CONTROLE DE SISTEMAS MAX-PLUS LINEARES SUJEITOS A RESTRIÇÕES NO ESTADO: APLICAÇÃO A SISTEMAS DE TRANSPORTE

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1 CONTROLE DE SISTEMAS MAX-PLUS LINEARES SUJEITOS A RESTRIÇÕES NO ESTADO: APLICAÇÃO A SISTEMAS DE TRANSPORTE Cíntia Ribeiro Andrade 1, Carlos Andrey Maia 1,2 1 PPGEE - Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica - UFMG 2 Departamento de Engenharia Elétrica Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais Av. Pres. Antônio Carlos, Pampulha Belo Horizonte - MG - Brasil cintia@cpdee.ufmg.br, maia@cpdee.ufmg.br Resumo. Este artigo trata da modelagem e controle de sistemas a eventos discretos sujeitos a fenômenos de sincronização e de atraso no tempo que são descritos pela álgebra max-plus. A partir da obtenção do modelo, a estrutura de controle é definida com base na realimentação de estados. O objetivo, nesse caso, é projetar um controlador que garanta que o sistema evolua sem violar restrições temporais impostas ao estado. Para ilustrar a contribuição deste trabalho uma rede de tráfego urbano é apresentada, sendo que o controlador é aplicado de forma a garantir que restrições de temporização sejam respeitadas. Palavras-chave: Sistemas a eventos discretos, Controle de Sistemas de Tráfego, Álgebra Max-plus. Área principal: LGT - Logística e Transportes Abstract. This paper deals with the modeling and control of discrete events systems subject to synchronization phenomena and time delay that are described by the max-plus algebra. From the developed model, the control structure is defined on the basis of the feedback of states. The objective, in this case, is to design a controller that guarantees that the system will evolve without violating timed restrictions imposed to the state. To illustrate the contribution of this work an urban traffic net is presented, where that the controller is designed in order to guarantee that temporization restrictions are respected. Keywords: Discrete Event Systems, Traffic Systems Control, Max-plus Algebra. Main area: LGT - Transport and Logistics 676

2 1. Introdução A teoria dos Sistemas a Eventos Discretos (SED) (Cassandras and Lafortune, 1999) tem sido utilizada na modelagem de muitos sistemas de engenharia tais como redes de transporte, processos de manufatura, redes de comunicação, dentre outros. Estes sistemas se caracterizam por serem descritos por espaços de estados discretos e cuja dinâmica é dirigida por eventos. A álgebra max-plus (Baccelli et al., 1992) é uma ferramenta utilizada na modelagem de sistemas sujeitos a sincronização e fenômenos de atraso. Esses sistemas podem ser representados por Grafos de Eventos Temporizados (GET), um caso particular das redes de Petri temporizadas. Nesta área tem-se obtido muitos avanços, não só na análise dos sistemas como também nos problemas de controle (Goverde, 2007). Várias estratégias de controle estão sendo utilizadas na literatura tais como o controle por modelo de referência (Maia et al., 2005, 2003; Maia, 2003) e o controle utilizando a teoria de espaços (A, B)-invariantes (Garcia et al., 2006; Katz, 2007). O objetivo deste artigo é resolver um problema de modelagem e controle de sistemas através da álgebra max-plus. No exemplo mostrado na Seção 4 (Garcia et al., 2006; Garcia, 2007), destaca-se um problema de tráfego urbano. Um modelo é desenvolvido representando uma malha viária e o controle é aplicado para a sincronização dos semáforos de maneira que haja formação de ondas verdes(uma onda verde acontece quando os semáforos são coordenados de maneira que um veículo que receba sinal verde em um extremo de uma arterial, possa percorrê-la até a outra extremidade sem parar em nenhum sinal vermelho). Diferentemente dos resultados já apresentados na literatura, o controle proposto neste artigo utiliza propriedades algébricas do sistema e, a partir do comportamento dinâmico do sistema e de uma matriz de restrições (que garantem o funcionamento desejado para o sistema), a matriz de controle é encontrada. Esta matriz atua realimentada nos estados e é encontrada resolvendo-se uma equação linear na álgebra max-plus (Cuninghame-Green and Butkovic, 2003). Os conceitos da álgebra max-plus e das ferramentas necessárias ao desenvolvimento do controle proposto são apresentadas na Seção 2. Uma proposta de modelagem e controle é descrita na Seção 3 e um exemplo ilustrativo é desenvolvido na Seção 4. A conclusão é dada na Seção Conceitos básicos Esta seção aborda os conceitos relativos aos sistemas a eventos discretos, dentre eles as redes de Petri P-temporizadas, os grafos a eventos temporizados e a álgebra max-plus. As redes de Petri são uma ferramenta para a modelagem gráfica e matemática de muitos sistemas. Um estudo detalhado encontra-se em Murata (1989). Uma rede de Petri é um grafo bipartido, consistindo de dois tipos de nós chamados de lugares e transições. Em uma representação gráfica lugares são representados por círculos e as transições por barras. Os arcos do grafo são direcionados e interligam lugares a transições e transições a lugares. Para cada arco direcionado da rede, o nó origem é denominado nó de entrada do nó de destino e o nó de destino é denominado nó de saída do nó de origem. Uma transição, que é associada a algum tipo de evento, é disparada quando o evento que ela representa ocorre e é esse conceito que permite modelar a evolução dinâmica do SED. Os lugares da rede definem as condições sob as quais as suas transições de saída são disparadas. As condições de disparo de uma transição e suas conseqüências para a rede são formalizadas através do conceito de marcação da rede.uma marcação associa a cada lugar um número inteiro positivo. Este número inteiro associado ao lugar indica seu número de fichas. Uma transição é dita estar habilitada se cada lugar de entrada é marcado com pelo menos o número de fichas igual ao peso do arco que conecta o lugar à transição. Se a transição está habilitada então ela pode disparar. Um disparo de uma transição habilitada retira um número de fichas (igual ao peso do arco) de cada lugar de entrada e adiciona estas fichas em cada lugar de saída. 677

3 Pode-se temporizar uma rede de Petri de diversas maneiras, sendo usual fazê-lo atribuindo um atraso a cada lugar (rede p-temporizada). O atraso de um lugar é um número inteiro positivo que tem como significado o intervalo de tempo entre o instante em que uma ficha é atribuída àquele lugar e o instante em que esta ficha contribui para a habilitação das transições de saída do lugar. A temporização de uma rede de Petri é importante quando se deseja avaliar o desempenho de um sistema a evento discreto. De uma forma geral, as redes de Petri são utilizadas para a modelagem de concorrência a recursos e a sincronização de tarefas. Os grafos a eventos são uma subclasse das redes de Petri na qual as situações de concorrência não podem ocorrer. Um Grafo de Eventos Temporizado (GET) é uma Rede de Petri temporizada na qual cada lugar tem um tempo de espera associado e somente uma transição de entrada e somente uma transição de saída. Os GET modelam SED em que somente aspectos de sincronização são observados. A Figura 1 representa um GET. Os lugares são representados por círculos, as transições por barras, os arcos por flechas, as fichas são os pontos e os números reais indicam os tempos de atraso. A transição u não é condicionada por nenhuma outra transição do sistema, u é a entrada do sistema. A transição y, chamada de saída dos sistema, não condiciona nenhuma outra transição. As demais transições são chamadas de transições internas. 5 5 u 2 x 1 x y Figura 1. Exemplo de um GET (Grafo de Eventos Temporizado) Pode-se associar a cada transição x uma seqüência de datas de disparos da transição, x(k), sendo que k é o número do disparo. Cada elemento da série representa o instante do k-ésimo disparo dessa transição. Considere o GET da Figura 1. O comportamento dinâmico desse sistema é descrito pelas equações a seguir: x 1 (k) = max {2 + u(k); 2 + x 2 (k 1)} x 2 (k) = 5 + x 1 (k) (1) y(k) = max {2 + x 2 (k); 5 + x 2 (k 2)} O comportamento dinâmico do sistema desse exemplo pode ser completamente descrito utilizando os operadores max e +. O operador max está relacionado com a sincronização do consumo de recursos e o operador + com o tempo de processamento das diversas tarefas do processo. De uma maneira geral, o comportamento dinâmico de um GET pode ser descrito utilizando a álgebra (Max,+) na qual o operador max é definido como e o operador + é definido como. Pode-se reescrever o sistema acima como: x 1 (k) = 2 u(k) 2 x 2 (k 1) x 2 (k) = 5 x 1 (k) (2) y(k) = 2 x 2 (k) 5 x 2 (k 2) 678

4 As equações acima ainda requerem que se especifiquem o estado inicial do sistema, ou seja, os valores de x 1 (k) e x 2 (k) para k < 0. Nesse caso, arbitra-se que todos os disparos anteriores a k = 0 ocorreram em. Conseqüentemente, a marcação inicial da rede já cumpriu o tempo de atraso de seus respectivos lugares e pode contribuir imediatamente para a habilitação de uma transição. Note que a marcação inicial promove deslocamentos na numeração dos disparos associados a uma transição. Tem-se portanto, um sistema de equações recursivas lineares numa nova álgebra, denominada álgebra max-plus Álgebra Max-Plus A álgebra max-plus é um exemplo de uma estrutura algébrica complexa, denominada dióide ou semi-anel idempotente (Baccelli et al., 1992). Define-se ε = e e = 0 e denota-se por R max o conjunto R {ε}, onde R é o conjunto dos números reais. Para os elementos a, b R max definem-se operações e como: a b = max (a, b) e a b = a + b (3) A álgebra max-plus é um dióide caracterizado por um conjunto e as duas operações (soma e produto), notado (D,, ), tal que a soma seja associativa, comutativa e idempotente (a a = a), e o produto seja associativo (mas não necessariamente comutativo) e distributivo à esquerda e à direita em relação à soma. Além disso, devem existir elementos neutros para ambas as operações. O elemento nulo ε é absorvente em relação ao produto (a ε = ε) e o elemento e é unitário (a e = a). Como na álgebra convencional, a multiplicação tem prioridade sobre a soma. Observa-se que: a b a b = a (4) Um dióide é completo se ele for fechado em relação a somas infinitas e se o produto for distributivo em relação a somas infinitas. A estrutura (Z { } { }, max, +) é um dióide completo usualmente denominado Max-plus e notado por Z max. Uma importante operação, definida em qualquer dióide, é a operação estrela de Kleene, definida por a = i N a i, com a i = a a (i 1) e a 0 = e. Verifica-se que, para qualquer inteiro positivo p, (a ) p = a e (a ) = a. As matrizes também podem ser definidas pela álgebra max-plus. Se A, B R n m max, onde n, m N, e i, j são, respectivamente, as linhas e colunas das matrizes, pode-se definir a soma das matrizes como [A B] ij = a ij b ij = max(a ij, b ij ) para i = 1 m. Se A R n l max e B R l m max então o produto de matrizes é definido como [A B] ik = b jk = max j l (a ij + b jk ) para i = 1 n e k = 1 m. Doravante, para simplificar a notação, o símbolo de produto será omitido quando conveniente. l j=1 a ij A álgebra max-plus permite descrever a evolução de eventos em um sistema sujeito a restrições de sincronização. Os sistemas são representados por equações lineares do tipo: x(k) = Ax(k 1) Bu(k) A I (5) O vetor x(k) representa o estado do sistema e u(k) uma entrada externa. A I, pois x(k + 1) x(k), isto é, as datas de disparo das transições são não-decrescentes. No exemplo dado na Figura 1 utiliza-se a descrição por datadores, isto é, associa-se a cada transição x uma seqüência de datas de disparos da transição, x(k), sendo que k é o número do disparo. 679

5 2.2. Equação A x = B y sobre (max,+) Para a solução do sistema de equação linear A x = B y sobre (max,+), Cuninghame-Green and Butkovic (2003) desenvolveram um algoritmo que converge para uma solução finita partindo de algum ponto inicial finito, caso exista tal solução finita. Se os elementos finitos de A e B são todos inteiros, a convergência deste algoritmo acontece em um número finito de iterações. As matrizes A e B não podem ter nenhuma linha ou coluna infinita. O algoritmo para solucionar a equação A x = B y é apresentado abaixo (Cuninghame-Green and Butkovic, 2003): Inicialize Escolha arbitrariamente um vetor finito x Setar r = 0; x(0) = x Repita Setar y = solução principal de B y A x; Setar x = solução principal de A x B y; Setar r = r + 1 Até convergir Fim y(r) = y x(r + 1) = x Um conjunto de desigualdades lineares do tipo A x b sobre Z max = ({ } Z, max, +), sempre possui uma solução. A maior solução é x = A b, (6) sendo A = [ a ji ] a matriz conjugada de A e (min). é definido como o operador de minimização 3. Modelagem e Controle de Sistemas Max-plus Lineares O sistema que se deseja modelar e controlar é do tipo mostrado na Equação (5). Este sistema está sujeito a restrições de sincronização e pode ser escrito como: x(k) = Ax(k 1) Bu(k), (7) sujeito a: Ex(k) x(k). (8) Sendo A, E Z n n max, B Z n p max, com n transições internas (ou estados) e p entradas. A matriz que contém as restrições é a matriz E da equação acima. Supondo que: pode-se observar o seguinte: Ex(k) x(k), (9) E.Ex(k) Ex(k) x(k) E 3 x(k) x(k) x(k) Ex(k) E 2 x(k) E n x(k) x(k) x(k) (I E E 2 )x(k) x(k) E x(k) x(k). (10) 680

6 Mas, I E Ix(k) E x(k) x(k) E x(k). (11) Das Equações (10) e (11): E x(k) = x(k). (12) Mostrou-se que: Ex(k) x(k) E x(k) = x(k). (13) Como E E : tem-se que: E x(k) = x(k) Ex(k) x(k), (14) Ex(k) x(k) E x(k) = x(k). (15) Propriedade 3.1. Todas as condições iniciais factíveis para o sistema devem satisfazer x(0) = E v, sendo v Z n max. Demonstração. Se a condição inicial é factível, então x(0) = E x(0), ou seja, x(0) = E v, sendo v = x(0). Se x(0) = E v, então E x(0) = E E v = E v = x(0), portanto a condição é factível Controle por realimentação de estados O objetivo é implementar uma lei de controle por realimentação de estados, isto é, u(k) = F x(k 1), sendo F Z p n max, de forma que E x(k) x(k) k 0. Com isso o sistema da Equação (7) passa a ser escrito como: x(k) = (A BF )x(k 1). (16) A definição seguinte é necessária para o desenvolvimento da metodologia a ser apresentada. Definição 3.1 (Matriz G-astic (Cuninghame-Green and Butkovic, 2003)). Uma matriz é G-astic se em cada linha existir pelo menos um elemento finito. Proposição 3.1. O problema de controle proposto apresenta solução se e somente se: E (A BF )E = (A BF )E E AE E BF E = AE BF E (17) Demonstração. Considere a equação x(k) = Ax(k) Bu(k) sendo u(k) = F x(k 1). O problema é encontrar F Ex(k) x(k). Dessa forma, deve-se assegurar que: x(k) = (A + BF )x(k 1), (18) de forma a respeitar (veja Equação (15)), E x(k) = x(k). (19) 681

7 Substituindo a Equação (18) na (19): E (A BF )x(k 1) = (A BF )x(k 1), k 1 (20) Em particular para k = 1: E (A BF )x(0) = (A BF )x(0), (21) pela Propriedade 3.1: E (A BF )E v = (A BF )E v, v E (A BF )E = (A BF )E. (22) Dessa forma, mostrou-se que (20) implica em (22). Deve-se mostrar que (22) implica em (20). Se (22) é verdadeira, lembrando que x(0) = E v, então E x(1) = x(1), pois: E (A BF )E = (A BF )E E (A BF )E v = (A BF )E v E x(1) = x(1). (23) Assumindo (22), deve-se mostrar que: E x(k) = x(k) E x(k + 1) = x(k + 1), k 0. (24) A demonstração será feita por indução. Assume-se que E x(k) = x(k) é verdadeira e prova-se que E x(k + 1) = x(k + 1). Dessa forma, como x(k + 1) = (A BF )x(k) E x(k) = x(k), (25) tem-se que x(k + 1) = (A BF )E x(k). (26) Como, por hipótese, (22) é verdadeira, pode-se reescrever (26) como: x(k + 1) = E (A BF )E x(k). (27) Portanto, E x(k + 1) = E E (A BF )E x(k). (28) Lembrando que E.E = E e usando (27): E x(k + 1) = x(k + 1). (29) Lema 3.1. Se a matriz B é G-astic, G Z n n max, F BF G. Demonstração. É direta a partir da seguinte observação: Se a matriz B é G-astic (( i)( l)/b il ε): [BF ] ij = fazer [BF ] ij tão grande quanto se queira. p B il F lj. Portanto é sempre possível l=1 682

8 Proposição 3.2. Para um sistema tal que B é G-astic, uma condição suficiente para a existência do controlador é encontrar uma solução (Z ij ε) para a equação: E BZ = BZ. (30) Demonstração. a) se Z Z ij ε Ẑ = Z M (M = mi), matriz identidade (I) Zn n max e m Z max, também é solução para a equação (30) pois E BZ = BZ E BZ M = BZ M. b) De forma análoga, F = ẐE também é solução para (30). De a) e b), em conjunto com o Lema 3.1, conclui-se que é sempre possível fazer F suficientemente grande, tal que B F E AE, ou seja, E AE B F = B F. Dessa forma, utilizando a Equação (30), tem-se: E AE E B F = B F. Contudo, B F E AE, então B F AE, pois E I. Logo, B F AE = B F. Dessa forma como, por construção, F = F E, obtém-se que: E AE E B F = B F = B F AE. (31) Como logo F = ẐE, (32) F = F E. (33) Dessa forma: E AE E B F E = B F E AE E (A B F )E = (A B F )E. (34) Essa proposição permite, em conjunto com o algoritmo apresentado na seção 2.2, resolver a Equação (30) e encontrar a matriz de controle F que é dada por: F = ZME (35) 4. Um exemplo de aplicação do problema de controle de tráfego urbano d 12 d 23 S 1 S 2 S 3 I 1 I 2 I 3 Figura 2. Exemplo de uma malha viária de 3 interseções A aplicação apresentada nesta Seção foi extraída de Garcia et al. (2006); Garcia (2007).Considere o sistema mostrado na Figura 2. Ele se refere a um conjunto de interseções de uma via. Os carros 683

9 podem trafegar em qualquer sentido indicado pelas setas. Nesta seção o objetivo é apresentar um modelo que representa esta via e desenvolver uma estratégia de controle que possa agir nos tempos de semaforização, sincronizando-os, para que haja formação de ondas verdes (quando possível). Os veículos que se deslocam entre as interseções são agrupados em pelotões, e o tamanho do pelotão é ignorado, considerando-o como um ponto indivisível. Os semáforos estão representados por S i e as interseções por I i com i = 1, 2, 3. O tempo de deslocamento entre I 1 e I 2 é d 12 e entre I 2 e I 3 é d 23. Primeiro, será visto como a evolução deste tipo de sistema pode ser descrita por sistemas dinâmicos lineares da forma (5) na álgebra max-plus. Os eventos que há interesse em modelar são as trocas de sinal dos semáforos e as passagens dos pelotões pelas interseções. A malha viária pode ser modelada através de um GET. O modelo está na Figura 3. As transições que indicam a troca de sinal do semáforo são: S i1 habilita o sinal verde e S i2 habilita o sinal vermelho. As transições x i1 e x i2 indicam a passagem de um pelotão pelas interseções I i. Os lugares g i e r i representam, respectivamente, os tempos de verde e vermelho do semáforo i com i = 1, 2, 3. Os lugares d 12, d 23, d 21 e d 32 representam o tempo de deslocamento entre as interseções. A marcação indica que o semáforo está com o sinal vermelho e que há um pelotão na via. Para se obter uma malha semaforizada e possível de ser controlada aplicam-se entradas de controle nas transições que representam a abertura dos sinais vermelho e verde (Garcia et al., 2006; Garcia, 2007). x 11 d 12 x 21 d 23 x 31 x 12 d 21 d 32 x 22 x 32 S 11 S 31 S 21 u 1 u 3 u 5 r 1 g 1 r 2 r 3 g 2 g 3 S 12 u 2 S 22 S 32 u 4 u 6 Figura 3. Modelo com entradas de controle O estado do sistema pode ser expresso através da Equação (5) sendo x(k) = [S 11 (k) S 12 (k) x 11 (k) x 12 (k) S 21 (k) S 22 (k) x 21 (k) x 22 (k) S 31 (k) S 32 (k) x 31 (k) x 32 (k)] T e u(k) = [u 1 (k) u 2 (k) u 3 (k) u 4 (k) u 5 (k) u 6 (k)] T. 684

10 O sistema da Equação (5) é expandido para: x(k) = A 1 x(k) A 2 x(k 1) B 1 u(k), (36) que pode ser expresso como (veja (Baccelli et al., 1992)): x(k) = A 1A 2 x(k 1) A 1B 1 u(k). (37) A matriz A 1 é apresentada abaixo onde: g 1 = g 2 = g 3 = 44, r 1 = r 2 = r 3 = 20, d 12 = d 21 = 15, d 23 = d 32 = 20. As unidades das medidas estão expressas em segundos. A matriz A 2 possui dimensão 12x12 onde a 212 = r 1, a 256 = r 2, a 273 = d 12, a 2812 = d 32, a 2910 = r 3 sendo os outros a 2ij = ε. A matriz B 1 possui dimensão 12x6 onde b 111 = b 122 = b 153 = b 164 = b 195 = b 1106 = e sendo os outros b 1ij = ε. A 1 = ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε g 1 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε d 21 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε g 2 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε g 3 ε ε ε ε ε ε ε ε ε d 23 ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε A matriz A da Equação (5) é A 1 A 2 e a matriz B é A 1 B 1. As equações que representam as transições são (estão representadas as equações que representam as transições para I 1, as demais são similares): S 11 (k) = r 1 S 12 (k 1) u 1 (k) S 12 (k) = g 1 S 11 (k) u 2 (k) x 11 (k) = S 11 (k) x 12 (k) = d 21 x 22 (k) S 11 (k) É necessário definir um conjunto de restrições operacionais para garantir o funcionamento desejável do sistema controlado. As restrições que dão origem à matriz E são: Habilitação da passagem do pelotão apenas com o semáforo em verde. S 11 x 1i 0, S 21 x 2i 0, S 31 x 3i 0, i = 1, 2 O tempo de verde deve ser capaz de absorver um pelotão (t a é o tempo de absorção). x 1i S 12 t a1, x 2i S 22 t a2, x 3i S 32 t a3, i = 1, 2 O tempo de verde não pode ultrapassar um máximo m. S i2 S i1 m i i = 1, 2, 3 O offset entre os semáforos S i não pode ultrapassar um máximo off. 685

11 S 11 S 21 off 12, S 21 S 11 off 12, S 21 S 31 off 23, S 31 S 21 off 23 onde m i = 70, t ai = 44, off 12 = 5 e off 23 = 40. A matriz E para este exemplo é representada abaixo: E = ε m 1 ε ε off 12 ε ε ε ε ε ε ε ε ε t a1 t a1 ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε off 12 ε ε ε ε m 2 ε ε off 23 ε ε ε ε ε ε ε ε ε t a2 t a2 ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε off 23 ε ε ε ε m 3 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε t a3 t a3 ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε e ε ε ε Verifica-se nesse caso que a matriz B é G-astic. Dessa forma, através da solução da Equação (30) foi possível encontrar Z, e portanto foi gerada uma matriz F de realimentação de estados, dada por: F = Uma possível seqüência para o estado inicial é: x(0) = [ ] T x(1) = [ ] T x(2) = [ ] T O tempo de ciclo da malha viária é de 94s. Foi utilizado o max-plus toolbox do Scilab (Quadrat, 2003; Hardouin et al., 2001) para realizar os cálculos. 5. Conclusões Neste artigo foi apresentada uma estratégia de controle para sistemas a eventos discretos max-plus lineares sujeitos a restrições de estado. Foi apresentada uma condição suficiente para a existência do controlador que resulta em um algoritmo para o cálculo da matriz de controle. Também foi apresentada uma aplicação da abordagem no controle da semaforização de um conjunto de interseções de uma via. Uma proposta para trabalhos futuros seria a reestruturação da matriz B daqueles sistemas que não satisfizessem a condição apresentada. Dessa forma seria possível utilizar a estratégia de controle proposta neste trabalho. Agradecimentos Este trabalho foi parcialmente apoiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, CAPES. 686

12 Referências Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G. J., and Quadrat, J. P. (1992). Synchronization and Linearity. Wiley. Cassandras, C. G. and Lafortune, S. (1999). Introduction to Discrete Event Systems. Kluwer Academic Publishers. Cuninghame-Green, R. A. and Butkovic, P. (2003). The equation a x = b y over (max,+). Theoretical Computer Science, 293:3 12. Garcia, T. R. (2007). Modelagem e controle da coordenação do tráfego urbano através de formalismos para sistemas a eventos discretos e híbridos. PhD thesis, Universidade Federal de Santa Catarina. Garcia, T. R., Cury, J. E. R., and Junior, W. K. (2006). Modelagem e controle de vias arteriais urbanas através da álgebra max-plus. Congresso Brasileiro de Automática, pages Goverde, R. M. P. (2007). Railway timetable stability analysis using max-plus system theory. Transportation Research Part B, 41: Hardouin, L., Gruet, B., Cottenceau, B., and Lhommeau, M. (2001). hardouin/outils.html. Katz, R. D. (2007). Max-plus (a, b)-invariant spaces and control of timed discrete-event systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 52(2): Maia, C. A. (2003). Identificação e controle de sistemas a eventos discretos na álgebra (max,+). PhD thesis, UNICAMP. Maia, C. A., Hardouin, L., Santos-Mendes, R., and Cottenceau, B. (2003). Optimal closed-loop control of timed event graphs in dioids. IEEE Transactions on Automatic Control, 48(12): Maia, C. A., Lüders, R., Santos-Mendes, R., and Hardouin, L. (2005). Estratégias de controle por modelo de referência de sistemas a eventos discretos max-plus lineares. Revista Controle e Automação, 16(3): Murata, T. (1989). Petri nets: Properties, analysis and applications. Proceedings of the IEEE, 77(4): Quadrat, J.-P. (2003)