) a F βγ x α F γα + x β que é a mesma relação da Relatividade Especial. F αβ + x γ = 0, (3.32) Cálculo Variacional para a Eletrodinâmica de Maxwell na Relatividade Geral Uma outra forma de se obter as equações de Maxwell na Relatividade Geral é utilizando a lagrangeana L G para o campo eletromagnético, que é dada pela relação L G = 1 4µ 0 g Fαβ F αβ g J α A α. (3.33) 25
31 No entanto, sabemos que F αβ F αβ = g αµ g βν F αβ F µν. (3.34) As equações de Euler para a lagrangeana do campo eletromagnético são ] LG x β L G = 0. (3.35) ( β A α ) A α Usando-se a lagrangeana (3.33) na relação acima e a definição de F αβ, dada por (2.29), obtemos L G = gj α e (3.36) A α L G = 1 gg αµ g βν F νµ = 1 gf βα. (3.37) ( β A α ) µ 0 µ 0 Substituindo as relações (3.36) e (3.37) nas equações de Euler e utilizando um pouco de cálculo tensorial, achamos a equação ( 1 g ) ( gf αβ ) x β = µ 0 J α. (3.38) Pode-se ver que as relações (3.38) são iguais às relações (3.25), representando as equações de Maxwell não-homogêneas na Relatividade Geral. Outra relação que pode ser generalizada é a equação de movimento de uma partícula carregada com carga q num campo eletromagnético. Usando-se o Princípio da Covariância Geral, a relação (2.49) fica, na presença da gravitação, ( du α ) m dτ + Γα β γ U β U γ = qf βα U β. (3.39) 3.4 O tensor momento-energia para o campo eletromagnético na Relatividade Geral As equações de Einstein, dadas pela relação (3.8), possuem um tensor de segunda ordem T µν, chamado tensor momento-energia, que representa o momento e a energia de toda a matéria e energia que gera o campo gravitacional. Também é possível definir um tensor momento-energia T µν para o campo eletromagnético. Esse tensor expressa as densidades de momento e energia do campo eletromagnético e, para uma região do espaço sem fontes, é definido pela relação T µν = 4 L ( ) G F F µ α F LG αν + F F L G g µν, (3.40) 26
32 onde L G = L G g. Utilizando-se a lagrangeana (3.33) na relação anterior encontramos que T µν = ( ) ( ] 1 1 F α µ F αν + F αβ F µ0 4) αβ g µν (3.41) que é válida para a Relatividade Geral. O tensor momento-energia contravariante do campo eletromagnético T αβ é definido pela relação T αβ = ( ) ( ] 1 1 F αδ F β δ + F γδ F µ0 4) γδ g αβ. (3.42) Tomando-se a derivada covariante da relação (3.42) em relação a x β e utilizando as equações de Maxwell com J α = 0, obtemos a relação (3.16), que expressa a conservação da energia e do momento na RG. Combinando-se as relações (3.8), (3.13) e (3.41), temos que ( ) ( ) ] 8πG 1 G µν = c 4 F α µ F αν + F αβ F αβ g µν. (3.43) µ 0 4 As equações de campo expressadas por (3.43) são conhecidas como equações de Maxwell-Einstein no espaço-tempo sem fontes. Para o espaço-tempo com fontes de campo, deve-se incluir todas as quantidades físicas significativas (matéria, pressão do fluido, campos eletromagnéticos, etc) no tensor momento-energia. Sendo assim, garantimos que a divergência desse tensor será nula e, conseqüentemente, a energia será conservada. 27
33 CAPÍTULO 4 Propostas Alternativas de Eletromagnetismo 4.1 Eletrodinâmica Não-Linear O estudo da eletrodinâmica na Relatividade Geral está principalmente restrito à análise das soluções das equações de Einstein-Maxwell. A primeira solução obtida para essas equações era baseada na validade do Princípio do Acoplamento Mínimo descrito no capítulo anterior. No domínio da Relatividade Geral, a energia eletromagnética é responsável pela curvatura do espaço-tempo. No contexto de campos gravitacionais fortes, ou pontos do espaço-tempo de grande curvatura, o acoplamento entre a Eletrodinâmica e a Gravitação não é bem conhecido. Nessas condições, algumas leis e princípios clássicos como o Princípio da Equivalência podem não ser totalmente válidos, podendo surgir alguns desvios em regiões de grande curvatura. Portanto, é razoável propor uma interação entre a Gravitação e o Eletromagnetismo mais específica do que a interação proposta pelo Princípio do Acoplamento Mínimo. Essas interações são denominadas acoplamentos não-mínimos. A utilização de acoplamentos não-mínimos entre a Gravitação e o Eletromagnetismo tem como uma de suas conseqüências o surgimento de uma Eletrodinâmica não-linear. Essa não linearidade no campo eletromagnético é observada apenas nas equações de Einstein-Maxwell, onde os campos eletromagnético e gravitacional se encontram acoplados. As equações da eletrodinâmica obtidas do cálculo variacional não evidenciam essa importante conseqüência. Outras formas de se obter uma eletrodinâmica não-linear é introduzindo, de forma ad hoc, termos aditivos na lagrangeana de Maxwell ou, ainda, através de correções quânticas. Várias propostas para eletrodinâmicas não-maxwelianas têm sido apresentadas nas últimas décadas. Uma das motivações para essas propostas é a possibilidade de geração de campos eletromagnéticos de larga escala no universo em estágios primordiais da sua expansão. De um modo geral podemos classificar as eletrodinâmicas não-maxwellianas de acordo 28
34 com os termos que são adicionados à lagrangeana de Maxwell. Com relação à invariância de Gauge (ver capítulo 2), podemos distinguir duas classes. Primeira classe: Segunda classe: L 1 = RA µa µ µ 0, (4.1) L 2 = R µνa µ A ν µ 0. (4.2) L 3 = RF µνf µν µ 0, (4.3) L 4 = RF µνf µν µ 0, (4.4) L 5 = R µαf µ λ F λα µ 0, (4.5) L 6 = R αβµνf αβ F µν µ 0, (4.6) L 7 = R αβµνf αβ F µν µ 0. (4.7) onde a constante µ 0 aparece nas relações (4.1)-(4.7) devido a utilização do SI. As lagrangeanas da primeira classe são obtidas de todas as combinações possíveis do tensor de Ricci e/ou escalar de curvatura com o quadripotencial, donde resulta a não invariância de gauge. De forma análoga, as lagrangeanas da segunda classe resultam de todas as combinações do tensor de Riemann e/ou suas contrações com o tensor intensidade de campo eletromagnético e/ou o seu tensor dual, donde resulta a invariância de gauge. Existe ainda uma classe de lagrangeanas efetivas para uma teoria não-linear, também invariante de gauge, mas que não possui termos que envolvem o tensor de Riemann e/ou suas contrações. Portanto, essa classe não envolve acoplamento entre a eletrodinâmica e a gravitação como as duas classes mostradas anteriormente, mas é construída a partir dos invariantes de Lorentz e de gauge. Nessa classe, a não-linearidade do campo eletromagnético é observada nas equações da Eletrodinâmica. Lagrangeanas efetivas para uma teoria não-linear: L = L(F, F ). (4.8) onde os escalares F e F são definidos, respectivamente, através das relações (2.42) e (2.43). 29
35 4.2 Lagrangeanas de Primeira Classe As constantes de acoplamento para as lagrangeanas de primeira classe são adimensionais, uma vez que essas lagrangeanas já possuem a mesma dimensão que a lagrangeana de Maxwell. As relações principais para esse tipo de acoplamento são L = 1 4µ 0 gf µν F µν + 1 µ 0 g (λraµ A µ + δr µν A µ A ν ), (4.9) µ F µν 2λRA ν 2δR µ νa µ = 0, (4.10) a F bc + b F ca + c F ab = 0. (4.11) A relação (4.9) é obtida através da combinação linear das lagrangeanas da primeira classe com a lagrangeana de Maxwell, onde λ e δ são constantes adimensionais. A relação (4.10) é obtida da relação (4.9) através das equações de Euler-Lagrange, enquanto que a relação (4.11) resulta das definições (2.32) e (3.18) para o tensor intensidade de campo eletromagnético. Novello 3] e Turner 4] analisaram as alterações que surgem quando são introduzidos os acoplamentos da primeira classe nas equações de Einstein-Maxwell. Os principais resultados obtidos são os seguintes: A massa do fóton depende do escalar de curvatura m γ R 1 2. As soluções das equações de Einstein-Maxwell produzem mudanças efetivas na Eletrodinâmica apenas nas regiões de altos valores de curvatura. Apenas o acoplamento dado pela relação (4.1) admite uma solução de Friedmann-Robertson-Walker (FRW), na qual o fator de escala pode ser obtido explicitamente em termos do tempo cósmico 3], enquanto a relação (4.2) produz uma solução anisotrópica. A lei da conservação da carga é modificada, permitindo duas possibilidades: a criação de carga pelo campo gravitacional ou a conservação da carga, desde que a derivada covariante de RA µ seja nula. O escalar de curvatura não nulo pode induzir efeitos como, por exemplo, o decaimento de fótons em outras partículas 3]. Utilizando o primeiro resultado, temos que a massa do fóton deveria ser da ordem da constante de Hubble, que dá m γ da ordem de kg. Este resultado está bem abaixo do 30
Formulação Covariante do Eletromagnetismo
Capítulo 12 Formulação Covariante do Eletromagnetismo O objetivo deste capítulo é expressar as equações do Eletromagnetismo em forma manifestamente covariante, i.e. invariante por transformações de Lorentz
Leia maisLista 3 - FIS Relatividade Geral Curvatura, campos de Killing, fluidos, eletromagnetismo.
Lista 3 - FIS 404 - Relatividade Geral Curvatura, campos de Killing, fluidos, eletromagnetismo. 2 quadrimestre de 2017 - Professor Maurício Richartz Leitura sugerida: Carroll (seções 3.1-3.4,3.6-3.8),
Leia maisCinemática relativística et al. Carlos Alexandre Wuensche Processos Radiativos I
Cinemática relativística et al. Carlos Alexandre Wuensche Processos Radiativos I 1 1 Transformações de Lorentz e cinemática relativística Postulados da relatividade especial As leis da natureza são as
Leia maisINTRODUÇÃO À GRAVITAÇÃO E À COSMOLOGIA
INTRODUÇÃO À GRAVITAÇÃO E À COSMOLOGIA Victor O. Rivelles Aula 2 Instituto de Física da Universidade de São Paulo e-mail: rivelles@fma.if.usp.br http://www.fma.if.usp.br/~rivelles Escola Norte-Nordeste
Leia mais5.1 Espaço euclidiano tridimensional
Capítulo V Espaço-Tempo de Minkowski O propósito deste capítulo é fazer uma breve incursão na geometria e na nomenclatura do espaço-tempo quadridimensional de Minkowski, onde as equações relativísticas
Leia maisINTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 p. 1
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL - Aula 2 Victor O. Rivelles Instituto de Física Universidade de São Paulo rivelles@fma.if.usp.br http://www.fma.if.usp.br/ rivelles/ XXI Jornada de Física Teórica 2006 INTRODUÇÃO
Leia maisMecânica Clássica 1 - Lista de natal - Ho Ho Ho Professor: Gabriel T. Landi
Mecânica Clássica 1 - Lista de natal - Ho Ho Ho Professor: Gabriel T. Landi O campo vetorial 1 Aquecimento: quadri-potencial e os campos elétrico e magnético O objeto fundamental do eletromagnetismo é
Leia maisFísica IV. Décima segunda lista de exercícios
4302212 Física IV Décima segunda lista de exercícios 1. Os dois princípios sobre os quais Einstein fundamentou a Teoria da Relatividade Restrita nos dizem basicamente que: I. as leis físicas são as MESMAS
Leia maisRelatividade Especial & Geral
Relatividade Especial & Geral Roteiro Relatividade Especial: Conceitos básicos e algumas conseqüências Paradoxo dos gêmeos Relatividade Geral: Conceitos básicos, conseqüências e aplicabilidade. Relatividade
Leia maisEletromagnetismo I. Preparo: Diego Oliveira. Aula 2
Eletromagnetismo I Prof. Dr. R.M.O Galvão - 1 Semestre 2015 Preparo: Diego Oliveira Aula 2 Na aula passada recordamos as equações de Maxwell e as condições de contorno que os campos D, E, B e H devem satisfazer
Leia maisCONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA
1. Introdução. O Experimento de Michelson-Morley 3. Postulados da Relatividade Restrita 4. Transformações de Lorentz 5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial 6. A Massa, a Energia e o Momento Linear
Leia maisEletromagnetismo I - Segundo Semestre de 2017
4302303 - Eletromagnetismo I - Segundo Semestre de 2017 25 de agosto de 2017 invariante vs. covariante muda, mas de um jeito legal ação/escalar de SO(1,3) eq. do movimento ( d 2 x µ 2 =0 ) Partícula relativística
Leia maisNotas de aula - Espaço Tempo
Notas de aula - Espaço Tempo Prof. Ronaldo Carlotto Batista 5 de abril de 019 1 Revisão da Mecânica Newtoniana Quantidade elementares: posição: r t) = x t), y t), z t)) velocidade: v = d dt r momento linear
Leia maisCapítulo II Relatividade Newtoniana
Capítulo II Relatividade Newtoniana A mecânica newtoniana é baseada nas três leis de Newton, (1) a lei da inércia, (2) a lei da força e (3) a lei da ação e reação, válidas nos referenciais inerciais. Esses
Leia maisIntrodução à Cosmologia: 1 - a cosmologia newtoniana
1 Introdução à Cosmologia: 1 - a cosmologia newtoniana Laerte Sodré Jr. August 15, 2011 objetivos: abordagem rápida dos principais conceitos de cosmologia foco no modelo cosmológico padrão veremos como
Leia maisCampo Eletromagnético Cap. 5 e 6
Campo Eletromagnético Cap. 5 e 6 Equações de Maxwell Formulação dos potenciais e invariância de calibre Decomposição dos campos vetoriais Força de Lorentz e momento canônico Densidade e fluxo de energia
Leia maisINTRODUÇÃO À GRAVITAÇÃO E À COSMOLOGIA
INTRODUÇÃO À GRAVITAÇÃO E À COSMOLOGIA Victor O. Rivelles Aula 1 Instituto de Física da Universidade de São Paulo e-mail: rivelles@fma.if.usp.br http://www.fma.if.usp.br/~rivelles Escola Norte-Nordeste
Leia maisEINSTEIN-MAXWELL EM (3 + 1) DIMENSÕES
UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE FÍSICA GRADUAÇÃO EM LICENCIATURA PLENA EM FÍSICA ILDEMAR BARRETO VELOSO UMA SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EINSTEIN-MAXWELL EM
Leia maisTeoria Clássica de Campos
Teoria Quântica de Campos I 7 No passo (1) o que estamos fazendo é quantizar (transformar em operadores) uma função definida em todo espaço (um campo) e cuja equação de movimento CLÁSSICA é de Dirac ou
Leia maisFÍSICA IV PROF. PIERRE VILAR DANTAS AULA 11-04/11/2017 TURMA: A HORÁRIO: 7M PIERREDANTASBLOG.WORDPRESS.COM
FÍSICA IV PROF. PIERRE VILAR DANTAS AULA 11-04/11/2017 TURMA: 0053- A HORÁRIO: 7M PIERREDANTASBLOG.WORDPRESS.COM 1 Introdução à Física Moderna 2 Objetivos do Aprendizado Explicar a absorção e emissão da
Leia maisSUMÁRIO. Prefácio... 15
SUMÁRIO Prefácio........................................................ 15 1 Fundamentos de Eletromagnetismo.............................. 17 1.1 A lei de Coulomb e a superposição linear.....................
Leia maisSobre a Teoria da Relatividade Total como teoria de medida para observáveis em n dimensões e um significado da 5ª Dimensão para o Meio Material
Sobre a Teoria da Relatividade Total como teoria de medida para observáveis em n dimensões e um significado da 5ª Dimensão para o Meio Material Pereyra, P. H. pereyraph.com Resumo É feita uma introdução
Leia maisINTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL p. 1
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL Victor O. Rivelles Instituto de Física Universidade de São Paulo rivelles@fma.if.usp.br http://www.fma.if.usp.br/ rivelles/ XXI Jornada de Física Teórica 2006 INTRODUÇÃO
Leia maisConceitos pré-relativísticos. Transformações de Galileu. Princípio da Relatividade de Galileu. Problema com a dinâmica newtoniana
Vitor Oguri Conceitos pré-relativísticos Transformações de Galileu Princípio da Relatividade de Galileu Problema com a dinâmica newtoniana O espaço-tempo de Einstein Medições de tempo Medições de distância
Leia maisPLANO DE ATIVIDADE ACADÊMICA NOME
ANO LETIVO Centro: CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCE Departamento: FÍSICA 2013 CÓDIGO 2FIS034 RELATIVIDADE RESTRITA PLANO DE ATIVIDADE ACADÊMICA NOME CURSO FÍSICA 3ª SÉRIE CARGA HORÁRIA SEM. DE OFERTA HABILITAÇÃO(ÕES)
Leia maisO espaço-tempo curvo na teoria da relatividade geral. Felipe Tovar Falciano
O espaço-tempo curvo na teoria da relatividade geral Felipe Tovar Falciano IFCE - 2013 O que é Relatividade? 1685 - Newton "Philosophiae naturalis principia mathematica" A. Einstein (1879-1955) 1890 -
Leia maisA teoria geométrica-escalar da gravitação e sua aplicação à cosmologia
A teoria geométrica-escalar da gravitação e sua aplicação à cosmologia Júnior Diniz Toniato Instituto de Cosmologia, Relatividade e Astrofísica - ICRA Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas - CBPF Rio
Leia maisSobre a Teoria da Relatividade Total como teoria de medida para observáveis em n dimensões e o significado da 5ª Dimensão para o Ponto Material
Sobre a Teoria da Relatividade Total como teoria de medida para observáveis em n dimensões e o significado da 5ª Dimensão para o Ponto Material Pereyra, P. H. pereyraph.com Resumo É feita uma introdução
Leia maisProf. Rodrigo Negreiros UFF XI Escola do CBPF
Prof. Rodrigo Negreiros UFF XI Escola do CBPF I. Introdução. Aula I II. Visão geral de estrelas compactas. III. Física nuclear relativística. Aula II IV. Estrelas de Nêutrons no contexto da física nuclear.
Leia maisTÓPICO. Fundamentos da Matemática II APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS9. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS9 TÓPICO Gil da Costa Marques 9. Introdução 9. Derivadas com significado físico: o gradiente de um Campo Escalar 9.3 Equação de Euler descrevendo o movimento de um fluido
Leia maisA Energia Escura. Eduardo Cypriano. June 24, 2009
June 24, 2009 Aceleração Cósmica A evidêcias obtidas através da RCF e principalmente das SNe tipo Ia indicam que o Universo está numa fase de expansão acelerada. Esse tipo de comportamento não pode ser
Leia maisCosmologia Básica: 2 - as equações de Friedmann-Lemaitre
1 Cosmologia Básica: 2 - as equações de Friedmann-Lemaitre Laerte Sodré Jr. August 15, 2011 Cosmologia Relativística equações de Einstein: estabelecem uma relação entre a geometria do espaço-tempo e a
Leia maisFÍSICA-MATEMÁTICA RUDI GAELZER (INSTITUTO DE FÍSICA - UFRGS)
FÍSICA-MATEMÁTICA RUDI GAELZER (INSTITUTO DE FÍSICA - UFRGS) Apostila preparada para as disciplinas de Física- Matemática ministradas para os Cursos de Bacharelado em Física do Instituto de Física da Universidade
Leia maisRELATIVIDADE ESPECIAL
1 RELATIVIDADE ESPECIAL AULA N O 4 ( Tensor Eletromagnético Equação de Onda ) Vamos buscar entender o conceito de força, não eatamente sobre a sua origem, mas sim sobre um mais profundo conceito de força.
Leia maisn.estudante:... Eletromagnetismo / MIEEC; frequência 20.abr.2016;. Em cada pergunta só há uma resposta certa e só uma das justificações é a adequada.
Docente:... nome n.estudante:... Eletromagnetismo / MIEEC; frequência 20.abr.2016;. Instruções e recomendações Não desagrafar! Em cada pergunta só há uma resposta certa e só uma das justificações é a adequada.
Leia maisCapítulo I Introdução
Capítulo I Introdução No contexto filosófico e científico atual, é consenso que o ser humano não ocupa nenhuma posição privilegiada no universo, assim como nada indica que haja alguma orientação espacial
Leia maisEletromagnetismo II. Preparo: Diego Oliveira. Aula 10
Eletromagnetismo II Prof. Dr. R.M.O Galvão - 1 Semestre 215 Preparo: Diego Oliveira Aula 1 Nas duas aulas passadas nós derivamos as expressões para os potenciais escalar e vetor devido a fontes variáveis
Leia maisCosmologia a partir da teoria de Kaluza-Klein
Cosmologia a partir da teoria de Kaluza-Klein Pedro H.R.S. Moraes, Orientador: Dr. Oswaldo D. Miranda DAS/INPE Pedro Moraes (DAS/INPE) Workshop - DAS/2012 1 / 13 1 Introdução 2 O modelo gravitacional de
Leia maisRelatividade O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz
Relatividade O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz Relatividade» O Espaço de Minkowski: Escalares, Vetores e Tensores de Lorentz 1 Introdução O segundo postulado da teoria de
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ - UFPR Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica. Disciplina: TE053 - Ondas Eletromagnéticas
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ - UFPR Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS Disciplina: TE053 - Ondas Eletromagnéticas Professor: César Augusto Dartora 1 1) Explique
Leia maisPLANO DE CURSO (Res. CEPE nº 144/98) CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS Departamento de Física 2013 CÓDIGO Turmas NOME 2FIS /2000 ELETROMAGNETISMO I
Centro de Ciências Exatas Departamento de Física Ano Letivo - 2013 PLANO DE CURSO (Res. CEPE nº 144/98) CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS ANO LETIVO Departamento de Física 2013 CÓDIGO Turmas NOME 2FIS031 1000/2000
Leia maisPartículas: a dança da matéria e dos campos
Partículas: a dança da matéria e dos campos Aula 1: Força e Matéria 1 1. Leis da mecânica 2. Espaço e éter 3. Newton e a gravitação 4. Eletromagetismo 5. Luz e sua velocidade 6. Relatividade de Einstein
Leia maisEletromagnetismo II. Prof. Daniel Orquiza. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho
Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza Eletromagnetismo II Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Potenciais retardados e dipolo de Hertz (Introdução) (Capítulo 11 Páginas 395a 400) (Capítulo 14 Páginas 511
Leia maisTensores (Parte 1) 15 de abril de Primeira aula sobre tensores para a disciplina de CVT 2019Q1
Tensores (Parte 1) 15 de abril de 2019 Primeira aula sobre tensores para a disciplina de CVT 2019Q1 Introdução Procuramos generalizar a ideia de escalares e vetores introduzindo esse novo conceito que
Leia maisAula 5: Gravitação e geometria
Aula 5: Gravitação e geometria A C Tort 1 1 Departmento de Física Teórica Instituto Física Universidade Federal do Rio de Janeiro 12 de Abril de 2010 Tort (IF UFRJ) IF-UFRJ Informal 1 / 20 Massa Inercial
Leia maisTópicos Especiais em Física
Tópicos Especiais em Física Vídeo-aula 2: cosmologia e relatividade geral Vídeo-aula 2: cosmologia e relatividade geral 18/06/2011 Cosmologia: aspectos históricos Fundamentos da Relatividade Geral Cosmologia
Leia maisEletromagnetismo II. 5 a Aula. Professor Alvaro Vannucci. nucci
Eletromagnetismo II 5 a Aula Professor Alvaro Vannucci nucci Na aula passada, das Equações de Maxwell,, vimos: 1 o ) Conservação de Energia n da = S S ( E H ) ˆ (Vetor de Poynting) 1 + + H B E D V dv t
Leia maisIsmael Rodrigues Silva Física-Matemática - UFSC. cel: (48)
Ismael Rodrigues Silva Física-Matemática - UFSC cel: (48)9668 3767 Ramos da Mecânica... Grandezas... Sistema Internacional... Unidades Derivadas... Cálculo com Unidades... Potências de 10... Prefixos do
Leia mais10.1 Princípio da Equivalência
Capítulo X Relatividade Geral e Gravitação A Relatividade Restrita define as propriedades geométricas do espaço-tempo nos referenciais inerciais, na ausência de campo gravitacional. A teoria da gravitação
Leia maisAs leis de movimento newtonianas
Lição 6 As leis de movimento newtonianas 1 Consideremos uma partícula bem determinada que chamamos partícula padrão ou partícula p. Formando um par isolado da partícula padrão com qualquer outra partícula,
Leia maisEletrodinâmica Clássica II
Eletrodinâmica Clássica II Introdução e Recapitulação Prof. Ricardo Luiz Viana Curso de Pós-Graduação em Física, Universidade Federal do Paraná Curitiba, Paraná, Brasil Ementa Recapitulação - Equações
Leia maisEUF. Exame Unificado
EUF Exame Unificado das Pós-graduações em Física Para o segundo semestre de 016 Critérios de correção Parte Como entender os critérios de correção. 1. O valor total de cada questão é 1 ponto.. As questões
Leia maisCampo Eletromagnético Cap. 5 e 6
Campo Eletromagnético Cap. 5 e 6 Campos convectivos e difusivos Potenciais eletromagnéticos Campos quase-estacionários Formulação dos potenciais e invariância de calibre Representação de Fourier e funções
Leia maisPotencial Elétrico. Energia. Energia pode ser vista como trabalho armazenado, ou capacidade de realizar trabalho.
Eletricidade e Magnetismo - IME Potencial Elétrico Oliveira Ed. Basilio Jafet sala 202 crislpo@if.usp.br Energia Energia pode ser vista como trabalho armazenado, ou capacidade de realizar trabalho. Equipamentos
Leia maisExame Unificado EUF. 1º Semestre/2013 Parte 1 16/10/2012
Exame Unificado das Pós-graduações em Física EUF 1º Semestre/2013 Parte 1 16/10/2012 Instruções: NÃO ESCREVA O SEU NOME NA PROVA. Ela deverá ser identificada apenas através do código (EUFxxx). Esta prova
Leia maisTÓPICO. Fundamentos da Matemática II FUNÇÕES VETORIAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques
FUNÇÕES VETORIAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS 5 Gil da Costa Marques TÓPICO Fundamentos da Matemática II 5. Introdução 5. Funções vetoriais de duas variáveis 5.3 Representação gráfica de funções vetoriais 5.4
Leia maisIntrodução à Magneto-hidrodinâmica
Introdução à Magneto-hidrodinâmica Gilson Ronchi November, 013 1 Introdução A magneto-hidrodinâmica é o estudo das equações hidrodinâmicas em uidos condutores, em particular, em plasmas. Entre os principais
Leia maisAula 2: Cosmologia Relativística
Aula 2: Cosmologia Relativística Primeira Escola de Ciências Física Brasil-Cabo Verde 3-13 de abril 2017 Oliver F. Piattella Universidade Federal do Espírito Santo Vitória, Brasil Abordagem matemática
Leia maisAula 7: Geometria das superfícies bidimensionais II; gravitação e geometria
Aula 7: Geometria das superfícies bidimensionais II; gravitação e geometria A C Tort 1 1 Departmento de Física Teórica Instituto Física Universidade Federal do Rio de Janeiro 18 de Maio de 2010 Tort (IF
Leia maisEmissão de Radiação de uma partícula carregada em um campo gravitacional
Emissão de Radiação de uma partícula carregada em um campo gravitacional Rogério Augusto Capobianco 19 de junho de 2018 Universidade de São Paulo Sumário 1. Introdução 2. O PE e a construção da RG 3. Partículas
Leia maisEUF. Exame Unificado
EUF Exame Unificado das Pós-graduações em Física Para o segundo semestre de 06 Respostas esperadas Parte Estas são sugestões de possíveis respostas. Outras possibilidades também podem ser consideradas
Leia maisFIS Cosmologia e Relatividade Thaisa Storchi Bergmann
FIS02012 - Cosmologia e Relatividade Thaisa Storchi Bergmann Relatividade Restrita: Postulados: 1) Princípio da relatividade: As leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Nenhum
Leia maisEquações de Maxwell e densidades Lagrangiana e Hamiltoniana do eletromagnetismo clássico
Equações de Maxwell e densidades Lagrangiana e Hamiltoniana do eletromagnetismo clássico André Juan Ferreira Martins de Moraes Resumo Estas notas se baseiam na Seção 1.1 do artigo 1, na qual as equações
Leia maisOndas Eletromagnéticas
Capítulo 11 Ondas Eletromagnéticas 11.1 Equação de Onda Mecânica: Corda Considere um pulso de onda que se propaga em uma corda esticada com extremidades fixas. Podemos obter a equação de ondas nesse caso
Leia maisNão é permitido nenhum tipo de consulta!
INSTRUÇÕES de PRÊMIO IFT-ICTP PARA JOVENS FÍSICOS Não escreva seu nome em nenhum lugar da prova. Em cada das seis folhas de questões, escreva o número do seu RG. Verifique que você tem as seis folhas de
Leia maisData Dia Tópico Demonstrações
2016: 44 dias de aula + 3 provas = 47 dias Data Dia Tópico Demonstrações 1/8 2a 1. Introdução ao curso; revisão de identidades vetoriais 3/8 4a 2. Função delta de Dirac em 1, 2 e 3 dimensões Demonstração:
Leia maisSobre a Relatividade Total e o significado da 5ª Dimensão para o Ponto Material
Sobre a Relatividade Total e o significado da 5ª Dimensão para o Ponto Material Pereyra, P. H. pereyraph.com Resumo É feita uma introdução à teoria da Relatividade Total como campos potenciais com distribuição
Leia maisOS ESPINORES foram introduzidos para obter todas as representações
Sobre uma extensão de cálculo espinorial (I) Mario Schönberg OS ESPINORES foram introduzidos para obter todas as representações lineares irredutíveis do grupo das rotações e reviramentos de um espaço euclidiano.
Leia maisA formulação Lagrangiana da eletrodinâmica relativística Um prelúdio à eletrodinâmica quântica
Guilherme Ruiz Professor: Raul Abramo 19 de junho de 2017 A formulação Lagrangiana da eletrodinâmica relativística Um prelúdio à eletrodinâmica quântica Neste trabalho iremos explorar a formulação Lagrangiana
Leia maisAula 12. Eletromagnetismo I. Campo Magnético Produzido por Correntes Estacionárias (Griths Cap. 5)
Eletromagnetismo I Prof. Dr..M.O Galvão - 2 emestre 204 Preparo: Diego Oliveira Aula 2 Campo Magnético Produzido por Correntes Estacionárias (Griths Cap. 5) Como visto no curso de Física Básica, o campo
Leia maisEUF. Exame Unificado
EUF Exame Unificado das Pós-graduações em Física Para o primeiro semestre de 2016 14 de outubro de 2015 Parte 1 Instruções ˆ Não escreva seu nome na prova. Ela deverá ser identificada apenas através do
Leia maisSobre a Relatividade Total e o significado da 5ª Dimensão para o Ponto Material
Sobre a Relatividade Total e o significado da 5ª Dimensão para o Ponto Material Pereyra, P. H. pereyraph.com Resumo É feita uma introdução à teoria da Relatividade Total como campos potenciais com distribuição
Leia maisRadiação de cargas em movimento. Carlos Alexandre Wuensche Processos Radiativos I
Radiação de cargas em movimento Carlos Alexandre Wuensche Processos Radiativos I 1 1 Roadmap!!!!!! Uma boa discussão das derivações dessa aula podem ser encontradas no cap. 14 do livro Classical Electrodynamics
Leia maisRelatividade Restrita. Adaptação do curso de Sandro Fonseca de Souza para o curso de Física Geral
Relatividade Restrita Adaptação do curso de Sandro Fonseca de Souza para o curso de Física Geral ...na Mecânica Clássica (Transformações de Galileu) As leis básicas da Mecânica assumem sua forma mais simples
Leia maisINTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL
INTRODUÇÃO À RELATIVIDADE GERAL Victor O. Rivelles Instituto de Física da Universidade de São Paulo e-mail: rivelles@fma.if.usp.br http://www.fma.if.usp.br/~rivelles ROTEIRO Relatividade Restrita Geometria
Leia maisAntenas e Propagação. Artur Andrade Moura.
1 Antenas e Propagação Artur Andrade Moura amoura@fe.up.pt 2 Equações de Maxwell e Relações Constitutivas Forma diferencial no domínio do tempo Lei de Faraday Equações de Maxwell Lei de Ampére Lei de Gauss
Leia maisLista 4 - FIS Relatividade Geral Equações de Einstein, ondas gravitacionais, buracos negros
Lista 4 - FIS 404 - Relatividade Geral Equações de Einstein, ondas gravitacionais, buracos negros 2 quadrimestre de 2017 - Professor Maurício Richartz Leitura sugerida: Carroll seções 4.1-4.2,4.4, e capítulos
Leia maisObserve que nos dois casos ν f > ν r tendendo a valores iguais somente se v u s. Para o caso da luz o mesmo fenômeno ocorre: Ondas de uma fonte
35 Observe que nos dois casos ν f > ν r tendendo a valores iguais somente se v u s. Para o caso da luz o mesmo fenômeno ocorre: Ondas de uma fonte que se aproxima têm freqüência mais alta que as ondas
Leia maisAula de Física II - Cargas Elétricas: Força Elétrica
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes (lafernandes@iprj.uerj.br) Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto Politécnico - IPRJ/UERJ Departamento de Engenharia Mecânica e Energia Graduação em Engenharia
Leia maisGravidade: Clássica e Quântica. Panoramas da Física
Gravidade: Clássica e Quântica Panoramas da Física Programa - Breve introdução. - Relatividade Restrita. - Relatividade Geral. - Idéias fundamentais. - Campo fraco: Newton e ondas gravitacionais. - Solução
Leia maisJORNADA DE FÍSICA TEÓRICA INSTITUTO DE FÍSICA TEÓRICA U.N.E.S.P. 19 a
JORNADA DE FÍSICA TEÓRICA 2010 INSTITUTO DE FÍSICA TEÓRICA U.N.E.S.P. 19 a 23-07-2010 Monday, July 19, 2010 1 CAMPOS CLÁSSICOS, QUÂNTICOS, DE CALIBRE E POR AÍ AFORA JORNADA DE FÍSICA TEÓRICA 2010 Instituto
Leia maisLista 6: CDCI2 Turmas: 2AEMN e 2BEMN. 1 Divergente e Rotacional de Campos Vetoriais
Lista 6: CDCI Turmas: AEMN e BEMN Prof. Alexandre Alves Universidade São Judas Tadeu Divergente e Rotacional de Campos Vetoriais Exercício : Calcule a divergência e o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
Leia maisEq. de Dirac com campo magnético
Eq. de Dirac com campo magnético Rafael Cavagnoli GAME: Grupo de Médias e Altas Energias Eletromagnetismo clássico Eq. de Schrödinger Partícula carregada em campo mag. Eq. de Dirac Partícula carregada
Leia maisVIII Workshop da Pós-graduação em Astrofísica DAS INPE 2015
VIII Workshop da Pós-graduação em Astrofísica DAS INPE 2015 PERTURBAÇÕES COSMOLÓGICAS - Perturbações primordiais no fluido cósmico que evoluíram e deram origem à forma atual do Universo que observamos.
Leia maisPGF Mecânica Clássica
PGF 5005 - Mecânica Clássica Prof. Iberê L. Caldas Segunda Lista de Exercícios o semestre de 018 1. Considere, inicialmente, a seguinte Hamiltoniana integrável: H 0 = I 1 + I I 1 3I 1 I + I, a qual está
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DEPARTAMENTO DE PESQUISA RELATÓRIO TÉCNICO - CIENTÍFICO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DEPARTAMENTO DE PESQUISA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA - PIBIC CNPq RELATÓRIO TÉCNICO - CIENTÍFICO Período:
Leia maisUniversidade Estadual de Santa Cruz (UESC) Segunda prova de seleção para ingresso em 2012/2. Nome: Data: 13/08/2012
Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC) Programa de Pós-Graduação em Física Segunda prova de seleção para ingresso em 2012/2 Nome: Data: 13/08/2012 1 Seção A: Mecânica Clássica Uma nave espacial cilíndrica,
Leia maisMedindo parâmetros cosmológicos. Introdução à Cosmologia 2012/02
Medindo parâmetros cosmológicos Introdução à Cosmologia 2012/02 Até agora... Universo de Friedmann: Espacialmente homogêneo e isotrópico; Expande com fator de escala a(t): Obedece a Lei de Hubble: { Espaço-tempo
Leia maisCapítulo 5 - Aplicações das leis de Newton. Hoje reconhecemos 4 forças da natureza. São elas (em ordem crescente de
Capítulo 5 - Aplicações das leis de Newton Hoje reconhecemos 4 forças da natureza. São elas (em ordem crescente de intensidade) Força Gravitacional Força Fraca Intensidade Força Eletromagnética Força Forte
Leia maisFísica 3. Fórmulas e Exercícios P3
Física 3 Fórmulas e Exercícios P3 Fórmulas úteis para a P3 A prova de física 3 traz consigo um formulário contendo várias das fórmulas importantes para a resolução da prova. Aqui eu reproduzo algumas que
Leia mais1 Regras de Feynman para QED
1 Regras de Feynman para QED Decaimentos e espalhamentos que geram duas partículas no estado final são descritas da seguinte maneira no CM: Γ = p f 3π M dω 1) s onde s é a energia do centro de massa; e
Leia maisAs origens das teorias da relatividade. Marcos Santos Bonaldi Nº USP
As origens das teorias da relatividade Marcos Santos Bonaldi Nº USP 5126531 Relatividade Galileu Galilei: Não existe sistema de referência absoluto. Logo: movimento e repouso não são conceitos absolutos.
Leia maisConstante Cosmológica e Energia Escura
mailto:ronaldo@astro.iag.usp.br 11 de junho de 2007 1 As Supernovas e o Universo Acelerado Supernovas Como Indicadores de Distância Calibração das Curvas de Luz Supernovas e a Geometria do Universo O Universo
Leia maisEUF. Exame Unificado
EUF Exame Unificado das Pós-graduações em Física Para o segundo semestre de 016 Respostas esperadas Parte 1 Estas são sugestões de possíveis respostas Outras possibilidades também podem ser consideradas
Leia maisEQUAÇÕES DE MAXWELL, POTENCIAL MAGNÉTICO E EQUAÇÕES DE CAMPO
99 15 EQUAÇÕES DE MAXWELL, POTENCIAL MANÉTICO E EQUAÇÕES DE CAMPO 15.1 - AS QUATRO EQUAÇÕES DE MAXWELL PARA CAMPOS ELÉTRICOS E MANÉTICOS ESTACIONÁRIOS Como pudemos observar em todo o desenvolvimento deste
Leia maisEINSTEIN-MAXWELL EM (2+1) DIMENSÕES
UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE FÍSICA GRADUAÇÃO EM LICENCIATURA PLENA EM FÍSICA IZABEL CRISTINA DA SILVA UMA SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EINSTEIN-MAXWELL EM
Leia maisSumário. 1 Introdução Álgebra Vetorial Cálculo Vetorial 62
Sumário 1 Introdução 18 1-1 Linha do Tempo Histórico 19 1-1.1 Eletromagnetismo na Era Clássica 19 1-1.2 Eletromagnetismo na Era Moderna 20 1-2 Dimensões, Unidades e Notação 21 1-3 A Natureza do Eletromagnetismo
Leia maisLista de Exercícios 2 Potencial Elétrico e Capacitância
Lista de Exercícios 2 Potencial Elétrico e Capacitância Exercícios Sugeridos (14 de março de 2007) A numeração corresponde ao Livros Textos A e B. B25.10 Considere dois pontos numa região onde há um campo
Leia maisParte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares
Parte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares Matrizes: Uma matriz de tipo m n é uma tabela com mn elementos, denominados entradas, e formada por m linhas e n colunas. A matriz identidade de ordem 2, por exemplo,
Leia mais