UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA. Maianne Larry Lopes Costa

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA Maianne Larry Lopes Costa ANALISE COMPARATIVA ENTRE O MÉTODO SIMPLIFICADO E O MODELO DE ANALOGIA DE GRELHA, PARA O DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO DE EDIFÍCIO, SEGUNDO A NBR 6118:2003 Orientador: Professor Clodoaldo Pereira Freitas Feira de Santana Bahia 2010

2 Maianne Larry Lopes Costa ANALISE COMPARATIVA ENTRE O MÉTODO SIMPLIFICADO E O MODELO DE ANALOGIA DE GRELHA, PARA O DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO DE EDIFÍCIO, SEGUNDO A NBR 6118:2003 Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à disciplina Projeto Final II do curso de graduação em Engenharia Civil da Universidade Estadual de Feira de Santana. Orientador: Professor Clodoaldo Pereira Freitas Feira de Santana Bahia 2010

3 Maianne Larry Lopes Costa ANALISE COMPARATIVA ENTRE O MÉTODO SIMPLIFICADO E O MODELO DE ANALOGIA DE GRELHA, PARA O DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO DE EDIFÍCIO, SEGUNDO A NBR 6118:2003 Trabalho Final de Curso para obtenção do Título de Bacharel em Engenharia Civil. Feira de Santana, 17 de dezembro de 2010 Banca Examinadora: Clodoaldo Pereira Freitas Orientador Universidade Estadual de Feira de Santana Geraldo Barros Rios Universidade Estadual de Feira de Santana Luciano de Santana Rocha

4 Aos meus pais, pelo grande amor e carinho transmitido ao longo da minha vida, e por tornar possível a realização dos meus sonhos. A vocês eu dedico este trabalho com todo o meu amor e gratidão.

5 AGRADECIMENTOS Todos os desafios que a vida nos impõe se torna mais fácil de superar quando não estamos sozinhos. Para desenvolver este trabalho, pude contar com a ajuda de pessoas especiais, que de algum modo me apoiaram e merecem o meu agradecimento. Primeiramente a Deus por estar sempre comigo. Ao meu orientador, Clodoaldo Freitas, pelas diretrizes e oportunidade de aprofundar meus conhecimentos na área. Aos meus irmãos, Laissa e Heverton, pelo apoio incondicional, apesar da distância. Aos meus tios Paulo e Rosana, pelo acolhimento e meus primos Paula e Leonardo por todo carinho. As minhas amigas Tiara, Nara e Beth, pelo apoio, acolhimento, cobranças, incentivo e amizade. A todos do escritório Clodoaldo Feitas Projetos Estruturais, pelo apoio, em especial ao Engenheiro Luciano Rocha pela ajuda na escolha do tema, incentivo, colaboração intelectual e por valiosas horas que cedeu para me ensinar a utilizar o programa, o meu muito obrigado.

6 RESUMO No presente trabalho faz-se uma comparação entre dois métodos de dimensionamento de lajes maciças convencionais apoiadas sobre vigas, o método das charneiras plásticas e método de analogia de grelha, ambos modelos aceitos pela NBR 6118 (2003). Utilizou-se como ferramentas computacionais dois programas conhecidos no mercado, SISTRUT e TQS, respectivamente. Para isso discorre sobre os conhecimentos técnicos necessários a esta análise comparativa, noções de ações e segurança em estruturas, os métodos das charneiras plásticas e analogia de grelha, dimensionamento de lajes e vigas. É modelado o mesmo pavimento tipo para ambos os métodos, com o objetivo de encontrar parâmetros que possibilitem a comparação: aspectos estruturais e econômicos. Por fim, os resultados obtidos foram comparados e discutidos. Palavras Chave: Lajes, Vigas, Dimensionamento, Charneiras Plásticas, Analogia de Grelha

7 ABSTRACT This work presents a comparison between two methods of structural dimensioning of conventional slabs supported on beams, plastic hinge method and grill analogy, both of them are accepted by the NBR 6118 (2003). Using as tools two known software s, SISTRUT and TQS, respectively. To accomplish the objective, it must be demonstrate the technical knowledge for the comparative analysis, notions of loading and security in structures, the methods of plastic hinges and grill analogy, dimensioning of slabs and beams. The model is made with the same type floors for both methods, with the objective of finding the parameters that make the comparison: structural and economic aspects. At ending, the results were compared and discussed. Key words: Slabs, Beans, Dimensioning, Plastic Hinges, Grill Analogy.

8 SUMÁRIO RESUMO... 4 ABSTRACT... 5 LISTA DE FIGURAS... 8 LISTA DE TABELAS INTRODUÇÃO JUSTIFICATIVAS OBJETIVOS Objetivo Geral Objetivos Específicos METODOLOGIA ESTRUTURA DA MONOGRAFIA NOÇÕES DE AÇÕES E SEGURANÇA EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO ESTADO LIMITE ÚLTIMO OU DE RUÍNA (ELU) ESTADO LIMITE DE SERVIÇO OU DE UTILIZAÇÃO (ELS) AÇÕES Classificação Valores e Combinações RESISTÊNCIA SEGURANÇA GENERALIDADES E DIMENSIONAMENTO DAS LAJES E VIGAS MÉTODO DAS CHARNEIRAS PLÁSTICAS ISOTROPIA, ANISOTROPIA E ORTOTROPIA CONFIGURAÇÕES DAS CHARNEIRAS REAÇÕES DE APOIO... 46

9 5 ANALOGIA DE GRELHA MODELAGEM E RESULTADOS OBTIDOS CARACTERÍSTICAS GERAIS DA OBRA ANALISE DOS RESULTADOS OBTIDOS DAS LAJES ANALISE DOS RESULTADOS OBTIDOS DAS VIGAS ANALISE DOS CUSTOS CONCLUSÃO SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS ANEXOS... 77

10 LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Carregamento das lajes Figura 2 - Tipos mais comuns de lajes Figura 3 - Esquema dos métodos probabilísticos Figura 4 - Esquema do método dos coeficientes parciais de segurança Figura 5 - Gráfico dos domínios Figura 6 Comportamento do concreto armado na flexão pura (Estádios I, II e III) Figura 7 - Equilíbrio da Seção Transversal Figura 8 Vão efetivo Figura 9 - Relação momento-curvatura para seções subarmadas ou normalmente armadas Figura 10 - Modelo rígido-plástico idealizado Figura 11 - Momento fletor em uma seção inclinada Figura 12 - Configuração das charneiras Figura 13 - Configuração das charneiras que passam pelos pontos isolados Figura 14 - Configuração das charneiras com contorno curvilíneo Figura 15 - Inclinação das linhas de ruptura para cálculo das reações de apoio Figura 16 - Lajes planas discretizada em uma grelha plana Figura 17 - (a) Laje Maciça; (b) Grelha Equivalente Figura 18 - Graus de liberdade em um nó de grelha. δ z representa a translação, θ 1 e θ 2 representam as rotações em torno dos eixos X e Y Figura 19 - Carregamento uniformemente distribuído nas barras (carga p) e carregamento concentrado nos nós (carga P1) e nas barras (carga P2) Figura 20 - Planta de formas do pavimento tipo Figura 21 - Planta baixa pavimento tipo Figura 22 - Carregamento distribuído linearmente no pavimento tipo Figura 23 - Deslocamentos das lajes gerados TQS... 55

11 Figura 24 - Momentos na direção X obtidos pelo SISTRUT Figura 25 - Momentos na direção X obtidos pelo TQS Figura 26 - Momentos na direção Y obtidos pelo SISTRUT Figura 27 - Momentos na direção Y obtidos pelo TQS Figura 28 - Armaduras positivas na direção Y obtidas pelo SISTRUT Figura 29 - Armaduras positivas na direção Y obtidas pelo TQS Figura 30 - Armaduras negativas na direção Y obtidas pelo SISTRUT Figura 31 - Armaduras negativas na direção Y obtidas pelo TQS Figura 32 Momentos na V101 = V114 SISTRUT Figura 33 Momentos na V101 = V114 - TQS Figura 34 Detalhamento das armaduras das vigas V101 = V114 SISTRUT Figura 35 - Detalhamento das armaduras das vigas V101 = V114 - TQS... 67

12 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Coeficientes γ f1 x γ f3 para ponderação de ações Tabela 2 - Coeficientes γ f2 para ponderação de ações Tabela 3 - Combinações últimas Tabela 4 - Combinações de serviço Tabela 5 - Valores dos Coeficientes e Tabela 6 - Taxas mínimas de armaduras Tabela 7 Valores mínimos para armaduras de lajes Tabela 8 -Coeficientes ξ em função do tempo Tabela 9 - Resumo de aço das lajes Tabela 10 - Resumo de aço das vigas V101 e V Tabela 11 - Resumo de aço das vigas Tabela 12 - Resumo de aço do pavimento tipo (lajes e vigas) Tabela 13 Custo da montagem de armadura para lajes maciças convencionais Tabela 14 Custo da montagem de armadura para vigas... 69

13 11 1 INTRODUÇÃO O concreto utilizado atualmente para a construção dos mais diversos tipos de estrutura é fruto do trabalho de inúmeros homens, que durante anos observaram a natureza e se esmeraram por aperfeiçoar materiais, técnicas, teorias e formas estruturais. Um grande avanço ocorreu com o desenvolvimento dos chamados aglomerantes, que endurecem em contato com a água e tornaram possível a fabricação de uma pedra artificial, denominada concreto com a adição de materiais inertes. Os romanos já utilizavam um tipo de concreto, usando como aglomerante a cal e pozolana. O seu uso se propagou a partir do estabelecimento de um processo de fabricação industrial do cimento Portland, por Joseph Apsdin, em 1824, que passou a ser produzido em todo mundo (CLIMACO, 2005, p. 33). Algum tempo depois surgiu a idéia de associar o aço ao cimento, com o intuito de torná-lo mais resistente aos esforços de tração. Sendo que apenas em 1920 esse novo material passou a chamarse concreto armado (STRAMANDINOLI, 2003, p. 2). Em posse deste material, houve um impulso no desenvolvimento das edificações. Com a evolução das técnicas construtivas, maiores e mais desafiadoras tornaram-se as edificações, obrigando os engenheiros a empenharem-se na busca de soluções estruturais para os diversos problemas encontrados. Foi com o surgimento de tais edifícios de pisos múltiplos que apareceram as lajes em concreto armado. As lajes são elementos bidimensionais planos, cuja espessura h é bem inferior às outras duas dimensões, e que são solicitadas, predominantemente, por cargas perpendiculares ao seu plano médio, conforme figura 1(ARAÚJO, 2003, v. 2, p.1).

14 12 Figura 1 - Carregamento das lajes Fonte: ARAÚJO, 2003 Conforme a natureza de seus apoios, as lajes podem ser classificadas como: apoiada em vigas, nervurada, mista e cogumelo (Figura 2). Figura 2 - Tipos mais comuns de lajes Fonte: CLIMACO, 2005

15 13 No caso de lajes sem vigas, os pilares podem ou não ter engrossamento de sua seção transversal nas proximidades da ligação com a laje. Esse engrossamento é definido como capitel, cuja finalidade principal é reduzir as tensões de cisalhamento, evitando o puncionamento da laje. No Brasil convencionou-se chamar de laje cogumelo qualquer sistema de laje sem vigas (HENNRICHS, 2003, p. 24) As lajes nervuradas usualmente são empregadas para vencer grandes vãos, geralmente superiores a 8 metros, sendo constituídas por nervuras, onde são colocadas as armaduras longitudinais de tração (ARAÚJO, 2003, v. 2, p. 2). Assim, consegue-se uma redução do peso próprio da laje, já que se elimina uma parte do concreto que ficaria na zona tracionada, deixando apenas as nervuras que participam da biela de compressão, equilibrando a seção transversal, e quando desejado, preenchendo o espaço deixado com material inerte. Lajes apoiadas sobre vigas é o sistema mais convencional. Usualmente executadas em um processo único de moldagem. Quando é preciso aumentar os vãos destas lajes também ocorre um aumento da espessura, para que esta seja capaz de resistir às solicitações. O avanço tecnológico, em especial o da computação, trouxe inúmeras vantagens para o campo da engenharia. Os projetos das estruturas, em geral, tornaram-se mais rápidos e dinâmicos nos escritórios especializados. Um dos grandes desafios da engenharia moderna é encontrar o modelo mais adequado a ser utilizado. O presente trabalho fará uma comparação entre dois métodos de dimensionamento de lajes maciças em concreto armado com armadura passiva (não protendida) apoiadas em vigas, charneiras plásticas e analogia de grelha, ambos aceitos pela Norma Brasileira de Projeto de Estrutura de Concreto - Procedimento (NBR 6118:2003), utilizando o auxilio de programas computacionais, SISTRUT e TQS.

16 JUSTIFICATIVAS A evolução tecnológica transformou a técnica de projetar estruturas, dentre elas a de concreto armado. Tempos atrás se dimensionava utilizando métodos aproximados, como o da ruptura. Com o advento da computação, métodos mais sofisticados foram surgindo, a exemplo o de analogia de grelha. Por isso faz-se a necessidade do engenheiro estruturalista saber quais as vantagens e desvantagens dos métodos, para executar o melhor dimensionamento das estruturas. 1.2 OBJETIVOS Objetivo Geral O presente trabalho visa analisar comparativamente o dimensionamento de um pavimento tipo do projeto de edifício entre os métodos das charneiras plásticas e de analogia de grelha Objetivos Específicos a) Modelar e dimensionar um pavimento do mesmo projeto utilizando o método das Charneiras Plásticas; b) Modelar e dimensionar um pavimento de um dado projeto utilizando Analogia de Grelha;

17 15 c) Analisar os resultados obtidos nos dois momentos acima descritos, atentando para variações do consumo da armadura. 1.3 METODOLOGIA O estudo a ser desenvolvido, de caráter exploratório e descritivo, tem uma natureza teórico-experimental em que os experimentos realizados serão numéricocomputacionais. Inicialmente será realizada uma revisão bibliografia baseada em livros, teses, dissertações e normas. Em seguida será apresentada uma estrutura de caso prático, na qual será modelada nos programas computacionais para dimensionamento em concreto armado, SISTRUT e TQS. 1.4 ESTRUTURA DA MONOGRAFIA O Capítulo I contém a Introdução da Monografia onde tem uma abordagem geral do trabalho, incluindo também a justificativa o objetivo e a metodologia utilizada. No Capítulo II há a fundamentação teórica sobre Noções de Ações e Seguranças em Estruturas de Concreto Armado, na qual apresenta tópicos da norma NBR Ações e Seguranças nas Estruturas, comentando sobre os estados limites últimos e de serviço, bem como sobre as considerações dos carregamentos utilizados nos cálculos. Capitulo III, Generalidades e Dimensionamento das Lajes Maciças

18 16 Convencionais, discorre sobre as particularidades das lajes maciças convencionais e vigas, destacando as considerações feitas na NBR 6118 (2003), mostrando como é feito os cálculos de armadura e as análises dos mesmos. Capítulo IV e Capítulo V, Método das Charneiras Plásticas e Analogia de grelha, respectivamente, apresentam os modelos de análise estrutural, mostrando o princípio de cálculo de ambos e os fundamentos teóricos que se baseiam. Capitulo VI, Modelagem da Obra em Estudo, o pavimento do projeto em estudo tem descritos: modelagem, processamento de dados, analise estrutural e detalhamento de armaduras, dando atenção especial para os deslocamentos existentes e ao consumo de materiais. Capitulo VII são apresentadas as conclusões do trabalho e faz sugestões para trabalhos futuros.

19 17 2 NOÇÕES DE AÇÕES E SEGURANÇA EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO A noção intuitiva de segurança esta ligada à idéia de sobrevivência e, desta forma, uma estrutura poderia ser considerada segura se houvesse alguma garantia de que durante sua vida útil não seriam atingidos estados de desempenho patológico (CLIMACO, 2005, p. 343). Segundo ARAÚJO (2003, v. 1, p. 51) além dos aspectos econômicos e estéticos, uma estrutura de concreto armado deve ser projetada para atender os requisitos de qualidade: segurança e bom desempenho em serviço. Segundo CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2004, p. 43), o dimensionamento de uma estrutura deve garantir que ela suporte, de forma segura, estável e sem deformações excessivas, todas as solicitações a que será submetida durante sua execução e utilização. Entretanto, não se pode pretender que uma estrutura tenha segurança total contra todos os fatores aleatórios que intervêm em uma edificação. Basicamente, a segurança está relacionada às seguintes incertezas: resistência dos materiais utilizados, pelas condições de execução da obra e pelos ensaios, que não reproduzem fielmente as situações reais; características geométricas da estrutura (falta de precisão na localização, na seção transversal dos elementos e na posição das armaduras); ações permanentes e variáveis; valores calculados das solicitações, que podem ser diferentes dos reais em virtude de todas as imprecisões inerentes ao processo de cálculo. Desta forma, em função de tais requisitos foram definidos os estados limites que segundo a NBR 8681 (2003) Ações e Segurança nas Estruturas são aqueles a partir dos quais a estrutura apresenta desempenho inadequado às finalidades da construção. Estes estados limites podem ser últimos ou de serviço.

20 ESTADO LIMITE ÚLTIMO OU DE RUÍNA (ELU) São aqueles relacionados ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação, no todo ou em parte, do uso da estrutura (ARAÚJO, 2003, v. 1, p. 52). De acordo com a NBR 8681 (2003) e a NBR 6118 (2003) Projeto de Estruturas de Concreto, este estado deve ser verificado para as seguintes situações: estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido; estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, devido às solicitações normais e tangenciais, admitindo-se a redistribuição de esforços internos, desde que seja respeitada a capacidade de adaptação plástica definida as verificações separadas das solicitações normais e tangenciais; estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem; estado limite último provocado por solicitações dinâmicas; estado limite último de colapso progressivo; outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos especiais. 2.2 ESTADO LIMITE DE SERVIÇO OU DE UTILIZAÇÃO (ELS) Segundo a NBR 6118 (2003) e a NBR 8681 (2003), o estado limite de serviço relaciona-se à durabilidade das estruturas, aparência, conforto do usuário e à boa utilização funcional das mesmas, seja em relação aos usuários, seja em relação às máquinas e aos equipamentos utilizados. Este estado deve ser verificado para as seguintes situações:

21 19 Estado limite de abertura das fissuras, onde as fissuras se apresentam com aberturas iguais ou menores aos valores máximos especificados pela normatização, para não comprometer a durabilidade ou o aspecto estético da estrutura; Estado limite de deformações excessivas, onde as deformações respeitam os limites estabelecidos conforme normatização para a utilização normal da construção, não afetando o aspecto estético e funcional; Estado limite de vibrações excessivas, onde as vibrações não ultrapassem os limites estabelecidos para a utilização normal da construção gerando desconforto. 2.3 AÇÕES As ações são influências capazes de produzirem estados de tensão e deformação nas estruturas. Segundo a NBR 6118 (2003), na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que possam produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-se em conta os possíveis estados limites últimos e os de serviço. De acordo com a NBR 8681 (2003), para o estabelecimento das regras de combinações as ações são classificadas segundo sua variabilidade no tempo, sendo: permanentes, variáveis ou excepcionais Classificação Ações Permanentes São as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a vida da construção. Também são consideradas como permanentes as ações que crescem no tempo, tendendo a um valor limite constante. De acordo com a NBR 8681(2003), consideram-se como ações permanentes:

22 20 a) Ações permanentes diretas: São constituídas pelos pesos próprios dos elementos da construção, incluindo-se o peso próprio da estrutura e de todos os elementos construtivos permanentes, os pesos dos equipamentos fixos e os empuxos devidos ao peso próprio de terras não removíveis e de outras ações permanentes sobre elas aplicadas. b) Ações permanentes indiretas: Podem ser os recalques de apoio, a retração e a fluência do concreto, a protensão (no caso do concreto protendido) e imperfeições geométricas nos pilares Ações Variáveis De acordo com a NBR 8681 (2003) são as cargas acidentais das construções, bem como efeitos, tais como forças de frenação, de impacto e centrífugas, os efeitos do vento, das variações de temperatura, do atrito nos aparelhos de apoio e, em geral, as pressões hidrostáticas e hidrodinâmicas. Em função de sua probabilidade de ocorrência durante a vida da construção, as ações variáveis são classificadas em normais ou especiais. a) Ações variáveis normais: Ações variáveis com probabilidade de ocorrência suficientemente grande para que sejam obrigatoriamente consideradas no projeto das estruturas de um dado tipo de construção. b) Ações variáveis especiais: Nas estruturas em que devam ser consideradas certas ações especiais, como ações sísmicas ou cargas acidentais de natureza ou de intensidade especiais, elas também devem ser admitidas como ações variáveis. As combinações de ações em que comparecem ações especiais devem ser especificamente definidas para as situações especiais consideradas.

23 Ações Excepcionais As ações denominadas excepcionais são aquelas que têm uma duração muito curta e uma probabilidade de ocorrência muito pequena durante a vida da construção, mas que devem se consideradas no projeto de determinados tipos de estruturas (ARAÚJO, 2003, v. 1, p. 56). De acordo com a NBR 8681 (2003), são as ações decorrentes de causas tais como explosões, choques de veículos, incêndios, enchentes ou sismos excepcionais. Os incêndios, ao invés de serem tratados como causa de ações excepcionais também pode ser levada em conta por meio de uma redução da resistência dos materiais constitutivos da estrutura Valores e Combinações Segundo a NBR 8681 (2003) as ações são quantificadas por seus valores representativos, podendo ser valores característicos, valores reduzidos e valores de cálculo. Os valores característicos das ações (F k ) são estabelecidos em função de suas variabilidades. Os valores característicos das cargas variáveis são aqueles que correspondem a valores que tem de 25% a 35% de probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos (CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO, 2004, p. 53). Para ações permanentes estes valores encontramse estabelecidos em normas específicas, como na NBR 6120 (1980) Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações. Os valores reduzidos são dados em função da combinação de ações para a verificação dos estados limites último e de serviço. Para a combinação de ações a NBR 8681 (2003) estabelece um coeficiente de segurança, γ f, pode ser considerado como o

24 22 produto de dois outros, γ f1 e γ f3 (o coeficiente de combinação ψ 0 faz o papel do terceiro coeficiente, que seria indicado por γ f2 ). O coeficiente parcial γ f1 leva em conta a variabilidade das ações e o coeficiente γ f3 considera os possíveis erros de avaliação dos efeitos das ações, seja por problemas construtivos, seja por deficiência do método de cálculo empregado. O desdobramento do coeficiente de segurança γ f em coeficientes parciais permite que os valores gerais especificados para γ f possam ser discriminados em função de peculiaridades dos diferentes tipos de estruturas e de materiais de construção considerados. Na NBR 6118 (2003) encontram-se duas tabelas de coeficientes de ponderação de ações, que considera muito baixa a probabilidade de ocorrerem simultaneamente duas ou mais ações variáveis de natureza diferente. A tabela 1 apresenta os coeficientes γ f1 x γ f3. A tabela 2 apresenta os coeficientes de ponderação γ f2. Combinações de ações Tabela 1 - Coeficientes γ f1 x γ f3 para ponderação de ações Fonte: NBR 6118 (2003) Ações Permanentes (g) Variáveis (q) Propensão (p) Recalques de apoio e retração D 1) F G T D F D F Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0 Especiais ou de construção 1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0 Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0 Onde: D é desfavorável, F é favorável, G é geral e T é temporária. 1) Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das estruturas, especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3.

25 23 Tabela 2 - Coeficientes γ f2 para ponderação de ações Fonte: NBR 6118 (2003) Cargas acidentais de edifícios Vento Temperatura Ações γ f2 Ψ 0 Ψ 1 1) Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de 0,5 0,4 0,3 elevadas concentrações de pessoas 2) Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada concentração de pessoas 3) 0,7 0,6 0,4 Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local Ψ 2 0,6 0,3 0 0,6 0,5 0,3 1) Para os valores de ψ relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 23. 2) Edifícios residenciais. 3) Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos. As combinações são feitas de modo que as ações permanentes sejam tomadas em sua totalidade, enquanto que as ações variáveis são tomadas apenas as parcelas que surtam efeitos desfavoráveis para a segurança (CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO, 2004, p. 56). Segundo a NBR 6118 (2003), as ações variáveis são separadas por naturezas, e em cada combinação é definido uma delas como sendo a principal, sendo as demais secundárias e, portanto, minoradas segundo os coeficientes de ponderação γ f2. Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período preestabelecido. A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura. A verificação da segurança em relação aos estados limites últimos e aos estados limites de serviço deve ser realizada em função de combinações últimas e combinações de serviço,

26 24 respectivamente (NBR 6118, 2003). Em função das combinações últimas admitidas, são definidos três tipos de carregamento, como disposto na tabela 3, conforme a NBR 6118 (2003). Combinações últimas (ELU) Tabela 3 - Combinações últimas Fonte: NBR 6118 (2003) Descrição Cálculo das solicitações Esgotamento da capacidade resistente para elementos estruturais de concreto armado1) Fd = γgfgk + γεgfεgk + γq (Fq1k + Σ ψojfqjk) + γεq ψoε Fqk Normais Esgotamento da capacidade resistente para elementos estruturais de concreto protendido Perda do equilíbrio como corpo rígido Deve ser considerada, quando necessário, a força de protensão como carregamento externo com os valores Pkmáx e Pkmin para a força desfavorável e favorável, respectivamente, conforme definido na seção 9 S (Fsd) S (Fnd) Fsd = γgs Gsk + Rd Fnd = γgn Gnk + γq Qnk - γqs Qs,min, onde: Qnk = Q1k + Σ ψoj Qjk Especiais ou de construção 2) Excepcionais 2) Fd = γg Fgk + γεg Fεgk + γq (Fq1k + Σ ψoj Fqjk) + γεq ψoε Fεqk Fd = γg Fgk + γεg Fεgk + Fq1exc + γq Σ ψoj Fqjk + γεq ψoε Fεqk Onde: Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última; Fgk representa as ações permanentes diretas; Fεk representa as ações indiretas permanentes como a retração Fεgk e variáveis como a temperatura Fεqk; Fqk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal; γg, γεg, γq, γεq ver tabela 11.1; ψoj, ψoε - ver tabela 11.2; Fsd representa as ações instabilizantes; Fnd representa as ações não instabilizantes; Gsk é o valor característico da ação permanente instabilizante; Rd é o esforço resistente considerado como instabilizante, quando houver; Gnk é o valor característico da ação permanente instabilizante; Qnk = Q1k + ; Qnk é o valor característico das ações variáveis instabilizantes; Q1k é o valor característico da ação variável instabilizante considerada como principal; ψ oj e Qjq são as demais ações variáveis instabilizantes, consideradas com seu valor reduzido; Qs,min é o valor característico mínimo da ação variável estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável instabilizante. 1) No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações onde o efeito favorável das cargas permanentes seja reduzido pela consideração de γg = 1,0. No caso de estruturas usuais de edifícios essas combinações que consideram γg reduzido (1,0) não precisam ser consideradas. 2) Quando Fg1k ou Fg1exc atuarem em tempo muito pequeno ou tiverem probabilidade de ocorrência muito baixa ψ 0j, pode ser substituído por ψ2j.

27 25 De acordo com NBR 6118 (2003), as combinações de serviço são classificadas de acordo com sua permanência e devem ser verificadas com estabelecido a seguir: a) quase permanentes: podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações excessivas; b) freqüentes: se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites e formação de fissuras, abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser consideradas para verificações de estados limites de deformações excessivas decorrentes de vento ou temperatura que podem comprometer as vedações; c) raras: ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de formação de fissuras. Para as combinações de serviço, a NBR 6118 (2003) também fixou alguns parâmetros (Tabela 4). Tabela 4 - Combinações de serviço Fonte: NBR 6118 (2003) Combinações de serviço (ELS) Descrição Cálculo das solicitações Combinações quase permanentes de serviço (CQP) Combinações freqüentes de serviço (CF) Combinações raras de serviço (CR) Nas combinações quase permanentes de serviço, todas as ações variáveis são consideradas com seus valores quase permanentes ψ2 Fqk Nas combinações freqüentes de serviço, a ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor freqüente ψ1 Fq1k e todas as demais ações variáveis são tomadas com seus valores quase permanentes ψ2 Fqk Nas combinações raras de serviço, a ação variável principal Fq1 é tomada com seu valor característico Fq1k e todas as demais ações são tomadas com seus valores freqüentes Ψ1 Fqk Fd, ser = Σ Fgi,k + Σ ψ2j Fqj,k Fd,ser = Σ Fgik + ψ1 Fq1k + Σ ψ2j Fqjk Fd,ser = Σ Fgik + Fq1k + Σ ψ1j Fqjk Onde: Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço; Fq1k é o valor característico das ações variáveis principais diretas; ψ1 é o fator de redução de combinação freqüente para ELS; ψ2 é o fator de redução de combinação quase permanente para ELS.

28 RESISTÊNCIA De acordo com a NBR 8681 (2003), a resistência é a aptidão da matéria de suportar tensões. Do ponto de vista prático, a medida dessa aptidão é considerada com a própria resistência. A resistência é determinada convencionalmente pela máxima tensão que pode ser aplicada a corpo-de-prova do material considerado, até o aparecimento de fenômenos particulares de comportamento além dos quais há restrições de emprego do material em elementos estruturais. De modo geral estes fenômenos são os de ruptura ou de deformação específica excessiva. As resistências de cálculo dos materiais, aço e concreto, são obtidas dividindose a resistência característica por um coeficiente de segurança, ou seja, coeficiente de minoração da resistência. Para o concreto usualmente adota-se a resistência de cálculo à compressão f cd, dada por: (2.4.1) Para o aço, é dado por: (2.4.2) Os coeficientes de minoração para resistência de cálculo no estado limite último é fornecido pela tabela 5. Tabela 5 - Valores dos Coeficientes e Fonte: NBR 6118 (2003) Combinações Concreto ( ) Aço ) Normais 1,4 1,15 Especiais ou de construção 1,2 1,15 Excepcionais 1,2 1,0 As verificações referentes aos estados limites de serviço não necessitam

29 27 minoração dos coeficientes dos materiais, adotando-se (NBR 6118, 2003). 2.5 SEGURANÇA De acordo com a NBR 8681 (2003), a segurança das estruturas deve ser verificada em relação a todos os possíveis estados que são admitidos como limites para a estrutura considerada. A segurança em relação aos estados limites é verificada tanto pelo respeito às condições analíticas quanto pela obediência às condições construtivas. As condições analíticas de segurança estabelecem que as resistências não devam ser menores que as solicitações e devem ser verificadas em relação a todos os estados limites e todos os carregamentos especificados para o tipo de construção considerado, ou seja, em qualquer caso deve ser respeitada a condição (NBR 6118, 2003): (2.5.1) Os valores representativos das variáveis envolvidas nos projetos são definidos a partir de suas distribuições de probabilidade. Desta forma, as resistências dos materiais e as ações são consideradas aleatórias. Este método é chamado de método probabilístico, onde é baseado na probabilidade de ruína (Figura 3). O valor da probabilidade de ruína é fixado pelas normas e embutido nos parâmetros especificados. (PINHEIRO, 2003).

30 28 Figura 3 - Esquema dos métodos probabilísticos Fonte: PINHEIRO (2003) Segundo PINHEIRO (2003), no método semiprobabilístico ou método dos coeficientes parciais de segurança, que pode ser representado no esquema da figura 4, a idéia básica é: a) Majorar ações e esforços solicitantes (valores representativos das ações), resultando nas ações e solicitações de cálculo, de forma que a probabilidade desses valores serem ultrapassados é pequena; b) Reduzir os valores característicos das resistências (fk), resultando nas resistências de cálculo, com pequena probabilidade dos valores reais atingirem esse patamar; c) Equacionar a situação de ruína, fazendo com que o esforço solicitante de cálculo seja igual à resistência de cálculo. Figura 4 - Esquema do método dos coeficientes parciais de segurança Fonte: PINHEIRO (2003)

31 29 3 GENERALIDADES E DIMENSIONAMENTO DAS LAJES E VIGAS Para o dimensionamento de uma seção transversal de concreto armado, submetida à flexão, é preciso estabelecer algumas hipóteses básicas. Embora o concreto armado seja constituído de dois materiais, concreto e aço, para fins de simplificação de cálculo, este pode ser considerado homogêneo. Admite-se aderência perfeita entre os materiais, nenhum escorregamento da armadura é considerado. Outra hipótese é que este é um material elástico, ou seja, quando solicitado, ele sofrerá deformações, no entanto, cessada a solicitação, voltará a sua forma inicial. Será considerado como material isótropo, que possui as mesmas propriedades em qualquer uma das direções estudadas. Também será desprezada totalmente a resistência a tração do concreto, desta forma, todo o esforço de tração será resistido pelas armaduras (ARAÚJO, 2003, v.1, p. 75). O dimensionamento é feito no estado limite último de ruína, impondo que na seção mais solicitada sejam alcançadas as deformações especificas limites dos materiais, ou seja, a ruptura do concreto ou deformação excessiva da armadura (CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO, 2004, p. 105). Segundo ARAÚJO (2003, v. 1, p. 79) admite-se a ocorrência da ruína, quando a distribuição das deformações ao longo da altura de uma seção transversal se enquadrar em um dos domínios da figura 5, na qual caracterizam os seguintes tipos de ruína: a) deformação excessiva da armadura: quando a deformação na armadura mais tracionada atingir o valor 10 (domínios 1 e 2) b) esmagamento do concreto em seções parcialmente comprimidas: quando a deformação na fibra mais comprimida atingir o valor 3,5 (domínios 3, 4 e4a) c) esmagamento do concreto em seções totalmente comprimidas: quando a deformação na fibra situada às 3h/7 da borda mais comprimida atingir o valor 2, sendo h a altura da seção (domínio 5)

32 30 Figura 5 - Gráfico dos domínios Fonte: NBR 6118 (2003) Nos domínios 2, 3 e 4 ocorre a ruptura do concreto armado em peças submetidas à flexão simples, que podem ser classificadas de acordo com o tipo de ruptura como subarmadas, normalmente armadas e superarmadas, respectivamente. Como o cálculo de dimensionamento das estruturas de concreto armado será feito no estado limite último, cujo objetivo principal é de projetar estruturas que resistam aos esforços sem chegar ao colapso, ou seja, no estádio III de deformação (Figura 6), onde as ações são majoradas e a resistências minoradas. Neste estádio a zona comprimida encontra-se plastificada e o concreto dessa região está na iminência da ruptura. E são verificados para o estado limite de serviço, que corresponde ao estádio I, no qual o concreto não se encontra fissurado, de modo que toda a seção colabora na resistência aos esforços de tração existentes, e no estádio II, onde o concreto fissura, não mais colaborando com a resistência à tração. Segundo CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO, (2004, p. 109) muitas vezes o próprio cálculo no estado limite último e o bom detalhamento da armadura conduz ás verificações do estado limite de serviço.

33 31 Figura 6 Comportamento do concreto armado na flexão pura (Estádios I, II e III) Fonte: PINHEIRO (2007) No cálculo da armadura longitudinal das vigas e lajes utiliza-se a teoria da flexão. No caso de lajes, a largura tomada para o cálculo é uma faixa unitária (geralmente um metro), devendo-se detalhar a armadura para cada unidade de faixa padrão. A dedução da formula que se utiliza no cálculo das armaduras pode ser

34 32 encontrada em CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2004, p. 120). A área de aço As necessária para uma altura h ou espessura, no caso das lajes, e considerando uma largura de um metro, submetida a um momento de cálculo M d é: De posse do cálculo da armadura, pode-se verificar a posição da linha neutra conferindo se esta de acordo com os parâmetros estabelecidos na NBR 6118 (2003). Observa-se na figura 7 uma representação da seção transversal da viga ou laje e do diagrama de tensão destes, onde nota-se a representação da altura da linha neutra x, das deformações do aço e do concreto ε s e ε c, respectivamente, do braço de alavanca z, do momento de cálculo M d aplicado, além de outros dados da seção. var x ec Dd d h z Md Zd d' es Figura 7 - Equilíbrio da Seção Transversal Fonte: SUSSEKIND (1989). As lajes podem ser armadas em duas ou em uma direção. As lajes armadas em uma direção são aquelas em que a relação entre os vãos é superior a 2. Neste caso o momento fletor na direção do maior vão é pequeno e sendo calculado para verificar se armadura a ser adotada será uma armadura de distribuição ou equivalente ao esforço, onde deve-se tomar o maior valor entre estes (ARAÚJO, 2003, v. 2, p. 7). Segundo a NBR 6118 (2003) a armadura mínima de tração, em elementos

35 33 estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão (3.2), respeitando a taxa mínima de absoluta de 0,15%. (3.2) Forma da seção mín Tabela 6 - Taxas mínimas de armaduras Fonte: NBR 6118 (2003) fck Valores de ρ min 1) (A s,min /A c ) % Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 T (mesa comprimida) T (mesa tracionada) 0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197 0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0, ,255 Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575 1) Os valores de min estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γ c = 1,4 e γ s = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, min deve ser recalculado com base no valor de mín dado. NOTA - Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante. Em elementos estruturais superdimensionados, pode-se utilizar armadura menor que a mínima, com valor obtido a partir de um momento fletor igual ao dobro de, devendo considerar todas as combinações possíveis de carregamento e cuidado com o diâmetro e espaçamento das armaduras de limitação de fissuração. No caso de lajes, a norma estabelece uma tabela que oferece parâmetros para escolha das armaduras. Como por exemplo, os critérios para armaduras de distribuição (20% da armadura principal, 0,9 cm²/m ou 0,5ρ min, onde se deve tomar o maior valor dentre estes), as armaduras positivas sofrem uma redução, para 67% da taxa de armadura mínima, caso a laje seja armada em duas direções. Estas considerações podem ser encontradas na tabela 7.

36 34 Armadura Tabela 7 Valores mínimos para armaduras de lajes Fonte: NBR 6118 (2003) Elementos estruturais sem armaduras ativas Elementos estruturais com armadura ativa aderente Elementos estruturais com armadura ativa não aderente Armaduras negativas s min s min p 0,67 min s min - 0,5 p 0,67 min (ver item ) Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção Armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção s 0,67 min s 0,67 min p 0,5 min s min - 0,5 p 0,5 min s min s min p 0,5 min s min - 0,5 p 0,5 min A s/s 20 % da armadura principal As/s 0,9 cm²/m - s 0,5 min Onde: s A s/b w h e p A p/b w h. NOTA - Os valores de min constam na tabela Para o cálculo dos deslocamentos, que é uma verificação dos estados limites de serviço, segundo a NBR 6118 (2003) deve ser feito utilizando modelos que levem em consideração a rigidez efetiva da seção de concreto armado, ou seja, devem ser levadas em consideração a presença da armadura, a existência de fissuras no concreto e as deformações diferidas ao longo do tempo. Segundo SANTOS (2009, p. 30) as deformações podem ser imediatas ou diferidas. A deformação imediata é a que acontece no momento de aplicação do carregamento, sendo que a diferida ocorre ao longo do tempo de atuação deste carregamento, provocado pelos efeitos de fluência (fenômeno em que surgem deformações em um elemento solicitado por uma tensão constante) e retração do concreto (variação volumétrica existente em peças de concreto devido, principalmente, à saída de água existente em seu interior). Para o cálculo da deformação imediata, a NBR 6118 (2003) indica uma equação, adaptada da equação de Branson, que leva em consideração que numa peça de

37 35 concreto armado submetida à flexão, existem trechos não fissurados e fissurados, ou seja, no estádio I e trechos no estádio II. Assim, para o cálculo dos deslocamentos no estádio II, esta seção de concreto é desprezada, sendo necessário um cálculo de inércia equivalente, que leva em consideração o concreto da zona comprimida e o aço da zona tracionada. A equação da NBR calcula a rigidez equivalente, sendo possível encontrar o deslocamento do elemento estrutural em questão (Equação 3.3). {( ) [ ( ) ] } Onde: I c é o momento de inércia da seção bruta de concreto; I II é o momento de inércia da seção fissura de concreto no estádio II; M a é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão para elementos biapoiados ou contínuos e momento no apoio para balanços; M r é o momento de fissuração do elemento estrutural; E cs é o módulo de elasticidade secante do concreto. No qual o momento de fissuração M r é dado por: Onde: α = 1,2 para seções T ou duplo T; α = 1,2 para seções retangulares; α é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com

38 36 a resistência à tração direta; é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada; é o momento de inércia da seção bruta de concreto; é a resistência à tração direta do concreto. A NBR 6118 (2003) utiliza para o cálculo da flecha diferida um método em que tal deformação é calculada pela multiplicação da flecha imediata por um fator α f, obtido pela equação (3.4). Onde: (o valor de ρ será ponderado no vão de maneira análoga ao cálculo da inércia equivalente); A s é a área de armadura de compressão no trecho considerado; ξ é um coeficiente em função do tempo, que pode ser obtido diretamente da tabela 7, retirada na NBR 6118 (2003), ou então calculada pelas equações (3.5). { Sendo ; Tempo (t) Meses Coeficiente Tabela 8 -Coeficientes ξ em função do tempo Fonte: NBR 6118 (2003) 0 0, ,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2

39 37 Onde: t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida; t 0 é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. No caso de parcelas de carga de longa duração serem aplicadas em idade diferente, pode-se tomar, para t 0, o valor ponderado a seguir (3.6). Onde: P i representa as parcelas de carga; t 0i é a idade em que se aplicou cada parcela P i. O vão de cálculo ou vão efetivo é a distância entre os centros dos apoios. Entretanto pela NBR 6118 (2003), não é necessário adotar valores maiores que, onde h é a espessura da laje. O vão efetivo de vigas pode ser calculado por, sendo que e iguais ao menor valor entre ( e e e, respectivamente (Figura 8).

40 38 a) Apoio de vão extremo b) Apoio de vão intermediário Figura 8 Vão efetivo Fonte: NBR 6118 (2003) Quando a largura das vigas de apoio não é muito grande, as diferenças entre centros dos apoios e os limites indicados anteriormente são pequenas. Assim nos casos correntes dos edifícios é usual adotar como vão efetivo a distância entre os centros dos apoios. Esta consideração também é aplicada as vigas. Para os deslocamentos dos elementos estruturais a NBR 6118 (2003) estabelece diversos limites determinados de modo a evitar que os deslocamentos da estrutura causem sensações desagradáveis aos usuários, impeçam a utilização adequada da construção e causem danos em elementos estruturais. Tais limites devem garantir a validade de pequenos deslocamentos, usualmente admitida na analise estrutural. Assim o limite a ser adotado para um deslocamento é em função do dano que se quer evitar. A NBR estabelece que para lajes que não estejam em balanço à flecha não deve ultrapassar o limite de onde é o menor vão da laje.

41 39 4 MÉTODO DAS CHARNEIRAS PLÁSTICAS O método das charneiras plásticas, ou método de ruptura, para o cálculo das lajes teve seu primeiro desenvolvimento no trabalho de K. W. Johansen, em artigo publicado em 1932, nas memórias da Associação Internacional de Pontes e Estruturas, baseando-se em experiências feitas por Hage Ingerlew, em 1921 (ROCHA, 1972, p. 91). Em seu surgimento, o método teve uma grande aceitação pela possibilidade de se calcular lajes de formas irregulares, o que era praticamente impossível à época. Atualmente, a teoria das linhas de ruptura perdeu seu lugar, em virtude da disponibilidade de recursos computacionais e métodos numéricos mais avançados (ARAÚJO, 2003, v. 2, p. 74). A finalidade da teoria das charneiras plásticas é a determinação dos momentos de plastificação que se devem atribuir à laje em estudo para que a ruína não se dê sob a ação de cargas inferiores às impostas pelo projetista, já multiplicadas pelos respectivos coeficientes de segurança (LANGENDONCK, 1970, p. 5). A teoria considera o equilíbrio da laje no momento que antecede a ruína, ou seja, no estado limite último. Uma das suas desvantagens é não permitir analisar o comportamento do elemento nas condições de utilização. (ARAÚJO, 2003, v. 2, p. 74). Segundo GONZALEZ (1997, p. 14), as hipóteses fundamentais que constituem as bases da teoria das charneiras plásticas são as seguintes: a) o material é considerado rígido-plástico, ou seja, as deformações elásticas são desprezadas em face das deformações plásticas; b) as lajes devem ser subarmadas, isto é, taxas de armaduras devem ser pequenas e suficientes para que não ocorra ruptura do concreto por compressão antes do escoamento das armaduras, permitindo completo desenvolvimento das linhas de

42 40 plastificação e conseqüentemente do mecanismo de colapso; c) ao longo e nas vizinhanças de cada charneira o momento fletor é considerado constante e igual ao momento máximo que a laje pode resistir; d) não deverá haver ruína prematura por cisalhamento ou por punção. A ruína da estrutura deve ocorrer com formação de um mecanismo de colapso. A NBR 6118 (2003) permite a utilização da teoria das charneiras plásticas quando as deformações das seções das lajes estiverem no domínio 2 ou 3, ou seja, peças subarmadas ou normalmente armadas (Figura 5). Tais seções apresentam uma relação momento fletor-curvatura, de acordo com a figura 9. Figura 9 - Relação momento-curvatura para seções subarmadas ou normalmente armadas Fonte: ARAÚJO (2003) Observa-se na figura 9 que a curvatura elástica, acumulada até o inicio do escoamento da armadura, é pequena em relação à curvatura de ruína. Por serem pequenas as deformações elásticas em face das plásticas, elas são desprezadas adotando o comportamento rígido-plástico (Figura 10).

43 41 Figura 10 - Modelo rígido-plástico idealizado Fonte: ARAÚJO (2003) 4.1 ISOTROPIA, ANISOTROPIA E ORTOTROPIA As lajes denominadas isótropas são as que apresentam mesma resistência a flexão, independente da direção da seção transversal considerada. Para que uma laje com armadura disposta ortogonalmente seja considerada isótropa basta que os momentos de plastificação nas direções x e y sejam iguais. Os momentos de plastificação da laje podem ser diferentes de acordo com a direção da seção considerada (placas anisotrópicas), mas admite-se que para cada direção sejam sempre os mesmos em toda a laje, ou seja, a distribuição das armaduras se faz igualmente. Se uma laje anisotrópica possuir armaduras dispostas em direção ortogonais e momentos de plastificação positivos e negativos, e se esses momentos positivos mantiverem entre si uma relação idêntica à relação entre os momentos de plastificação negativos correspondentes a laje será considerada ortótropa. A ruína da laje só se dará com a formação de linhas de plastificação, onde o momento de plastificação é atingido, constituindo as charneiras plásticas. Como a direção dessas charneiras não é obrigatoriamente perpendicular às barras das armaduras, há necessidade de se conhecer o momento de plastificação das seções que fazem com a direção da armadura ângulo diferentes do ângulo reto (LANGENDONCK,

44 , p. 8). Segundo ARAÚJO (2003, v. 2, p.76), representa-se um elemento de laje submetido a momentos de fletores por unidade de comprimento M x, M y e uma seção transversal com uma inclinação genérica α em relação ao eixo x, conforme figura 11. Figura 11 - Momento fletor em uma seção inclinada Fonte: ARAÚJO (2003) Os momentos resultantes nas direções x e y são dados por: (4.1.1) Já que o comprimento deste lado é igual a 1, o momento fletor resultante na seção inclinada é igual ao próprio momento por unidade de comprimento, M α. Decompondo os momentos e na direção inclinada: (4.1.2) e substituindo (4.1.1):

45 43 (4.1.3) Como se constata através da equação (4.1.3) o momento de ruína independe da direção considerada, laje isotrópica. Se a laje é ortotrópica, tem-se: (4.1.4) O coeficiente k é o denominado coeficiente de ortotropia e deve ser escolhido adequadamente, para evitar grandes desvios da solução elástica. Introduzindo (4.1.4) em (4.1.3), obtém-se uma equação (4.1.5) que permite expressar o momento fletor em uma seção genérica em função do momento e do coeficiente de ortotropia. (4.1.5) 4.2 CONFIGURAÇÕES DAS CHARNEIRAS A formação das charneiras que dão lugar à ruína da laje deve obedecer, equivalentemente, a determinadas condições, para que a deformação da laje que acompanha sua ruína seja geometricamente possível, tendo em vista que os elementos da laje delimitados pelas charneiras permaneceram planos (LANGENDONCK, 1970, p. 10). Segundo GONZALEZ (1997, p. 16), alguns fatores que precisam ser considerados nas diversas configurações das charneiras: a) considerações de apoio: ao longo dos contornos formam-se charneiras superiores ou negativas, pois correspondem aos momentos considerados negativos. Cada charneira passa pelo ponto de intersecção dos eixos de rotação das regiões adjacentes (Figura 12). Estes eixos coincidem com os lados simplesmente apoiados, com lados engastados ou passam pelos pontos de apoios isolados, sendo neste caso uma direção indeterminada (Figura 13);

46 44 b) natureza e distribuição das cargas: cargas distribuídas geralmente dão origem a charneiras retilíneas, enquanto que as cargas concentradas podem acarretar charneiras curvas; c) disposição das armaduras: as condições de trabalho da laje serão definidas de acordo com as disposições que se queria adotar para as armaduras. Figura 12 - Configuração das charneiras Fonte: LANGENDONCK (1970)

47 45 Figura 13 - Configuração das charneiras que passam pelos pontos isolados Fonte: LANGENDONCK (1970) Quando em uma laje houver um contorno curvilíneo, de acordo com a figura 14, o mesmo pode ser considerado como limite para o qual tende o contorno poligonal, como lados cujos comprimentos tendem a zero. As charneiras que deveriam convergir para os vértices do polígono ficarão encostadas umas nas outras, e formarão uma superfície regrada não plana que se admite ser possível. Figura 14 - Configuração das charneiras com contorno curvilíneo Fonte: LANGENDONCK (1970)

48 REAÇÕES DE APOIO As vigas de apoio da laje são consideradas suficientemente rígidas para que sua deformação não altere os resultados obtidos e suficientemente resistentes para não romperem junto com a laje (LANGENDONCK, 1970, p. 12). De acordo com a NBR 6118 (2003), para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares com carga uniforme podem ser feitas as seguintes aproximações: a) as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados através das charneiras plásticas, sendo que essas reações podem ser, de maneira aproximada, consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos estruturais que lhes servem de apoio; b) quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas por retas inclinadas, a partir dos vértices com os seguintes ângulos (Figura 15): 45 entre dois apoios do mesmo tipo; 60 a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado; 90 a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. Figura 15 - Inclinação das linhas de ruptura para cálculo das reações de apoio Fonte: ARAÚJO (2003)

49 47 5 ANALOGIA DE GRELHA O método de resolução numérica por Analogia de Grelha consiste em substituir a placa por uma malha, formando uma grelha, a qual é composta por vigas ortogonais entre si, sendo essas barras paralelas e transversais aos eixos principais da placa, interconectadas nos seus nós ou pontos nodais, conforme figura 16 (HENNRICHS, 2003, p. 69). Figura 16 - Lajes planas discretizada em uma grelha plana Fonte: HENNRICHS (2003) Segundo STRAMANDINOLI (2003, p. 26), esta técnica foi inicialmente idealizada por Marcus em 1932, que não dispunha, na época, de computadores e, portanto era preciso se valer de processos aproximados para resolver as lajes. Em 1959, com a constatação de que a análise de grelhas e pórticos planos pelo método dos deslocamentos era bastante parecida, LIGHTFOOT e SAWKO adaptaram um programa de cálculo de pórtico plano para o cálculo de grelhas. Mais tarde, HAMBLY (1976) sistematizou este estudo para o cálculo de tabuleiros de pontes.

50 48 Mais recentemente, a técnica vem sendo utilizada como uma opção na analise de lajes usuais de edifícios. Segundo COELHO e LORIGGIO (apud HAMBLY, 2002) os avanços significativos feitos nos programas de Analogia de Grelha nos últimos anos tornam esse procedimento mais versátil, mais rápido, e mais simples de compreender do que os demais. No processo de aplicação da técnica deve-se garantir que as rigidezes das barras sejam tais que, ao submeterem-se as duas estruturas a um mesmo carregamento (Figura 17), elas se deformem de maneira idêntica e que os esforços solicitantes em qualquer barra de grelha sejam iguais as resultantes das tensões na seção transversal da parte da laje que a barra representa (BUENO apud BARBOSA, 2008, p. 21). Figura 17 - (a) Laje Maciça; (b) Grelha Equivalente Fonte: STRAMANDINOLI, 2003 De acordo com CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2004, p. 366), este processo permite reproduzir o comportamento estrutural de pavimentos com praticamente qualquer geometria, seja ele composto de lajes de concreto armado maciças, com ou sem viga, ou de lajes nervuradas. Para que isto seja possível, dividese o pavimento em questão em faixas com larguras tais que possam representar do melhor modo possível o pavimento. A resolução do problema é feita através de analise matricial, sendo, portanto, um método de fácil elaboração e resolução rápida,

51 49 principalmente quando auxiliado por computador. O método de Analogia de Grelha possui alguns inconvenientes tais como: a rigidez de uma viga de seção retangular é dada por, enquanto que na placa, considerando uma faixa de largura b e com a mesma altura da viga, é dada por,que leva em consideração o coeficiente de Poisson ν, o que mostra que a placa é normalmente mais rígida que a viga; o momento em uma barra depende apenas de sua curvatura, enquanto que em uma laje, o momento em qualquer direção depende da curvatura naquela direção e na direção ortogonal. Entretanto, depois de comparar os resultados das lajes maciças, obtidos através do processo de analogia de grelha, com os resultados fornecidos através do cálculo como placa pela teoria da elasticidade, pode-se dizer que os resultados obtidos com essa analogia são satisfatórios (STRAMANDINOLI, 2003, p. 27). Os deslocamentos que podem ocorrer nos nós de uma estrutura são, basicamente, três translações e três rotações. Estes deslocamentos possíveis são chamados de graus de liberdade, ou seja, cada deslocamento possível de um nó é um grau de liberdade. Considera-se a grelha contida no plano XY, e as cargas externas atuantes perpendicularmente a este plano, na direção Z, com sentido positivo obedecendo à regra da mão direita. No caso da grelha existem três graus de liberdade por nó, ou seja, duas rotações (θ 1 e θ 2 ) e uma translação no eixo z, conforme figura 18. Figura 18 - Graus de liberdade em um nó de grelha. δ z representa a translação, θ 1 e θ 2 representam as rotações em torno dos eixos X e Y. Fonte: HENNRICHS (2003)

52 50 As cargas atuantes na laje provenientes do peso-próprio, revestimentos, paredes divisórias, cargas acidentais e outras que possam estar atuando na estrutura, atuam perpendicularmente ao plano XY e podem ser representadas de duas maneiras: como cargas distribuídas ao longo das barras e como cargas concentradas nos nós. Para ambos os casos a carga deve ser calculada através da área de influência do elemento (barra ou nó) como mostra a figura 19. Os efeitos de flexão são os mais importantes para a analise da grelha, entretanto, os efeitos de torção também devem devam ser considerados (HENNRICHS, 2003, p. 69). Figura 19 - Carregamento uniformemente distribuído nas barras (carga p) e carregamento concentrado nos nós (carga P1) e nas barras (carga P2) Fonte: HENNRICHS, 2003

53 51 6 MODELAGEM E RESULTADOS OBTIDOS Para a comparação entre os métodos de dimensionamento de lajes maciças convencionais apoiadas sobre vigas, foi escolhido um projeto, calculado pelo escritório de Clodoaldo Freitas Projetos Estruturais Ltda, do pavimento tipo (Figura 20). O cálculo, dos esforços e das flechas, e o detalhamento das lajes e vigas foram feitos por dois softwares de cálculo estrutural, SISTRUT e TQS. Ambos conhecidos pelo mercado, que utilizam como método de analise o das charneiras plásticas e de analogia de grelha, respectivamente. A discretização utilizada das barras de grelha foi de 35 cm. Figura 20 - Planta de formas do pavimento tipo Ver Anexo A

54 CARACTERÍSTICAS GERAIS DA OBRA O projeto consiste em um pavimento tipo de edifício residencial, que possui dois apartamentos, ambos com duas suítes, lavabo, sala, cozinha, área de serviço, dependência e varanda, e área comum com dois elevadores, escada e hall de acesso (Figura 21). No total de área construída de 219,22 m². Figura 21 - Planta baixa pavimento tipo

55 53 Foi utilizado concreto com resistência característica de 30 MPa (fck). Para os carregamentos distribuídos por área, além do peso próprio, calculado automaticamente pelos softwares de cálculo estrutural, atribuiu-se para revestimento 120 kg/m² e carga acidental 150 kg/m². Também foi considerado o carregamento distribuído linearmente devido ao peso próprio das paredes, de acordo com a figura 22, na qual tal carregamento esta identificado pela hachura em azul e rosa. A escada não foi modelada conjuntamente com a estrutura, no entanto sua carga equivalente foi aplicada nos apoios (Figura 22). Figura 22 - Carregamento distribuído linearmente no pavimento tipo

56 54 Na modelagem do pavimento de lajes levou-se em consideração os limites estabelecidos na NBR 6118 (2003) para as espessuras de lajes. Segundo esta NBR, a espessura mínima para lajes maciças de piso é de 7 cm. No SISTRUT, fornecendo o carregamento, o programa sugere espessuras mínimas necessárias para cada laje, de posse destes dados foram estabelecidas as espessuras de 10 cm para as lajes L1, L5, L11 e L17 e de 8 cm para as demais. No pré-dimensionamento das vigas as dimensões foram estabelecidas levando em consideração para a altura o tamanho dos vãos efetivos a serem vencidos (L/12 para vigas bi-apoiadas) e acabamento de esquadrias. Para as espessuras foram levadas em conta as restrições arquitetônicas, devido a este motivo as vigas internas são de largura 12 cm, em sua grande maioria, algumas vigas servirem de apoio para outras vigas, recebendo assim cargas elevadas concentradas, necessitando uma espessura maior, 20 cm, e as vigas externas de 14 cm. 6.2 ANALISE DOS RESULTADOS OBTIDOS DAS LAJES No programa TQS verificaram-se os deslocamentos encontrados no pavimento, no qual existe uma interação entre os elementos envolvidos no dimensionamento. Foram encontrados maiores deslocamentos nas lajes grandes, como era de se esperar. A laje L1 e a sua simétrica, L17 (Anexo A), apresentaram maiores deslocamentos, pois uma de suas vigas (V101 = V114) de bordo possuía um vão efetivo grande (9,15 m), sendo assim ambas as lajes deformavam junto com a viga. Sua deformação máxima foi de 1,02 cm (Figura 23), abaixo dos 1,21 cm, que é o limite estabelecido na NBR 6118 (2003). Este limite é calculado como sendo L/250 do menor vão.

57 55 Figura 23 - Deslocamentos das lajes gerados TQS O método das charneiras plásticas apresentou valores menores de momentos em comparação ao de analogia de grelhas, principalmente no que diz respeito aos momentos positivos das lajes com vãos maiores. Os valores dos momentos negativos nessas lajes foram de mesma ordem de grandeza. As diferenças significativas se devem as simplificações que o modelo de ruptura admite em sua analise, a saber, da