Plano Básico Processos Estocásticos

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1 Universidade Federal do Ceará Departamento de Engenharia Elétrica Programa de Educação Tutorial Plano Básico Processos Estocásticos Autores: Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele Orientadores: Diego de Sousa Madeira Fernando Weslley Silva de Oliveira Fortaleza, 28 de agosto de 2008

2 Índice Introdução Probabilidade Variáveis Aleatórias Processos Estocásticos Filtragem Modelo de Espaço de Estados Filtro de Kalman Filtro de Kalman Estendido Filtro de Partículas Referências Bibliográficas Agradecimentos Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 2

3 Introdução Sistemas reais Influências não inteiramente conhecidas Não se pode predizer com precisão arbitrária o estado do sistema em um instante. Imprevisibilidade Fenômeno aleatório Modelos determinísticos Modelos probabilísticos Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 3

4 Experimento aleatório Probabilidade Não se pode afirmar, a priori, o resultado que ocorrerá Condições de ensaio praticamente inalteradas Pode ocorrer resultados diferentes Após inúmeras repetições Regularidades Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 4

5 Variáveis Aleatórias

6 Variáveis Aleatórias x Uma variável aleatória é uma função real, definida em tomando valores no conjunto e satisfazendo às seguintes condições: O conjunto Ax x X é um evento X 0 P x P x x : x Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 6

7 Função Distribuição de Probabilidade A Função Distribuição de Probabilidade (FDP) de uma variável aleatória x é uma função F x definida por: F x : x X F X P A X com X A x X Notação simplificada: x F X P x X Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 7

8 Função Densidade de Probabilidade A Função Densidade de Probabilidade de uma variável aleatória x é definida como a derivada de sua função de probabilidade: d px X Fx X dx Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 8

9 Função Densidade de Probabilidade Propriedades: X x p u du F X x px X 0 px X dx 1 b, p X dx P x a b a x p X dx P x I I x Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 9

10 Função Densidade de Probabilidade Normal ou Gaussiana: Função Densidade de Probabilidade: Xm » px X e, m e 0 2 Função Distribuição de Probabilidade: X m X» Fx X px X dx 1Q, u 1 2 Q e du 2 2 Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 10

11 Funções de Variáveis Aleatórias Uma função real definida sobre os reais g : x g x y : g x Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 11

12 Definições E y Yp y Y dy Valor esperado x Média m E x Xpx X dx 2 2 E x X px X dx Valor médio quadrático Variância E x mx X mx px X dx xy, Correlação r E xy XYp X Y dxdy xy xy x y x y xy, Covariância k E x m y m X m Y m p X Y dxdy Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 12

13 Teorema do Limite Central y m Seja uma variável aleatória definida por yn xi i1 onde x1, x2,..., xn são variáveis aleatórias estatisticamente independentes, identicamente 2 distribuídas, todas com média m e variância. Então, a variável aleatória z n que caracteriza a yn myn soma normalizada z é tal que: n y n n lim n 1 px Z e n 2 2 Z 2 Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 13

14 Processos Estocásticos

15 Processos Estocásticos É o mapa definido por: x : F x t,, t 3 x( 1,t) t Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 15

16 Processos Estocásticos Classificação do Processo Estocásticos: 3 10 x(,t) 2 1 x(,t) P.E. contínuo de parâmetro contínuo P.E. contínuo de parâmetro discreto x(,t) x(,t) P.E. discreto de parâmetro contínuo P.E. discreto de parâmetro discreto Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 16

17 Processos Estocásticos Especificação de 1ª ordem: Função Densidade de Probabilidade t é conhecida para todo. P X Especificação de 2ª ordem: Função Densidade de Probabilidade conjunta px 1, t x X X 2 é conhecida para qualquer par de valores 1 t2 (t 1,t 2 ). Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 17

18 Processos Estocásticos Momentos de Processos Estocásticos Média de um Processo Estocástico ; mx t E x t t Função Autocorrelação de um processo Rx t1, t2 E x t1 x t2 ; t1, t2 Função Autocovariância, K t t E x t m t x t m t x x 1 2 x 2 Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 18

19 Processos Estocásticos Estacionaridade de ordem m Quando a função densidade de probabilidade de ordem m não varia com um deslocamento no tempo, isto é, quando: p X, X,..., X p X, X,..., X ; x m x x x m t xt xtm t1 t2 tm Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 19

20 Processos Estocásticos Estacionariedade no Sentido Estrito: Quando o processo é estacionário de ordem m para qualquer valor inteiro de m Estacionariedade no Sentido Amplo: m t ; t x x R t, t R ; t t x 1 2 x 2 1 Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 20

21 Ergodicidade Processos Estocásticos xt Um processo é ergódico na forma mais geral se, com probabilidade 1, todas as suas estatísticas podem ser determinados através de uma única função do processo. xt, Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 21

22 Processos Estocásticos Densidade Espectral de Potência: S x f j2 f Sx f Rx e d lim t X T f 2 T Processos Estocásticos Estacionários no sentido amplo: j2 f S f R e d F[ R ] x x x x, R t t R t t 1 2 x 1 2 Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 22

23 Ruído Branco Processos Estocásticos Processo estacionário no sentido amplo; Densidade Espectral de Potência é constante: x S f C De Sx f F[ Rx ] permite expressar a função autocorrelação do ruído branco: R C x Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 23

24 Filtragem

25 Filtros Dispositivo em hardware ou software Conjunto de dados contaminados com ruído Extração da informação de interesse A p l i c a d o P a r a Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 25

26 Filtros Áreas de Aplicação: Navegação Economia Processamento de sinais e de imagem Computação gráfica Comunicações Radar Sonar Sismologia Engenharia biomédica Redes neurais Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 26

27 Filtros Característica comum: Vetor de entrada Resposta desejada Calcula Erro de Estimativa Estima Conjunto de coeficientes de um filtro Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 27

28 Filtros Classes: Algoritmos de gradiente» Filtro de Weiner» Estimam o gradiente da superfície da função de custo» Vantagem: baixa complexidade Algoritmos de mínimos quadrados» Filtro de Kalman» Minimizam a soma dos quadrados dos erros parciais» Vantagens: baixa sensibilidade a mínimos locais da superfície da função de custo; maior velocidade de convergência» Desvantagem: maior exigência computacional Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 28

29 Filtragem Estocástica Não-linear Sistema dinâmico estocástico não-linear em tempo discreto: em que x 0,w k e v k são descorrelacionados Causas da não-linearidade: f ( x, u ) não linear; k1 k1 Não linearidade de x f x, u w k k1 k 1 k y h x v Erros de modelagem no processo e na medição, acarretando w k e v k não gaussianos. Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 29 k k k h x k

30 Filtragem Estocástica Não-linear Filtros para sistemas estocásticos não-lineares: Filtro de Kalman Estendido: linearização local de primeira ordem do modelo; Filtro de Segunda Ordem: linearização local de segunda ordem do modelo; Filtro de Kalman Unscendent Transform: propagação da média e matriz de covariância do modelo de processos usando a Transformada Unscendent; Filtro de Monte Carlo Seqüencial: aproximação de p(x k y 1,...,y k ); Filtro Soma de Gaussianas: aproximação de p(x k y 1,...,y k ) por uma soma de gaussianas. Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 30

31 Modelo de Espaço de Estados

32 Modelo Espaço de Estados Estado: Menor conjunto de variáveis que determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante, conhecendo-se a entrada Variáveis de Estado: Constituem o menor conjunto de variáveis capaz de determinar o estado do sistema dinâmico Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 32

33 Modelo Espaço de Estados Vetor de Estado: Constituído por variáveis de estado para descrever completamente o comportamento de um dado sistema Espaço de Estados: Espaço n-dimensional, cujos eixos coordenados são formados pelos eixos das variáveis de estado. Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 33

34 Modelo Espaço de Estados Modelo em Tempo Discreto Modelo em Tempo Contínuo Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 34

35 Modelo Espaço de Estados Equações no Espaço de Estados: x a x a x... a x b u... b u x a x a x... a x b u... b u 1, k , k 12 2, k 1 n n, k 11, k 1, k 1 m m, k 2, k , k 22 2, k 2 n n, k 21, k 1, k 2 m m, k x a x a x... a x b u... b u n, k 1 n1 1, k n2 2, k nn n, k n1, k 1, k nm m, k x1, k 1 a11 a12 a1 n x1, k b11 b12 b1 m u1, k x 2, k 1 a x 21 a22 a 2n 2, k b u 21 b22 b 2m 2, k x a a a x b b b u n, k1 n1 n2 nn n, k n1 n2 nm m, k x Ax Bu y Cx Du k 1 k k k k k x k 1 f xk ; uk ; k y f x ; u ; k k k k Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 35

36 Modelo Espaço de Estados x y u A B C Vetor de estados Vetor de saída Vetor de entrada Matriz de estados Matriz de entrada Matriz de saída D Matriz de transmissão direta Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 36

37 Filtro de Kalman

38 Filtro de Kalman - Histórico 1960: Rudolf Emil Kalman Solução recursiva para problemas de filtragem linear de dados discretos Engenharia Elétrica: Controle de sistemas Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 38

39 Filtro de Kalman Definição: Ferramenta que permite estimar variáveis em vários processos Eficiente processo recursivo de estimação, por meio de um conjunto de equações matemáticas Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 39

40 Filtro de Kalman Características: Minimiza a variância da estimação do erro Estima os parâmetros desconhecidos Baseado na distribuição normal do ruído de média nula e variância constante O sistema deve ser linear, ou linearizável, em torno de um ponto Os ruídos do sistema e das medições não são correlacionados Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 40

41 Filtro de Kalman Áreas de Aplicação: Navegação Economia Processamento de sinais e de imagem Computação gráfica Comunicação Radar Sismologia Engenharia biomédica Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 41

42 Filtro de Kalman Baseado no Modelo de Espaço de Estados (MEE) Modelo: Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 42

43 Filtro de Kalman Dois tipos de equações: Atualização do tempo Previsão Retroalimentação Atualização da medição Correção Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 43

44 Filtro de Kalman Modelo Espaço de Estados: Variáveis observáveis: Variáveis de estado: x k y k Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 44

45 Filtro de Kalman Modelo dinâmico x Ax 1 (Modelo Dinâmico) 1k T k k k n ~ N(0, Q ) k k A: Relaciona o estado atual do processo com o estado anterior Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 45

46 Filtro de Kalman Modelo de medição u Hx k k k (Modelo de Medição) 1k T k ~ N(0, R ) k H :Matriz de Correlação Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 46

47 Filtro de Kalman Fase de atualização T T 1 Kk Pk H HPk H R k (Ganho de Kalman) xˆ ˆ ˆ k x k K k uk Hx k (Atualização de Estado) (Atualização de covariância) P I K H P k k k Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 47

48 Filtro de Kalman Fase de previsão xˆ Axˆ (Previsão de Estado) k k1 T Pk APk 1 A Qk (Previsão de Covariância) Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 48

49 Filtro de Kalman Modelo dinâmico: Estima o estado atual x k Modelo de medição: Associa o estado de entrada à saída do sistema Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 49

50 Filtro de Kalman Definições: xˆk Estado anterior no instante k xˆk Estado posterior no instante k e ˆ k xk xk Erro relativo anterior e x xˆ Erro relativo posterior k k k T P k E e k e k Estimativa do erro anterior T P E e e Estimativa do erro posterior k k k Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 50

51 Filtro de Kalman Teorema: Estimador médio condicional Se os processos estocásticos x k e y k são gaussianos, então o estado estimado ótimo que minimiza o erro médio quadrático J k é o estimador médio condicional xˆ k E xk y1, y2,..., yk Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 51

52 Filtro de Kalman Teorema: Princípio da ortogonalidade Sejam os processos estocásticos x k e y k de média nula, isto é: Exk Eyk 0, k. Então:» Os processos estocásticos x k e y k são gaussianos;» Se o estado estimado ótimo xˆk é uma função linear de variáveis observáveis y1, y2,..., yk e a função custo é o erro médio quadrático, então o estado estimado ótimo é a projeção ortogonal de x k no espaço dessas variáveis observáveis Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 52

53 Filtro de Kalman Atualização do Tempo Atualização das Medições P AP A Q T k k 1 k xˆ k Axˆ k1 Avançar a covariância no tempo Avançar o estado no tempo Calcular o ganho de Kalman Atualizar a variável de estado Atualizar a matriz de covariância T T Kk Pk H HPk H R k xˆ ˆ ˆ k xk K k uk Hx k P I K H P k k k 1 Estimativas iniciais e xˆk 1 Pk 1 Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 53

54 Aplicação Estimação de Trajetórias

55 Aplicação Equações do movimento: x x 0 v v 0 v 0 t at 1 at v 0 t x 1 v 1 t a 2 t x Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 55

56 Aplicação Equação do movimento com ruídos: 1 x x v t at x 2 2 ~ v v at v ~ x x t t v 0 1 v t 2 0 ~ a 2 w0 0 Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 56

57 Diagrama de blocos: Aplicação Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 57

58 Equação de estado: Aplicação x Ax Bu w k 1 k k k Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 58

59 Equação de saída: Aplicação y Cx z k k k Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 59

60 Aplicação Estimação do estado posterior: xˆ Axˆ Bu K y Cxˆ k1 k k k k1 k Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 60

61 Aplicação Posição: Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 61

62 Aplicação Erro da posição: Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 62

63 Erro relativo da posição: Aplicação Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 63

64 Aplicação Velocidade: Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 64

65 Erro da velocidade: Aplicação Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 65

66 Filtro de Kalman Estendido

67 Filtro de Kalman Estendido Considere o modelo do processo: x f x, u w k k1 k1 k xˆk 1 em torno de, usando a expansão de em série de Taylor tem-se: f xˆ k1, uk 1 f x, u f xˆ, u x xˆ ˆ k1 k1 k1 k1 k1 k1 xk 1 Assim o modelo pode ser reescrito na forma: f xˆ k1, uk 1 x ˆ 1, 1 ˆ k f xk uk xk 1 xk 1 wk xˆ k1 f xˆ, u f xˆ, u x f xˆ, u xˆ w k1 k1 k1 k1 k1 k 1 k 1 k 1 k xˆ ˆ k1 xk 1 Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 67

68 Sendo que: Filtro de Kalman Estendido x A x u' w k k1 k1 k1 k A linearização deve ocorrer em relação ao modelo de medição: que em torno das predição de 1: f xˆ, u A u ' f x, u A xˆ k1 k1 k1 k1 k1 k1 k k1 xˆ k1 y h x v k k k xˆkk ˆ kk 1 ˆ h x h x h xˆ x x ˆ k k k 1 k k k 1 xkk 1 Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 68

69 Filtro de Kalman Estendido Portanto, tem-se: ˆ kk 1 ˆ h x y h xˆ x x v ˆ k k k1 k k k 1 k xkk 1 ˆ ˆ k k1 h xk k1 h x y h xˆ xˆ x v ˆ ˆ k k k1 k k1 k k xk k1 xk k1 y ' C x v k k k k sendo: C h xˆ y y h x C x kk 1 ˆ ˆ k ' k k k k1 k k k1 xˆ kk 1 Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 69

70 Filtro de Kalman Estendido Deste modo, temos o sistema linearizado: x A x u ' w k k 1 k 1 k1 k y' C x v k k k k Portanto, agora se pode aplicar as Equações de Kalman. Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 70

71 Filtro de Kalman Estendido Fase de Predição (entre t k-1 e t k ): xˆ E f x, u w y,..., y k k1 k1 k1 k 1 k1 f xˆ, u k1 k1 com P A P A Q T k k1 k1 k1 k1 k A k1 f xˆ, u k1 k1 xˆ k1 Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 71

72 Filtro de Kalman Estendido Fase de Correção (no instante t k ): xˆ xˆ G y ' C xˆ k k k1 k k k k k 1 xˆ G y h xˆ C xˆ C xˆ k k1 k k k k1 k k k1 k k k 1 xˆ G y h xˆ k k1 k k k k1 P I G C P k k k k k1 T T k k k k1 k k k k k I G C P I G C G R G G P C C P C R T T k k k1 k k k k1 k k 1 Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 72

73 Aplicação Motor bifásico de imã permanente síncrono

74 Aplicação Equações que definem o motor: dia R ua ua I a sin dt L L L dib R ub u I b b cos dt L L L d 3 3 B Iasin Ibcos dt 2J 2J J d dt R a resistência do rotor L indutância da armadura constante do motor J Momento de inércia B Coeficiente de atrito viscoso Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 74

75 Entrada do sistema: sin 2 a u t t u t cos2 t b Aplicação O sistema de equações é: Ia I b x Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 75

76 Aplicação Estado Espaço para o sistema: x f x u w k 1 k, k k t Rxk 1 / L xk 3 sin xk 4 / L ua / L Rxk 2 / L xk 3 cos xk 4 / L ub / L x 3 3xk 1 sin xk 4 / 2J 3 xk k 2 cos xk 4 / 2J Bxk 3 / J uak / L uak / L t 0 Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 76

77 Equação de Medição: Aplicação 1 2 y h x v k k k xk vak x k v bk Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 77

78 Após a linearização: A f ' xˆ, u k k k Aplicação ˆ ˆ ˆ k k k R L xˆ ˆ ˆ k L xk xk L R / L 0 sin x 4 / L x 3 cos x 4 / L 0 / cos 4 / 3 sin 4 / 3 sin xˆ 4 / 2 3 cos ˆ 4 / 2 / 3 ˆ 1 cos ˆ 4 ˆ 2 sin ˆ k J xk J B J xk xk xk xk 4 / 2J C h' xˆ k k Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 78

79 Aplicação Suposições V a e V b com média zero e desvio padrão de 0.1A; Entrada de controle com média zero e desvio padrão de 0.001A; Ruído devido ao torque da carga com desvio padrão de 0.05rad/s 2. Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 79

80 Aplicação Dados: R a L J 2 ; H; 0.1; 0.002; B Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 80

81 Aplicação Conclusões: Dispensa o uso de transdutores; Para um tempo maior que 2ms, há uma grande discrepância nos resultados; Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 81

82 Filtro de Partículas

83 Motivação Filtro de Kalman: Aplicado apenas para sistemas lineares; Filtro de Kalman Estendido: Sistemas não-lineares; Propagação da média e da covariância nos estágios; Desvantagem:» Esforço computacional;» Estimativa grotesca se o sistema se o ponto é distante do ponto de equilíbio. Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 83

84 Filtro de Partículas Dado a Equação de Estado: x f x w 1, k k k k Equação de Medição: y h, v k k k Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 84

85 Filtro de Partículas Calcula recursivamente p xk Yk ; Essencialmente consiste de duas fases: Fase de predição: Fase de Atualização: p x Y p x Y k1 k1 k k p x Y p x Y k k1 k k Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 85

86 Etapa de Predição: Filtro de Partículas, p x Y p x x Y dx k k1 k k1 k1 k1 Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 86

87 Filtro de Partículas Etapa de Predição: p x Y p x, x Y dx k k1 k k1 k1 k1 Fatorando: k, k1 k1 k1 k1,,. p x x Y p x Y dx p a b c p a b c p b c k1 Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 87

88 Filtro de Partículas Etapa de Predição: p x Y p x, x Y dx k k1 k k1 k1 k1, p x x Y p x Y k k1 k1 k1 k1 k1 x p x k p x Y dx k1 k1 k1 k1 dx Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 88

89 Filtro de Partículas Equação de Atualização: p y x p x Y pxk Yk p y Y k k k k1 k k1 probabilidade anterior posterior evidente p y Y p y x p x Y dx k k1 k k k k1 k Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 89

90 Filtro de Partículas Inviabilidade na resolução de integrais exigidas pelo filtro recursivo analiticamente. Representa-se a probabilidade posterior por um conjunto de pesos amostrais escolhidas aleatoriamente. Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 90

91 Filtro de Partículas - Algoritmo As equações do Sistema e de Medição são dadas por: x k1 f xk, wk y h x, v em que w k e v k são ruídos brancos independentes; k k k Dado p(x 0 ) conhecido, gerar N partículas aleatoriamente x0, i i 1,..., N. Para k=1,2,..., fazer o seguinte: Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 91

92 Filtro de Partículas - Algoritmo x f x, w k, i k1, i k1, i Determina a probabilidade relativa por: Normalizar os pesos: q p y x i k k, i q i N q i1 i q i Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 92

93 Filtro de Partículas - Algoritmo Reamostragem: gerar um conjunto de, com base de q ki i tal que a função distribuição de probabilidade de x ki, tende para pxk yk. x Determinar a estatística desejada usando o conjunto de partículas x p ki, que possuem distribuição xk yk. Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 93

94 Filtro de Partículas - Algoritmo Problema da Degeneração: Esforço computacional; Determinada pelo tamanho amostral efetivo: 1 Nef N w i Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 94 2 k i1 Na aplicação, a reamostragem será feita quando: 2 Nef N 3

95 Filtro de Partículas - Algoritmo Reamostragem: Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 95

96 Aplicação Sistema Não-linear

97 Sistema não-linear Dada a equação diferencial não-linear: 1 25x x x 8cos 1.2 k 1 w k1 k k1 2 k 2 1 x k1 y 1 x 20 v hx v w 2 k k k k k k 0,1 ; v 0,1 k Número de partículas: 100 Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 97

98 Referências Bibliográficas ALBUQUERQUE, José Paulo de Almeida; FORTES, Mauro Pedro; FINAMORE, Weiler Alves. Modelos probabilísticos em engenharia elétrica. Rio de Janeiro, ANTENEODO, Celia. Processos estocásticos. Rio de Janeiro: ARULAMPALAM, M. Sanjeev; MASKELL, Simon; GORDON, Neil; CLAPP, Tim. A tutorial on particle filters for online nonlinear/non-gaussian bayesian tracking BITENCOURT JUNIOR, Hudson; TÔRRES, Leonardo A. B.; AGUIRE, Luís Antônio. O filtro de Kalman para sistemas nãolineares. Belo Horizonte. CAMPOS, Victor A. F.; SANTANA, Douglas, D. S.; FURUKAWA, Celso M.; MARUYAMA, Newton. Filtros de partículas aplicados à estimação de trajetórias. São Paulo. CHAUDHARI, Sachin. The particle filter. CORREIA, Miguel Velhote. Filtro de Kalman Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 98

99 Referências Bibliográficas DORF, Richard C. Sistemas de Controle Moderno. LTC: Rio de Janeiro, 2001 HAYKIN, Simon. Kalman filtering and neural networks. Nova Iorque: John Wiley & Sons, JULIER, Simon J.; UHLMANN, Jeffrey K.A new extension of the Kalman filter to nonlinear systems. Oxford. MARQUES, Paulo Alexandre C. Introdução à filtragem adaptativa. Lisboa. OGATA, Katsuhiko. Discrete-time control systems. Prentice Hall: SANTANA, Douglas D. S.; CAMPOS, Victor A.; FURUKAWA, Celso M.; MARUYAMA, Newton. Estimação de trajetórias utilizando sistema de navegação inercial strapdown. São Paulo. SIMON, Dan. Kalman filtering Kalman filter using nonlinear Kalman filtering to estimate signals. WELCH, Greg; BISHOP, Gary. An introduction to the Kalman filter. ACM: Luís Paulo Carvalho dos Santos Luiz Fernando Almeida Fontenele 99

100 Agradecimentos