Isometrias no plano euclidiano.

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1 Isometrias no plano euclidiano. 1 O E n é o espaço afim euclidiano n-dimensional e é constituído pelo R n como R-espaço n-dimensional munido do produto interno ( ) ( ) x,..., x, y,..., y = x y x y 1 n 1 n 1 1 n n Uma distância num espaço E é uma aplicação d:exe R com as propriedades: (i). d(x, y) 0 e d(x, y) = 0 se, e só se x = y. (ii). d(x,y) = d(y, x). (iii). d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (desigualdade triangular). Exemplo 01: No plano euclidiano temos a distância dist((p 1, p ), (q 1, q )) = Um ponto A está entre P e Q se, e só se d(p, A) + d(a, Q) = d(p, Q). ( p + q. 1 q1) ( p ) Exemplo 0: No plano complexo C temos a distância dist(z, w) = z w = valor absoluto do número complexo z w. No caso, um número complexo a + bi tem o valor absoluto a + bi = a + b. Definição Uma isometria em R² é uma transformação γ de R² R² com d(γ(p), γ(q)) = d(p, Q). Observe que γ leva reta em reta. De fato, se r = PQ é a reta por dois pontos P e Q e se P = γ(p), Q = γ(q), tomando-se um outro ponto A da reta r, temos d(p,q ) = d(p, A )+d(a,q ) =d(p, A) + d(a, Q). d(p, Q) =. Uma isometria γ é injetiva, pois d(γ(p), γ(q)) = 0 se, e só se γ(p) = γ(q) e P = Q. Proposição Uma isometria conserva o perpendicularismo Demonstração Considere uma reta r, um ponto P fora desta e o pé Q da perpendicular por P a r. Sobre r marque dois pontos A e B, simétricos com relação à PQ. P P A Q B r A Q B r A imagem r de r é uma reta contendo os pontos imagens A, Q e B conservadas as distancias. A reta PQ é levada numa reta P Q. O ponto médio de AB é Q donde Q é o ponto médio da base A B do triângulo isósceles A B P. Logo, P Q é perpendicular a A B ou seja à r. Corolário O paralelismo é preservado por uma isometria Demonstração: Duas retas paralelas têm uma perpendicular comum, cuja imagem é perpendicular às imagens das retas paralelas. Proposição Uma isometria é uma bijeção Demonstração Resta mostrar a sobrejetividade. Seja P um ponto fora de uma reta r cuja imagem é r que como vimos é uma reta. Se P r existe P com γ(p) = P. Se P não está em r seja Q o pé da perpendicular a r por P. Existe Q em r cuja imagem é Q. Marque na única perpendicular por Q a r dois pontos A e B simétricos com respeito a r, com d(a, Q) = d(p,q ). Então A ou B é levado em P.

2 A seguir usaremos a estrutura de corpo de C para estudar de forma mais natural as isometrias euclidianas e posteriormente, com o uso das transformações de Möbius trataremos das isometrias no plano hiperbólico de Poincaré. Isometrias no plano complexo Considere a operação binária em R² definida por (x 1,y 1 ) ( x,y ) = (x 1 x - y 1 y, x 1 y + y 1 x ). O neutro é (1,0), e um elemento não nulo (a,b) tem inverso dado por (a,b) -1 ( a, b) = a + b Indiquemos por C o corpo obtido acima onde a adição de pares de reais é componente com componente ou seja, (x 1,y 1 ) + ( x,y ) = (x 1 + x, y 1 + y ). Observe que (0,1) tem por quadrado (-1,0). Identificando um número real a com (a,0) podemos considerar R como um subcorpo de C. Use o símbolo i para indicar o elemento (0,1). Desta forma, um elemento (x,y) se escreve como (x,y) = x(1,0) +y(0,1) = x +yi. A expressão é única. Um número da forma z = x +iy é denonado número complexo. Dado z = x +iy, o número complexo z = x iy é dito conjugado de z. Associado a um número complexo temos vários predicados : o módulo de z é z = z z = a + b (1) o argumento de z é arg (z) = arco cos Re( z ) = arco sen Im( z ) z z interpretação geométrica z = (x,y) y θ x Pondo ρ = z temos z = ρ (cos θ + i sen(θ). Temos z 1 z = ρ 1 ρ (cos (θ 1 +θ ) + isen(θ 1 +θ )) Assim, o efeito de multiplicar z por i é efetuar uma rotação de 90. De fato, o número complexo iz tem módulo zi = z i pois vale a igualdade zw = z w para qualquer complexos z, w como o leitor pode comprovar usando a definição (1) acima. Alguns exemplos π π π π (1). Temos as expressões em forma trigonométrica: i = cos + isen ; + i = cos + i sen ; 4 4 (). O argumento de: π Re(1 + i) 1+i é pois arg(1+i) = arco cos i = arco cos 1 = arco cos = π. 4 Arg(1/w) = - arg(w) pois w(1/w) = 1 donde arg(w) + arg(1/w) = arg(1) = 0. Arg(z/w) = arg(z) arg(w) pois arg(z/w) = arg(z)arg(1/w)

3 3 (3). Temos + i 3 = 4 (cos 3 π + i sen 3 π ). Exercícios: (1). Verifique que: (i) i(1-i) = 1 + i. (ii). 1 + i i + =. 3 4i 5i 5 (iii). i ; i 3 ; i 4 ; i 5 ; i 6 ; i 7 ; i 8 ;i 9 ; i ; = -1, -i, 1, i, -1, -i, 1, i, (iv). (1 + i) 3 = i; (). Prove que Im(iz) = Re(z); Definição Uma isometria em C é uma função f que preserva distância ou, o que no caso é o mesmo, conserva o módulo já que a distância entre dois complexos z 1, z é z 1 -z. Assim, f satisfaz à condição f(z 1 ) - f(z ) = z 1 -z. Exemplos de isometrias 1) A rotação f(z) = - iz ) A translação T(z) = z+b 3) A rotação R a (z) = az com a = 1 4) A simetria S(z) = z como respeito ao eixo real Proposição Dados números complexos a,b,c,d com a = c = 1, as transformações M(z) = az+b e S(z) = c z +d são isometrias. As isometrias do tipo M são denonadas diretas (translações, rotações, rotações com translações) enquanto as do tipo S são denonadas opostas (reflexões, reflexões com translações) Três complexos z 1, z, z 3 são colineares se z 1 - z + z - z 3 = z 1 z 3 (*) Três pontos não colineares deternam um e um só triângulo (visualize aqui um complexo como um par ordenado). Um triângulo e sua imagem deternam uma isometria como veremos. Na imagem pode ser mantida a mesma orientação ou uma orientação oposta que corresponde a se tomar uma isometria direta ou uma oposta. Por exemplo, considere o triângulo z 1 = (3,0) = 3, z = (0,4) = 4i, z 3 = (0,0) = 0, e sobre ele façamos atuar as isometrias M(z) = - iz + e S(z) = i z -1. Se a orientação considerada no triângulo dado no sentido anti-horário, ela será preservada por M e trocada por S como verificamos por simples cálculo. A estrutura de espaço vetorial de C é a mesma que a de R² assim como a métrica. Com isto queremos dizer que a adição de complexos é componente com componente e que ao multiplicarmos um real por um complexo,as partes real e imaginária estarão multiplicadas por este real. Além disso, se z = x + iy, então z = x + y indica a distância de z à origem. Portanto, se uma isometria em C fixar a origem, necessariamente ela será linear. Considere agora uma isometria f sobre os complexos que leve z 1 em 0 e 0 em w. Ponha g(z) = f(z) w. Temos g(0) = f(0) w = 0 donde tiramos que g é linear, digamos x r s x a b g = ; Note que g é uma rotação. Assim, a matriz M g de g é da forma M g = y u v y b a Note que (a+bi)(x+iy) = (ax-by) + i(ay+bx) corresponde ao produto matricial

4 a b x ax by = b a y ay+ bx Assim, pondo g(x+iy) = (a+bi)(x+iy) ou ainda, g(z) = mz, teremos f(z) = mz + w com m = 1. Também podemos ter g(z) = m z + w com m = 1. Obtivemos a demonstração da seguinte, 4 Proposição Considere três pontos z 1, z, z 3 formando um triângulo. Se w 1, w,w 3 formam um triângulo congruente ao dado onde os índices se correspondem, existe uma única isometria que mantém a orientação ou que a troca e que leva o triângulo dado no triângulo em w. De posse da informação que diz que as isometrias serão do tipo az+b ou a z +b, podemos deternar tais transformações diretamente. É o que faremos agora. Considere o sistema az 1 + b = w 1, az + b = w, no qual queremos deternar os números a e b. w1 w Subtraindo as equações obtemos a = donde temos a = 1. O valor de b é dado por b = w 1 - z z w1 w az 1 = w 1 - z 1.Trata-se agora de discutir a posição possível do terceiro ponto. Como z z efetivamente as imagens formam um triângulo, tal ponto estará localizado no vértice de um dos dois triângulos de base w 1, w. w 3 w 1 w w 3 Os valores de a e b serão compatíveis com a terceira equação az 1 + b = w 1. De fato, a condição w1 w adicional az 3 + b = w, az 1 + b = w 1 implica que w = w 1 + (z 3 - z 1 ). z z Por exemplo, compare os triângulos imagens de 0, 3, 4i segundo as isometrias f(z) = iz + 1 e g(z) = - i z +1. Note que as imagens são respectivamente 1, 1+3i,-3 e 1, 1-3i, -3. Proposição As isometrias são colineações: dado uma isometria f, se z 1 - z + z - z 3 = z 1 z 3 então f(z 1 ) f(z ) + f(z ) f(z 3 ) = f(z 1 ) f(z 3 ) Proposição A isometria U a (z) = a z, a = é uma reflexão na reta pela origem e de inclinação (arg a)/. Demonstração Devemos mostrar que tal reta é invariante ponto a ponto e que o ponto médio do segmento unindo z a U a (z) está na reta. Primeiro note que U(0) = 0 ou seja, a transformação fixa a origem. Finalmente, se z é um ponto do plano, o ponto médio do segmento de extredades z e U a (z) z+ U a(z) z+ U a(z) é v =. Para mostrar que está na reta verifiquemos sua invariância. Temos U a ( ) = z+ az z+ az az+ z z+ U a = a = a(z) =. O leitor pode demonstrar o teorema acima de uma forma menos artificial. Para isto, após notar que a origem é fixada, verificamos que qualquer outro ponto fixo w deverá satisfazer á condição w = a w, donde arg (w) = arg(a) /. Isto significa que w esta sobre a reta acima, notando que se trata de uma isometria pois U a (w) = a w = w.

5 Antes de estudarmos as transformações gerais M(z) = az + b e S(z) = a z + b será esclarecedor visualizarmos as composições de transformações. 5 Situação 1 A composta de duas simetrias axiais em retas paralelas é uma translação de módulo o dobro da distância entre as retas. P P 1 α P P 1 P O P dist(p,p ) = dist(r 1,r ) rotação de amplitude β = α Situação A composta de duas simetrias axiais em retas que se interceptam é uma rotação de amplitude igual ao dobro do ângulo entra as retas. Exercício: Verifique que R w (z) = a(z-w) + w é a rotação de centro w e amplitude arg a Como exemplo veja o caso onde a = i e w = 1+i. a(z-w)+w a(z-w) w O z-w z w Decomposição de isometrias Ponha M(z) = az+b com a = 1 e N(z) = c z + d onde c = 1. Verifiquemos primeiro se M tem pontos invariantes. Se a 1 isto é, se M não é translação (própria) e pusermos w = b(1-a) -1 então M = T w R a T -w onde os T indicam translação correspondente e R é rotação. Ponha agora S(z) = z. Se c = 1 d então N = T d S. Para c 1 e v = temos N = ST v R T c -v. c Exercícios (i). Quais isometrias do plano levam 1 em e 1+i em 1 (ii). Analise se as isometrias abaixo são diretas ou opostas (iii). M(0) = 0, M(1) = i e M(i) > 0 (iv). M -1 (v). N(1) = 1+ i, N(i) = i, N(-1) = 0 (vi). Descreva as transformações M(z)= - z e N(z) = i z Proposição A isometria N(z) = c z + d, c = 1 tem ponto fixo se, e só se c d + d = 0. Demonstração Se w é um ponto fixo então c w + d = w donde tomando conjugados, c w + d = w Assim, w = c( c w + d ) + d = w + c d + d.

6 6 Reciprocamente, se a condição c d + d = 0 se cumpre então N(d/) = c ( d /) + d = ( c d + d.)/ = d/ Proposição Sejam S 1 (z) = a z + b com a = 1 e S (z) = c z + d com c = 1. Suponhamos ainda que tais isometrias são reflexões. Temos a condição ab + b = 0 = c d + d. A composição S S 1 resulta : 1) Numa translação se os espelhos forem paralelos ) Numa rotação se os espelhos forem concorrentes Reciprocamente, uma translação e uma rotação são sempre decompostas em duas simetrias nas condições acima. Demonstração A composta é (S S 1 )(z) = c a z + cb + d. 1) c a = 1 ou seja, a composta é uma translação. Neste caso temos c a = 1 = a a donde a = c donde (arg a) / = (arg c) / e os espelhos são paralelos ) c a 1. Mostraremos que se trata de uma rotação. Busquemos o ponto fixo w. Sob esta hipótese cb+ d temos w = (S S 1 )(w) = c a w + c b + d donde w = ca sendo portanto a rotação de centro w acima. Resta mostrar que w está em ambos espelhos cb+ d abc+ ad está em S 1 : temos a(conjugado ) + b = ca ac cb+ d que c d + d = 0) =. ca Faz-se análogo para S. Concluímos com o seguinte: Exercício: Deterne em C a reflexão na reta y = mx + n ad+ b + b = = (após cálculos e usando ac Ponha M(z) = a z +b. Um complexo z pertence à reta r se, e só se z = x + i (mx+n). Sabemos que z está na reta r se, e só se M(z) = z. Tome pontos da reta, digamos x =0, y = n e x = -n/m, y =0 (se m=0 a reflexão é M(z) = ( z ni) ) o que nos dá z = ni e z = -n/m. Para deternar a e b formamos o sistema abaixo: ni = a (- ni) + b -n/m = a (-n/m) + b 1+ donde a = e b = ni e segue que M(z) = 1+ z + ni Lema Toda rotação é composta de duas simetrias axiais. Demonstração Considere o centro O da rotação R de amplitude α. Dado um ponto A O no plano, tome S 1 como a simetria na reta OA. A seguir, tome a simetria S na bissetriz do ângulo AOR(A). Como S S 1 (O) = O = R(O), S S 1 (A) = S (A) = R(A) e S S 1 (R(A)) = S (A) = R(A), vemos que S S 1 e R são simetrias que coincidem nos três pontos não colineares O, A, R(A), sendo portanto iguais. Teorema (das três reflexões) Uma isometria em R² é a composta de uma, duas ou três reflexões. Demonstração Seja γ uma isometria que não é a identidade. Se γ fixa dois pontos de uma reta r então γ fixa r. De fato, a imagem γ(r) é uma reta e passa pelos dois pontos fixos de r. Portanto γ(r) = r e é a simetria no espelho r. Se γ fixa apenas um ponto temos uma rotação e já vimos no lema,que é composta de duas simetrias. Suponha agora que γ não tenha ponto fixo. Considere a reflexão M na mediana de A e γ(a) onde A é um ponto qualquer de nossa escolha. A transformação Mγ fixa o ponto A, mas nenhum outro senão

7 seria uma simetria S = Mγ donde γ = MS, pois M² = Identidade. Portanto Mγ é uma rotação digamos Mγ = SR onde S e R são simetrias. Isto implica que γ = MSR, a composta de três simetrias. C 7 A = γ (A) B C γ(b) Teorema As simetrias axiais geram o grupo das isometrias no plano.