ENSINO DE FRAÇÕES POR MEIO DA EQUIVALÊNCIA DE ESTÍMULOS 1

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1 ENSINO DE FRAÇÕES POR MEIO DA EQUIVALÊNCIA DE ESTÍMULOS 1 Eduardo Oliveira Belinelli 2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná- UTFPR edubelinelli@hotmail.com Tiago Ponciano Antunes 3 Universidade Tecnológica Federal do Paraná- UTFPR tiago_ponciano27@hotmail.com Jader Otávio Dalto 4 Universidade Tecnológica Federal do Paraná jaderdalto@utfpr.edu.br Resumo. Este artigo apresenta os primeiros resultados de uma investigação em andamento que ter por objetivo verificar as contribuições da equivalência de estímulos para o ensino de frações. Com base nos estudos realizados por pesquisadores da área de Psicologia sobre o Ensino de Frações, utilizamos o Software Equivalência para desenvolver um procedimento de ensino de frações equivalentes, representadas na forma relativa e literal, que foi dividido em três partes: pré-teste, ensino e pós-teste. Como forma de testá-lo, este procedimento de ensino foi aplicado a uma aluna do 6º ano do Ensino Fundamental e, como resultados gerais, verificou-se que algumas relações que a aluna teve dificuldades durante o préteste foram aprendidas na etapa de ensino, o que sugere que este procedimento pode ser uma estratégia de ensino a mais para o conteúdo de frações. Palavras-chave: Educação Matemática. Frações. Equivalência de Estímulos. Introdução Historicamente, a necessidade de criar novos números, além dos números naturais, foi sugerida por problemas de natureza geométrica relacionados à demarcação de terras. 1 Trabalho desenvolvido no subprojeto PIBID Matemática. 2 Acadêmico do curso de Matemática Licenciatura e bolsista de Iniciação à Docência do subprojeto PIBID Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Cornélio Procópio. edubelinelli@hotmail.com 3 Acadêmico do curso de Matemática Licenciatura e bolsista de Iniciação à Docência do subprojeto PIBID Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Cornélio Procópio. tiago_ponciano27@hotmail.com 4 Doutor em Ensino de Ciências e Educação Matemática. Coordenador de área do subprojeto PIBID Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Cornélio Procópio. jaderdalto@utfpr.edu.br

2 Ao escolher uma unidade padrão de medida, muitas vezes não era possível obter- se um número inteiro. Por esse motivo, houve a necessidade de criar novos números que pudessem representar a medida de terras, levando o homem a introduzir as frações e considerá-las como unidades de medida (CAVALIERI, 2005). Segundo Santos, Cameschi e Hanna (2009), a relação entre as partes marcadas e o total de partes em que um inteiro foi dividido é denominada fração. Um dos significados de fração é o quociente. Neste sentido, entende-se que todo número fracionário consiste no quociente de dois números naturais, cujo divisor é diferente de zero, sendo representado por a/b, b 0 (VERNEQUE, 2011). Razão, proporção e fração são expressões simplificadas de números racionais que envolvem grandezas de mesma natureza ou de natureza diferentes. Duas frações diferentes que designam um mesmo número fracionário são denominadas frações equivalentes. Problemas ligados à representação de frações e de proporção têm mostrado que vários alunos apresentam dificuldades na compreensão desses conceitos, uma vez que utilizam métodos próprios na resolução dos problemas. (SANTOS; CAMESCHI; HANNA, 2009). De acordo com Verneque (2011), para que o conceito de fração seja formado, é necessário que, dada uma fração, sejam identificadas frações equivalentes a ela. Este processo pode se dar por meio de um modelo denominado Equivalência de Estímulos (SIDMAN, 1971, 1994; SIDMAN; TAILBY, 1982). A par destas considerações, este trabalho traz resultados iniciais de uma investigação que tem por objetivo verificar as contribuições da Equivalência de Estímulos para o ensino e a aprendizagem de frações. Para isso, apresentamos alguns aspectos da fundamentação teórica, nossos procedimentos de investigação, que inclui o procedimento de ensino, e os resultados da aplicação deste procedimento a uma aluna do Ensino Fundamental. Fundamentação Teórica Várias sugestões são encontradas na literatura para o ensino de frações, como o uso de materiais manipuláveis, materiais pictóricos, e a própria aplicação de regras ensinadas pelas escolas na resolução de problemas. (SANTOS; CAMESCHI; HANNA, 2009). No entanto, o Ensino de Frações vem sendo caracterizado como uma das dificuldades enfrentada por professores de matemática em sala de aula, uma vez que:

3 A aprendizagem dos números racionais supõe rupturas com ideias construídas acerca dos números naturais e por ser uma linguagem que representa números ou relações entre números, o Ensino de frações demanda tempo e uma abordagem adequada sobre o significado das frações (BRASIL, 1997, p. 80). Conforme os trabalhos de Santos, Cameschi e Hanna (2009) e Verneque (2011), o ensino de relações condicionais segundo o paradigma de equivalência de estímulos fornece um procedimento que tem se mostrado bastante eficiente para o Ensino de Frações Equivalentes. Equivalência de estímulos pode ser definida, como o processo de controle de estímulos que é caracterizado pela contingência de três termos: estímulos discriminativos, resposta e consequência (DALTO, 2012, p. 36). Nesse processo, é preciso que se tenha, no mínimo, dois estímulos condicionais considerados estímulos-modelo e dois estímulos discriminativos diferentes, denominados estímulos de comparação. Ao serem ensinadas relações arbitrárias entre os estímulos, os estímulos envolvidos podem fazer parte de uma classe de estímulos equivalentes (SIDMAN, 1994). Por exemplo, suponhamos que estejam sendo ensinado aos alunos as frações 1/2 e 1/3. Para isso, por meio da Equivalência de Estímulos, é preciso que cada uma das classes de equivalência possa ser formada por, no mínimo, três elementos. Assim, consideremos que a classe 1/2 seja formada pela própria fração 1/2, por uma figura que represente 1/2 e pela fração equivalente 2/4. Da mesma forma, para a fração 1/3, os elementos que formam esta classe seriam a própria fração 1/3, uma figura que representa a fração 1/3 e a fração equivalente 2/6. São ensinadas ao aluno as seguintes relações entre esses elementos: a. Na presença da figura de 1/2, o aluno deve escolher a fração 1/2 e, na presença da figura de 1/2, o aluno deve escolher a fração equivalente 2/4; b. Na presença da figura de 1/3, o aluno deve escolher a fração 1/3 e, na presença da figura de 1/3, o aluno deve escolher a fração equivalente 2/6; Assim após a aprendizagem destas relações condicionais, os alunos podem responder a outras relações que não foram diretamente ensinadas: a. Reflexiva: na presença da fração 1/2, o aluno escolhe a fração 1/2; na presença da fração 1/3, o aluno escolhe a fração 1/3; na presença da figura de 1/2, o aluno escolhe a figura de 1/2, e assim procede para todos os elementos que representam a fração 1/2; b. Simétrica: na presença da fração 1/3, o aluno escolhe a figura de 1/3; na presença da fração equivalente 2/6, o aluno escolhe a figura que representa 1/3; na presença da

4 fração 1/2, o aluno escolhe a figura de 1/2; na presença da fração equivalente 2/4, o aluno escolhe a figura que representa 1/2. c. Transitiva: na presença da fração 1/2 o aluno escolhe a fração equivalente 2/4; na presença da fração 1/3, o aluno escolhe a fração equivalente 2/6; na presença da fração equivalente 2/4 o aluno escolhe a fração 1/2; na presença da fração equivalente 2/6, o aluno escolhe a fração 1/3. Alguns estudos, desenvolvidos por psicólogos em laboratório, têm utilizado estes procedimentos para o ensino de frações, dentre eles o de Santos, Cameschi e Hanna (2009) e o de Verneque (2011). Neste último estudo, verificou-se que o ensino de relações condicionais entre estímulos fracionários numéricos e pictóricos possibilitaria a formação do conceito de frações equivalentes. Inicialmente, os estudantes foram ensinados a escolher figuras que correspondessem a razões fracionárias apresentadas como modelo e, em seguida, a escolher valores decimais condicionalmente às figuras correspondentes em tarefas apresentadas no computador. O ensino foi programado da seguinte maneira: Avaliação Inicial, Tarefa de Pareamento ao Modelo, Blocos de Ensino, Testes, Testes de generalização e Avaliação Final. A Avaliação Inicial foi aplicada em folhas de papel com duas provas. Cada prova foi composta por 30 itens, 20 referentes a frações expressas na forma relativa e 10 na forma de frações literais. Cada questão apresentou quatro alternativas de respostas aos participantes. A situação de teste da avaliação inicial foi repetida no final do estudo e denominada avaliação final. Dez sujeitos com menores escores na avaliação inicial formaram aleatoriamente dois grupos experimentais. Após a avaliação inicial, os sujeitos receberam treinos para aprender a tarefa de pareamento ao modelo. Nessas seções, foram usados estímulos não fracionários, por exemplo, a palavra escrito UM como modelo e as figuras de um, dois, três bolinhas como comparação. O Ensino consistiu na apresentação de dois blocos com nove tentativas cada. Em seguida, foram ensinadas diretamente relações arbitrárias entre três frações expressas de forma pictórica e numérica. Cada bloco de ensino foi procedido pela apresentação de nove tentativas de teste das relações a serem ensinadas, para as quais não houve nenhum tipo de consequência para acertos ou erros. Os participantes que obtiveram 100% de acertos no préteste não foram submetidos à etapa de ensino. Após cada bloco de ensino, o participante passava por uma nova avaliação das relações aprendidas, denominada pós-teste. Após os participantes atingirem os critérios de aprendizagem, foram realizados testes de simetria e transitividade/equivalência. Nesses testes havia consequências para as respostas corretas ou

5 incorretas. Nos Testes de Generalização, foram realizados quatro testes com frações não ensinadas. Cada Teste de Generalização consistiu na aplicação de um bloco com 12 tentativas, das quais sete foram para avaliar relações entre frações não utilizadas nos blocos de ensino e as outras cinco nos testes iniciais. O desempenho dos grupos na avaliação inicial foi semelhante e mostrou que crianças resolvem problemas com frações expressas na forma literal, mas não resolvem problemas com frações expressas de forma relativa. Considerando que os alunos já tenham visto o conteúdo de frações nas escolas, os estudos indicam que o ensino na forma tradicional (reprodutivo), não é suficiente para assegurar a compreensão do conceito de equivalência de frações representadas por números diferentes. A partir dessas considerações, elaboramos uma proposta de Ensino para o conteúdo de frações e frações equivalentes, por meio do modelo da Equivalência de Estímulos, como uma das atividades que desenvolvemos no subprojeto PIBID Matemática - UTFPR-CP. A seguir, apresentamos os procedimentos metodológicos e análise preliminar dos primeiros resultados obtidos. Procedimentos Metodológicos Esta pesquisa, de caráter experimental, está sendo desenvolvida com alunos do 6º ano do Ensino Fundamental de uma escola pública estadual do norte do Estado do Paraná. Para o estabelecimento de relações entre frações equivalentes, está sendo utilizado o Software Equivalência. Este software permite que sejam programadas relações condicionais entre figuras em geral, de modo a possibilitar a formação de classes de equivalência. O procedimento de ensino por meio do software foi dividido em três fases: fase de teste, fase de ensino e fase de pós-teste. Nas fases de teste, são apresentadas aos alunos 48 relações entre frações, frações equivalentes e suas respectivas representações pictóricas. As mesmas relações apresentadas no pré-teste são apresentadas no pós-teste. A fase de ensino é composta de blocos de ensino das relações condicionais e blocos de teste das relações emergentes. O software apresenta, no centro da tela, uma fração ou representação pictórica de uma fração e nos cantos quatro outros elementos de tipo diferente do que estava no centro. Ao escolher um dos elementos apresentados no canto da tela, os alunos são informados, por meio de uma mensagem na tela do computador, se sua escolha está certa ou errada. Caso o aluno

6 consiga atingir a porcentagem de acerto de 90% das relações de cada bloco, eles passam para o bloco seguinte. Se a porcentagem de acertos não for atingida, o aluno retorna ao Bloco Ensino. Esse procedimento é feito até que o aluno consiga atingir a porcentagem de acerto mínima. O Quadro 1 mostra as frações e representações pictóricas que compõem cada uma das oito classes de equivalência utilizadas no procedimento de ensino. A Tabela 1 mostra as relações entre frações e figuras de cada um dos blocos. Quadro 1 Frações e representações pictóricas utilizadas no procedimento de ensino Classe A B C D Classe F E H G Fonte: Dos autores

7 Quadro 2 Relações entre frações e figuras dos blocos do procedimento de ensino. Fase Bloco Relações Tentativas Pré-teste Pré-teste A-B, A-C, A-D, B-C, B-D, C-D B-A, C-A, D-A, C-B, D-B, D-C 48 1 Ensino E-F 16 2 Teste de Ensino E-F 4 3 Ensino E-G 16 4 Teste de Ensino E-G 4 Ensino 5 Ensino E-H 16 6 Teste de Ensino E-H 4 7 Teste Simetria F-E, G-E, H-E 12 8 Teste de F-G, G-F, F-H, H-F, Transitividade G-H, H-G 24 Pós-teste Fonte: Dos autores. Pós-teste A-B, A-C, A-D, B-C, B-D, C-D B-A, C-A, D-A, C-B, D-B, D-C. Após cada bloco de ensino há um teste de ensino. Neste bloco, as relações estabelecidas nos blocos de ensino são apresentadas ao aluno, que precisa atingir o critério mínimo de 90% de acertos. Como, nesses blocos, existem apenas quatro tentativas, os alunos devem acertar todas as tentativas para atingir o critério e passar para o bloco seguinte. Caso o critério não seja atingido nesse bloco, o procedimento retornará ao Bloco de Ensino. Atingido o critério, o aluno é submetido ao Bloco Teste de Simetria. Ao atingir o critério de acertos nesse bloco, o aluno será submetido ao Teste de Transitividade. Caso o critério de acertos não seja atingido em qualquer um desses Blocos Teste, o procedimento retorna ao Bloco de Ensino. Após a verificação da formação das classes de equivalência, que se dá quando o bloco 8 é completado, o aluno é submetido a um Bloco Pós-teste com o software. Nesse bloco, os elementos que foram apresentados no Pré-teste com o software vão ser novamente apresentados. 48 Resultados e análise preliminares Os resultados que apresentamos a seguir referem- se ao desempenho de uma aluna do 6º ano do Ensino Fundamental. Na Tabela 2, apresentamos o número e a porcentagem de acertos da aluna em todas as relações do pré-teste. O tempo de duração desta fase foi de trinta e nove minutos. Consideramos que o melhor desempenho da aluna aconteceu nas relações em que ela atingiu a porcentagem maior ou igual a 75%; (Relações AB, BA, AD, CD e BD.) e o

8 pior desempenho nas relações em que a aluna atingiu porcentagem igual ou menor que 50%; (Relações AC, CA, DA, BC, CB, DC e BD.) Tabela 1 - Porcentagem e número de acertos da aluna no Pré-teste. Fase Relação Relação Número de acertos Porcentagem AB Fração1/ Figura 1 3 de 4 75% BA Figura1/ Fração 1 4 de 4 100% AC Fração 1/ Fração 2 2 de 4 50% CA Fração 2/ Fração 1 0 de 4 0 Pré - AD Fração 1/ Figura 2 3 de 4 75% Teste DA Figura 2/ Fração 1 2 de 4 50% Fonte: Dos autores BC Figura 1/ Fração 2 1 de 4 25% CB Fração 2/ Figura 1 0 de 4 0 CD Fração 2/ Figura 2 4 de 4 100% DC Figura 2/ Fração 2 2 de 4 50% BD Figura 1/ Figura 2 3 de 4 75% DB Figura 2/ Figura 1 1 de 4 25% Nas relações AB e BA, a aluna não teve dificuldade em relacionar a Fração 1 com sua Figura 1 correspondente e em seguida, relacionar a Figura 1 com sua Fração 1 equivalente, verificando a relação de simetria nessas duas relações. Nas relações em que a aluna teve a porcentagem de acertos menor ou igual a 50%, a maior dificuldade foi relacionar a fração com sua equivalente (Relação AC) e a fração equivalente com a fração irredutível (Relação CA). O mesmo aconteceu para relacionar a Figura 1 com a Fração 2 (Relação BC) e depois, a Fração 2 com a Figura 1 (Relação CB). Nas relações DA, CB, DC e DB, a aluna teria que relacionar a Figura 2 com a Fração 1 (DA), a Fração 2 com a Figura 1 (CB), a Figura 2 com a Fração 2 (DC) e a Figura 2 com a Figura 1 (DB). A média da porcentagem de acertos foi de 31,25%, ou seja, a aluna não teve um bom desempenho nessas relações. Anteriormente a aluna soube relacionar a Figura 1 com a Figura 2 (Relação BD - 75% de acertos), mas não soube relacionar a Figura 2 com a Figura 1 (Relação DB - 25% de acertos). Nas relações AC, CA, BC e CB, a média da porcentagem de acertos da aluna foi de 18,75%. É um índice baixo considerando que as frações e figuras usadas no Pré-teste eram

9 frações e figuras de fácil representação. De forma geral, a aluna acertou 27 tentativas de 49, o que corresponde a 53% de acertos. Após aplicarmos o Pré-teste, a aluna foi submetida ao Ensino das relações EF, EG, EH, Teste de Simetria e DA, definida anteriormente, representado na tabela 2. Para passar por todos os blocos desta fase, a aluna levou 38 minutos. Tabela 2 - Porcentagem e número de acertos da aluna nos blocos da fase de ensino. Bloco Relação Nº Acertos Porcentagem 1 - Ensino EF Figura 1/ Fração 1 16 de % 2 Teste ens. EF Figura 1/ Fração 1 4 de 4 100% 3 - Ensino EG Figura 1/ Figura 2 15 de 16 88,2% 4 - Teste ens. EG Figura 1/ Figura 2 4 de 4 100% 5 - Ensino EH Figura 1/ Fração 2 16 de % 6 Teste ens. EH Figura 1/ Fração 2 4 de 4 100% 7 - Teste Simetria FE-GH-HE 12 de % 8 Teste Transitividade Misto 25 de % Fonte: Dos autores Durante todo o Ensino das relações EF, EG e EH, a resposta da aluna tinha consequências reforçadoras, ou seja, o software informava se a resposta dada estava correta ou não, de modo que em cada acerto aparecia a expressão você acertou e para o erro aparecia você errou. A aluna obteve 100% de acertos na maioria das relações. No entanto, no Bloco de relações 3, a aluna teve 88,2% de acertos, acertou 15 tentativas de 17, errando ao relacionar a tentativa E 4 com G 2 e E 2 com G 1. Por consequência, ao terminar o bloco 3, a aluna retornou ao mesmo bloco para refazê-lo. O mesmo ocorreu para o bloco 4 teste ensino EG. A aluna acertou 3 tentativas de 4, por não atingir 100% de acerto neste bloco, ela retornou para o bloco 3. A aluna levou apenas quatro minutos para concluir a fase de pós- teste. A Tabela 3 apresenta a porcentagem e o numero de acertos da aluna no pós- teste.

10 Tabela 3- Porcentagem e número de acertos da aluna no Pós-teste. Condição Treino Relação Número de acertos Porcentagem AB Figura 1/ Fração1 4 de 4 100% BA Fração1/ Figura 1 4 de 4 100% AC Figura 1/ Figura 2 3 de 4 75% CA Figura 2/ Figura 1 2 de 4 50% AD Figura 1/ Fração 2 4 de 4 100% Pós- Teste DA Fração 2/ Figura 1 4 de 4 100% Fonte: Dos autores BC Fração 1/ Figura 2 3 de 4 75% CB Figura 2/ Figura 1 3 de 4 75% CD Figura 2/ Fração 2 4 de 4 100% DC Fração 2/ Figura 2 4 de 4 100% BD Fração 1/ Fração 2 2 de 4 50% DB Fração 2/ Fração 1 3 de 4 75% A porcentagem de acertos da aluna no Pó-teste foi de 81,6%. Houve um aumento de 28,6% de acertos em comparação com as relações estabelecidas no Pré-teste. A Figura 1 representa essa comparação em cada uma das relações analisadas. Figura 1 Desempenho da aluna no pré e pós-teste em cada uma das relações destes testes. 120% 100% 80% 60% 40% Pré-Teste Pós-Teste 20% 0% AB BA AC CA AD DA BC CB CD DC BD DB Fonte: Dos autores

11 Nas relações em que a aluna atingiu 75% ou mais no Pré-teste, manteve esse porcentagem. No entanto, na relação BD, no Pré-teste a aluna atingiu 75% de acerto, no Pósteste essa porcentagem caiu em 25%, uma consideração que podemos fazer é que a aluna tenha atingido esses 75% no Pré-teste por tentativa e erro. Por outro lado, na relação CA e CB, houve um aumento significativo em relação à porcentagem do número de acertos do Préteste em relação ao Pós-teste nessas duas relações. A maior parte de acertos aconteceu nas relações AB, BA, AD, DA e CD. Após o ensino a aluna teve 100% de acertos nessas relações, mostrando que, de forma geral, a aluna soube responder corretamente à tentativa quando a fração estava na forma absoluta (1/6) para a fração na forma relativa (1/6) nas relações AB e BA, e também, quando a fração estava na forma absoluta, (1/6) para a fração na forma relativa equivalente (2/12), assim como para a fração na forma relativa equivalente, (2/12) para a fração na forma absoluta (1/6) - relações AD e DA. Algumas Considerações De acordo com os resultados apresentados neste trabalho, verificamos que o procedimento de ensino por nós desenvolvido se mostrou eficaz para o ensino de frações equivalentes, uma vez que, de modo geral, houve uma melhora de desempenho da aluna no pós-teste em relação ao pré-teste. Este resultado corrobora alguns resultados apresentados na literatura a respeito da efetividade do modelo da equivalência de estímulos como estratégia de ensino (p. ex. DALTO, 2012, SANTOS; CAMESCHI; HANNA, 2009, VERNEQUE, 2011) Esta primeira experiência da aplicação do procedimento desenvolvido mostrou que, apesar da necessidade de algumas pequenas modificações, este procedimento de ensino pode ser uma estratégia para o ensino de frações que os professores podem incorporar à sua prática, complementando as estratégias de ensino por ele já utilizadas. Agradecimentos Agradecemos à Capes pelo apoio concedido ao projeto sem o qual este trabalho não poderia ter sido realizado.

12 Referências BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, CAVALIERI, Leandro. O ensino das frações. Disponível em: Acesso em 17/06/15 DALTO, Jader Otavio. Ensino e aprendizagem de função do primeiro grau por meio do modelo da equivalência de estímulos f. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) Universidade Estadual de Londrina, Londrina, SANTOS, Antonio Carlos Godinho dos; CAMESHI, Carlos Eduardo; HANNA, Elenice S. Ensino de frações baseado no paradigma de equivalência de estímulos. Revista Brasileira de Análise do Comportamento, v. 5, n. 1, p , SIDMAN, M. Equivalence Relations and Behavior: a research story. Boston, MA: Authors Cooperative Publishers, Reading and auditory-visual equivalences. Journal of Speech and Hearing Research, 14, p. 5-13, 1971 SIDMAN, M.; TAILBY, W. Conditional discrimination vs. matching to sample: an expansion of the testing paradigm. Journal of the Experimental Analysis of Behavior, 37, p. 5-22, 1982 VERNEQUE, Luciana. Aprendizagem de Frações Equivalentes: Efeito do Ensino de Discriminações Condicionais Minimizando o Erro e da Possibilidade de Consulta a Dicas p.. Tese (Programa de Pós-Graduação em Ciências do Comportamento) - Instituto de Psicologia Departamento de Processos Psicológicos Básicos, Universidade de Brasília.. Brasília, 2011.