LAÍS BÁSSAME RODRIGUES. Reticulados Hiperbólicos em Espaços Quocientes Mergulhados Isometricamente em Espaços Euclidianos

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1 LAÍS BÁSSAME RODRIGUES Reticulados Hiperbólicos em Espaços Quocientes Mergulhados Isometricamente em Espaços Euclidianos UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA 00 i

2 ii LAÍS BÁSSAME RODRIGUES Reticulados Hiperbólicos em Espaços Quocientes Mergulhados Isometricamente em Espaços Euclidianos Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia, como parte dos requisitos para obtenção do título de MESTRE EM MATEMÁTICA. Área de Concentração: Matemática. Linha de Pesquisa: Geometria Diferencial. Orientador: Prof. Dr. Edson Agustini. UBERLÂNDIA - MG 00

3 iii Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Sistema de Bibliotecas da UFU MG, Brasil R696h Rodrigues, Laís Bássame, 984- Reticulados hiperbólicos em espaços quocientes mergulhados isometricamente em espaços euclidianos [manuscrito] / Laís Bássame Rodrigues f. il. Orientador: Edson Agustini. Dissertação mestrado Universidade Federal de Uberlândia, Programa de Pós-Graduação em Matemática. Inclui bibliografia.. Geometria diferencial - Teses.. Teoria dos reticulados - Teses. I. Agustini, Edson. II. Universidade Federal de Uberlândia. Programa de Pós-Graduação em Matemática. III. Título. CDU: 54.7

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5 v Dedicatória Dedico esta dissertação à minha família. Aos meus pais e irmãos por me apoiarem desde os primeiros passos. Por estarem comigo em todas as batalhas e me incentivarem a enfrentar novos desafios. Dedico também ao Professor Doutor Edson Agustini, pelo apoio e confiança, tão decisivos na minha vida acadêmica, durante os 3 anos e meio de orientação incluindo a graduação e o mestrado. Aqueles que passam por nós, não vão sós, não nos deixam sós. Deixam um pouco de si, levam um pouco de nós. O Pequeno Príncipe

6 vi Agradecimentos Agradeço primeiramente a Deus. Agradeço à CAPES pela bolsa e pelo projeto REUNI que me possibilitou aprender um pouco sobre como educar. Agradeço à Universidade Federal de Uberlândia e à Faculdade de Matemática pelo Programa de Pós-graduação em Matemática inaugurado em 007. Agradeço ainda aos professores deste instituto pelo esforço e dedicação para que o Mestrado fosse possível.

7 vii RODRIGUES, L. B. Reticulados Hiperbólicos em Espaços Quocientes Mergulhados Isometricamente em Espaços Euclidianos p. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia-MG. Resumo Nesta dissertação apresentamos um estudo de transformações de Möbius e grupos fuchsianos que servirá de base para o desenvolvimento da teoria de determinados espaços quocientes. Nesses espaços quociente tomaremos reticulados hiperbólicos geometricamente uniformes que serão mergulhados isometricamente na esfera S 8 R 9. Palavras-chave: Reticulado, Espaço Quociente, Código Geometricamente Uniforme, Grupo Fuchsiano, Transformação de Möbius, Mergulho Isométrico.

8 viii RODRIGUES, L. B. Hyperbolic Lattices in Quotient Spaces isometrically Embed in Euclidean Spaces p. M. Sc. Dissertation, Federal University of Uberlândia, Uberlândia-MG. Abstract In this work we present a study of Möbius transformations and fuchsian groups as the basis for the development of the theory of some specific quotient spaces. In these quotient spaces we consider geometrically uniform hyperbolic lattices that will be isometrically embedded in the sphere S 8 R 9. Key-words: Lattice, Quotient Space, Geometrically Uniform Code, Fuchsian Group, Möbius Transformation, Isometric Embeding.

9 Sumário Resumo Abstract vii viii Introdução Alguns Tópicos de Geometria Hiperbólica. A Métrica Hiperbólica no Modelo H do Semi-plano Grupos Fuchsianos no Modelo do Semi-plano Geodésicas no Modelo do Semi-plano Expressões para a Distância Hiperbólica em H A Métrica Hiperbólica no Modelo do Disco Geodésicas no Modelo do Disco Expressões para a Distância Hiperbólica em U Grupos Fuchsianos no Modelo do Disco Isometrias Hiperbólicas em H 8. Alguns Teoremas Importantes Classificação de Isometrias Reticulados em Espaços Quociente 4 3. Buscando Reticulados Geometricamente Uniformes Círculos Isométricos Encontrando Geradores do Grupo Fuchsiano F Encontrando Geradores do Grupo Fuchsiano F Mergulhos Isométricos 54 5 Conclusões e Perspectivas Futuras 59 Referências Bibliográficas 60 Apêndice 6 ix

10 Introdução Nosso objetivo neste trabalho foi estudar a teoria básica de transformações de Möbius e grupos fuchsianos Capítulos e necessária para a geração de reticulados hiperbólicos geometricamente uniformes em espaços quociente Capítulo 3. Os reticulados que estamos interessados podem ser obtidos como órbitas de um conjunto finito de pontos por grupos fuchsianos. Além disso, consideramos mergulhos isométricos de alguns reticulados interessantes, sob o ponto de vista da Teoria da Informação e Codificação, na esfera S 8 Capítulo 4. A distância euclidiana mínima entre pontos de um reticulado mergulhado foi calculada nos exemplos que abordamos. Tais cálculos tem por finalidade a comparação e a eficiência em uma possível utilização prática dos reticulados, uma vez que, em Teoria da Codificação, esse é um dos parâmetros de desempenho de códigos. Nos dois primeiros capítulos, onde abordamos a teoria básica de transformações de Möbius e grupos fuchsianos, algumas das demonstrações que apresentamos são de nossa autoria, como por exemplo os três teoremas de caracterização das isometrias elípticas, hiperbólicas e parabólicas que constam do Capítulo. Esses capítulos foram inspirados principalmente nas referências [] e [0]. O capítulo sobre espaços quocientes não foi baseado em algum artigo ou livro. Basicamente o que fizemos foi a formalização de espaços quocientes específicos com o objetivo de tornar geometricamente uniforme alguns reticulados interessantes do ponto de vista de modulação de sinais. Dois exemplos importantes se destacam: o reticulado 6 QAM que não é geometricamente uniforme foi quocientado para torná-lo geometricamente uniforme e um reticulado de 6 pontos genuinamente hiperbólico sem análogos euclidianos, que chamamos de 6 HQAM que também foi quocientado por grupo fuchsiano para tornar-se geometricamente uniforme. O capítulo sobre os mergulhos isométricos foi um dos mais trabalhosos em nossa dissertação. Embora tenhamos utilizado na íntegra os resultados teóricos sobre mergulhos isométricos da dissertação [6], a parte computacional dos mergulhos é muito árdua. Em especial, desenvolvemos uma interpolação polinomial interessante para cálculo de algumas integrais utilizando o software Maple. Com isso foi possível fazer várias comparações, inclusive de distância mínima. Os reticulados que foram utilizados no domínio dos mergulhos foram os do capítulo anterior. Por fim, colocamos em um apêndice os comandos utilizados no software supracitado no que diz respeito aos mergulhos isométricos do plano hiperbólico no S 8. Laís Bássame Rodrigues Uberlândia-MG, 6 de fevereiro de 00.

11 Capítulo Alguns Tópicos de Geometria Hiperbólica Neste capítulo apresentamos as principais definições e resultados concernentes aos modelos euclidianos de Poincaré para a Geometria Hiperbólica que serão utilizados nos capítulos posteriores. Procuramos utilizar a referência [0] com alterações em algumas demonstrações de proposições nas quais procuramos imprimir maiores detalhamentos que cremos facilitar uma primeira leitura do assunto. Nossa contribuição está destacada no texto.. A Métrica Hiperbólica no Modelo H do Semi-plano Seja C o plano complexo. Usamos as notações usuais para as partes reais e imaginárias de z x + iy C, Re z x e Im z y. Além disso, se z x + iy e w x + iy então d z, w z w x x + y y.enfatizamos que como existe uma bijeção entre C e R então poderemos escrever z x, y para significar que z x + iy. O principal objeto desse estudo é a parte superior do plano do plano complexo, H {z C : Im z > 0}. Munido da métrica riemanniana ds dx + dy,. y também chamada de métrica hiperbólica do semi-plano. Temos, assim, o modelo do semiplano de Poincaré ou modelo de Lobachewsky para a Geometria Hiperbólica. Veremos na Seção.3 que os formatos das geodésicas isto é, curvas de menor comprimento ligando dois pontos com respeito a esta métrica são dados por semi-retas ou semi-círculos ortogonais ao eixo real R {z C : Im z 0}. Com isso, quaisquer dois pontos em H podem ser ligados por uma única geodésica e a distância entre estes dois pontos é medida ao longo desta geodésica. Contudo, como podemos observar na Figura, dada a geodésica l e um ponto z, há mais de uma geodésica passando por z e paralela a l, isto é, sem intersecção com l. Isto significa que a geometria em H é não-euclidiana, pois o quinto postulado dos Elementos de Euclides não se aplica aqui. H l Figura : O Quinto Postulado de Euclides não vale na Geometria Hiperbólica. z

12 3 Seja I [0, ] e γ : I H um caminho diferenciável por partes, γ t z t x t + iy t H com t I. Então, o comprimento hiperbólico h γ é dado por dx dt + dy dz dt dt h γ dt y t y t dt. 0 A distância hiperbólica ρ z, w entre dois pontos z, w H é definida pela fórmula ρ z, w inf {h γ}, onde o ínfimo é tomado sobre todo γ ligando os pontos z, w H. Observação: ρ é, de fato, uma métrica em H. dx dt + dy dt Como 0, então ρ é não negativa. yt ρ é simétrica. De fato: seja γ uma curva qualquer ligando z a w com γ 0 z e γ w. Logo, dx dt + dy dt h γ dt e ρ z, w inf {h γ}. yt 0 Consideremos agora γ λ x λ + iy λ tal que γ : [0, ] H λ γ λ x λ + iy λ. Temos que γ liga w a z com γ 0 γ w e γ γ 0 z. O comprimento de γ é dado por h γ 0 dx dλ + dy dλ yλ dλ e ρ w, z inf {hγ}. Mostremos que ρ z, w ρ w, z. Fazendo λ t temos dλ dλ dt. Logo, dt dx λ dλ + dy λ dx dλ dλ λ dλ + dy λ dλ dλ 0 y λ 0 y λ dx λ dλ + dy λ dλ dλ 0 y λ 0 dx t dt + dy t dt dt y t dx dt t + dy t dt dt. y t Portanto, 0 h γ h γ inf {h γ} inf {h γ} ρ w, z ρ z, w. 3 Além disso, ρ satisfaz a desigualdade triangular ρ z, w ρ z, ε + ρ ε, w. De fato: sejam A {h γ γ : [0, ] H é caminho diferenciável por partes ligando z a w} B {h γ γ : [0, ] H é caminho diferenciável por partes ligando z a w passando por ε} Naturalmente, B A, significando que inf A inf B, ou seja, ρ z, w inf B. Consideremos agora 0 γ : [0, ] H λ γ λ e γ : [0, ] H λ γ λ

13 4 tais que γ 0 z, γ ε, γ 0 ε e γ w. Fazendo γ : [0, ] H λ { γ t γ t, se 0 t γ t γ t, se < t Agora, h γ h γ + h γ pois h γ d dt Re γ t + d dt Im γ t dt Imγt d dt Re γ t + d dt Im γ t Imγ t d dt Re γ t + d dt Im γ t Imγ t d dλ Re γ λ + d h γ + h γ. Assim, ρ z, w inf B dλ Im γ λ Imγ λ inf {h γ} d dt + dt + dλ + 0 dt Re γ t + d dt Im γ t dt Imγ t d dt Re γ t + d dt Im γ t dt Imγ t d dα Re γ α + d dα Im γ α Imγ α inf {h γ + h γ } inf {h γ } + inf {h γ } ; [], Cap.3 ρ z, ε + ρ ε, w.. Grupos Fuchsianos no Modelo do Semi-plano Consideremos [ ] o grupo linear especial, denotado por SL, R, composto pelas matrizes reais a b M com det M ad bc, no qual a operação considerada é a multiplicação c d usual de matrizes. O conjunto de transformações fracionais lineares ou transformações de Möbius { } f : H C z az+b tal que a, b, c, d R e ad bc,. cz+d munido da operação de composição usual forma um grupo de tal modo que a composição de duas transformações corresponde ao produto de duas matrizes de SL, R e a inversa corresponde à matriz inversa. De fato: se f z a z+b c z+d e f z a z+b c z+d, então f f z [ ] [ ] a a +b c z+a b +b d a b c a +d c z+c b +d d, que corresponde ao produto a b.. Também f c d c d z [ ] dz b a b, que corresponde à matriz. Além disso, a operação de composição é fechada cz+a c d no conjunto., pois det AB det A det B. Quanto às propriedades de grupo: A composição é associativa: sejam f z a z+b c z+d, f z a z+b c z+d, f 3 z a 3z+b 3 c 3 z+d 3. Mostrar que f f f 3 f f f 3 equivale a mostrar que ] ] ] [ ] [ ] a b a3 b 3 [ ] [ a b a b c d c d [ a3 b. 3 c 3 d 3 [ a b c d. c d c 3 d 3, dα

14 5 o que sabemos ser verdade por propriedade de matrizes. f z z é o elemento neutro da composição, pois dada f z a z+b c z+d [ ] [ ] [ ] a b 0 a b. c d 0 c d e temos [ ] [ ] [ ] 0 a b. a b. 0 c d c d 3 Todo elemento do conjunto de Möbius é simetrizável: seja f z [ ] [ ] az+b cz+d a b d b A matriz, possui inversa e portanto, f c d c a z dz b. cz+a com ad bc. Cada transformação f da [ forma ]. pode ser representada por um par de matrizes ±M a b SL, R pois se a matriz com ad bc representa a transformação f z c d az+b, cz+d [ ] a b então a matriz também representa f, pois f z c d az b az+b e a d cz d cz+d b c. Então, o grupo de todas as transformações., chamado PSL, R, é isomorfo ao grupo quociente SL, R / {± Id } onde Id é a matriz identidade de ordem e escreveremos PSL, R SL, R / {± Id }. Para estabelecer o isomorfismo citado acima, vamos trabalhar um pouco mais com o grupo quociente SL, R / {± Id }. A relação de equivalência considerada em SL, R é tal que M N M N ou M N. Temos que é, de fato, uma relação de equivalência: é reflexiva pois M M, M SL, R ; é simétrica pois se M N, então M N ou M N N M ou N M N M. é transitiva pois se M N e N P, então M N ou M N e N P ou N P M P ou M P e M P ou M P M P ou M P M P. Dessa forma, SL, R / {± Id } { M : M SL, R } {{M, M} : M SL, R}, sendo M {M, M} as classes de equivalência que determina em SL, R. A operação que torna SL, R / {± Id } um grupo é tal que M.N MN. observemos que esta operação está bem definida pois MN M N e M N M N MN. Considerando em PSL, R a operação de composição de aplicações, mostremos que φ : PSL, R SL, R / {± Id } {[ ] [ ]} [ ] a b a b a b f z az+b φ f, cz+d c d c d c d é isomorfismo: se f z a z+b c z+d e g z a z+b c z+d, então [ ] [ ] [ ] [ ] a b φ f g a b. a b a b. φ f.φ g. c d c d c d c d

15 6 Além disso, φ é injetora, pois se φ f φ g [ ] [ ] a b a b c d c d {[ ] [ ]} {[ ] [ ]} a b a b, a b a b, c d c d c d c d [ ] [ ] [ ] [ ] a b a b a b ou a b c d c d c d c d f z a z + b c z + d a z + b c z + d g z ou f z a z + b c z + d a z b c z d a z + b c z + d g z, z f g. [ ] a b E, φ é sobrejetora, pois dada SL, R / {± Id c d }, então f z az + b cz + d az b PSL, R cz d [ ] a b com φ f. Portanto, φ é um isomorfismo. c d az+b cz+d Notemos que PSL, R contém todas as transformações fracionais lineares da forma f z com a, b, c, d R e ad cb > 0. ] De fato, f z az+b cz+d a z+ b c z+ d e det [ a c b d. Em particular, PSL, R contém todas as transformações ] da forma f z az + b com a, b R e a > 0, pois f está associada [ a a a b à matriz 0 a SL, R. O mesmo ocorre com f z que está associada à matriz z [ ] 0 SL, R. 0 [ ] a b Seja M c d Definimos sua norma por SL, R matriz associada a f z az+b cz+d f M a + b + c + d. PSL, R. Seja N SL, R associada a g PSL, R. Com a distância induzida d f, g M N, PSL, R é um grupo topológico e a topologia é a induzida pela norma definida acima é a topologia do R 4. Um subgrupo G de PSL, R é discreto quando a topologia induzida de PSL, R sobre G é discreta. Portanto, um subgrupo discreto de isometrias de H corresponde a um conjunto discreto de pontos em R 4. Um subgrupo discreto de PSL, R é chamado de fuchsiano. Os grupos fuchsianos desempenham papel importante nos capítulos seguintes, pois serão eles que irão gerar os reticulados de pontos hiperbólicos que iremos considerar.

16 7 Teorema. PSL, R age em H por homeomorfismos, ou seja, para cada T PSL, R, com ad bc é um homeomorfismo. Demonstração: T : H H z az+b cz+d Mostremos, primeiramente, que as transformações. com domínio em H tem imagem em H. Seja T PSL, R e w T z az+b cz+d. Então, w Logo, fazendo z x + iy, temos Im w w w i az + b cz + d cz + d ac z + adz + bcz + bd. cz + d ac x + y + adx + adyi + bcx bcyi + bd ac x + y + adx adyi + bcx + bcyi bd adyi bcyi i cz + d Logo, Im z cz + d. Im w i cz + d Im z cz + d..3 Daí, se Im z > 0, então Im w > 0, o que significa T H {T z : z H} H. Mostremos agora que T é injetora: seja z, z H, com T z T z. Temos, az + b cz + d az + b cz + d acz z + adz + bcz + bd acz z + adz + bcz + bd ad bc z ad bc z z z. Mostremos que T é sobrejetora: para todo elemento z H temos que existe dz b cz+a a dz b T dz b cz + a cz+a + b + d c dz b cz+a adz ab bcz + ba cdz cb cdz + ad z, ou seja, H T H. Como T H H, temos H T H. Mostremos que T é contínua: se w T z, então Im w H tal que Imz cz+d e Re w Rez cz+d e, como cz + d 0, z H pois ou c 0 ou d 0, então Im w e Re w são funções reais contínuas. Daí, T é contínua. De forma análoga é contínua. Portanto, T é um homeomorfismo. T : H H z dz b cz+a Uma transformação de H em H é chamada uma isometria quando preserva a distância hiperbólica ρ em H. O conjunto de todas as isometrias de H será denotado por Isom H.

17 8 Teorema. Se f Isom H, então f é uma bijeção e f Isom H. Demonstração: Quanto à injeção: se f Isom H e f z f z, então ρ f z, f z ρ z, z 0, o que implica em z z, ou seja, f é injetora. Quanto à sobrejeção: f Isom H leva geodésica em geodésica sobrejetivamente. De fato, seja γ uma geodésica em H e z, z γ distintos. Sejam z f z e z f z. Como z z temos z z e, portanto, existe uma única geodésica γ passando por z e z. Seja z γ distinto de z e z. Logo, dentre os três pontos: z, z ou z, um está entre os outros dois. Digamos que seja z os outros dois casos são tratados de modo análogo. Tomemos z f z. Assim, ρ z, z + ρ z, z ρ z, z e, como f é isometria, ρ z, z + ρ z, z ρ z, z, o que significa que z está em γ, ou seja, a restrição de f a γ está em γ. Chamemos f restrita a γ de f γ : γ γ e mostremos que f γ é uma sobrejeção. De fato, seja w γ e consideremos d ρ w, z. Se d 0, então w z e temos a existência de z γ tal que f z w. Se d 0, então temos dois pontos distintos em γ à distância d de z. Chamemos esses pontos de w e w e suas imagens w f w e w f w. Assim, d ρ w, z ρ w, z ρ w, z ρ w, z, ou seja, w e w são distintos em γ pois f é injetora e estão à distância d de z. Como w também está à distância d de z e são apenas dois os pontos com essa propriedade em γ, concluímos que w w ou w w, ou seja, que f w w ou f w w, como queríamos. f Isom H transforma geodésicas perpendiculares em geodésicas perpendiculares. De fato, sejam γ σ geodésicas perpendiculares sendo {a} γ σ. Tomemos b γ e c σ distintos de a e b γ distinto de b de tal modo que ρ b, a ρ a, b. Desta forma, o triângulo de vértices c, b e b é isósceles e σ é a geodésica mediatriz do segmento de extremos b e b. Tomemos as imagens a f a, b f b, b f b, γ f γ e σ f σ. Como f é isometria e leva geodésicas em geodésicas, temos que o triângulo de vértices c, b e b é isósceles e σ é a geodésica mediatriz do segmento de extremos b e b. Como γ é a única geodésica que passa por b e b temos γ σ, como queríamos. 3 Seja d H. Mostremos que existe d H tal que f d d. Para tanto, tomemos γ H uma geodésica e γ f γ. Se d γ temos a existência de d γ tal que f d d pois f leva geodésica em geodésica. Se d γ, seja σ H geodésica perpendicular a γ passando por d e chamemos de e a intersecção de γ com σ. Como e γ temos a existência de e γ tal que f e e. Tomemos a geodésica σ perpendicular a γ passando por e. Como f transforma geodésicas perpendiculares em geodésicas perpendiculares temos, necessariamente que f σ σ. Logo, existe d σ tal que f d d, como queríamos. Logo, f é uma bijeção e, portanto, tem inversa f em H que é isometria. De fato: se z, w H, temos ρ f z, f w ρ f f z, f f w ρ z, w. Com a operação de composição, Isom H forma um grupo. De fato, a operação de composição é fechada em Isom H pois se f e g são isometrias, então f g é uma isometria: sejam z, w H, então ρ f g z, f g w ρ g z, g w ρ z, w. Quanto às propriedades de grupo, seguem trivialmente, bastando lembrar que o elemento neutro é a identidade f z z. Abaixo segue o principal motivo de nosso interesse por transformações de Möbius.

18 9 Teorema.3 PSL, R Isom H. Demonstração: Pelo Teorema. toda transformação em PSL, R é um homeomorfismo de H em H. Temos que mostrar que, se γ : I H é um caminho diferenciável por partes em H, então para qualquer T PSL, R temos h T γ h γ. Suponha que, γ : I H é dado por z t x t, y t e w t T z t azt+b u t + iv t. Temos czt+d dw dz Por.3 Im w v Imz cz+d y h T γ como queríamos. 0 a cz + d az + b c cz + d, e daí, dw cz+d dz dw dt v t dt dw dz dz dt v t dt 0 cz+d 0 vt yt cz + d.4 v y. Então, dz dt dt v t.3 Geodésicas no Modelo do Semi-plano 0 dz dt dt h γ, y t Nosso objetivo nesta seção é fazer um estudo acerca do formato euclidiano das geodésicas no modelo do Semi-plano. Para tanto, começamos com um lema bastante interessante do ponto de vista geométrico: é sempre possível mapear uma geodésica em uma semi-reta euclidiana por meio de uma transformação de Möbius. Lema. Sejam l H um semi-círculo ou semi-reta ortogonal ao eixo real R e α R um ponto que seria de intersecção de l com R. Então, existe β R tal que a transformação T z + β PSL, R mapeia l no semi-eixo imaginário de H. z α Demonstração: Primeiramente, T z + β +βz αβ z α z α βz+ αβ z α [ β αβ e det α ] βα αβ. Logo, T PSL, R. Se l é uma semi-reta ortogonal ao eixo real R, em α R, então tomemos β 0 na expressão acima. Assim, uma parametrização para l será dada por z z y α + iy, y > 0, e daí, T z z α iy i y i lim T z lim z α y 0 + y + lim T z z + lim y + i y 0 ; a parte real da imagem é nula Logo, T leva l no semi-eixo imaginário de H. Seja, agora, l um semi-círculo ortogonal ao eixo real R, conforme Figura. H -r -r Figura : Semi-círculo em H.

19 0 Consideremos T z z α r. Daí, sendo que a justificativa em é dada por Agora, lim T z lim z α x α eixo imaginário. y 0 Re T z Re x α + iy r x α + iy Re x α + y r α x x α + y r α x r α x r ; 0, z α r r x + r α + y r x + rx αx αr + α + y 0 yi rα x e x α + y r α x. lim T z z α r lim x α r y 0 yi rα x 0. Portanto, T leva l no Teorema.4 As geodésicas em H são os semi-círculos e as semi-retas ortogonais ao eixo real R, bordo de H. Demonstração: Seja z e z dois pontos em H. Suponha primeiro que z ia e z ib b > a. Se γ : I H é um caminho diferenciável por partes unindo ia e ib, com γ t x t, y t, então h γ 0 dx dt + dy dt dt y t 0 dy dt y t dt sendo que a justificativa em é dada por 0 dy b dt dy dt y t a y ln b ln a ln b a dy t y t y.dt dy e y 0 a, y b. dt b Mas ln é o comprimento hiperbólico do segmento do eixo imaginário unindo ia e ib. De a fato, parametrizando esse segmento, temos y t t a + tb, t [0, ], e x t 0 h γ 0 dy dt dt y t 0 b a b t a + tb dt ds a s ln b, a daí, o segmento geodésico unindo ia e ib é o segmento euclidiano do eixo imaginário que os une. Para z e z arbitrários em H seja l o único semi-círcunferência ou semi-reta ortogonal ao eixo real R passando por esses pontos. Pelo Lema., existe uma transformação T em PSL, R

20 que leva l no eixo imaginário. Como, pelo Teorema.3, T é isometria, então h l h T l e daí, o segmento geodésico unindo z a z é o segmento de l que os une. Observações: Da geometria euclidiana, dados dois pontos em H, existe um único semi-círculo ou semi-reta em H, ortogonal ao bordo R de H, passando pelos pontos dados. Como era de se esperar, esse fato e o teorema acima estão de acordo com um axioma da Geometria Hiperbólica: por dois pontos quaisquer em H passa uma única geodésica. A demonstração do teorema acima indica, como era de se esperar, que a distância entre dois pontos z e w em H é o comprimento hiperbólico do único segmento geodésico que os liga..4 Expressões para a Distância Hiperbólica em H É útil em muitos casos estender o plano complexo C com a introdução do símbolo para representar o infinito; C C { }. A razão-cruzada de pontos distintos z, z, z 3, z 4 C é definida pela fórmula z, z ; z 3, z 4 z z z 3 z 4 z z 3 z 4 z. Além disso, também é útil considerar a compactificação de H, ou seja, H H R { }. Os pontos de R { } são chamados de pontos ideiais de H, enquanto que os pontos de H são chamados de pontos ordinários. Também é útil estender as transformações de Möbius T z az+b a H definindo: cz+d T, no caso c 0; T a, no caso c 0; c T d c, no caso c 0; T z az+b nos demais pontos de R. cz+d Teorema.5 Sejam z, w H z w e seja a geodésica unindo z e w que tem pontos finais z, w em R { } escolhidos de forma que z fique entre z e w Figura 4. Então, ρ z, w ln w, z ; z, w. H w* w H z z w z* z* Figura 4: Razão Cruzada. w* Demonstração: Pelo Lema., existe T PSL, R que leva a geodésica que passa por z e w no eixo imaginário. Aplicando as transformações T : H H ξ kξ e T : H H ξ ξ com k > 0, se necessário, podemos assumir que existe T PSL, R tal que T z 0, T w e T z i, pois como T ξ y i com ξ rα x x + iy, se T z 0, T w

21 e z x + iy. Então, tomando k rα x y teríamos T z T T z kt z r α x y Caso T z + e T w 0, fazendo w x + iy então Agora, T T z T T w z x + iy e, portanto, T z T T T z T T lim Tw 0 T w lim y rα x 0 r α x iy i i yi r α x i. r α x i lim +, pois α x. y y rα x 0 lim 0. Daí, se T Tz + Tz ξ k.ξ, basta tomarmos k yi r α x r α x i T y y rα x onde y r α x i r α x y A partir daí, como assumimos que z está entre z e w então existe um s > tal que T w si e, pelo resultado na demonstração do Teorema.4, ρ z, w ρ Tz, Tw ln si i ln s. Mas, si, 0; i, si 0i s. 0 i si az+b cz+d Logo, Mostremos que z, z ; z 3, z 4 T z, T z ; T z 3, T z 4. Seja T PSL, R, T z com ad bc. Observemos primeiro que az + b cw + d aw + b cz + d T z T w c zw + cdz + cdw + d aczw + adz + bcw + bd acwz adw bcz bd c zw + cdz + cdw + d ad z w bc z w c zw + cdz + cdw + d z w c zw + cdz + cdw + d i. T z, T z ; T z 3, T z 4 T z T z T z 3 T z 4 T z T z 3 T z 4 T z z z c z z +cdz +z +d z 3 z 4 c z 3 z 4 +cdz 3 +z 4 +d z z 3 z 4 z c z z 3 +cdz +z 3 +d c z 4 z +cdz 4 +z +d z z z 3 z 4 z z 3 z 4 z. z z z 3 z 4 z z 3 z 4 z z, z ; z 3, z 4. c z z 3 + cd z + z 3 + d c z 4 z + cd z 4 + z + d c z z + cd z + z + d c z 3 z 4 + cd z 3 + z 4 + d Então, s si, 0; i, T w, T z ; T z, T w w, z ; z, w. Portanto, ρ z, w ln w, z ; z, w como queríamos demonstrar. Abaixo seguem fórmulas explícitas para a distância hiperbólica em H.

22 3 Teorema.6 Para z, w H: i ρ z, w ln z w + z w z w z w ii cosh ρ z, w + iii senh ρ z, w ; z w ; Imz Imw z w Imz Imw ; z w iv cosh ρ z, w ; Imz Imw v tanh ρ z, w z w. z w Demonstração: Observemos primeiro que z w z w Re z Re w Mostremos agora que as 5 afirmações são equivalentes: + Im z + Im w Re z Re w Im z Im w 4 Im z Im w.5 i ii. Temos que: cosh ρ z, w e ρz,w + e ρz,w z w + z w z w z w + z w z w z w + z w z w + z w + z w z w z w z w z w + z w z w z w z w + 4 Im z Im w + z w 4 Im z Im w + z w Im z Im w devido a.5 ii i. Temos que: z w + Im z Im w cosh ρ z, w e ρz,w + eρz,w + e ρz,w e ρz,w e ρz,w + e ρz,w z w + Im z Im w e ρz,w z w + e ρz,w + 0. Im z Im w

23 Fazendo e ρz,w x temos a equação do segundo grau x discriminante é dado por 4 + z w x + 0, cujo Imz Imw 4 z w Im z Im w + z w 4 Im z Im w z w. z w z w 4 + z w 4 Im z Im w devido a.5 z w. z w Im z Im w. Assim, + z w ± z w. z w Imz Imw Imz Imw x z w z w. z w + ± Im z Im w Im z Im w z w z w + z w ± z w z w Im z Im w devido a.5 z w z w + z w ± z w z w z w z w devido a.5 z w ± z w z w + z w z w z w. Como ρ 0 então escolheremos o sinal positivo pois, caso contrário, teríamos z w z w z w z w z w + z w z w z w z w + z w z w z w ρ z, w ln ln 0. z w + z w Conclusão: x e ρz,w z w + z w z w z w ρ z, w ln z w + z w. z w z w

24 5 i iii. Temos que: sen ρ z, w e ρz,w e ρz,w z w + z w z w z w z w z w z w + z w z w + z w z w + z w z w z w iii iv. Temos que z w 4 Im z Im w devido a.5 z w Im z Im w. cosh ρ z, w senh ρ z, w + cosh ρ z, w z w + 4 Im z Im w 4 Im z Im w z w + z w z w 4 Im z Im w z w 4 Im z Im w z w Im z Im w. devido a.5 iv v: tanh ρ z, w senh ρ z, w cosh ρ z, w z w Imz Imw z w Imz Imw z w z w. v i. Temos que: z w z w tanh ρ z, w senh ρ z, w cosh ρ z, w e ρz,w e ρz,w e ρz,w + e ρz,w e ρz,w e ρz,w e ρz,w + eρz,w e ρz,w +. e ρz,w

25 6 Daí, e ρz,w. z w z w e ρz,w. z w + z w e ρz,w. z w z w z w + z w e ρz,w z w + z w z w z w z w + z w ρ z, w ln. z w z w Agora que provamos a equivalência dos cinco itens mostremos que o item v se verifica. De fato, pelo Teorema.3, tanh ρ z, w tanh ρ T z, T w, T PSL, R. Observemos que z w também é invariante para qualquer T PSL, R pois, se T z az+b com z w cz+d ad bc, T z T w T z T w az+b aw+b cz+d cw+d az+b aw+b cz+d cw+d az+bcw+d aw+bcz+d cz+dcw+d az+bcw+d aw+bcz+d cz+dcw+d aczw+adz+bcw+bd aczw awd bcz bd cz+dcw+d aczw+adz+bcw+bd aczw awd bcz bd cz+dcw+d adz w bcz w cz+dcw+d adz w bcz w cz+dcw+d z w cz + d. cw + d z w cz + d. cw + d z w z w, já que, se w x + iy, cw + d c x iy + d cx + d cyi cx + d + cy cx + d + cyi c x + iy + d cw + d. Seja l a única geodésica passando por z e w e seja T 0 a transformação que leva l no eixo imaginário como no Lema.. Falta apenas verificar então que v se verifica quando z ia,

26 7 w ib a < b. Nós vimos que ρ ia, ib ln b a, logo b a tanh ρ ia, ib e ia ib ia + ib e ln b a b e ln a e ln + e ln a b b a a + b b + a. b a b a a b b + a a b b a b + a.5 A Métrica Hiperbólica no Modelo do Disco Iremos agora descrever um modelo de geometria hiperbólica no disco unitário: U {z C : z < } A aplicação f z zi + z + i é uma aplicação bijetora de H em U. De fato: Primeiramente mostremos que f H U. Seja z x + iy H, como.6 y > 0 y < y y < y y + y + x < + y + y + x y + x < f z <. + y + x Agora, U f H, pois dado z x + iy U z <, então existe w iz z+i iz f w f z + i Quanto à existência do w acima temos iz z+i i + + i iz z+i i x + iy w x + iy + i ix y i y. x x + i y x i y z i z+i z+i iz iz z+i z z. ix + x y + xy + iy y + x + i y x + y ix + x xy + xy + iy iy + x + i yi x + y ix + x iy + x + i x + y i x + y + x + i x + y i x y + x x + y, H tal que

27 8 ou seja, Im z x y x + y > 0 já que z < implica em x y > 0. Além disso, f é injetora pois dados z, w H, se f z f w zi + z + i wi + w + i Ou seja, f é uma bijeção de H em U. zwi z + w + i zwi + z w + i z w. Dessa forma, ρ dado por ρ z, w ρ f z, f w, onde z, w U, é uma métrica em U. A relação a seguir será útil para o desenvolvimento que faremos adiante. Mostremos que z H e f z zi+ temos z+i De fato: fazendo z x + iy temos f z f z iz+i zi+ z+i zi+ z+i f z f z Im z..7. z + i zi + 4 x + y + y x 4 4y Im z. Consideremos uma geodésica parametrizada em H por γ t z t x t, y t, t R. Logo, Im z t y t e z t x t, y t z t x t + y t γ t x t + y t.8 Seja δ t f γ t f z t, onde f z zi+ Figura 5. z+i H z f U z 0 w 0 f z 0 f z f w 0 f R t Figura 5: Correlação entre modelos. Logo, δ t f γ t γ t δ t f z t γ t..9 Ou seja, δ t dδ dfz dt dz dz, o que significa dt δ t df z dz dz dt..0

28 9 Assim, supondo γ 0 z 0 e γ w 0 temos ρ f z 0, f w 0 ρ z 0, w 0 x t + y t dt y t γ t dt; devido à.8 Im z t γ f z t t dt; devido à.7 f z t γ t. f γ t f z t dt δ t dt; devido à.9 f z t dfz dz dz dt dt ; devido à.0 f z df z f z. Fazendo f z ξ temos: ρ f z 0, f w 0 dξ dξ, ou seja, é o elemento de 0 ξ ξ comprimento em U ds em U. Portanto, ds dξ métrica Riemanniana. ξ Com isso, f é uma isometria de H, ρ em U, ρ. O círculo Σ {z C : z } é chamado de círculo principal de U, e é a fronteira euclidiana de U. Os pontos de Σ são chamados de pontos ideais de U os pontos de U são chamados de pontos ordinários..6 Geodésicas no Modelo do Disco Nesta seção faremos uso da isometria.6 entre modelos para deduzir o formato euclidiano das geodésicas em U. Teorema.7 No modelo hiperbólico U as geodésicas são segmentos de círculos ortogonais ao círculo principal Σ ou seus diâmetros. Demonstração: Mostraremos que as geodésicas do modelo H, parametrizadas por ϕ y a + iy, com y > 0, ou γ θ r cos θ a + ir sen θ, com θ 0, π, são levadas pela isometria f z zi+ z+i em círculos ortogonais ao círculo principal Σ ou seus diâmetros lembremos que isometria leva geodésica em geodésica. Consideremos, primeiramente a geodésica em H parametrizada por ϕ y a, y a+iy, com y > 0. Observemos que f ϕ y a + iy i + a + iy + i a + i y + a a + y +.

29 0 -i Se a 0, então Re f ϕ y 0 e pois Im f ϕ y y < Im f ϕ y <, y + y > 0 y < y < y + y + y y < y < y + y + y + < y < y + < y y + <. Logo, f ϕ y é o diâmetro de Σ que está sob o eixo imaginário. -ii Mostremos que se a 0, f ϕ y é a parte do círculo de centro, e raio a em U. Para isso basta observar que d f ϕ y, a + i a a + y + a + a4 + a y + + y + 4 a a + y + a + y + y + a a + y + a que está a a + y + a. Observemos também que a a + + a a + i lim y + f ϕ y i e lim f ϕ y a y a a + a + 4a + a 4 a + a + a4 + a + a + i, sendo que a + a +, ou seja, i e a + i a são os pontos de intersecção entre f ϕ y e Σ.Falta mostrar apenas a + a + que f ϕ y é perpendicular à Σ. Para isso, mostraremos que os vetores com origem em + i a e extremidade nas intersecções dos dois círculos são ortogonais ao raio de Σ. De fato: o vetor r, 0,, 0 é ortogonal ao vetor v a a 0, e, analogamente, o vetor r, a, a a, a é ortogonal ao vetor v a a + a + aa + a +, a. Quanto a este a + a + último: a a a +, a, a + a +, a a a3 + a3 a 0. a + R a a + Logo, f ϕ y é um círculo ortogonal à Σ.

30 Consideremos a geodésica γ θ r cos θ a, r sen θ r cos θ a + ir sen θ, com θ 0, π. Mostremos que f γ θ, onde f z zi+, é parte de um círculo ortogonal ao z+i círculo principal Σ em U, ou é um diâmetro de Σ. Vejamos, primeiramente, que r cos θ a + ir sen θ i + f γ θ r cos θ a + ir sen θ + i r cos θ a + i r + a ar cos θ r cos θ a + r sen θ + r cos θ a r cos θ a + r sen θ +, r + a ar cos θ. r cos θ a + r sen θ + -i Suponhamos que r a 0, ou seja, r a, daí r cos θ a f γ θ r cos θ a + r sen θ +, r + a ar cos θ r cos θ a + r sen θ + r cos θ a r cos θ a + r sen θ +, a r cos θ a r cos θ a + r sen θ + Logo, nesse caso, f γ θ é da forma f γ θ α θ, aα θ, ou seja, é um diâmetro de Σ. Observemos que lim f γ θ θ 0 + lim f γ θ θ π r a r a + e r + a r + a + r a, a r a + r + a, a, r + a + ou seja, lim θ 0 + f γ θ lim θ π f γ θ. -ii Suponhamos que r a 0 e mostremos que f γ θ é a parte do círculo de centro a, r a + r e raio que está em U. Para tanto, basta observar que r a r a r a

31 a d f γ θ, r a, r a + r a r cos θ a r cos θ a + r sen θ + a r a + r cos θ a + r sen θ + r a r cos θ a + r sen θ + r a r a r cos θ a + r sen θ + r cos θ a + r sen θ + r a r a r a + 4a + r a + r a 4a + r a + r a r a 4r r a. + r + a ar cos θ r cos θ a + r sen θ + r a + r a 4a + r a + r cos θ a + r sen θ + r cos θ a + r sen θ + r a Por fim, lim f γ θ r a θ i r a r a + e lim r+a f γ θ + i r+a r a + r+a + r+a + θ π lim f γ θ 4 r a + r a θ 0 + ; r a + lim f γ θ 4 r + a + r + a 4 r + a + θ π ; r + a + são tais que ou seja, tendem a Σ. Falta mostrar que o arco de círculo f γ θ é ortogonal à Σ, mas, para isso basta observar que r a r a r a r a, + r a, + r a + a r a, r a r a + r a + r a 0 R e r + a r + a r + a r + a, + r + a, + r + a + a r a, r + a r + a + r a + r a 0, R ou seja, o vetor com origem em a + r a + r a r a vetor com origem em 0 e extremo em lim a + r a + r a r a em lim θ π i e extremo em lim θ π θ 0 i e extremo em lim f γ θ é ortogonal ao θ 0 + f γ θ. Analogamente o vetor com origem em + f γ θ é ortogonal ao vetor com origem em 0 e extremo f γ θ. Portanto, f γ θ é parte de um círculo ortogonal à Σ em U.

32 3.7 Expressões para a Distância Hiperbólica em U. Vejamos as fórmulas para distância hiperbólica em U análogas às do Teorema.6. Teorema.8 Para z, w U i ρ z, w ln zw + z w zw z w ii cosh ρ z, w iii senh ρ z, w iv tanh ρ z, w z w zw ; zw z w ; z w z w ;. Demonstração: Consideremos a isometria f z zi+ z+i que com z H. Então, f w iw+, w U. Observemos w i f z f w iz z i iw w i iz w i iw z i z i w i w i izw z z + i + iwz + w z i w i w z z i w i w z z i. w i e f z f w iz z i + iw w + i iz w + i + iw z i z i w + i w + i izw + z z + i iwz w z i w + i i wz z i w + i wz z i. w i.

33 4 Além disso, se z x + iy, então Im f z zi + Im z i i x + iy + Im x + iy i ix + y + x i y Im x + y ix x y + yx iy y + x i y Im x + y x + y + x + y z z i. Logo, mostremos que, se vale i, então ρ f z, f w ρ z, w zw + z w ln zw z w ln z i. w i. f z f w + z i. w i. f z f w z i. w i. f z f w z i. w i. f z f w f z f w + f z f w ln f z f, w f z f w ou seja, vale o item i do Teorema.6 para f z e f w. Logo, por esse mesmo teorema, cosh ρ z, w cosh ρ f z, f w f z f w 4 Im f z Im f w wz z i. w i 4 z w z i w i wz z w,

34 5 ou seja, i ii. Agora, se cosh ρ z, w wz z. w, então cosh ρ f z, f w cosh ρ z, w wz z w f z f w. z i. w i 4 Im f z. z i Im f w. w i f z f w 4 Im f z Im f w, logo, vale o item iv do Teorema.6 para f z e f w, e daí, vale o item iii do mesmo teorema, portanto, senh ρ z, w senh ρ f z, f w f z f w 4 Im f z Im f w z w z i. w i 4. z z i. w w i z w z. w, ou seja, ii iii. Além disso, se senh ρ z, w z w z w, então senh ρ f z, f w senh ρ z, w z w z w f z f w. z i. w i 4 Im f z. z i Im f w. w i f z f w 4 Im f z Im f w,

35 6 ou seja, vale o item iii do Teorema.6 para f z e f w, e daí, vale o item v do mesmo teorema, portanto, tanh ρ z, w tanh ρ f z, f w f z f w f z f w w z z i. w i wz z i. w i w z wz, ou seja, iii iv. Mais ainda, se tanh ρ z, w w z, então wz tanh ρ f z, f w tanh ρ z, w w z wz w z z i. w i wz z i. w i f z f w f z f w, ou seja, o item v do Teorema.6 é válido para f z e f w, logo, vale o item i do mesmo teorema, portanto, ρ z, w ρ f z, f w ln ln z i. w i z i. w i zw + z w zw z w f z f w + f z f w f z f w f z f w, ou seja, iv i. Portanto, as quatro afirmações são equivalentes. Mostremos agora que i é verdadeira: sabendo que o item i do Teorema.6 é verdadeiro para f z e f w então ρ z, w ρ f z, f w ou seja, i é válido. ln ln z i. w i z i. w i zw + z w zw z w f z f w + f z f w f z f w f z f w,.8 Grupos Fuchsianos no Modelo do Disco O estudo de grupos fuchsianos no modelo do disco é análogo ao do modelo do semi-plano. Consideremos grupo linear especial sobre C, denotado por SL, C, composto pelas matrizes

36 [ ] a b reais M com det M ad bc, no qual a operação considerada é a multiplicação c d usual de matrizes. Para que uma transformação de Möbius f : U C tenha imagem z az+b cz+d em U, é necessário que b c e d a e, assim, teremos 7 f : U U z az+c cz+a. com aa cc. O conjunto {[ ] a c A c a } SL, C SL, C é, na verdade, um subgrupo de SL, C quando consideramos a operação de composição herdada de SL, C. Como no caso do semi-plano, o conjunto de transformações de Möbius acima munido da operação de composição usual forma um grupo de tal modo que a composição de duas transformações corresponde ao produto de duas matrizes de A e a inversa corresponde à matriz inversa. Além disso, cada transformação f da forma acima pode ser representada por um par de matrizes ±M A. Então, o grupo de todas as transformações., chamado PSL, C, é isomorfo ao grupo quociente A/ {± Id } onde Id é a matriz identidade de ordem e escreveremos PSL, C [ A/ ]{± Id }. a c Seja M A matriz associada a f z c a az+c PSL, C.Definimos cz+a f M a + c + c + a a + c. Seja N A associada a g PSL, C. Com a distância induzida d f, g M N, PSL, C é um grupo topológico e a topologia é a induzida pela norma definida acima é, também, a topologia do R 4. Um subgrupo G de PSL, C é discreto quando a topologia induzida de PSL, C sobre G é discreta. Um subgrupo discreto de PSL, C é chamado de fuchsiano. Uma transformação de U em U é chamada uma isometria quando preserva a distância hiperbólica ρ em U. O conjunto de todas as isometrias de U será denotado por Isom U. À semelhança do semi-plano temos os três seguintes teoremas, cujas demonstrações são análogas: Teorema.9 PSL, C age em U por homeomorfismos. Teorema.0 Se f Isom U, então f é uma bijeção e f Isom U. Teorema. PSL, C Isom U. É importante também ressaltar que a isometria.6 entre os modelos faz correlação entre elementos de PSL, R e PSL, C.

37 Capítulo Isometrias Hiperbólicas em H. Alguns Teoremas Importantes Vimos no Teorema.3 que as transformações de PSL, R são isometrias [ em ] H. Seja PS L, R a b S L, R / {± } onde S L, R é um grupo de matrizes reais g com det g ±. c d Assim, PS L, R contém o grupo PSL, R como subgrupo de ordem. O próximo teorema identifica todas as isometrias no modelo hiperbólico H. Teorema. O grupo Isom H é gerado pelas transformações lineares fracionais de PSL, R juntamente com a transformação T : H H tal que T z z, e é isomorfo a PS L, R. Demonstração: Seja φ uma isometria de H. Pela demonstração do Teorema. podemos afirmar que φ leva geodésica em geodésica. Chamemos I a parte positiva do eixo imaginário. Então φ I é uma geodésica. Pelo Lema. existe uma isometria g PSL, R que leva φ I em I. De modo análogo à demonstração do Teorema.5, podemos assumir que gφ fixa i e leva as semi-retas i, e 0, i nelas mesmas, e daí, gφ fixa cada ponto de I. Agora, seja z x + iy H e gφ z u + iv. Para todo t positivo, e pelo Teorema.6 iii, ρ z, it ρ gφ z, gφ it ρ u + iv, it senh ρ z, it senh ρ u + iv, it z it u + iv it yt vt z it v u + iv it y x + y t v u + v t y. Como isso vale para todo t positivo, dividindo ambos os lados da equação acima por t e fazendo t, x y u v t + t v t + t y t v y. 8

38 9 E, daí, x u. Então, gφ z x + iy z gφ z u + iv ou gφ z x + iy x iy z. Como as isometrias são contínuas pois se g : C C é uma isometria, então seja a C, logo, ε > 0, δ ε tal que x a < δ g x g a x a < ε só uma das Equações. pode ser verdadeira para todo z H. Se gφ z z, então φ z é uma transformação linear fracional da forma. pois se g z az+b cz+d φ z dz b cz+a e gφ z z. Se gφ z z e g z dz+b cz a φ z az + b cz + d com ad bc então com ad + bc, então com ad bc.. Então, identificamos todas as isometrias de H. Agora, o conjunto das Transformações. e. forma um grupo que é isomorfo ao grupo PS L, R. Já vimos acima que a composição de transformações do tipo. são associativas, possuem elemento neutro e são simetrizáveis. Além disso, de forma análoga, se φ z az+b com cz+d ad bc então φ z dz b, ou seja, todo elemento dessa forma é simetrizável e se cz+a tomarmos h z z então φ h z h φ z φ z, ou seja, PS L, R tem elemento neutro. De forma análoga ao que foi visto para as Transformações., as transformações da forma. são associativas. Falta mostrar apenas que compostas envolvendo transformações da forma. e. são associativas. Consideremos f z a z+b c z+d, f z a z+b c z+d e f 3 z a 3z+b 3 c 3 z+d 3. Logo, f f f 3 z f f f 3 z a a f 3 z+b c f 3 z+d + b f f f 3 z. c a f 3 z+b c f 3 z+d + d O mesmo se verifica se f e f forem da forma. e f 3 da forma.. Portanto, o conjunto das transformações. e. forma um grupo que é isomorfo ao grupo PS L, R. [ ] a b O sinal do determinante da matriz correspondente determina a orientação para uma c d isometria; portanto, as transformações em PSL, R preservam a orientação enquanto as transformações da forma., em particular, z z, revertem orientação. Vamos considerar agora o espaço tangente a H no ponto z, T z H C. A métrica Riemanniana. em H é induzida pelo produto interno em T z H: para ζ ξ + iη e ζ ξ + iη em T z H ζ, ζ Im z ξ ξ + η η..3 Denotaremos a norma em T z H correspondente a este produto interno por.. Como as isometrias em H que são as transformações da forma. ou. são aplicações diferenciáveis, elas agem no fibrado tangente TH por diferenciais preservando norma, como veremos no próximo teorema. Teorema. Uma aplicação diferenciável de H em H é uma isometria se, e somente se, sua diferencial preserva norma no fibrado tangente de H.

39 30 Demonstração: Observemos que f : TH TH z z preserva norma em TH pois se z x + iy TH então f z z x iy x + y z. Daí, é suficiente considerar o caso em que g z az+b PSL, R. Seja cz+d ζ T z H. Mostremos que Dg ζ g z.ζ. De fato: fazendo z x + iy temos que Chamemos Daí, g z a x + iy + b c x + iy + d ac x + y + x ad + bc + bd + iy. cx + d + c y g x, y ac x + y + x ad + bc + bd cx + d + c y e g x, y g x x, y cx + d c y cx + d + c y, g y x, y cy cx + d cx + d + c y, g x x, y cy cx + d cx + d + c y, g y x, y cx + d c y cx + d + c y. y cx + d + c y. Logo, se ζ x + iy, Dg ζ g x, y g x, y x y g x, y g x, y x y cx+d c y cx+d +c y cycx+d cx+d +c y cx+d c y cx+d +c y x + cycx+d cx+d +c y x + cx+d c y cx+d +c y x + x. y x. y cycx+d cx+d +c y cx+d c y cx+d +c y cycx+d cx+d +c y y cx+d c y y cx+d +c y cycx+d y cx+d +c y + i cycx+d cx+d +c y x + cx+d c y y. cx+d +c y

40 3 Por outro lado, g z a cz + d az + b c cz + d c x + iy + d cx + d + cy cx + d i c y cx + d c y cy cx + d i cx + d c y + 4c y cx + d cx + d c y cy cx + d i cx + d + c y. Logo, g z.ζ cx + d c y cy cx + d i x + iy cx + d + c y cx + d c y x + cx + d + c y Portanto, Dg ζ g z.ζ. Logo, cy cx + d y cx + d + c y cy cx + d cx + d c y + i x + y. cx + d + c y cx + d + c y Dg ζ Dg ζ devido a.3 Im g z g z. ζ Im g z ζ devido a.4 cz + d Im g z ζ devido a.3 Im z ζ Reciprocamente, suponha que Dg ζ ζ, e seja γ : I H um caminho diferenciável por partes em H dado por z t x t, y t. Então, h g γ 0 g z t. z t dt Im g z t 0 z t dt h γ Im z t e, consequentemente, g é uma isometria de H, ds. Pela identidade de polarização, para qualquer ξ, η T z H temos ξ, η ξ + η ξ η.

41 3 Portanto, o produto interno e daí, o valor absoluto do ângulo entre os vetores tangentes são também preservados. Definiremos o ângulo entre duas geodésicas em H no ponto de intersecção z como ângulo entre os seus vetores tangentes em T z H. Note que essa noção de ângulo coincide com a noção de medida de ângulo Euclidiano. De fato: chamemos de cos θ a noção de ângulo euclidiana e de cos θ a noção de ângulo hiperbólica com a métrica.. Denotemos ainda R e R o produto interno e a norma euclidiana, respectivamente. Sejam ζ ξ, η ξ +iη e ζ ξ, η ξ + iη em H. Observemos que Logo, ζ, ζ Im z ξ ξ + η η cos θ ζ, ζ ζ. ζ Im z ξ, η, ξ, η R ζ Im z, ζ R ζ Im z, ζ R ζ Im z, ζ R ζ, ζ R ζ R. ζ R cos θ. Portanto, a noção de ângulo nos dois casos coincidem. Im z ζ, ζ R. Uma transformação de H é chamada conforme quando preserva ângulo, e anti-conforme quando preserva o valor absoluto do ângulo mas muda o sinal. Teorema.3 Qualquer transformação em PSL, R é conforme; qualquer transformação da forma. é anti-conforme. Demonstração: Consideremos a Figura 6 abaixo. dt Z T Z S z v u T TZ S Tz dt z v dt z u S T Figura 6: Diferencial de isometria. S De forma geral consideremos duas superfícies abstratas S e S e seus respectivos planos tangentes nos pontos z e T z, T z S e T Tz S. Nesse caso, temos que cos θ u, v u. e cos θ v dt z u,dt z v dt z u. dt z com dt u v z T z. u e dt v z T z. v.

42 33 Nesse teorema u e v são números complexos e, se T z az+b cz+d T z. Logo, cz+d cos θ cz+d u, cz+d v cz+d u, cz+d u. cz+d v, cz+d v u cz+d, v 4 u cz+d, u. v 4 cz+d, v 4 u, v u, u. v, v com ad bc, então cos θ. Agora, se T z az+b cz+d com ad bc então T z cos θ cz+d u, cz+d u, cz+d v. Logo, cz+d cz+d u cz+d v, cz+d v u cz+d, v 4 u cz+d, u v 4 cz+d, v 4 u, v u, u. v, v cos θ. Portanto, as transformações em PSL, R são conformes. Mostremos agora que as transformações da forma. são anti-conformes. Sejam z x + iy e T : C C z z. Assim, T z T x + iy x iy x + iy. z x + iy x, y. Assim, Considerando que C R temos que T F : R R x, y F x, y x, y. Temos que F é isometria pois, dados dois pontos x, y e x, y em R então d F x, y, F x, y d x, y, x, y x x + y y x x + y y d x, y, x, y.

43 34 Temos ainda que F é linear, pois se λ R, então F x, y + λ x, y F x + λx, y + λy x λx, y + λy x, y + λ x, y F x, y + λf x, y. Além disso,se chamarmos F x, y x e F x, y y as funções coordenadas de F, então F x x, y F y x, y [ ] det 0 det < 0. F x x, y F 0 y x, y Portanto F reverte orientação, ou seja, é anti-conforme. Como as transformações em PSL, R, composta com F resultam em transformações da forma., então essas são, necessariamente, anti-conformes.. Classificação de Isometrias Há três tipos distintos de isometrias T z az+b em PSL, R, sendo ad bc, diferenciados pelo valor absoluto do traço da matriz associada, que chamaremos de traço de cz+d [ ] a b c d T, indicado por tr T a + d. Se tr T <, T é chamada elíptica; Se tr T, T é chamada parabólica; Se tr T >, T é chamada hiperbólica. Diremos ainda que duas matrizes A, B SL, R são conjugadas quando existir M SL, R tal que A MBM. De modo análogo, duas isometrias T A, T B PSL, R serão ditas conjugadas quando suas matrizes correspondentes A e B assim o forem. Nesse caso, existe T M PSL, R tal que T A T M T B T M. Antes de demonstrar o próximo teorema, observemos que se A, B, M[ são matrizes ] reais[ de ordem ] dois e A MBM a a então tr A tr B. De fato: sejam A b b e B. [ ] a 3 a 4 b 3 b 4 a b Então, AB + a b 3 a b + a b 4. Logo, tr AB a a 3 b + a 4 b 3 a 3 b + a 4 b b + a b 3 + a 3 b + a 4 b 4. Por [ 4 ] b a outro lado, BA + b a 3 b a + b a 4. Logo, tr BA b b 3 a + b 4 a 3 b 3 a + b 4 a a + b a 3 + b 3 a + b 4 a 4. 4 Portanto, tr AB tr BA. Daí, tr A tr MBM tr M MB tr B. Observemos ainda que, se T z az+b az+b az b, com ad bc, então podemos cz+d cz+d cz d escrever T de modo que tr T a + d > 0 sem o módulo. Além disso, também podemos escrever T de forma que b 0. As demonstrações dos três teoremas e corolários abaixo são diferentes daquelas que constam nas principais referências sobre o assunto. Procuramos fazê-las com o máximo de detalhamento possível. Teorema.4 Uma isometria T A PSL, R é hiperbólica [ se, ] e somente se, é conjugada em λ 0 PSL, R a uma isometria T B associada à matriz B com λ >. 0 λ

44 35 Demonstração: Se existe M SL, R tal que A MBM, então, como vimos, tr T A tr T B. Mas, tr T B λ + λ e λ > 0 implica em λ + > λ. Como λ > > 0, temos λ + >. λ Portanto, tr T B λ + λ >, o que implica em tr T A >, ou seja, T A é hiperbólica. [ ] a b Suponhamos T A PSL, R hiperbólica de modo que A seja tal que tr T c d A a+d >. Daí, o polinômio característico de A é dado por [ ] [ ] [ ] a b 0 a α b p α det α det, c d 0 c d α de forma que as raízes desse polinômio são as raízes da equação a α d α cb 0, o que implica em α a + d α + 0, ou seja, raízes α a+d+ a+d 4 e α a+d a+d 4. Como a + d 4 > 0, então α e α são autovalores reais, ou seja, A é diagonalizável. ref. [3], pág. 54 e 55. Além disso, a + d 4 α a + d a + d + a + d 4 a+d+ a+d 4 α. Portanto, um dos autovalores, α ou α, é maior do que. A esse autovetor maior do que [ ] λ 0 chamaremos de λ. Daí, a diagonalização de A conduz à matriz B e, portanto, existe uma matriz inversível matriz de mudança de bases M tal que A MBM ref. [3], pág. 9 e 93. [ ] e f Fazendo M, então g h Se det M, temos T M PSL, R. [ ] [ ] [ ] [ a b e f λ 0 h c d g h 0 g λ eh gf [ ] [ ] ehλ a b fg efλ +ef λeh gf λeh fg. c d ghλ gh λeh fg gfλ +eh λeh fg Caso det M e det M > 0, então tomaremos M [ ] λ 0 M M 0 λ [ e eh fg g eh fg [ eλ eh fg gλ eh fg [ ehλ fg λeh gf ghλ gh λeh fg [ ] a b. c d f eh fg h eh fg f λ eh fg h λ eh fg f eh gf eh gf e eh gf [ e eh fg g eh fg ] [λ 0 ] [ efλ +ef λeh fg gfλ +eh λeh fg 0 λ ] h eh fg g eh fg 0 λ ] f eh fg h eh fg ] [ h eh fg g eh fg f eh fg e eh fg ]. Daí, det M e f eh fg e eh fg ] ]