FILTRO DE PARTÍCULAS PARA SISTEMAS MAX PLUS COM DENSIDADE DE

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1 FILTRO DE PARTÍCULAS PARA SISTEMAS MAX PLUS COM DENSIDADE DE IMPORTÂNCIA ÓTIMA Renato Markele Ferreira Cândido, Rafael Santos Mendes DSE/FEEC/UNICAMP Av. Albert Einsten, 400, Campinas, SP, Brasil s: Abstract The main objective of this article is to synthesize a particle filter algorithm for max-plus systems that adopts the optimal choice for the importance density. It is presented a brief introduction to the Max Plus approach for Discrete Event Systems and the fundamentals of the particle filters. It leads to the algorithm for particles filtering. Lastly, a example is given. The results shows the accuracy of the method. Keywords Stochastic Filtering, Particle Filters, Discrete Event Systems, Max plus Algebra. Resumo Neste trabalho, desenvolve-se um algoritmo de filtragem de partículas que adota a escolha ótima para a densidade de importância. É apresentada uma breve revisão da abordagem Max Plus para Sistemas a Eventos discretos e de Filtros de Partículas. Em seguida, o algoritmo de filtragem de partículas é desenvolvido. Um exemplo é apresentado e os resultados mostram a eficiência do filtro desenvolvido. Filtragem Estocástica, Filtros de Partículas, Sistemas a Eventos Discretos, Álgebra Max- Palavras-chave plus. 1 Introdução Os Sistemas a Eventos Discretos (SEDs) são sistemas cuja dinâmica é dirigida pela ocorrência de eventos. Existem diversos modelos para representar esses sistemas e a escolha de qual modelo utilizar depende fortemente das características do sistema abordado. As Redes de Petri conseguem abordar uma ampla classe de SEDs, em especial os sistemas temporizados, que podem ser representados pelas Redes se Petri Temporizadas (Cassandras and Lafortune, 2007). Uma associação importante pode ser feita entre SEDs sem concorrência e uma subclasse de Redes de Petri denominada Grafos de Eventos Temporizados (GETs) (Baccelli, 1992). Qualquer GET pode ser descrito em termos de equações lineares em uma álgebra não convencional usualmente denominada Álgebra Max Plus. Esta abordagem é baseada nas estruturas algébricas conhecidas como dióides ou semi-anéis idempotentes. O desenvolvimento desta estrutura algébrica e a formalização de sua utilização na teoria de SEDs possibilitou o surgimento de uma teoria de controle específica para estes sistemas (Cohen et al., 1999; Cottenceau et al., 2001; Maia et al., 2005). Deste modo, a observação ou estimação dos estados é de grande interesse, pois fornece informações sobre as propriedade internas do sistema que podem utilizadas em várias aplicações como detecção de falhas, diagnósticos, além de controladores com realimentação de estados. O problema de observabilidade em Redes de Petri Temporizadas é tratado em (Loreto et al., 2010) e (Hardouin et al., 2010). Neste trabalho, pretende-se desenvolver um algoritmo de um Filtro de Partículas para estimar os estados de Sistemas a Eventos Discretos (SEDs) em um contexto ruidoso em que os estados do sistema correspondem às datas de ocorrência dos diversos tipos de eventos apresentados em função da variável interna correspondente a um contador de eventos. Os Filtros de Partículas são filtros Bayesianos sub-ótimos que realizam uma amostragem sequencial de Monte Carlo, por meio de uma densidade de importância, para construir um conjunto de partículas com pesos associados constituindo uma aproximação para a densidade de probabilidade dos estados do sistema condicionada à sequência de medidas recebidas. (Ristic et al., 2004). Uma das etapas mais importantes no projeto de um filtro de partículas é a escolha da densidade de importância. Em (Silva et al., 2011) e (Cândido et al., 2013), são desenvolvidos filtros de partículas para sistemas Max Plus que utilizam uma escolha sub-ótima para a densidade de importância. Neste trabalho, propõe-se a utilização da escolha ótima para a densidade de importância. 2 Sistemas Max Plus A Álgebra Max Plus é uma instância das estruturas algébricas conhecidas como dióides ou semianéis idempotentes. Nesta abordagem, as operações de soma e produto são definidas como sendo, respectivamente, as operações de maximização e de soma da álgebra usual. Utilizando-se a álgebra Max Plus, é possível descrever um GET por meio de equações lineares recursivas. Neste trabalho, serão considerados os Grafos de Eventos p-temporizados. Nestes grafos, a cada lugar é associado um tempo mínimo de permanência de 3413

2 uma ficha em um lugar antes que ela se torne disponível para habilitar uma transição. Na Figura 1 encontra-se um Grafo de Eventos p-temporizado. Nota-se que a temporização de alguns lugares é dada por variáveis aleatórias, representando, por exemplo, uma incerteza quanto ao tempo de transporte de uma peça de um ponto ao outro do sistema. Figura 1: Grafo de Eventos Temporizado A cada transição t j, pode-se associar uma sequência não decrescente formada pelas variáveis x j (k), k = 1, 2,...,, denominadas datadores, contendo o k ésimo instante de disparo da transição t j. Assumindo-se que as sequências de disparo associadas às transições de entrada são conhecidas, é possível determinar as sequências de disparo de todas as transições do GET. Adotando-se a convenção de que os tempos notados por [A B] representam variáveis aleatórias com distribuição uniforme entre A e B; e definindo-se a variável aleatória µ 1 [8 12], a seguinte relação pode ser verificada para a transição X 1 do grafo apresentado na Figura 1. x 1 (k) = max{µ 1 + x 1 (k 1); 7 + x 2 (k 1); u(k)} (1) Considerando agora o conjunto R { } { } e redefinindo as operações: soma = = max e produto = = +, a equação (1) pode ser reescrita como: x 1 (k) = µ 1 x 1 (k 1) 7 x 2 (k 1) u(k). (2) De modo geral, adotando-se o mesmo procedimento, todas as transições podem ser descritas por equações lineares recursivas. Na forma matricial, o grafo da Figura 1 é descrito por: x k = A x k 1 B u k z k = C x k (3) sendo as matrizes A, B e C são dadas por: [ ] [ µ1 7 e A = ; B = ; µ ] [ ] 15 ε C = ε µ 3 e µ 1, µ 2 e µ 3 são variáveis aleatórias dadas por µ 1 [8 12], µ 2 [10 16] e µ 3 [10 14]. E as constantes e =. 0 e ε =. representam, respectivamente, os elemento unitário e o elemento nulo da álgebra Max Plus. Nota-se que, utilizando a álgebra Max Plus, todas as transições do sistema foram descritas por meio de equações lineares recursivas. Um conjunto D, munido de duas operações internas soma e produto é um dióide ou semi-anel idempotente se a soma é associativa, comutativa e idempotente (i.e. a a = a) e o produto é associativo e distributivo à esquerda e à direita em relação à soma. É necessária também, a existência de um elemento nulo (i.e. ɛ D : a D, a ɛ = a) e de um elemento identidade (i.e. e D : a D, a e = e a = a). O elemento nulo deve, ainda, ser absorvente em relação ao produto (i.e. a D, a ɛ = ɛ a = ɛ) (Baccelli, 1992). Dadas estas condições, pode-se verificar que o conjunto R { } { } e as operações max e +, com ɛ = e e = 0, formam um dióide. Além disso, pode-se verificar que este é um dióide completo já que é fechado em relação a somas infinitas e o produto é distributivo em relação a somas infinitas. Este conjunto é chamado de Max-Plus e é notado por R max. 3 Filtros de Partículas Os Filtros de Partículas (FP) são algoritmos Bayesianos sub-ótimos para filtragem não linear. A maioria destes filtros é baseada no método de amostragem sequencial de Monte Carlo (SMC) (Arulampalam et al., 2002). A idéia principal é obter estimativas para a densidade p(x k z k ) a partir de um conjunto de N partículas com pesos associados {x i k 1, ωi k 1 }N, que aproximam a densidade p(x k 1 z k 1 ) em k 1 a partir de: p(x k 1 z k 1 ) = N ωk 1δ(X i k 1 X i k 1) (4) Basicamente, o processo de filtragem de partículas pode ser dividido em duas etapas: a etapa de propagação das partículas e a etapa de atualização dos pesos. Na etapa de propagação, utilizase uma densidade de importância, notada por q(x i k xi k 1, z k), para propagar cada partícula x i k 1 para x i k, ou seja, nesta etapa, o conjunto de partículas {x i k 1 }N é formando a partir de N amostras distribuídas segundo a densidade de importância. Na segunda etapa, utiliza-se a equação de atualização dos pesos para atualizar os pesos das partículas propagadas. Em (Ristic et al., 2004) demonstra-se que a equação de atualização dos pesos é dada por: ωk i ωk 1 i p(z k x i k )p(xi k xi k 1 ) q(x i k xi k 1, z, (5) k) 3414

3 Deste modo, utilizando-se o processo de filtragem de partículas, a partir do conjunto {x i k 1, ωi k 1 }N é possível obter um conjunto de partículas com pesos associados {x i k, ωi k }N, que aproximam a densidade p(x k z k ). Em (Kong et al., 1994) demonstra-se que a variância dos pesos de importância é uma função crescente de k. Deste modo, um algoritmo de filtragem de partículas composto apenas pelas etapas de propagação e atualização sofre com o fenômeno da degeneração das partículas. Este fenômeno ocorre quando, após algumas iterações, muitas partículas obtém pesos muito baixos, sendo assim, sua contribuição para a aproximação de p(x k z k ) é desprezível. O tamanho efetivo da amostra N eff = ( N ωi k) 1 pode ser usado como um indicador para o grau de degeneração do algoritmo (Kong et al., 1994; Liu and Chen, 1998). Observa-se que 1 ˆN eff N, sendo que o limite superior N é atingido quando todas as partículas têm o mesmo peso 1/N, e o limite inferior ocorre quando todas as partículas, exceto uma, têm peso nulo. Uma alternativa para se superar este fenômeno é a utilização de um processo de reamostragem no qual as partículas são clonadas com uma probabilidade proporcional ao seu peso. Deste modo, partículas com pesos baixos tendem a ser eliminadas e partículas com pesos relevantes tendem a ser clonadas (Ristic et al., 2004). A escolha da densidade de importância influencia diretamente o grau de degeneração do algoritmo e, consequentemente, o seu desempenho. A densidade de importância ótima condicionada por x i k 1 e z k é dada por: (Doucet et al., 2000) q(x k x i k 1, z k ) otm = p(x k x i k 1, z k ) = p(z k x k )p(x k x i k 1 ) p(z k x i k 1 ) (6) Substituindo-se (6) em (5), encontra-se a seguinte equação de atualização dos pesos para esta escolha da densidade de importância: ω i k ω i k 1p(z k x i k 1) (7) Segundo (Gustafsson, 2010), a otimalidade da escolha da densidade de importância definida por (6) provém do fato de que, para esta escolha, a variância dos pesos de importância ω i k condicionada por x i k 1 e z k é nula. Deste modo, qualquer outra escolha para a densidade de importância irá acrescentar variância aos pesos de importância. No filtro de partículas desenvolvido na próxima seção, utiliza-se a densidade de importância ótima para propagar as partículas. 4 Filtros de Partículas para Sistemas Max Plus Nesta seção, desenvolve-se um Filtro de Partículas, que utiliza a densidade de importância ótima dada pela equação (6), para estimar os estados de Sistemas Max Plus Lineares descritos por: x k = A x k 1 B u k (8) z k = C x k (9) Admite-se que os elementos das matrizes A e C são determinísticos ou variáveis aleatórias com distribuição uniforme independentes entre si. Admite-se ainda que em cada linha e em cada coluna da matriz C pode existir mais do que um elemento não nulo, mas não mais que um valor determinístico. Para a escolha ótima para a densidade de importância, a equação de atualização dos pesos é dada pela equação (7). Portanto, para o desenvolvimento do filtro com a densidade de importância desejada, é necessário obter um conjunto de partículas distribuídas segundo a equação (6) e, para a etapa de atualização dos pesos, é necessário calcular o valor de p(z k x i k 1 ). Uma maneira de se satisfazer a estas duas necessidades é apresentada a seguir. Neste trabalho, particiona-se o vetor de estados entre estados observados e não observados. Um estado é dito não observado se a correspondente coluna da matriz C é nula, caso contrário, o estado é dito observado. Seja esta partição definida por: x k = [ (γ o ) T (γ no ) T ] T, (10) sendo γ o é o vetor de estados diretamente observados e γ no é o vetor de estados não observados Como consequência imediata deste particionamento do vetor de estados, pode-se reescrever os termos que aparecem no numerador da equação (6) da seguinte maneira: p(x k x i k 1) = p(γ o x i k 1)p(γ no x i k 1) (11) p(z k x k ) = p(z k γ o ) (12) Este fato permite que o vetor de estados possa ser construído gerando-se os estados observados e não observados separadamente, a partir das seguintes densidades de probabilidade: γ no p(γ no x i k 1) (13) γ o p(z k γ o )p(γ o x i k 1 ) p(z k x i k 1 ) (14) Seja V (γ o ) =. p(z k γ o )p(γ o x i k 1 ). A partir da função de verossimilhança para sistemas Max Plus, definida no Apêndice A, têm-se que a função 3415

4 V (γ o ) é dada por: V (γ o ) = n1 r=1 s=1 d rs(z r γ o s ) l=1, l j N rl (z r γ o l ) n n p ij(γ o i x j ) F ik (γ o i x k ) j=1 k=1, k j (15) sendo γi o, z i e x i representam o i-ésimo elemento dos vetores γ o, z k e x k 1 respectivamente, e n n1 e q são as dimensões dos vetores x k 1, γ o e z k respectivamente. As funções d rs e N rl representam, respectivamente, a função densidade de probabilidade correspondente ao elemento c o rs da matriz C o e a função de probabilidade acumulada do elemento c o rl. Analogamente, as funções p ij e F ik representam a função densidade de probabilidade e a função de probabilidade acumulada dos elementos da matriz. As matrizes A o e C o são definidas como as submatrizes de A (e C) que contém as linhas (colunas) associadas aos estados observados. A geração dos estados não observados de cada partícula x i k, distribuídas segundo (13), pode ser feita de maneira simples e direta, a partir de (8). Deve-se notar, por outro lado, que a função V (γ o ), definida por (15), representa uma superfície em R n1 cujos elementos γ1, o γ2, o, γn1 o são dependentes entre si, o que dificulta a geração de partículas para os estados observados a partir de (14). Para superar este problema, neste trabalho, propõe-se a utilização do método de Aceitação Rejeição (Law and Kelton, 2000) para a geração dos estados observados de cada partícula. No método de Aceitação Rejeição, utiliza-se uma função Γ(x), conhecida como função majorante, para obter-se amostras distribuídas segundo uma densidade de interesse f(x). Admitese que a função Γ(x) possui as seguintes propriedades: Γ(x) f(x), x e Γ(x)dx = c. Deste modo, a função h(x) = Γ(x)/c é uma densidade de probabilidade. Além disso, é fundamental que seja mais fácil amostrar a partir a densidade h(x) do que amostrar a partir de f(x). O procedimento para o método de Aceitação Rejeição consiste em gerar um variável aleatória Y com densidade h(x) = Γ(x)/c, e uma variável aleatória U, independente de Y e com distribuição uniforme entre 0 e 1. Deste modo, o critério de aceitação é definido de tal maneira que a variável Y é aceita somente se U f(y ). Neste caso, o Γ(Y ) valor da variável Y é atribuído a uma variável X. Pode-se demonstrar que a variável aleatória X, gerada a partir deste método, possui densidade de probabilidade igual a f(x). Pode-se provar ainda, que a probabilidade de aceitação da variável Y é dada por 1/c. Deseja-se, portanto, utilizar o método de Aceitação Rejeição para gerar os estados observados, distribuídos segundo (14), de cada partícula x i k. Nota-se que, para a aplicação do método de Aceitação Rejeição, necessita-se de uma função majorante para a densidade de interesse. No Apêndice B, desenvolve-se a seguinte função majorante para (14): Γ(γ o ) = V (γo ) Ψ (16) onde Ψ = p(z k x i k 1 ), e a função V (γo ), devidamente definida no Apêndice B, possui as seguintes propriedades: V (γ o ) V (γ o ), γ o e V (γ o )dγ o = c. Além destas propriedades, a função V (γ o ) é definida de tal maneira que é possível obter amostras distribuídas segundo essa função, a menos de uma constante de normalização, de maneira independente. Deste modo, é mais fácil obter amostras a partir da função majorante quando comparado à complexidade de se obter amostras utilizando a densidade de importância ótima de uma maneira direta. Para a função majorante dada por (16), temse que, o critério de aceitação para o método de Aceitação Rejeição é definido da seguinte maneira: Aceitar Y se U V 1(Y )/Ψ V 1 (Y )/Ψ = V 1(Y ) V 1 (Y ). Mostrou-se, portanto, uma maneira de se obter partículas distribuídas segundo a densidade de importância ótima, por meio do método de aceitação rejeição. Necessita-se, ainda, de se conhecer o valor da constante de normalização Ψ para que os pesos possam ser atualizados. Como um resultado direto do método de Aceitação Rejeição, para a função majorante dada por (16), a probabilidade de aceitação é dada por: ( ) 1 Γ(γ o )dγ o = Ψ c. (17) Deste modo, uma estimativa para Ψ é dada por: Ψ = c λ Λ (18) onde Λ é um número fixo de tentativas de aceitação da V.A. Y pelo método e λ é o número de vezes em que a V.A. Y é aceita. Deste modo, λ/λ é uma estimativa para a probabilidade de aceitação do algoritmo. Sendo assim, as etapas de propagação e atualização de um filtro de partículas para sistemas Max Plus com densidade de importância ótima estão definidas. No entanto, o filtro de partículas 3416

5 definido desta maneira é sensível a um problema causado por partículas inconsistentes, que serão definidas a seguir. Definição 1 (Partículas Inconsistentes) Uma partícula x i k 1 é dita inconsistente com uma medida z k se p(z k x i k 1 ) = 0. Deste modo, uma partícula inconsistente gera uma indeterminação em: p(x k x i k 1, z k ) = p(z k x k )p(x k x i k 1 ) p(z k x i k 1 ) que é a densidade de importância ótima. Sendo assim, as partículas inconsistentes devem ser detectadas e corrigidas. Existem dois tipos de inconsistências de partículas: Tipo 1: z k (j) é maior que o máximo valor alcançável a partir da partícula x i k 1, isto é: Algoritmo 1: Filtro de Partículas com o Método de Aceitação Rejeição 1 para i = 1 : N faça 2 Corrigir inconsistências ; 3 Propagar os estados não observados: γ no p(γ no x i k 1 ) ; 4 λ 0; 5 para j = 1 : Λ faça 6 Gerar uma amostra a partir da função majorante: Y V 1(γ o )/c ; 7 Gerar um número aleatório U independente de Y, com distribuição uniforme entre 0 e 1;; 8 se U V1(Y ) V 1(Y ) então 9 γ o Y; 10 λ λ + 1; fim fim 11 Estimar p(z k x i k 1 ): Ψ c λ Λ ; 12 Atualizar os pesos: ω i k Ψωi k 1 ; fim 13 Normalizar os pesos ; 14 Se necessário, reamostrar; j {1,..., q} : z k (j) > C(j, 1 : n) x i k; Tipo 2: z k (j) é menor que o mínimo valor alcançável a partir da partícula x i k 1, isto é: j {1,..., q} : z k (j) < C(j, 1 : n) x i k. As matrizes C e C são compostas, respectivamente, pelos limitantes superiores e inferiores das variáveis aleatórias da matriz C. Os vetores x i k e x i k representam, respectivamente, os limitantes superior e inferior para a partícula x i k definidos pela medida z k e pela partícula x i k 1 (vide equações (38) e (37)). As partículas classificadas como inconsistentes, podem ser corrigidas deslocando-as de maneira que a seguinte relação seja atendida: C x i k z k C x i k (19) O Algoritmo 1, apresenta um pseudocódigo para o filtro de partículas para sistemas Max Plus com densidade de importância ótima, cujos passos principais foram desenvolvidos nesta seção. 5 Resultados Considere o sistema descritos pelas matrizes A, B e C abaixo. [ ] ε 4 5 ε ε ε ε ε B = 0 ε ε ε A = [1, 4] 1 ε ε 2 [2, 4] [2, 6] ε [ ] C = ε ε 3 [0, 6] ε [4, 6] ε ε O filtro de partículas desenvolvido na seção 4, que será referido como FP1, foi aplicado a este sistema, e os resultados foram comparados aos resultados do filtro de partículas para sistemas Max Plus, com densidade de importância sub-ótima, desenvolvido em (Cândido et al., 2013), que será referido como FP2. Nesta simulação, considera-se que os disparos das transições de entrada são processos de Poisson, deste modo os tempos inter-transições possuem distribuição exponencial. Sendo assim, as entradas u 1 e u 2 foram geradas a partir de distribuições exponenciais com médias 5 e 8 respectivamente. Na Figura 2 encontram-se as sequências de disparo reais e estimadas para o estado x 3, x 4 e x 5. Nota-se que a sequência de disparos estimada pelo filtro FP1 é mais próxima da sequência real de disparos. Pela Tabela 1, percebe-se que, para todos os estados, as estimativas do filtro FP1 apresentaram erros quadráticos médios menores que as estimativas do filtro FP2, sendo que a maior diferença ocorre para o estado x 3. Para o estado x 2, o erro máximo cometido pelo filtro FP2 foi ligeiramente maior que o erro cometido pelo filtro FP1. Tabela 1: Comparando os Filtros FP1 e FP2 Erro Quadrático Médio Erro Máximo Est. FP1 FP2 Est. FP1 FP2 x x x x x x x x Conclusões Neste trabalho, desenvolveu-se um algoritmo para filtragem de partículas em sistemas max-plus que adota a escolha ótima para a densidade de importância. As etapas principais do algoritmo desen- 3417

6 Nos parecem viáveis aplicações deste filtro em projetos de controladores de realimentação de estado nos quais a informação sobre os estados é fornecida por um mecanismo de filtragem. Agradecimentos (a) Este projeto contou com o financiamento das agências CAPES e CNPq. A Função de Verossimilhança (b) Para o cálculo da função de verossimilhança, considera-se a equação max-plus z = C x, sendo x R n 1, z R q 1 e C R q n. Supõe-se que os elementos da matriz C, notados por c ij, sejam variáveis aleatórias independentes. A densidade de probabilidade da variável z condicionada a x, ou seja, p Z (t x), onde t = [t 1 t q ] T R q 1 é determinada a seguir (Silva et al., 2011). Devido a independência dos elementos de C segue-se que: P [z t] = P [z 1 t 1 &... & z q t q] = P [z i t i ] (20) (c) Figura 2: Sequências de disparo dos estados x 2, x 3 e x 4 volvido são: 1) A etapa de propagação das partículas; 2) A etapa de atualização dos pesos; 3) A etapa de reamostragem e 4) a etapa de correção de inconsistências. A etapa de propagação das partículas é feita com o auxílio do método de aceitação rejeição para gerar amostras distribuídas segundo a densidade de importância ótima definida pela equação (6). Este fato, possibilita a utilização da densidade de importância ótima, por outro lado, aumenta o tempo de simulação já que, a cada iteração do algoritmo de filtragem, o método de aceitação rejeição deve ser rodado Λ vezes (vide equação (18)). A etapa de correção de inconsistências é de grande importância pois evita uma situação de bloqueio do algoritmo na qual é impossível realizar a etapa de propagação das partículas. Os resultados apresentados mostraram que, ao custo de um tempo de estimação consideravelmente maior, o filtro desenvolvido neste trabalho apresentou um desempenho melhor que o filtro desenvolvido em (Cândido et al., 2013), que utiliza uma escolha sub-ótima para a densidade de importância. Porém: P [z i t i ] = P [max(c ij + x j ) t i ] j = P [c i1 t i x 1 &... & c in t i x n] = F ij (t i x j ) (21) j=1 Portanto, a função de probabilidade acumulada conjunta da variável aleatória z, condicionada por x, é dada por: F Z (t x) = j=1 F ij (t i x j ) (22) Derivando-se sucessivamente em relação a t 1 t q, obtém-se a densidade de probabilidade procurada: p Z (t x) = F ij (t i x j ) t i j=1 = n (F ij (t i x j )) F ik (t i x k ) t j=1 i k=1, k j = n p ij (t i x j ) F ik (t i x k ) j=1 k=1, k j (23) (24) (25) Se o vetor z for conhecido, esta função é chamada de função de verossimilhança de x. Neste 3418

7 caso, substituindo-se t pelo valor conhecido de z, obtém-se: n V (x, z) = p ij (z i x j ) F ik (z i x k ) (26) B j=1 k=1, k j Função Majorante Neste apêndice, desenvolve-se uma função majorante para a função V (γ o )/Ψ, onde V (γ o ) é definida por (15) e Ψ é a uma constante de normalização dada por: Ψ = p(z k x i k 1). (27) Deseja-se, portanto, definir uma função majorante Γ(γ o ) que satisfaça: Γ(x k ) V (γo )) Ψ, γo (28) Para satisfazer a esta condição, a função Γ(x k ) pode ser definida como: onde V (γ o ) V (γ o ), γ o e Γ(γ o ) = V (γo ) Ψ, (29) V 1 (γ o )dγ o = c. Na equação (15), sabe-se que N rl (z r γl o) e F ik (γi o x k ) são funções de probabilidade acumulada e, portanto, 0 N rl (z r γl o) 1 e 0 F ik (γi o x k ) 1. Deste modo, a seguinte relação é válida: V (γ o ) ( n1 ) d rs(z r γs o ) r=1 s=1 n p ij (γi o x j ) (30) j=1 Definindo os conjuntos S r e J i como o conjunto dos elementos da linha r da matriz C o que são determinísticos e, analogamente, J i como o conjunto dos elementos da linha i da matriz A o que são determinísticos e sabendo-se que, em (30), d rs é uma densidade de probabilidade com distribuição uniforme entre d rs e d rs pode-se estabelecer as seguintes relações: d rs(z r γs o ) D rs = D r (31) s S r s S r p ij (γi o x j ) P ij = P i (32) j J i j J i onde: D rs = 1 d rs d rs P ij = Deste modo, tem-se que: V (γ o ) D r + 1 p ij p ij δ(z r γ o s co rs ) r=1 s Sr P i + δ(γ o i x j ao ij ) j J i (33) onde δ( ) representa a função impulso. Dada a restrição de que pode haver no máximo um elemento determinístico por linha da matriz C pode-se afirmar que a cardinalidade do conjunto S r não pode ser maior que um, ou seja, S r 1. Deste modo, o primeiro produtório do lado direito de 33 pode ser reescrito como: Dr + r=1 onde: H ri = s Sr δ(z r γ o s co rs ) = r=1 D 1 n r, se S r = 0 D r + δ(z r γ o i co ri ), se S r = 1 S r = {i} 1, se S r = 1 S r = {j} j i H ri (34) Substituindo-se (34) em (33), tem-se que: (35) V (γ o ) P i + δ(γi o x j ao ij ) H ri j J i r=1 (36) A partir das equações do sistema, do vetor de medidas z k, da partícula x i k 1 e da teoria de residuação (Cohen et al., 1989), pode-se definir limitantes superior x i k e inferior x i k para a variável aleatória x i k, e, consequentemente, para γo, fora dos quais a função V (γ o ) é nula. Sabe-se que os elementos das matrizes A e C são ou determinísticos ou variáveis aleatórias com distribuição uniforme. Deste modo, pode-se definir as matrizes A e A como sendo as matrizes formadas, respectivamente, pelos limitantes inferiores e superiores da matriz dos elementos de A. De maneira similar, pode-se definir as matrizes C e C como sendo as matrizes formadas, respectivamente, pelos limitantes inferiores e superiores dos elementos de C. Deste modo, os limitantes inferiores e superiores de x i k são dados por: x i k = A x i k 1 (37) x i k = x i max1 x i max2 (38) onde representa a operação produto da a álgebra Max Plus, é o operador de mínimo ponto a ponto, e x i max1 e x i max2 são dados por: x i max1 = A x i k 1 (39) x i max2 = C\ z k (40) onde \ representa a operação de residuação da teoria de dióides (Cohen et al., 1989). Portanto, na região definida por γ o γ o γ o, a função V (γ o ) procurada é 3419

8 dada por: V (γ o ) = P i + δ(γi o x j ao ij ) H ri j J i r=1 (41) E, fora dessa região, a função V (γ o ) é nula. Deve-se notar que esta função tem um formato geral do tipo: V (γ o ) = ρ 1 (γ o 1)ρ 2 (γ o 2) ρ n1 (γ o n1). (42) Deste modo, pode-se obter amostras para cada estado γi o de maneira independente a partir densidade h i (γi o) = ρ i(γi o)/c i, onde c i = ρi (γi o)dγo i. De um modo geral, o valor de c i pode ser calculado a partir de: ) c i = (D r P i (γ o i γ oi ) + D r J i + P i. (43) Exceto no caso especial em que os valores de γ o i e γ o são iguais. Neste caso i γo i deixa de ser uma variável aleatória tornando-se determinística. Sendo assim, o valor de c i é dado por: c i = δ(0). (44) Deve-se notar que, gerar amostras distribuídas segundo h i (γi o ) é uma tarefa relativamente simples, visto que esta função é formada por uma componente uniforme somada com impulsos. Referências Arulampalam, M., Maskell, S., Gordon, N. and Clapp, T. (2002). A tutorial on particle filters for online nonlinear/non-gaussian bayesian tracking, Signal Processing, IEEE Transactions on 50(2): Baccelli, F. (1992). Synchronization and Linearity: An Algebra for Discrete Event Systems, Wiley series in probability and mathematical statistics: Probability and mathematical statistics, Wiley. Cassandras, C. and Lafortune, S. (2007). Introduction to Discrete Event Systems, Springer- Link Engineering, Springer. Cândido, R. M. F., Santos-Mendes, R., Hardouin, L. and Maia, C. (2013). Particle filter for max-plus systems, European Control Conference, ECC Cohen, G., Gaubert, S. and Quadrat, J.-P. (1999). Max-plus algebra and system theory: Where we are and where to go now, Annual Reviews in Control, pp Cottenceau, B., Hardouin, L., Boimond, J.-L. and Ferrier, J.-L. (2001). Model reference control for timed event graphs in dioids, Automatica 37(9): Doucet, A., Godsill, S. and Andrieu, C. (2000). On sequential monte carlo sampling methods for bayesain filtering, Statistics and Computing 10. Gustafsson, F. (2010). Particle filter theory and practice with positioning applications, Aerospace and Electronic Systems Magazine, IEEE 25(7): Hardouin, L., Maia, C. A., Cottenceau, B. and Lhommeau, M. (2010). Observer design for (max,+) linear systems, IEEE Trans. on Automatic Control 55-2: Kong, A., Liu, J. S. and Wong, W. H. (1994). Sequential imputations and bayesian missing data problems, Journal of the American Statistical Association 89(425). Law, A. and Kelton, W. (2000). Simulation modeling and analysis, McGraw-Hill series in industrial engineering and management science, McGraw-Hill. Liu, J. S. and Chen, R. (1998). Sequential monte carlo methods for dynamic systems, Journal of the American Statistical Association 93: Loreto, M. D., Gaubert, S., Katz, R. D. and Loiseau, J. (2010). Duality between invariant spaces for max-plus linear discrete event systems, SIAM J. on Control and Optimaztion. Maia, C., Hardouin, L., Santos-Mendes, R. and Cottenceau, B. (2005). On the model reference control for max-plus linear systems, Decision and Control, 2005 and 2005 European Control Conference. CDC-ECC th IEEE Conference on, pp Ristic, B., Arulampalam, S. and Gordon, N. (2004). Beyond the Kalman Filter, Artech House. Silva, D. F. e., Mendes, R. S., Hardouin, L., Maia, C. A. and Cottenceau, B. (2011). Filtragem estocástica aplicada a sistemas max-plus lineares, Anais do X Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, pp Cohen, G., Moller, P., Quadrat, J.-P. and Viot, M. (1989). Algebraic tools for the performance evaluation of discrete event systems, Proceedings of the IEEE 77(1):