Incompletude e Indecidibilidade em Sistemas Formais

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1 Incompletude e Indecidibilidade em Sistemas Formais Vinicius Augusto de Souza Bacharelado em Matemática Computacional Universidade Federal de São Paulo (UNIFESP) - SJC Orientador: Prof. Dr. Marcelo C. Gama São José dos Campos SP Dezembro de 2013

2 RESUMO Serão mostrados argumentos que permitem concluir que devem existir determinados predicados lógico-matemáticos indecidíveis, isto é, predicados cujo valor lógico não pode ser determinado de forma algorítmica. A indecidibilidade é um caso particular associado à existência de funções com domínio e contradomínio no conjunto dos números naturais que não são computáveis, o que significa que o valor assumido por tais funções não pode ser determinado de forma mecânica para todos os seus argumentos. Um dos motivos para a existência de tais situações é a diferença entre as cardinalidades do conjunto de todas as máquinas de Turing (dispositivo teórico que, supondo verdadeira a Tese de Church, captura definitivamente o conceito de computabilidade) e do conjunto de todas as funções sobre os naturais. As demonstrações destes resultados utilizam principalmente o método diagonal de Cantor, no qual se supõe que determinado conjunto de objetos possa ser enumerado, mas, no entanto, consegue-se obter um objeto do mesmo tipo que não está na enumeração, revelando a falsidade da suposição inicial. Por fim, um importante exemplo de indecidibilidade e não computabilidade apresentado é o problema da parada, que nos mostra que não existe um método geral para determinar se um dado programa, sob determinada entrada, irá parar ou não sua execução. A partir da indecidibilidade do problema da parada será verificado que não é possível conceber um sistema formal que esgote toda a verdade matemática (sistema formal completo), pois, se assim fosse, o problema da parada seria decidível. Palavras-chave: Indecidibilidade, sistemas formais, problema da parada, máquina de Turing. 1

3 SIGLAS UTILIZADAS R: Conjunto dos números reais. Q: Conjunto dos números racionais. N: Conjunto dos números naturais. Z: Conjunto dos números inteiros. APR: Aritmética Primitiva Recursiva. AP: Aritmética de Peano (ou Aritmética Formal). fbf: formula bem formada (também denota fórmulas bem formadas). LPO: Linguagem de Primeira Ordem. L: sistema axiomático formal para o Cálculo Proposicional Clássico. URM: Unlimited Register Machine (máquina de registradores ilimitados). MT: Máquina de Turing. F (N; N): Conjunto de todas as funções com domínio e contradomínio no conjunto dos números naturais. ZFC: teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha. HC: Hipótese do contínuo. 2

4 Sumário 1 Introdução 4 2 Objetivos 14 3 Fundamentação Teórica Lógica Clássica Sistemas Formais Cálculo Proposicional Clássico Lógica e Teorias de Primeira Ordem Computabilidade Máquina de Registradores Ilimitados URM-Computabilidade Máquina de Turing Turing-computabilidade A Tese de Church Problemas de Decisão Conjuntos Recursivos e Recursivamente Enumeráveis Sobre a Existência de Funções Sobre os Naturais Não Computáveis Não Enumerabilidade do Conjunto F (N; N) Enumerabilidade das Máquinas de Turing Enumeração de Gödel Linguagens Não Decidíveis Funções Sobre os Naturais Incomputáveis Reais Não Computáveis e a Indecidibilidade do Problema da Parada Máquina de Turing Universal Uma Breve Explanação Sobre o Problema da Parada e o Programa de Hilbert 42 6 Conclusão 45 7 Trabalhos Futuros Incompletude da Aritmética de Peano e o Problema da Decisão da Lógica de Primeira Ordem Aleatoriedade e Incompressibilidade Referências Bibliográficas 48 3

5 1 Introdução Uma particularidade essencial do ser humano é sua capacidade de pensar sobre si mesmo e sobre o mundo. O filósofo alemão Karl Jaspers ( ) dizia que as perguntas são mais essenciais do que as respostas e cada resposta transformase em uma nova pergunta 1. Em outras palavras, cada pergunta traz um novo horizonte a ser desbravado, onde novas questões serão levantadas. Algumas questões que surgem ao longo da história são bastante específicas, associadas à própria realidade (concreta) do ser humano, como quando será a próxima cheia do rio Nilo? Outras são mais gerais e abstratas, como: o que é o ser? Independentemente de sua natureza ou motivação, todas as perguntas trazem consigo um novo problema: existe uma resposta e, se existe, é a verdadeira? A matemática também não escapa a este problema. Se por um lado está associada intuitivamente ao contidiano das pessoas, como quando calculamos o troco ao comprar um alimento, por outro, esconde questões altamente abstratas que, apesar de serem facilmente propostas, perturbaram a mente de diversos matemáticos ao longo dos tempos. Em cada época, a busca por respostas a questões matemáticas fez esta disciplina se defrontar com situações onde seu corpo de conhecimento não foi suficiente para prover estrutura teórica e metodológica ou, ainda, se deparar com resultados que, aparentemente, entravam em conflito com o pensamento vigente. Em tais situações, o matemático pode, por exemplo, introduzir novos objetos e conceitos em seu discurso. O estado destas novas entidades pode permanecer incerto durante algum tempo, até que sejam definitivamente incorporados ao corpo de conhecimento vigente ou refutados. Alguns exemplos destas situações são a origem dos números racionais e imaginários, o conceito de função e as somas infinitas. Em geral, as criações que permancem são aquelas mais intuitivas e conservativas, isto é, aquelas que fornecem uma solução de forma mais simples e sua aplicação a problemas já conhecidos não altera o resultado esperado [30]. No entanto, a introdução de novas entidades nem sempre é suficiente para superar alguns problemas. A matemática pode se deparar com uma situação onde se faz necessária uma reflexão mais profunda a respeito de seus fundamentos - seu corpo teórico e sua filosofia. Momentos em que esta reflexão sobre a própria natureza da matemática foi realizada de maneira mais contundente são geralmente referenciados como crises da matemática. A primeira crise remonta à Grécia Antiga, onde as concepções de tempo e espaço são defrontadas entre as visões discreta e contínua do mundo. Primeiramente, houve a descoberta de magnitudes que não são comensuráveis umas com as outras, contrapondo a concepção discreta de número à ideia da continuidade geométrica. Outro problema relacionado à primeira crise da matemática é o paradoxo 1 Introdução ao pensamento filosófico - Editora Cultrix,

6 de Zenão, formulado por Zenão de Eleia (450 a. C.). A alegoria de Aquiles nos auxilia a entender este paradoxo: Aquiles deseja alcançar o fim do estádio, mas, para isto, precisaria de um determinado tempo para percorrer primeiramente a metade do caminho. Da mesma forma, para percorrer a metade do caminho, Aquiles necessitaria novamente de um determinado tempo para percorrer a metade deste novo caminho, e, assim, sucessivamente. Deste modo, se o espaço fosse infinitamente divisível, o movimento era impossível, já que Aquiles necessitaria de um tempo infinito para percorrer o estádio. O paradoxo surge pelo fato de que sabemos que o movimento é possível. Para Zenão, portanto, o tempo e o espaço não eram infinitamente divisíveis. Os dois problemas citados mostram, em sua origem, as limitações do discurso da época: a incapacidade de se definir número irracional e a falta de uma teoria do continuum ([12] citado por [23]). A segunda crise nos fundamentos da matemática surge nos séculos XVII e XVIII, e está relacionada ao desenvolvimento inicial do cálculo. Neste período, era utilizado particularmente o conceito de infinitésimo (uma quantidade infinitamente pequena). O motivo pelo qual tal conceito trouxe inconsistência à matemática foi exposto principalmente por George Berkeley, em seu trabalho O Analista, de Um dos argumentos de Berkeley era que os infinitesimais eram considerados ora como não-nulos e ora como nulos em um mesmo argumento. Um exemplo deste argumento de Berkeley pode ser verificado no cálculo da derivada da função y = x 2. Desejamos verificar, ao realizar um acréscimo infinitesimal x 0 à variável x, qual o acréscimo resultante y à variável y. Assim, y = (x + x) 2 x 2 = x 2 + 2x x + ( x) 2 x 2 = 2x x + ( x) 2 O acréscimo relativo (derivada), portanto, é dado a partir de y = 2x + x x desprezando-se o termo x ( x = 0), contrariando a suposição inicial de que x 0. Outro argumento que exibe uma inconsistência no uso de infinitésimo nos leva a contrariar a propriedade arquimediana dos números reais. Esta propriedade diz que, dado um número real x > 0, então, dado qualquer y > 0 que satisfaz y > x, existirá um número natural n > 0 tal que nx > y. No entanto, se tomarmos um número infinitamente pequeno e o multiplicarmos por um número natural qualquer, o resultado ainda será infinitamente pequeno, contrariando o princípio de Arquimedes. A falta de cuidado especial em relação aos fundamentos e rigor formal da matemática neste período pode ser explicada, em parte, pelo fato de que seu 5

7 desenvolvimento (em especial, o cálculo) está entrelaçado às aplicações práticas oriundas de problemas da física, por exemplo [30]. Vários matemáticos trabalharam, então, para prover uma fundamentação para o cálculo e para a matemática, de maneira geral, tornando mais precisos diversos conceitos. Cauchy ( ), por exemplo, no século XIX, elimina o infinitésimo através da introdução do conceito de limite. Esta atitude da comunidade matemática ficaria conhecida por Aritmetização da Análise. Um dos primeiros trabalhos realizados neste sentido foi iniciado por Weierstrass ( ), Cantor ( ) e Dedekind ( ), e consistia em fundamentar a teoria do continuum (ou a teoria dos números reais) em termos puramente algébricos, eliminando assim a intuição geométrica, utilizada muitas vezes como base para demonstrações do cálculo. A ideia principal destes matemáticos era de expressar os conceitos básicos da matemática na linguagem da aritmética, onde temos relações entre números inteiros. Os números reais são então estabelecidos de acordo com novas definições: como cortes de Dedekind e como classes de equivalência de sequências de Cauchy de números racionais. Assim, em ambas abordagens, os números reais são construídos utilizando-se de conjuntos infinitos de números racionais. Como os números racionais podem ser reduzidos aos números inteiros e estes últimos, por sua vez, podem ser reduzidos aos naturais, a proposta de aritmetização da análise, sob o ponto de vista de Weierstrass, Cantor e Dedekind, trouxe à tona a necessidade de se fundamentar rigorosamente os números naturais. A fundamentação dos números naturais, feita na linguagem da teoria dos conjuntos, consiste na formulação dos Axiomas de Peano (que são atribuídos a Dedekind pelo próprio Peano), expressos da seguinte forma: Dado um conjunto N de objetos não definidos, cujos elementos são chamados de números naturais, tomando 0 como elemento primitivo tal que 0 N e uma aplicação de N em N (chamada de operação sucessor), que satisfaz: (DP 1 ) x(x 0) (DP 2 ) x, y(x = y x = y) (DP 3 ) X(0 X x(x X x X) x(x X)) A primeira propriedade da operação sucessor diz que 0 não é sucessor de nenhum outro número (primeiro elemento). A segunda propriedade diz que a operação sucessor é injetiva. Logo, cada número possui apenas um sucessor, uma vez que, se dois números possui o mesmo sucessor, eles são iguais. Por fim, a terceira propriedade (também chamada de princípio de indução) nos diz que, para todo conjunto X, se 0 pertence a este conjunto e X também contém o sucessor de cada elemento de X, então X contém todos os números naturais. Estes axiomas, juntamente com a teoria de conjuntos, possibilitam a fundamentação da teoria dos números reais. No entanto, antes mesmo de tais desenvolvimentos estarem consolidados, a descoberta de paradoxos na teoria de conjuntos abalou novamente os fundamentos da matemática. 6

8 A descoberta de paradoxos na teoria de conjuntos constituiu a terceira crise nos fundamentos da matemática, e motivou novamente diversas reflexões sobre como livrá-la definitivamente de paradoxos. Um paradoxo é uma racionalização baseada em assunções, aparentemente verdadeiras, que nos conduzem a uma contradição [2]. Os principais paradoxos relativos à teoria de conjuntos são o paradoxo de Russel e o paradoxo de Cantor. O paradoxo de Russel surge quando consideramos o conjunto R de todos os conjuntos que não são membros de si próprios. Se relacionarmos conjunto à sua descrição, podemos contruir R como R = {X : X / X}. Então, queremos agora verificar se o próprio conjunto R é membro de si mesmo, isto é, se R R. Se R R, então, pela definição, R / R. Por outro lado, se R / R, então, R não é um membro de si próprio, logo, R R. Assim, derivamos uma contradição: R R R / R. O paradoxo de Cantor, por sua vez, que surge ao considerarmos o conjunto formado por todos os conjuntos, nos leva a uma contradição com relação a um teorema do próprio Cantor. Primeiramente, o teorema de Cantor diz que, dado um conjunto (finito ou infinito) S, o conjunto das partes de S (conjunto formado por todos os subconjuntos de S, incluindo o conjunto vazio) possui cardinalidade estritamente maior do que a cardinalidade de S. Vejamos como este paradoxo é estabelecido. Considere o conjunto U de todos os conjuntos e o conjunto das partes de U, que denotamos por (U). Como U contém todos os conjuntos, em particular, contém então os elementos de (U) e, daí, segue que (U) U, donde concluímos que a cardinalidade de (U) é menor ou igual à cardinalidade de U, contradizendo o teorema de Cantor. Diversos matemáticos lograram esforços com o objetivo de resolver esta problemática. Poincaré, por exemplo, chama a atenção para as definições impredicativas, isto é, definições onde determinado objeto é definido em termos de uma totalidade da qual ele próprio faz parte. No entanto, simplesmente eliminar as definições impredicativas excluirá também aquelas que não trazem contradições, como a definição de supremo de um conjunto: o supremo de um conjunto nãovazio e limitado superiormente é o menor dos limitantes superiores (note que o supremo é um limitante superior que é definido em relação ao conjunto de limitantes superiores, do qual também faz parte). Bertrand Russel ( ), em colaboração com Alfred Whitehead ( ), no trabalho Principia Mathematica ( ), desenvolve uma teoria na qual as entidades matemáticas são classificadas em tipos lógicos, e existe uma uma hierarquia entre estes tipos. Assim, um determinado objeto de tipo i, por exemplo, só pode ser membro de um objeto de tipo lógico superior a i. Dessa forma, a sentença X X (ou X / X) não estará sintaticamente correta. O trabalho de Russel e Whitehead, embora tenha exercido grande influência no 7

9 desenvolvimento posterior da lógica, não é amplamente adotado pela comunidade matemática, devido a sua alta complexidade. A partir de 1908, L. E. J. Brouwer ( ) propõe aos princípios da matemática uma abordagem revisionista. Suas críticas se direcionavam principalmente ao infinito atual de Cantor (quando consideramos um conjunto infinito acabado, ou seja, como um objeto matemático próprio), uma vez que Brouwer acreditava que somente coleções potencialmente infinitas são possíveis de construção pela mente humana. As provas matemáticas não construtivas de existência, aquelas onde se demonstra a existência de determinado objeto matemático com uma certa propriedade sem indicar um método de se obter (ou construir) um exemplar de tal objeto, também são questionadas. Na lógica clássica, o princípio do terceiro excluído, que afirma que, dada uma proposição, ou ela é verdadeira ou sua negação é verdadeira, é um princípio considerado válido, e amplamente utilizado em provas não-construtivas. Do ponto de vista de Brouwer, portanto, a lógica matemática deve ser obtida eliminando-se o princípio do terceiro excluído, o que implicaria em uma revisão em todo o corpo de conhecimento matemático [18]. Já a solução proposta por Zermelo ( ) considera axiomatizar a teoria de conjuntos, onde objetos matemáticos possam ser identificados com conjuntos, e as demonstrações possam ser justificadas com base nos axiomas da teoria e nos princípios da lógica clássica. O método axiomático consiste em, basicamente, organizar o corpo de conhecimento (uma teoria) em um sistema de axiomas (proposições não demonstradas) e, utilizando-se regras de inferência pré-estabelecidas, derivar novas sentenças (verdadeiras) desta teoria (teoremas). A axiomatização traz consigo o problema da consistência. Uma teoria T é consistente se não for possível derivar em T uma contradição do tipo α α (supondo que a teoria em questão utiliza as regras da lógica clássica), para alguma fórmula α. Expressando este conceito de outra forma, uma teoria é inconsistente se existe uma fórmula α tal que α e α podem ser derivadas na teoria (α e α são ambas teoremas de T ) [23]. Pode-se provar a consistência de uma teoria buscando uma interpretação que a satisfaça, em outras palavras, exibindo um modelo. Por exemplo, os conjuntos R e Q, com as operações usuais, são modelos para a teoria de corpos. Tal prova também é possível interpretando a teoria em uma outra teoria que seja consistente (consistência relativa). Entretanto, à época, a consistência da teoria de conjuntos de Zermelo não pôde ser verificada por tais métodos. Então, David Hilbert ( ), defensor das ideias de Cantor, propõe um método de validação da matemática, que ficou conhecido como Programa de Hilbert. O Programa de Hilbert pode ser descrito, brevemente, como sendo composto por três etapas (conforme apresentado em [30]): 1. A parte finitária da matemática deve consistir de argumentos elementares 8

10 da aritmética e de manipulação de símbolos e sucessões de símbolos; 2. A matemática infinitária deve ser estabelecida através de um sistema formal composto por: a teoria em questão (por exemplo, a teoria de conjuntos de Zermelo), uma lógica (lógica clássica, por exemplo) e uma linguagem, isto é, símbolos abstraídos de qualquer significado e que podem ser manipulados. Também deve-se definir as regras sintáticas (regras que fornecem expressões bem formadas) e de inferência (regras que permitem obter novas expressões de forma válida). As demonstrações matemáticas neste sistema nada mais são do que sucessões finitas de expressões que obedecem as regras definidas anteriormente. 3. Deve-se demonstrar, enfim, a consistência do sistema, verificando que não é possível obtermos certa combinação de expressões que constituem a dedução de uma contradição. Até então, ninguém havia demonstrado a consistência da aritmética formal (ou Aritmética de Peano, cuja definição precisa será objeto posterior de estudo deste trabalho). Reconhecendo a importância de tal tarefa para os fundamentos da matemática, Hilbert a apresenta no Congresso Internacional de Matemáticos, realizado em Paris, no ano de 1900, juntamente com uma lista de outros 22 problemas. O problema em questão foi o de número dois e, dentre os outros, por exemplo, estavam o problema do continuum e o problema de se decidir se uma equação diofantina possui solução [16]. A aritmética formal colocada no parágrafo anterior diz respeito à descrição de uma estrutura formal desprovida, a princípio, de significado. Demonstrar sua consistência significa demonstrar que tal estrutura é, de fato, uma estrutura possível, ou seja, que é a estrututra de algum domínio de objetos. Esta estrutura, por sua vez, descreve as sequências lineares discretas de pontos (ou objetos quaisquer), na qual existe um primeiro ponto mas sem um último ponto. Os axiomas de Peano (axiomas da aritmética formal) vistos anteriormente (DP 1, DP 2 e DP 3 ) constituem, portanto, a descrição das propriedades destas sequências [35]. Como já mencionado anteriormente, a prova da consistência de uma teoria pode ser dada buscando-se para ela uma interpretação ou pelo método exposto no terceiro item do Programa de Hilbert. No caso da aritmética formal, ambos os métodos se mostraram inviáveis. A primeira faz um apelo à intuição, enquanto a segunda faz uso de uma meta-teoria (teoria utilizada para demonstrar a consistência de uma outra teoria, chamada neste contexto de teoria objeto) que contém a própria aritmética. Dessa forma, a solução para o segundo problema de Hilbert poderia ser construída apenas dentro de uma meta-teoria mais fraca que a aritmética formal, a qual Hilbert chama de matemática finitária (como exposto no primeiro item do Programa de Hilbert). Não existe precisamente uma definição de matemática finitária dada por Hilbert, no entanto, ela pode se identificar com a Aritmética Recursiva Primitiva (APR), proposta por Skolem, em Segundo o próprio Hilbert, a consistência da APR segue do fato de que seus teoremas possuem 9

11 todas as suas instâncias verdadeiras 2. Portanto, o problema da consistência da aritmética pode ser expresso nos seguintes termos: demonstre em APR a consistência da aritmética formal (AP), isto é, que a sentença da linguagem de APR Con(AP), que expressa a consistência de AP, é um teorema de APR [35]. Hilbert professava veementemente sua crença na resolubilidade de todos os problemas matemáticos, fato este que ficou registrado na história pela sua célebre frase aí está o problema, ache a resposta; você pode encontrá-la através do pensamento puro, pois não há ignorabimus em matemática 3. No entanto, em 1931, o matemático Kurt Gödel ( ), em seu trabalho intitulado On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, mostra que a aritmética formal é incompleta, exibindo uma sentença aritmética que não é provável e também não é refutável neste sistema, embora seja verdadeira no modelo padrão (o modelo padrão para a aritmética formal é o conjunto de todos os números naturais, juntamente com as operações usuais de soma e multiplicação, a operação de sucessor, bem como as constantes 0 e 1). Outro resultado alcançado por Gödel mostra que não é possível provar a consistência da aritmética formal através de métodos que pudessem ser formalizados na própria aritmética formal, sendo assim, nenhuma teoria mais fraca do que AP, por exemplo, a própria APR, poderia demonstrar a consistência de AP. Os metateoremas da incompletude de Gödel, como ficaram assim conhecidos os dois resultados citados anteriormente, interrompem a realização do Programa de Hilbert nos modos concebidos por Hilbert. Vejamos brevemente o que diz estes metateoremas. O primeiro metateorema da incompletude pode ser expresso da seguinte forma (conforme apresentado em [30]): Se T é uma teoria formal de primeira ordem, axiomatizada, consistente e contendo a aritmética formal, então, T é incompleta: existe uma sentença aritmética G tal que ambas G e sua negação G não são teoremas de T. O significado de consistência já foi discutido anteriormente. Dizer que T é axiomatizada significa que para qualquer sentença da linguagem de T, podemos decidir algoritimicamente se tal sentença é ou não um axioma de T [30]. Assim, tomando a teoria T como a própria AP, podemos interpretar este metateorema como expressando o fato de que não existe uma lista de axiomas (axiomatização) a partir da qual podemos provar exatamente todas as sentenças verdadeiras da aritmética formal [19], supondo que desta lista de axiomas somente podemos provar sentenças verdadeiras (consistência). 2 Silva [35] cita aqui o trabalho Grundlagen der Mathematik, Berlin - Springer, 1934, de Hilbert e Bernays. 3 Texto de uma conferência proferida por David Hilbert em 4 de junho de 1925 em um congresso da Sociedade Matemática de Westfalia, em Münster. Traduzido por Walter Carnielli em [5], página

12 A principal técnica empregada por Gödel para sua prova da incompletude consiste em assimilar números naturais a termos e fórmulas de AP. O sucesso de tal procedimento está baseado no Teorema Fundamental da Aritmética, que assegura o fato de que todo número natural possui uma única representação como produto de números primos. Esta numeração permite encontrar um único número natural para cada fórmula, sequência de fórmulas e, até mesmo, provas de AP [20]. Note que, para podermos aplicar o metateorema a um sistema formal T, é necessária a utilização da técnica de numeração nesta teoria, por isso, ela deve conter a aritmética formal (como colocado pelo primeiro metateorema). Dessa maneira, podemos traduzir todas as propriedades de AP em relações numéricas definidas nos naturais. Utilizando a linguagem da própria aritmética formal, podemos construir uma sentença G que exprime intuitivamente (quando interpretada no modelo padrão) sua própria indemonstrabilidade. Assim, se G é verdadeira, então, G não é um teorema de AP (como ela afirma de si própria). Se G é falsa, então, pela hipótese de consistência, G não é um teorema de AP. Portanto, há uma proposição aritmética verdadeira tal que nem G nem sua negação G são teoremas de AP. Neste caso, dizemos que G é formalmente indecidível. A princípio, podemos argumentar que, embora G seja uma sentença indecidível, ela não apresenta nenhuma importância matemática, isto é, que ela não se refere a nenhuma questão matemática. No entanto, ao longo do tempo, diversas proposições matemáticas foram provadas indecidíveis em áreas como a Teoria de Grupos de Lie, Análise Funcional, Topologia e Física Teórica, por exemplo ([30] apresenta várias referências de trabalhos neste sentido). Dois importantes exemplos que merecem ser citados é o quinto postulado de Euclides e a Hipótese do Contínuo. Uma das formas equivalentes de se enunciar o quinto postulado de Euclides afirma que dada um reta e um ponto que não incide sobre a reta, existe uma e somente uma reta parelela à reta dada que passa pelo ponto dado [29]. O matemático alemão Carl Friedrich Gauss ( ) foi um dos primeiros a notar que este postulado era independente dos demais postulados da geometria de Euclides, isto é, que, em particular, era impossível demonstrá-lo a partir dos demais postulados [31]. A partir deste fato, surgiram as geometrias não euclidianas, onde, por exemplo, considera-se que dada um reta e um ponto que não incide sobre a reta, não existe reta parelela à reta dada que passa pelo ponto dado (geometria elíptica); ou que dada um reta e um ponto que não incide sobre a reta, existem pelo menos duas retas parelelas à reta dada que passam pelo ponto dado (geometria hiperbólica). A hipótese do contínuo (HC), por sua vez, envolve a teoria de conjuntos. Em 1874, Cantor demonstrou que o conjunto dos números reais é não enumerável, isto é, que não é possível criar uma correspondência um para um deste conjunto com o conjunto dos números naturais. Isto nos leva a concluir que devem existir, portanto, diferentes níveis de infinitude, digamos assim: a infinitude dos números naturais e a infinitude dos números reais. Sendo assim, uma pergunta naturalmente surgiu a Cantor: existe conjunto com cardinalidade intermediária entre N e R? Esta sentença ficou conhecida como a hipótese do contínuo. 11

13 Uma axiomatização tida como referencial para a teoria de conjuntos é o sistema ZFC (teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha). Dentro deste sistema, Gödel demonstrou em 1938 que, supondo a consistência de ZFC, ZFC + HC é consistente. Por outro lado, em 1963, o matemático Paul J. Cohen ( ) demonstrou que, supondo a consistência de ZFC, ZFC + HC é consistente [22]. Estes dois resultados combinados mostram que, portanto, HC é independente do sistema ZFC. Voltando aos teoremas de Gödel, nas mesmas condições do primeiro metateorema, o segundo metateorema da incompletude diz que (conforme [30]): existe uma sentença aritmética Cons T, que expressa T é consistente, que não é teorema de T. O que este metateorema nos diz é que, se T é uma teoria consistente, então não é possível demonstrar a consistência de T por métodos formalizáveis dentro desta própria teoria. Certamente, queremos derivar apenas teoremas verdadeiros de nosso sistema, portanto, se nosso sistema é consistente e contém a aritmética formal, é necessariamente incompleto, logo, existirão sentenças que não possuirão provas. Como então poderíamos diferenciar sentenças verdadeiras que possuem provas daquelas que não possuem provas? Neste contexto, Hilbert propôs um problema, batizado de Entscheidungsproblem (problema da decisão). O problema da decisão consiste em investigar a existência de um algoritmo, ou um procedimento efetivo (termo que, à época, ainda necessitaria ser formalmente definido), que, tomando como entrada qualquer sentença matemática de um sistema axiomatizado, após um número finito de etapas, nos diria se tal sentença possui prova ou não [19]. Um caso particular do problema da decisão é o problema da validade para a lógica de primeira ordem. A lógica (clássica) de primeira ordem é uma linguagem que trata de elementos lógicos e não lógicos e versa apenas sobre variáveis individuais, mas não sobre variáveis para propriedades ou funções (uma abordagem mais ampla sobre a lógica de primeira ordem será realizada na seção Fundamentação Teórica). Toda sentença da lógica de primeira ordem possui um valor - verdadeiro ou falso - em toda estrutura lógica apropriada (em toda interpretação). Chamamos de válidas as sentenças que são verdadeiras em todas as estruturas apropriadas [19]. Gödel, em seu trabalho de doutorado (1930), construiu uma axiomatização para a lógica de primeira ordem e demonstrou que toda expressão bem formada (isto é, toda expressão obtida por meio de regras pré-estabelecidas) da lógica de primeira ordem é provável [20], isto é, a própria sentença ou a sua negação possui demonstração. Expressando de outra maneira, uma fórmula é provável a partir dos axiomas se, e somente se, é válida [19]. Este resultado é referenciado como o teorema da completude da lógica de primeira ordem. Assim, o problema da validade pode ser reduzido a encontrar um procedimento efetivo através do qual se possa saber se dada sentença pode ser deduzida ou não a partir dos axiomas da lógica de primeira ordem. Desta forma, poderíamos decidir pela veracidade ou não de todas as sentenças matemáticas 12

14 dentro de um sistema axiomatizado. No entanto, Alan Turing ( ), um dos pesquisadores que se dedicaram ao problema da decisão, mostrou que este problema é insolúvel, isto é, que não existe um procedimento mecânico que nos informe se uma dada assertiva pode ser deduzida ou não a partir dos axiomas fixados. Para demonstrar a insolubilidade do problema da decisão, Turing teve que estabelecer formalmente o conceito de procedimento efetivo enunciado por Hilbert. Ele o fez através da criação de um dispositivo abstrato chamado posteriormente de Máquina de Turing. Um procedimento efetivo, ou algoritmo, como chamado atualmente, é, então, uma lista de instruções para este dispositivo. Uma vez formalizada esta questão, foi possível verificar que existiam problemas para os quais nenhum algoritmo poderia resolvê-los (tais problemas são chamados incomputáveis ou indecidíveis, quanto expressos por um predicado lógico). O primeiro destes problemas encontrado por Turing foi o halting problem (problema da parada). Simplificadamente, este problema nos apresenta a seguinte questão: existirá um algoritmo que seja capaz de avaliar em tempo finito se um outro algoritmo terminará ou não? Com auxílio deste resultado (respondido de forma negativa), Turing demonstrou a impossibilidade do Entscheidungsproblem de Hilbert. Outra questão bastante conhecida que envolve o conceito de computabilidade ficou conhecida como o décimo problema de Hilbert, ou o problema das equações diofantinas. Este problema pode ser formulado assim: existe um algoritmo para decidir se uma dada equação f(x 1, x 2,..., x n ) = 0, onde f é um polinômio com coeficientes em Z, possui solução com cada x i Z?. Vários matemáticos lograram esforços para resolver este problema, entre eles, Martin Davis, Hilary Putnam e Julia Robinson. Finalmente, em 1970, o matemático russo Yuri Matiyasevich demonstrou a incomputabilidade do décimo problema de Hilbert. Outras formalizações do conceito de procedimento efetivo foram propostas. Por exemplo, temos o λ-cálculo, de Alonso Church (1936), funções recursivas parciais, de Gödel e Kleene (1936) e o sistema de manipulação de símbolos de Post e Markov (1943) (uma descrição destas formalizações pode ser vista em [10], onde se afirma ainda a equivalência entre todas estas noções). Além da noção de procedimento efetivo, também foi formalizado o conceito de função computável, ou função recursiva. A partir de então, estas ideias inauguraram um novo ramo de pesquisa da lógica matemática, chamada de Teoria de Funções Recursivas, que é o objeto de estudo principal deste trabalho. 13

15 2 Objetivos De maneira geral, este trabalho tem por objetivo realizar um estudo introdutório sobre dois grandes temas que se estabelecem fundamentalmente na Matemática e na Ciência da Computação - filosofia da matemática e teoria das funções recursivas. A longo prazo, seu interesse recai inicialmente sobre resultados particulares que mostram a impossibilidade de, dado um sistema formal consistente onde se possa formalizar a aritmética, demonstrar todas as verdades que podem ser expressas neste sistema e decidir se uma dada sentença pode se demonstrada ou não. Estes resultados referidos são os teoremas da incompletude, de Kurt Gödel, e o problema da decisão de Hilbert, solucionado por Turing através do problema da parada. Mais especificamente, o argumento inicial deste trabalho afirmará a existência de funções (com domínio e contradomínio no conjunto dos números naturais) não computáveis, isto é, funções que não podem ser calculadas de forma algorítmica, culminando, em seguida, em um importante resultado da teoria da computabilidade conhecido por halting problem, ou problema da parada, que será estabelecido de acordo com a ideia original de Turing (e exposta por Chaitin) e por meio da teoria da computabilidade. O objetivo principal deste trabalho de graduação será, portanto, demonstrar os resultados expostos neste parágrafo. Para alcançar tais objetivos, na Seção 3 nos ocuparemos de estabelecer uma fundamentação teórica que versará sobre sistemas formais, lógica de primeira ordem e as definições fundamentais da teoria da computabilidade, como os conceitos de computabilidade de funções e decidibilidade de predicados. Em seguida, na Seção 4, os argumentos que afirmam a existência de funções não computáveis e a insolubilidade do problema da parada serão demonstrados. Por fim, na Seção 5, uma análise mais detalhada do Programa de Hilbert será realizada, com o intuito de apresentar uma breve argumentação sobre a implicação do problema da parada para o Programa de Hilbert. 14

16 3 Fundamentação Teórica Nesta seção, formalizaremos os principais conceitos sobre lógica e sistemas formais. Também passaremos a examinar formalmente os fundamentos da computabilidade, decidibilidade e de suas negações, que são os conceitos principais estudados neste trabalho. 3.1 Lógica Clássica O que chamamos atualmente de lógica clássica é um sistema formal dedutivo, oriundo da lógica aristotélica. A lógica aristotélica estabelecia as formas válidas de raciocínio, apoiada sobre três princípios fundamentais (que figuram até hoje): 1. Princípio da identidade: todo objeto é idêntico a si mesmo; 2. Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa; 3. Princípio do terceiro excluído: só há duas possibilidades - toda proposição ou é verdadeira ou é falsa. As seções seguintes, que versam sobre sistemas formais, cálculo proposicional, lógica e teoria de primeira ordem, são baseados em [27] Sistemas Formais Um sistema formal, ou teoria formal, S é uma tripla ordenada da forma S = (F, A, R), onde F é uma coleção não vazia de objetos (fórmulas de S), A é um subconjunto de fórmulas (axiomas de S) e R é um conjunto de regras de inferência. Uma regra de inferência é uma relação que nos fornece uma maneira de se obter novas fórmulas a partir de outras fórmulas. Este processo de obtenção de novas fórmulas é chamado de dedução, simbolizado por. A fórmula obtida é chamada de consequente e as fórmulas que a originaram são as premissas. As fórmulas são obtidas a partir de um alfabeto, que é um conjunto enumerável de símbolos. Sequências de símbolos (geralmente finitas) serão chamadas de expressões ou palavras. Dentre as expressões possíveis de serem geradas serão extraídas as fórmulas, que podem ser distinguidas através de regras previamente estabelecidas (por isso, também são chamadas de fórmulas bem formadas). Por fim, dentre o conjunto de fórmulas, escolhe-se aquelas que serão consideradas axiomas do sistema e define-se as regras de inferência. Quando há um método para se decidir se uma fórmula bem formada é um axioma ou não, dizemos que o sistema formal é axiomatizado. Uma prova (ou demonstração) de uma fórmula α em S é uma sequência α 1, α 2,..., α n de fórmulas tais que, para i = 1, 2,..., n, cada α i é um axioma de S ou é consequência de fórmulas precendentes obtida por meio das regras de inferência, e α n = α. Se existe uma prova de α em S, dizemos que α é um 15

17 teorema de S e escrevemos S α. Mesmo se estamos trabalhando com uma teoria axiomatizada, em geral, não existe um procedimento para decidir se, dada uma fórmula bem formada α, existe uma prova para esta fórmula na teoria. Caso haja tal método, a teoria é dita decidível; caso contrário, é dita indecidível Cálculo Proposicional Clássico O cálculo proposicional clássico formaliza o raciocínio por meio de proposições, que são expressões escritas que admitem um valor lógico verdadeiro (V) ou falso (F). Podemos criar novas proposições através dos conectivos linguísticos não, e, ou, se então e se e somente se. Do ponto de vista formal, usaremos sentenças para expressar as proposições e podemos criar novas sentenças utilizando composições. Assim, se A e B são sentenças, então A é a negação de A, A B é a conjunção de A e B (lê-se A e B ), A B é a disjunção de A e B (lê-se A ou B ), A B é a condicional de A para B (lê-se se A então B ) e A B é a bicondicional entre A e B (lê-se A se e somente se B ). Os valores lógicos para estas sentenças podem ser dados pelas tabelas verdades: A A V F F V A B A B A B A B A B V V V V V V F V F V V F V F F V F F F F F F V V Os símbolos,,,, são chamados de conectivos proposicionais. As fórmulas válidas, ou bem formadas (por simplicidade, serão chamadas de fbf, tanto no singular quanto no plural), serão unicamente aquelas expressões obtidas por meio das seguintes regras: 1. As letras maiúsculas A, B, C,... e estas mesmas letras com subíndices são fbf; 2. Se A e B são fbf, então A, A B, A B, A B e A B são fbf; 3. Somente as expressões que decorrem de aplicações de (1) ou (2) são fbf. Uma fórmula é uma tautologia se em sua tabela verdade ocorre apenas o valor lógico verdadeiro. Por exemplo, a fórmula A (A B) é uma tautologia, como se pode verificar pela sua tabela verdade: A B A B A (A B) V V V V F V V V V F V V F F F V 16

18 Uma fórmula A implica logicamente uma fórmula B (ou B é consequência lógica de A) se, e somente se, B é verdadeira sempre que A é verdadeira, e é logicamente equivalente a outra fórmula quando suas tabelas verdade coincidem. Uma fórmula que é sempre falsa é dita contraditória. Por exemplo, a fórmula A ( A) é uma contradição, como pode ser verificado pela sua tabela verdade: A A A ( A) V F F F V F Apresentaremos agora um sistema axiomático formal L para o cálculo proposicional clássico: 1. Os símbolos de L são,, (, ) e as letras maiúsculas com subscritos A i, i = 1, 2,.... Os símbolos e são chamados de conectivos primitivos e as letras A i são chamadas de símbolos proposicionais; 2. (a) Todas os símbolos proposicionais são fbf; (b) Se A e B são fbf, então A e A B também são fbf. 3. Se A, B e C são fbf de L, então, são axiomas de L: (A1) (A2) (A3) (A (B A)) ((A (B C)) ((A B) (A C))) ((( B) ( A)) ((( B) A) B)) 4. Existe uma única regra de inferência, denominada Modus Ponens (MP): A e (A B) implicam logicamente B. De cada esquema de axioma, podemos obter uma quantidade infinita de axiomas, e podemos sempre verificar quando uma fbf é uma axioma ou não, o que torna nosso sistema L axiomatizado. Também podemos verificar que todos os axiomas são tautologias construindo suas tabelas verdade. Outros conectivos poderão ser introduzidos (é possível mostrar a equivalência lógica entre estas fórmulas): (D1) (A B) abrevia (A B) (D2) (A B) abrevia ( A) B (D3) (A B) abrevia (A B) (B A) Vamos agora apresentar algumas proposições importantes com relação ao sistema L. Proposição 3.1. Todo teorema de L é uma tautologia. Proposição 3.2 (Completude). Se uma fbf de L é uma tautologia, então é um teorema de L. Estes dois resultados nos mostram que toda fbf de L é um teorema se, e somente se, é uma tautologia. 17

19 Corolário 3.1 (Consistência). O sistema L é consistente, isto é, não existe uma fbf A tal que A e A sejam ambas teoremas de L. De fato, pela Proposição 3.1, todo teorema de L é uma tautologia. A negação de uma tautologia não pode ser uma tautologia, logo, não podemos ter A e A como teoremas de L. Podemos perceber também que, como os teoremas de L são tautologias, a consistência de L implica o fato de que nem todas as fbf deste sistema serão teoremas (por exemplo, as negações de teoremas não serão teoremas) Lógica e Teorias de Primeira Ordem O cálculo proposicional clássico não é o suficiente para a realização de inferências lógicas que envolvem construções que utilizam expressões como todo ou algum, por exemplo. Assim, apresentaremos o cálculo de predicados de primeira ordem (ou lógica de primeira ordem), com o intuito de abarcar estas novas construções. A princípio, uma nova representação será destacada. Se P (x) nos informa que x possui determinada propriedade P, então ( x)p (x) significa que todo x possui a propriedade P. Se temos que algum x possui a propriedade P, indicaremos este fato por ( x)p (x). As notações ( x) e ( x) são denominadas, respectivamente, quantificador universal e quantificador existencial. Além dos símbolos,, (, ) e, também serão utilizados os seguintes grupos de símbolos: 1. Variáveis individuais: x 1, x 2,..., x n, Constantes individuais: a 1, a 2,..., a n, Símbolos para predicados: A n k 4. Símbolos funcionais: f n k (n e k são inteiros positivos) (n e k são inteiros positivos) Com relação aos dois últimos grupos de símbolos acima, o inteiro n indica o número de argumentos e o inteiro k indexa diferentes símbolos para predicados ou funções. Os símbolos funcionais, quando aplicados a variáveis e constantes individuais, dão origem aos termos: 1. todas as variáveis e constantes individuais são termos; 2. se f n k é um símbolo funcional e t 1, t 2,..., t n são termos, então f n k (t 1, t 2,..., t n ) é um termo; 3. os termos são gerados apenas pelas condições (1) e (2) acima. Os símbolos para predicados, quando aplicados a termos, dão origem às fórmulas atômicas. Assim, se A n k é um símbolo para predicado e t 1, t 2,..., t n são termos, então A n k (t 1, t 2,..., t n ) é uma fórmula atômica. As fórmulas bem formadas (fbf) são definidas por: 18

20 1. Toda fórmula atômica é uma fbf; 2. Se A e B são fórmulas e y é uma variável, então ( A), (A B) e (( y)b) são fbf; 3. as fbf são geradas apenas pelas regras (1) e (2) acima. Os símbolos, e podem ser definidos da mesma forma realizada para o sistema L (seção anterior). O símbolo não precisa ser definido como primitivo, pois podemos definir o quantificador existencial (( x)b) como ( (( x)( B))). Na fórmula (( y)a), dizemos que A é o escopo (ou o alcance) do quantificador ( y). Por exemplo, tomemos a fórmula ( x 1 )((( x 2 )A 2 1(x 1, x 2 )) (( x 3 )A 3 1(x 1, x 2, x 3 ))). O escopo de ( x 3 ) é A 3 1(x 1, x 2, x 3 ), o escopo de ( x 2 ) é A 2 1(x 1, x 2 ) e, por fim, o escopo de ( x 1 ) é ((( x 2 )A 2 1(x 1, x 2 )) (( x 3 )A 3 1(x 1, x 2, x 3 ))). Uma ocorrência de uma variável x em uma fbf B é dita ligada em B se ela está em um quantificador da forma x que aparece em B ou está no escopo de x em B. Caso contrário, dizemos que a ocorrência de x em B é livre. Uma variável é dita livre (ligada) em uma fbf B se possui ocorrência livre (ligada) em B. Exemplo 3.1. Considere as seguintes fórmulas: 1) A 2 1(x 1, x 2 ) ( x 1 )A 1 1(x 1 ) 2) ( x 1 )(A 2 1(x 1, x 2 ) ( x 1 )A 1 1(x 1 )). Na fórmula (1), a primeira ocorrência de x 1 em A 2 1(x 1, x 2 ) é livre, porém, é ligada na segunda e terceira ocorrências. Na fórmula (2), todas as ocorrências de x 1 são ligadas. Em ambos os exemplos, as ocorrências de x 2 são livres. Até agora, todo o trabalho com os sistemas apresentados constitui mera manipulação de símbolos, o que podemos chamar de manipulação sintática. No entanto, para desenvolver teorias matemáticas mais interessantes, necessitamos atribuir significado às fbf. Tal significado surge quando uma interpretação é dada para os símbolos. Esta é a contraparte semântica de um sistema formal. Definiremos então uma linguagem de primeira ordem e, posteriormente, uma interpretação. Uma linguagem de primeira ordem LPO contém os seguintes símbolos: 1. Os conectivos proposicionais e e o símbolo de quantificação universal ; 2. Símbolos auxiliares: parênteses e vírgula; 3. Variáveis individuais x 1, x 2,...; 4. Um conjunto enumerável (possivelmente vazio) de símbolos funcionais; 5. Um conjunto enumerável (possivelmente vazio) de constantes individuais; 19

21 6. Um conjunto não vazio de símbolos de predicado. Por termo de LPO entendemos um termo cujos símbolos são símbolos de LPO. Uma fbf de LPO significa uma fbf cujos símbolos são símbolos de LPO. As constantes individuais e os símbolos funcionais e de predicados são chamados constantes não lógicas de LPO. Seja LPO uma linguagem de primeira ordem. Uma interpretação M de LPO é uma estrutura M = (D, ρ), onde: 1. D é um conjunto não vazio, o qual chamaremos de domínio da interpretação; 2. ρ é uma função cujo domínio é o conjunto das constantes não lógicas de LPO, definida como segue: (a) Se c é uma constante individual, então ρ(c) D; (b) Se fj n D; é um símbolo funcional, então ρ(f n j ) é uma função de Dn em (c) Se A n j é um símbolo de predicado, então ρ(an j ) é um subconjunto de D n (é uma relação n-ária sobre D). Uma sentença, ou fbf fechada, é uma fbf de LPO sem variáveis livres. Dada uma interpretação para LPO, uma sentença representa, então, uma proposição que é verdadeira ou falsa. Uma fbf que apresenta variáveis livres pode ser verdadeira para alguns valores de seu domínio e falsa para outros. Vejamos agora um exemplo de interpretação: Exemplo 3.2. Considere as seguintes fbf: 1) A 2 1(x 1, x 2 ) 2) ( x 2 )A 2 1(x 1, x 2 ) 3) ( x 1 )( x 2 )A 2 1(x 1, x 2 ) Vamos tomar como domínio o conjunto dos números inteiros positivos e interpretar A 2 1(y, z) como y z. Assim a fbf (1) representa a expressão x 1 x 2, que é satisfeita para todos os pares ordenados de inteiros positivos (a, b) tais que a b. A fbf (2) representa a expressão Para todos inteiros positivos x 2, x 1 x 2, que é satisfeita apenas para o inteiro 1. A fbf (3) é a única que não apresenta variáveis livres, portanto, deve ser verdadeira ou falsa. Como ela expressa existe um menor número inteiro positivo, é uma sentença verdadeira. Serão introduzidas algumas definições importantes. Seja B uma fbf. Dizemos que B é logicamente válida se, e somente se, B é verdadeira para toda interpretação e B é dita satisfatível se, e somente se, existe uma interpretação onde B é verdadeira. Agora, os cálculos lógicos apresentados nesta seção serão estendidos para sistemas mais gerais, onde se pode discutir diversas teorias matemáticas. Seja LPO uma linguagem de primeira ordem. Uma teoria de primeira ordem (a qual também chamaremos apenas de teoria) na linguagem LPO é uma teoria 20

22 (ou sistema) formal K cujos símbolos e fbf são os símbolos e fbf de LPO e cujos axiomas e regras de inferência são: 1. Axiomas lógicos: Se B, C e D são fbf de LPO, então são axiomas lógicos de K: (A1) B (C B) (A2) (B (C D)) ((B C) (B D)) (A3) ( C B) (( C B) C) (A4) (A5) ( x i )B(x i ) B(t) se B(x i ) é uma fbf de LPO e t é um termo livre para x i em B(x i ) ( x i )(B C) (B ( x i )C) se B não contém ocorrências livres de x i. 2. Axiomas próprios: Cada teoria pode definir seus axiomas próprios. Uma teoria de primeira ordem que não possui axiomas próprios é chamada cálculo de predicados de primeira ordem. 3. Regras de inferência: Qualquer teoria de primeira ordem possui as seguintes regras: Modus Ponens (MP): C decorre de B e B C. Generalização (Gen): ( x i )B decorre de B. Seja K uma teoria que possui o símbolo de predicado A 2 1. Escrevemos t = s como abreviação de A 2 1(t, s) e t s como abreviação de A 2 1(t, s). Então, K é chamada teoria de primeira ordem com igualdade se as seguintes sentenças também são teoremas de K: (A6) ( x 1 )x 1 = x 1 reflexividade da igualdade (A7) x = y (B(x, x) B(x, y)) substitutividade da igualdade onde x e y são variáveis quaisquer, B(x, x) é uma fbf qualquer e B(x, y) é obtida a partir de B(x, x) substituindo-se alguma ocorrência livre de x por y. Agora, podemos apresentar algumas definições e propriedades importantes de teorias de primeira ordem. Seja K uma teoria de primeira ordem na linguagem LPO. Um modelo de K é uma interpretação de LPO onde todos os axiomas de K são verdadeiros. Proposição 3.3. Toda fbf de K que é uma instância de tautologia é um teorema de K e pode ser provado usando apenas os axiomas (A1), (A2), (A3) e MP. Proposição 3.4. Todo teorema do cálculo de predicados de primeira ordem é logicamente válido. Uma teoria K é consistente se não é possível provarmos B e B para alguma fbf B. Caso contrário, ela é dita inconsistente. Corolário 3.2. O cálculo de predicados de primeira ordem é consistente. 21