Eliminação de parâmetros perturbadores em um modelo de captura-recaptura

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CCET) PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ESTATÍSTICA Luis Ernesto Bueno Salasar Eliminação de parâmetros perturbadores em um modelo de captura-recaptura Tese apresentada ao Departamento de Estatística da Universidade Federal de São Carlos - DEs/UFSCar, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Estatística. São Carlos 20

2 Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária/UFSCar S6ep Salasar, Luis Ernesto Bueno. Eliminação de parâmetros perturbadores em um modelo de captura-recaptura / Luis Ernesto Bueno Salasar. -- São Carlos : UFSCar, f. Tese Doutorado) -- Universidade Federal de São Carlos, 20.. Estatística. 2. Estimativas de máxima verossimilhança. 3. Tamanho populacional. 4. População fechada. I. Título. CDD: a )

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4 Resumo O processo de captura-recaptura, amplamente utilizado na estimação do número de elementos de uma população de animais, é também aplicado a outras áreas do conhecimento como Epidemiologia, Linguística, Conabilidade de Software, Ecologia, entre outras. Uma das primeiras aplicações deste método foi feita por Laplace em 783, com o objetivo de estimar o número de habitantes da França. Posteriormente, Carl G. J. Petersen em 889 e Lincoln em 930 utilizaram o mesmo estimador no contexto de populações de animais. Este estimador cou conhecido na literatura como o estimador de Lincoln-Petersen. Em meados do século XX muitos pesquisadores se dedicaram à formulação de modelos estatísticos adequados à estimação do tamanho populacional, o que causou um aumento substancial da quantidade de trabalhos teóricos e aplicados sobre o tema. Os modelos de captura-recaptura são construídos sob certas hipóteses relativas à população, ao processo de amostragem e às condições experimentais. A principal hipótese que diferencia os modelos diz respeito à mudança do número de indivíduos da população durante o período do experimento. Os modelos que permitem que haja nascimentos, mortes ou migração são chamados de modelos para população aberta, enquanto que os modelos em que tais eventos não são permitidos são chamados de modelos para população fechada. Neste trabalho, o objetivo é caracterizar o comportamento de funções de verossimilhança obtidas por meio da utilização de métodos de eliminação de parâmetros perturbadores, no caso de modelos para população fechada. Baseado nestas funções de verossimilhança, discutimos métodos de estimação pontual e intervalar para o tamanho populacional. Os métodos de estimação são ilustrados através de um conjunto de dados reais e suas propriedades frequentistas são analisadas via simulação de Monte Carlo. Palavras-chave: Captura-recaptura. Eliminação de parâmetros perturbadores. Estimação de máxima verossimilhança. Intervalos de conança. Função de verossimilhança condicional. Função de verossimilhança integrada. Função de verossimilhança perlada. População fechada. Tamanho populacional.

5 Abstract The capture-recapture process, largely used in the estimation of the number of elements of animal population, is also applied to other branches of knowledge like Epidemiology, Linguistics, Software reliability, Ecology, among others. One of the rst applications of this method was done by Laplace in 783, with aim at estimate the number of inhabitants of France. Later, Carl G. J. Petersen in 889 and Lincoln in 930 applied the same estimator in the context of animal populations. This estimator has being known in literature as Lincoln-Petersen estimator. In the mid-twentieth century several researchers dedicated themselves to the formulation of statistical models appropriated for the estimation of population size, which caused a substantial increase in the amount of theoretical and applied works on the subject. The capture-recapture models are constructed under certain assumptions relating to the population, the sampling procedure and the experimental conditions. The main assumption that distinguishes models concerns the change in the number of individuals in the population during the period of the experiment. Models that allow for births, deaths or migration are called open population models, while models that does not allow for these events to occur are called closed population models. In this work, the goal is to characterize likelihood functions obtained by applying methods of elimination of nuissance parameters in the case of closed population models. Based on these likelihood functions, we discuss methods for point and interval estimation of the population size. The estimation methods are illustrated on a real data-set and their frequentist properties are analised via Monte Carlo simulation. Keywords: Capture-recapture. Closed population. Conditional likelihood function. Condence intervals. Elimination of nuisance parameters. Integrated likelihood function. Maximum likelihood estimation. Prole likelihood function. Population size.

6 Sumário Introdução p. 6 2 Modelo Binomial p Modelo Estatístico p Funções de Verossimilhança p Função de Verossimilhança Perlada p Função de Verossimilhança Condicional p Função de Verossimilhança Integrada Uniforme p Função de Verossimilhança Integrada de Jereys p. 2 3 Estimação de Máxima Verossimilhança e Intervalar p Estimação de Máxima Verossimilhança p Função de Verossimilhança Perlada p Função de Verossimilhança Condicional p Função de Verossimilhança Integrada Uniforme p Função de Verossimilhança Integrada de Jereys p Exemplo Ilustrativo p Estimação Intervalar p Exemplo Numérico p Estudo de Simulação p Estimação Pontual p Estimação Intervalar p. 58

7 5 Considerações Finais p. 63 Referências p. 65

8 6 Introdução O processo de amostragem conhecido como captura-recaptura é frequentemente usado na estimação do número de indivíduos em uma dada região. Este processo consiste na seleção de um número xo ou aleatório de indivíduos em diferentes épocas ou ocasiões de amostragem. Na primeira época de amostragem, os indivíduos selecionados são todos marcados, contados e devolvidos à população. Após um período de tempo que permita aos indivíduos marcados se misturarem aos não marcados na população, uma segunda amostra é selecionada na qual conta-se o número de indivíduos com e sem marcas, marcase os que ainda não possuem marca e todos os indivíduos são devolvidos à população. O procedimento é repetido até se atingir um número xado de épocas de amostragem. Uma das primeiras aplicações do método de captura-recaptura foi feita por Laplace 783) para estimar o tamanho da população da França. Mais tarde, Petersen 896) aplicou o método para estudar o uxo migratório de peixes no mar Báltico e, independentemente, Lincoln 930) aplicou o mesmo método na estimação do número de patos selvagens na América do Norte. O método utilzado por estes pesquisadores baseia-se em um experimento com duas épocas de amostragem e o estimador pontual utilizado para estimar o tamanho populacional cou conhecido como estimador de Lincoln-Petersen. Este estimador é obtido ao se igualar a proporção de indivíduos marcados na segunda amostra com a proporção de indivíduos marcados na população imediatamente antes da segunda seleção. A partir da década de 950 foram publicados vários artigos cientícos relevantes sobre o tema entre eles Chapman 954), Darroch 958), Darroch 959), Seber 965), Jolly 965) e Cormack 968). Atualmente, os métodos de captura-recaptura tem aplicações nas mais diferentes áreas do conhecimento tais como Conabilidade de Software NAYAK, 988; BASU; EBRAHIMI, 200), Epidemiologia SEBER; HUAKAU; SIMMONS, 2000; LEE et al., 200; CHAO et al., 200; LEE, 2002), Linguística BOENDER; RINOOY KAN, 987; THISTED; EFRON, 987) entre outras. Na literatura é possível encontrar várias revisões dos diferentes modelos e aplicações do processo de captura-recaptura SEBER, 982; SEBER,

9 7 986; SEBER, 992; SCHWARZ; SEBER, 999; WHITE; GARROT, 990; POLLOCK, 99; POLLOCK, 2000; CHAO, 200; AMSTRUP; MCDONALD; MANLY, 2003). Os modelos estatísticos para estimação do tamanho populacional a partir do processo de captura-recaptura distinguem-se entre si, principalmente, pelas suposições adotadas. A suposição básica que diferencia os modelos é a de que a população é fechada, isto é, o número de indivíduos não se altera durante o processo de amostragem, não havendo portanto migração, mortes ou nascimentos. Quando esta suposição não é satisfeita, dizemos que a população é aberta. Outras suposições usualmente adotadas pelos modelos mais restritivos são: i) os indivíduos não perdem suas marcas durante o experimento; ii) todas as marcas são observadas e registradas corretamente; iii) os indivíduos tem a mesma probabilidade de serem capturados em qualquer época de amostragem, isto é, o processo de captura e marcação não altera as probabilidades de captura. Otis et al. 978) discute 8 modelos para população fechada em que a suposição iii) é exibilizada, combinando três tipos de variação para as probabilidades de captura: ) as probabilidades de captura variam de acordo com a época de amostragem; 2) a probabilidade de captura de um indivíduo se altera quando este indivíduo já foi capturado; 3) as probabilidades de capturam variam de indivíduo para indivíduo. Para muitos modelos de captura-recaptura, o interesse principal reside na estimação do tamanho populacional. Assim, as probabilidades de captura tornam-se parâmetros perturbadores ou nuisance, mas que são imprescindíveis na construção dos modelos probabilísticos. Neste contexto, o estudo de funções de verossimilhança que dependam apenas do parâmetro de interesse torna-se importante. O uso de métodos para eliminação de parâmetros perturbadores são amplamente discutidos na literatura estatística COX, 975; BERGER; LISEO; WOLPERT, 999; BASU, 977). Neste trabalho, realizamos um estudo das funções de verossimilhança perlada, condicional, integrada uniforme e integrada de Jereys no contexto de um modelo de capturarecaptura para estimação do tamanho populacional. Apresentamos resultados que caracterizam o comportamento destas funções de verossimilhança, permitindo assim a derivação de expressões para os estimadores de máxima verossimilhança e de métodos para a construção de intervalos de conança baseados somente nas funções de verossimilhança. Os métodos são ilustrados para um conjunto de dados reais amplamente discutido na literatura. As propriedades frequentistas dos estimadores pontuais e intervalares serão comparadas a partir de um estudo de simulação.

10 8 2 Modelo Binomial Neste capítulo discutimos como os diferentes métodos de eliminação de parâmetros perturbadores nuisance) considerados no Capítulo podem ser usados na obtenção de estimativas pontuais e intervalares para o tamanho populacional, considerando um modelo de captura-recaptura com marcação para uma população fechada. 2. Modelo Estatístico Consideremos um processo de captura-recaptura em que os indivíduos são selecionados da população em k ocasiões de amostragem, k 2. Em cada ocasião conta-se o número de indivíduos recapturados já possuem marca) e o número total de indivíduos, efetua-se a marcação dos indivíduos sem marca e todos os indivíduos são devolvidos à população. Uma próxima captura é realizada após permitir que os indivíduos marcados e não marcados se distribuam na população. Denotemos por N o número de indivíduos na população. Suponhamos que, em cada ocasião, um indivíduo seja capturado independentemente e com a mesma probabilidade dos demais e que as ocasiões de captura sejam independentes entre si, isto é, o fato de um indivíduo ser capturado ou não em uma ocasião não inuencia na probabilidade de captura em outra ocasião. Neste contexto, denotemos por p i a probabilidade de um indivíduo ser capturado na i-ésima ocasião; n i o número total de indivíduos capturados na i-ésima ocasião; m i o número de indivíduos recapturados na i-ésima ocasião m = 0); M i = i n j m j ) o número de indivíduos distintos marcados presentes na população j= imediatamente antes da i-ésima captura M = 0);

11 9 r = M k+ = processo; k j= n j m j ) o número de indivíduos distintos capturados durante o para i =,..., k. Portanto, dado o vetor de parâmetros θ = N, p), onde N é o parâmetro de interesse e p = p,..., p k ) o vetor de parâmetros nuisance, a distribuição de probabilidades dos dados amostrais n = n,..., n k ) e m = m,..., m k ) é dada por { } { } { } { } P θ n, m = Pθ n, m Pθ n2, m 2 n, m Pθ nk, m k n, m ; n 2, m 2 ;... ; n k, m k ) ) N Mi = p n i m i i p i ) N M i n i +m Mi i p m i i p i ) M i m i n i m i m i ) Mi ) N Mi = p n i i p i ) N n i. 2.) m i n i m i Como M i+ = M i + n i m i para i =,..., k, então ) N Mi = n i m i = n i m i )! [ = n i m i )! N M i )! n i m i )!N M i n i + m i )! ] N M i )! N M i+ )! N! N r)!. 2.2) Substituindo a relação 2.2) em 2.), segue que a função de verossimilhança de θ = N, p) é dada por LN, p) = P θ {n, m} [ ] M i! = m i!m i m i )!n i m i )! N r, 0 < p i <, i =,..., k. N! N r)! Portanto, o núcleo da função de verossimilhança é dado por KN, p) = N! N r)! p n i i p i ) N n i, 2.3) p n i i p i ) N n i, 2.4)

12 0 e seu logaritmo dado por log KN, p) ) = log N! ) log N r)! ) + N r, 0 < p i <, i =,..., k. k n i logp i ) + k N n i ) log p i ), 2.5) Salientamos que o núcleo da função de verossimilhança 2.4) depende dos dados amostrais somente através de n e r, isto é, n, r) é uma estatística suciente para N, p). 2.2 Funções de Verossimilhança Nesta seção vamos aplicar os métodos de eliminação de parâmetros perturbadores discutidos no Capítulo à função de verossimilhança 2.3) e obter funções de verossimilhança que dependem exclusivamente do parâmetro de interesse N Função de Verossimilhança Perlada A função de verossimilhança perlada de N é obtida a partir da expressão da função de verossilhança 2.3) substituindo-se o vetor de parâmetros p por sua estimativa de máxima verossimilhança para cada N xado. Então, a função de verossimilhança perlada é obtida como L P N) = sup LN, p) p [0,] k = L N, pn) ) K N, pn) ), onde pn) é o ponto de máximo de LN, p) para cada N r, N xado. A partir de 2.5) segue que log KN, p) ) p i = n i p i N n i p i = 0, i =,..., k, o que implica pn) = n N,, n ) k, N r. 2.6) N Substituindo 2.6) em 2.4), segue que o núcleo da função de verossimilhança perlada

13 é dado por K P N) = N! N r)! N n i ) N n i N N, N r. 2.7) Função de Verossimilhança Condicional A função de verossimilhança condicional é obtida a partir da fatoração da função de verossimilhança 2.3) como LN, p) = L C N) L N, p), onde L C N) é a função de verossimilhança correspondente à distribuição de probabilidades condicional de m = m, m 2,..., m k ), dado n = n, n 2,..., n k ), e L N, p) a função de verossimilhança correspondente à distribuição de probabilidades de n, n 2,..., n k ) dados N e p. Então, segue que L N, p) é dada por L N, p) = P θ {n,..., n k } ) N = p n i i p i ) N n i, n i N max{n, n 2,..., n k }, 0 < p i <, i =,..., k e segue de 2.3) que L N) é dada por N r. por L N) = P θ {m,..., m k n,..., n k } = P θ{m, n ;... ; m k, n k } P θ {n,..., n k } [ k ] M i! m i!m i m i )!n i m i )! = [ ] M i!n i! = m i!m i m i )!n i m i )! N! N r)! N n i ) p n i i p i ) N n i N! N r)! p n i i p i ) N n i N n i )!, 2.8) N! Portanto, segue de 2.8) que o núcleo da função de verossimilhança condicional é dado K C N) = N! N r)! N n i )!, N r. 2.9) N!

14 Função de Verossimilhança Integrada Uniforme Com o objetivo de eliminar o parâmetro nuisance p, suponhamos que, dado N, p,..., p k sejam variáveis aleatórias independentes com mesma distribuição Uniforme 0, ). Assim, a função de verossimilhança integrada uniforme é obtida a partir da integração da função de verossimilhança 2.3), isto é, L U N) = LN, p)dp 0,) k = N! N r)! N! N r)! N! N r)! 0 p n i i p i ) N n i dp i Γn i + )ΓN n i + ) ΓN + 2) N n i )! N + )!, N r. Portanto, o núcleo da função de verossimilhança integrada uniforme é dado por K U N) = N! N r)! N n i )!, N r. 2.0) N + )! Função de Verossimilhança Integrada de Jereys Novamente, vamos considerar a eliminação do parâmetro nuisance p via integração. Suponhamos que, dado N, p seja um vetor aleatório com distribuição de Jereys π J p N). A função densidade de probabilidade de Jereys é denida como sendo proporcional a raiz quadrada do determinante da matriz de informação esperada de Fisher I N p) supondo N conhecido), isto é, [ I N p) = E [ E ] ) log LN, p) p i p j ] ) log KN, p) p i p j k k k k.

15 3 A partir de 2.5), temos que log KN, p) p i p j = 0, se i j, n j + 2n j p j Np 2 j p 2 j p, j) 2 se i = j, i, j k, o que implica [ E ] log LN, p) = p i p j 0, se i j, N p i p i ), se i = j, i, j k. Portanto, a função densidade de probabilidade de Jereys é dada por π J p N) [ ] 2 det I N p). 2.) p /2 i p i ) /2 N r. Portanto, a função de verossimilhança integrada de Jereys é dada por L J N) = LN, p)π J p N)dp 0,) k = N! N r)! N! N r)! 0 p n i /2 i p i ) N ni /2 dp i Γn i + /2)ΓN n i + /2), ΓN + ) Logo, o núcleo da função de verossimilhança integrada de Jereys é dado por K J N) = N! N r)! ΓN n i + /2), N r. 2.2) N!

16 4 3 Estimação de Máxima Verossimilhança e Intervalar Neste capítulo apresentamos métodos para obtenção das estimativas de máxima verossimilhança e para a construção de intervalos de conança para o tamanho populacional, baseados nas funções de verossimilhança apresentadas no Capítulo 2. No que segue vamos supor que o processo consista em pelo menos duas ocasiões de captura k 2) e que, em cada ocasião, haja pelo menos um indivíduo capturado. Denotemos por m = max{n,..., n k } o número máximo de indivíduos capturados em uma mesma ocasião e n = n + + n k o número total de capturas realizadas. Observemos que o número de indivíduos distintos capturados r é tal que m r n. 3. Estimação de Máxima Verossimilhança Nesta seção, apresentamos resultados que caracterizam o comportamento das funções de verossimilhança do Capítulo 2, além de resultados a respeito da obtenção das estimativas de máxima verossimilhança. 3.. Função de Verossimilhança Perlada Devido ao caráter discreto do parâmetro de interesse N, se existir um ponto de máximo, N, p), do núcleo da função de verossimilhança 2.4), então N maximiza o núcleo da função de verossimilhança perlada 2.7). De fato, suponhamos que N, p) maximize o núcleo 2.4) e que, para cada N xado, N r, exista um único ponto, pn), que maximize a função h N p) = KN, p), p [0, ] k. Então, os possíveis candidatos a ponto de máximo de KN, p) são os pontos do conjunto {N, pn)) : N r}, o que implica que N é um ponto de máximo do núcleo da verossimilhança perlada 2.7).

17 5 Portanto, a estimação de máxima verossimilhança do parâmetro de interesse N a partir do núcleo 2.4) é equivalente à obtida a partir do núcleo 2.7). Proposição 3.. O núcleo da função de verossimilhança perlada, K P N), converge para 0 se m r < n e converge para exp{ n} se r = n, quando N. Prova: A partir de 2.7) segue que K P N) = N! N r)! N n i ) N n i N N = NN ) N r + ) = N r ) r N n N N N n i ) N n i N N n i N n i ) n i N ) N n ) ni i. N e então Como lim x ) =, para todo x real 3.) N N lim x ) N = exp{ x}, para todo x > 0, 3.2) N N lim N KP N) = { 0, se r < n, exp{ n}, se r = n. Para provar os próximos resultados, vamos utilizar o Lema a seguir. Lema 3.. Para qualquer y > 0 e t {, 2,... }, temos A) logy + t) logy) > t i=0 y + t i ;

18 6 B) logy + t) logy) < = t 2y + t) + y + t i 2y t 2y + t) + y + t i + 2y. Prova: Consideremos y > 0, xado. A) B) Para provar esta armação basta notar que logy + t) logy) = = y+t y y+ y x dx x dx y+t y+t > y y + t. x dx Primeiramente, vamos mostrar a armação para t =, isto é, logy + ) logy) < 2 y + + ). y Neste sentido, consideremos a função fx) = /x denida para x > 0. Como f é convexa, o segmento de reta que une os pontos y, /y ) e y +, /y + ) ) ca acima do gráco de f no intervalo y, y + ), isto é, y + ξ < y + y + y ) ξ, 0 < ξ <.

19 7 Então, logy + ) logy) = < = 2 y + ξ dξ [ 0 y + y + y y + + ) y 0 ) ] ξ dξ 3.3) e para o caso em que t 2, observemos que logy + t) logy) = Logo, segue de 3.3) que logy + t) logy) < t = = [ ] logy + t + i) logy + t i). t [ )] 2 y + t i + + y + t i t 2y + t) + y + t i + 2y t 2y + t) + y + t i 2y. Para provar os resultados que seguem, consideramos o logaritmo do núcleo da função de verossimilhança perlada 2.7), que é dado por r logk P N)) = logn i) + i=0 A extensão desta função para valores reais é dada por r fx) = logx i) + i=0 onde supomos 0 log0) = 0. k k [ ] N n i ) logn n i ) N logn), N r. [ ] x n i ) logx n i ) x logx), x r, 3.4) Observemos que a função denida em 3.4) é contínua e derivável no intervalo r, ), sendo lim x r fx) = fr), isto é, f é contínua à direita em r. Portanto, o estudo do comportamento de K P com relação ao crescimento ou decrescimento pode ser realizado através

20 8 do estudo do sinal da derivada primeira de f, cuja expressão é dada por f x) = r i=0 x i + k [ ] logx n i ) logx), x > r. 3.5) Proposição 3.2. Se r = m, então a função K P é estritamente decrescente, isto é, K P N + ) < K P N), para todo N r. Portanto, a estimativa de máxima verossimilhança perlada é N P = m. Prova: Suponhamos, sem perda de generalidade, que m = n. Para mostrar que K P é estritamente decrescente é suciente mostrar, usando a expressão 3.5) com r = n, que f x) < 0 para todo x > n, ou seja, f x) = n i=0 x i + k Do Lema 3. A), segue que n i=0 [ ] logx n i ) logx) < 0, para x > n. 3.6) x i < logx) logx n ), o que prova o resultado. Proposição 3.3. Se r = n, então a função K P é estritamente crescente, isto é, K P N + ) > K P N) para todo N r. Portanto, a estimativa de máxima verossimilhança perlada é N P = +. Prova: Para mostrar que K P é estritamente crescente basta mostrar que, usando a expressão 3.5) com r = n, f x) > 0 para todo x > n, ou seja, f x) = n i=0 x i + k [ ] logx n i ) logx) > 0, x > n, ou equivalentemente, basta mostrar que, para k 2, vale k [ ] n +n 2 + +n k logx) logx n i ) < x i, 3.7) i=0

21 9 para quaisquer n, n 2,..., n k N = {, 2,...} e qualquer real x > n + n n k. A relação 3.7) será provada por indução nita sobre k. Primeiramente, observemos pelo Lema 3. B) que para x > n i, i =, 2,..., k. logx) logx n i ) < ni 2x + x j 2x n i ) j= 3.8) = ni 2x + x j + 2x n i ), 3.9) Supondo k = 2 e, sem perda de generalidade, que n n 2, segue de 3.8) e 3.9) que 2 j= [ ] logx) logx n i ) < n 2x + x j 2x n ) j= + n2 2x + x j + 2x n 2 ) j= = n x + j= < n x + = j= n +n 2 j=0 x > n + n 2, o que resulta 3.7) com k = 2. n2 x j + j= n2 x j + x j, j= x j + ) 2 x n 2 x n x n j Agora, suponhamos por indução que a armação 3.7) valha para k = k, k 2. Sob esta hipótese, provamos que a armação 3.7) vale para k = k +. Sejam n,..., n k, n k + pertencentes a N = {, 2,..., } e x > n + + n k + n k +. Como x > n + + n k, segue da hipótese de indução, que k [ ] n +n 2 + +n k logx) logx n i ) < j=0 x j,

22 20 e pelo Lema 3. B) segue que k + [ ] logx) logx n i ) = < < = k [ ] logx) logx n i ) + log x ) log ) x n k + n +n 2 + +n k j=0 n +n 2 + +n k j=0 n +n 2 + +n k + j=0 n k + x j + j= n k + x j + j= x j, x j + ) 2 x x n k + x n n k + ) j o que implica 3.7) para k = k +. Proposição 3.4. Para m < r < n, denamos { x 0 = sup x 0, /r] : r j= } j /x j < n r. a) Se x 0 = /r, então N P = r; b) Se 0 < x 0 < /r, então N P {r, r +,..., [/x 0 ] + }. é o ponto de máximo de K P N) restrito ao conjunto Prova: Observemos que K P N), dada em 2.7), pode ser escrita como K P N) = N n r r i N Consideremos a função f denida por ) n ) N ni i, N r. N fx) = g r x)hx), 0 < x < /r,

23 2 onde as funções g r e h são denidas por r g r x) = x n r ix), 0 < x /r, hx) = n i x) /x n i, 0 < x /r, o que implica ) ) ) f = g r h = K P N), N r. N N N A função g r é contínua, estritamente positiva no intervalo 0, /r), lim x 0 g r x) = 0 e existe um ponto x 0, 0 < x 0 /r, tal que g rx) > 0 se 0 < x < x 0. Com efeito, r r g rx) = n r)x n r ix) + x n r j= j) ix) i j r r = x [n n r r) ix) + x j= j) ] ix), 0 < x < /r, i j o que implica r g rx) > 0 x j r ix) < n r) i j j= ix) r j= j /x j < n r. Observemos que a função qx) = r j é estritamente crescente em 0, /r] e j= /x j lim x 0 qx) = 0. Então, g rx) > 0, se e somente, 0 < x < x 0, onde { x 0 = sup x 0, /r] : r j= Notemos que x 0 = /r se e somente se q/r) n r. } j /x j < n r. Por outro lado, a função h é contínua, positiva e estritamente crescente no intervalo 0, /r] e lim x 0 hx) = e n. Para mostrar que hx) é estritamente crescente basta mostrar que loghx)) é crescente em 0, /r]. Neste sentido, para 0 < x < /r loghx)) = k /x n i ) log n i x),

24 22 o que implica loghx))) = k { x log n ix) 2 x n i = x 2 { k } log n i x) + nx ) ni n i x } > x 2 { k n i x) + k } n i x = 0, onde a última desigualdade segue de e y > y para y real. Pelas considerações feitas acima, concluímos que fx) é estritamente crescente no intervalo 0, x 0 ), pois f x) = g rx)hx) + g r x)h x) > 0, para 0 < x < x 0, o que implica ) ) K P N + ) = f < f = K P N), para N /x 0. N + N Logo, se x 0 = /r, então N P = r, o que prova o item a). Se 0 < x 0 < /r, então N P é o ponto de máximo de K P N) restrito ao conjunto {r, r +,..., [/x 0 ] + }, o que prova o item b) Função de Verossimilhança Condicional Proposição 3.5. O núcleo da função de verossimilhança condicional, K C N), converge para 0 se r < n e converge para se r = n, quando N. Prova: A partir de 2.9) segue que K C N) = NN ) N r + ) para N r. j= NN ) N n j + ) = N r ) 2 ) r ) N n N N N N ) 2 N ) n i N ), Logo, do fato segue o resultado. { N r 0, se r < n, lim N N = n, se r = n,

25 23 No que segue, vamos considerar a razão K C N + ) K C N) N + ) N + n i = N + r) N + [ = r ] N + n i N + ), N r. 3.0) Proposição 3.6. Se r = m, então a função K C é estritamente decrescente, isto é, K C N + ) < K C N), para todo N r. Portanto, a estimativa de máxima verossimilhança condicional é N C = m. Prova: Suponhamos, sem perda de generalidade, que m = n. Então, substituindo r por n em 3.0), segue que K C N + ) K C N) = i=2 n ) i <, para todo N r, N + o que implica resultado. Para provar o próximo resultado utilizamos o seguinte lema. Lema 3.2. Para todo inteiro k 2 e quaisquer reais x,..., x k tais que 0 < x i <, i k, temos k x i ) > k Prova: x i Para provar este resultado utilizamos indução nita sobre k 2. Para k = 2, temos que e portanto vale o resultado para k = 2. x ) x 2 ) = x x 2 + x x 2 > x x 2,

26 24 Suponhamos agora que a tese valha para k > 2, isto é, x i ) > k x i. Então, k+ x i ) = x k+ ) x i ) > x k+ ) k ) x i k = x i x k+ + x k+ k+ > x i, k x i o que prova o resultado. Proposição 3.7. Se r = n, então a função K C é estritamente crescente, isto é, K C N + ) > K C N) para todo N r. Portanto, a estimativa de máxima verossimilhança condicional é N C =. Prova: A partir do Lema 3.2 temos que n ) i > n N + N +, N r, o que permite concluir K C N + ) K C N) >, N r. Para demonstrar o próximo resultado, vamos denir a função f r x) = rx) n i x), 0 x < /r. 3.)

27 25 Observemos que, de acordo com 3.0), f r satisfaz a seguinte relação ) f r N + = KC N + ), N r. 3.2) K C N) Para estudar o crescimento decrescimento) de K C necessitamos determinar os valores de N para os quais ocorre K C N + ) > K C N), K C N + ) = K C N) ou K C N + ) < K C N). A partir de 3.2), segue que para realizar este estudo é suciente determinar para quais valores de x no intervalo 0, /r) ocorre f r x) <, f r x) = ou f r x) >. No entanto, antes de analisar f r, será útil considerar o seguinte resultado a respeito de funções côncavas. Lema 3.3. Seja f : R R R é o conjunto dos números reais) uma função contínua. Se f for côncava no intervalo [a, b], fa) > 0 e fb) < 0, então existe um único ponto x 0, a < x 0 < b tal que fx 0 ) = 0, fx) > 0 se a x < x 0 e fx) < 0 se x 0 < x b. Sob estas condições, x 0 é único. Prova: Pela continuidade da função f, segue que existe x 0, a < x 0 < b, tal que fx 0 ) = 0. Pela concavidade de f no intervalo [a, b], temos que o gráco da função f entre quaisquer y e y 2, a y < y 2 b, não tem nenhum ponto localizado abaixo do segmento de reta que une os pontos y, fy ) ) e y 2, fy 2 ) ), ou seja, f y + αy 2 y ) ) fy ) + α [ fy 2 ) fy ) ], 3.3) para todo 0 < α <. Logo, tomando y = a e y 2 = x 0 em 3.3), temos que f a + αx 0 a) ) fa) αfa) = α)fa) > 0, para todo 0 < α <, o que implica fx) > 0, para todo a x < x 0.

28 26 Para x 0 < x < b devemos ter fx) < 0. De fato, suponhamos que fx) 0 para algum x 0 < x < b. Então, segue de 3.3) com y = a e y 2 = x que f a + αx a) ) fa) + α[fx) fa)] = α)fa) + αfx) > 0, para todo 0 < α < e para α = x 0 a ) / x a ) temos f x 0 ) > 0, o que é absurdo. Lema 3.4. Para m < r < n, existe x 0, 0 < x 0 < /r, tal que f r x 0 ) =, f r x) < se 0 < x < x 0 e f r x) > se x 0 < x < /r. Prova: Observemos que, denindo gx) = k n i x), x R e h r x) = rx, x R, temos f r x) = gx) h r x), 0 x < /r. As derivadas de primeira e segunda ordem de g são dadas por g x) = g x) = = k n i ) k n i ) k n j x), j= j i k n j ) j= j i k n i n j j= j i n s x) s= s i,j n s x) s= s i,j e como n i x > 0 para 0 x /r, i =,..., n, temos g x) < 0, g x) > 0, para todo 0 x /r, para todo 0 x /r.

29 27 Portanto, as funções g, g e g são funções contínuas e g também é estritamente decrescente e convexa no intervalo [0, /r], com g0) = e g/r) > 0. Por outro lado, a função h r é linear e estritamente decrescente no intervalo [0, /r] com h r 0) = e h r /r) = 0. A Figura ilustra o comportamento das funções g e h r no intervalo [0, /r] e, a partir da observação deste gráco, podemos concluir que deve existir um único ponto x 0, 0 < x 0 < /r tal que gx 0 ) = h r x 0 ), gx) < h r x) se 0 < x < x 0 e gx) > h r x) se x 0 < x < /r, o que implica a tese. Uma justicativa formal para estas conclusões é dada a seguir. Figura. Grácos das funções g e h r no intervalo [0, /r]. Denamos a diferença d r x) = h r x) gx), x R. Então, as funções d r, d r e d r são contínuas na reta R. Além disso, d r é uma função côncava no intervalo [0, /r], pois d rx) = h rx) g r x) = g r x) < 0 para todo 0 x /r. Notemos também que d r0) = h r0) g 0) = r + k n i > 0, o que implica, pela continuidade de d r, que existe 0 < δ < /r tal que d rx) > 0 para

30 28 todo 0 x δ. Como d r 0) = 0, segue pelo Teorema do Valor Médio que d r x) > 0, para todo 0 < x δ. 3.4) Observemos também que d r δ) > 0 e d r /r) = h r /r) g/r) = g/r) < 0. Logo, pelo Lema 3.3 aplicado à função d r no intervalo [δ, /r] e por 3.4), segue que existe 0 < x 0 < /r tal que d r x) > 0, se 0 < x < x 0, d r x) = 0, se x = x 0, d r x) < 0, se x 0 < x /r, o que implica e o resultado segue. gx) < h r x), se 0 < x < x 0, gx) = h r x), se x = x 0, gx) > h r x), se x 0 < x < /r, Portanto, segue do Lema 3.4 que, para m < r < n, podemos denir δ r como sendo o menor número inteiro positivo t tal que ) f r r + t, 3.5) ou seja, { δ r = min t N : r + t n i ) tr + t) }. k A proposição a seguir caracteriza o comportamento da função K C quanto ao crescimento decrescimento) e fornece uma expressão para a estimativa de máxima verossimilhança, no caso em que m < r < n. Proposição 3.8. Para m < r < n, temos que a) se k r + δ r n i ) < δ r r + δ r ) k, então K C N + ) < K C N) para N r + δ r b) se e K C N + ) > K C N) para r N < r + δ r. Portanto, a estimativa de máxima verossimilhança condicional é única e dada por N C = r + δ r ; k r + δ r n i ) = δ r r + δ r ) k, então K C N + ) < K C N) para N r + δ r, K C N + ) > K C N) para r N < r + δ r e K C r + δ r ) = K C r + δ r ). Neste

31 29 C caso, há duas estimativas de máxima verossimilhança condicional N N 2 C = N C +. = r + δ r e Prova: a) Se k r + δ r n i ) < δ r r + δ r ) k temos, pela denição de f r, dada em 3.) que f r /r + δr ) ) <. Portanto, segue do Lema 3.4 e da denição de δ r dada em 3.5) que o que implica, pela relação 3.2) que ) f r <, se t δ r, r + t ) f r >, se t < δ r, r + t K C N + ) K C N) K C N + ) K C N) <, se N r + δ r, >, se r N < r + δ r, o que prova o resultado. b) Se k r + δ r n i ) = δ r r + δ r ) k temos, pela denição de f r dada em 3.), que f r /r + δ r )) =. Logo, pela relação 3.2) segue K C r + δ r ) = K C r + δ r ). e pelo Lema 3.4) e da denição de δ r, dada em 3.5), segue ) f r <, se t δ r +, r + t ) f r >, se t < δ r, r + t o que implica, pela relação 3.2), que K C N + ) K C N) K C N + ) K C N) <, se N r + δ r, >, se r N < r + δ r,

32 30 ou seja, r + δ r e r + δ r maximizam K C Função de Verossimilhança Integrada Uniforme Proposição 3.9. O núcleo da função de verossimilhança integrada uniforme, K U N), converge para 0 quando N. Prova: A partir de 2.0) temos K U N) = N! N r)! N n i )! N + )! = NN ) N r + ) = = N r ) r N + ) k N N r N n N + ) k ) r N N N + )NN ) N n i + ) ) ) ) N N i n N n i N ) ) N n i ). N Logo, de 3.) e do fato segue o resultado. lim N N r N n N + ) k = 0 No que segue consideremos a razão K U N + ) K U N) N + ) = N + n N + r)n + 2) k i ) ) ) k ) N + N + N + ni = N + r N + 2 N + = r ) + ) k N + N + n i N + ), N r. 3.6) Proposição 3.0. Se r = m, então K U é estritamente decrescente, isto é, K U N + ) < K U N) para todo N r. Portanto, a estimativa de máxima verossimilhança integrada uniforme é N U = m.

33 3 Prova: Sem perda de generalidade, suponhamos que m = n. Logo, para r = n, segue de 3.6) que K U N + ) K U N) = + N + ) k i=2 n ) i <, N n, N + o que prova o resultado. Para provar o próximo resultado, denamos a função f r x) = rx) + x) k n i x), 0 x < /r. 3.7) Notamos, de acordo com 3.6), que f r satisfaz a seguinte relação ) f r N + = KU N + ), N r. 3.8) K U N) Desse modo, o crescimento decrescimento) de K U ca determinado quando conhecemos quais valores de x tornam f r x) maior, menor ou igual a. caracteriza f r neste sentido. Lema 3.5. Para r > m, existe x 0, 0 < x 0 O próximo lema < /r, tal que f r x 0 ) =, f r x) < se 0 < x < x 0 e f r x) > se x 0 < x < /r. Por outro lado, x 0 não é da forma /r + t) para nenhum número inteiro positivo t. Prova: Denamos gx) = n i x), x R, 3.9) h r x) = rx) + x) k, x R. 3.20) Então, f r x) = gx) h r x), 0 x < /r,

34 32 e as derivadas de primeira e segunda ordem de g são dadas por g x) = g x) = = k n i ) k n i ) k n j x), j= j i k n j ) j= j i k n i n j j= j i n s x) s= s i,j n s x), para x R, s= s i,j o que implica g x) < 0, para todo 0 x /r, 3.2) g x) > 0, para todo 0 x /r. 3.22) Portanto, g, g e g são funções contínuas e g é estritamente decrescente e convexa no intervalo [0, /r] com g0) = e g/r) > 0. Por outro lado, a primeira derivada de h r é dada por h rx) = r + x) k + k rx) + x) k = + x) k [ r + x) + k rx)] enquanto que a segunda derivada é dada por = + x) k [k r k + )rx], x R, 3.23) h rx) = k ) + x) k 2 [k r k + )rx] rk + ) + x) k = + x) k 2{ k )[k r k + )rx] rk + ) + x) } = + x) k 2{ k )k r) k )k + )rx rk + ) rk + )x } = + x) k 2{ k )k r) rk + ) kk + )rx } = + x) k 2{ kk ) 2kr kk + )rx }, x R. 3.24) Portanto, as funções h r, h r e h r são funções contínuas com h r 0) = e h r /r) = 0. Notamos que, provar o lema é equivalente a provar que existe x 0, 0 < x 0 < /r, tal que gx 0 ) = h r x 0 ), gx) < h r x) se 0 < x < x 0 e gx) > h r x) se x 0 < x < /r. Neste sentido, denamos a diferença d r x) = h r x) gx), x R. Vamos mostrar que existe x 0,

35 33 0 < x 0 < /r, tal que d r x) > 0, se 0 < x < x 0, d r x) = 0, se x = x 0, d r x) < 0, se x 0 < x /r. Pelas considerações anteriores, segue que d r é uma função contínua, assim como suas derivadas de primeira e segunda ordem. No que segue, iremos dividir a prova em dois casos distintos: a) r k, b) r < k. Caso a) r k Para r k, segue das expressões 3.23) e 3.24) que h rx) < 0 e h rx) < 0, para todo 0 < x < /r. Portanto, h r é uma função estritamente decrescente e côncava no intervalo [0, /r]. A Figura 2 ilustra o comportamento das funções g e h r no intervalo [0, /r]. A partir da observação deste gráco, podemos concluir que existe x 0, 0 < x 0 < /r, tal que gx 0 ) = h r x 0 ), gx) < h r x) se 0 < x < x 0 e gx) > h r x) se x 0 < x < /r, o que implica a tese. Uma justicativa formal para estas conclusões é dada a seguir. Figura 2. Grácos das funções g e h r no intervalo [0, /r].

36 34 A partir de 3.2) e 3.23), temos d r0) = h r0) g 0) = k r) + k k ) n i = n i r + k > 0, o que implica pela continuidade de d r que existe 0 < δ < /r tal que d rx) > 0 para todo 0 x δ. Como d r 0) = 0, segue do Teorema do Valor Médio que d r x) > 0, para todo 0 < x δ, 3.25) e de 3.9) e 3.20) temos d r /r) = h r /r) g/r) < 0. A partir de 3.22) e 3.24), concluímos que d r é uma função côncava no intervalo [0, /r], pois d rx) = h rx) g x) < 0 para todo 0 x /r. Logo, como d r δ) > 0 e d r /r) < 0, segue do Lema 3.3 e de 3.25) que existe x 0, 0 < x 0 < /r, tal que d r x) > 0, se 0 < x < x 0, d r x) = 0, se x = x 0, d r x) < 0, se x 0 < x /r. Caso b) r < k Neste caso, de 3.23) temos h rx) > 0, se 0 < x < k r rk + ), k r isto é, h r é estritamente crescente no intervalo [0, ]. Como g é estritamente decrescente e g0) = h r 0) =, rk+) então gx) < < h r x), se 0 < x k r rk + ), o que implica d r x) = h r x) gx) > 0, se 0 < x k r rk + ). 3.26) De 3.24), temos o que implica h rx) < 0, d rx) < 0, ou seja, d r é côncava no intervalo [ k r rk+), r ]. se se k r rk + ) x r, k r rk + ) x r, Portanto, como d r k r rk+)) > 0 por 3.26), dr /r) = h r /r) g/r) = g/r) < 0

37 35 e d r é côncava em [ k r, ] rk+) r, segue do Lema 3.3 e de 3.26) que existe x0, 0 < x 0 < /r tal que d r x) > 0, se 0 < x < x 0, d r x) = 0, se x = x 0, d r x) < 0, se x 0 < x /r. A Figura 3 ilustra o comportamento das funções g e h r no intervalo [0, /r]. Figura 3. Grácos das funções g e h r no intervalo [0, /r]. Finalmente, x 0 não é da forma /r + t) para nenhum número inteiro positivo t. Com

38 36 efeito, se f r /r + t)) = para algum número inteiro positivo t, então = = = = = r ) + r + t r + t r + t n i r + t = ) k tr + t + )k r + t) k+ n ) i = r + t ) r + t r) r + t ni = r + t + ) k r + t r + t ni ) r + t + ) k r r + t r + t + )k = 0 r + t ni ) r + t + ) k r r + t ) r + t ni r + t + ) k r k r r + t k ) k r + t) i = 0 i ) k r + t) i = r i r + t, o que é absurdo, pois o lado esquerdo da última igualdade é um número inteiro, enquanto o lado direito não pode ser inteiro uma vez que 0 < r <. r+t Portanto, segue do Lema 3.5 que, para r > m, podemos denir δ r como o menor inteiro positivo t tal que ou seja, { δ r = min t N : ) f r <, 3.27) r + t } ) tr + t + ) k r + t ni <. r + t A proposição a seguir caracteriza o comportamento de K U quanto ao crescimento decrescimento) e fornece a estimativa de máxima verossimilhança uniforme de N no caso em que r > m. Proposição 3.. Para r > m, K U N + ) < K U N) se N r + δ r e K U N + ) > K U N) se r N < r + δ r. integrada uniforme é N U = r + δ r. Portanto, a estimativa de máxima verossimilhança Prova:

39 37 Do Lema 3.5 e da denição de f r dada em 3.27), segue ) f r <, se t δ r, r + t ) f r >, se t < δ r, r + t o que, pela relação 3.8), implica K U N + ) K U N) K U N + ) K U N) <, se N r + δ r, >, se r N < r + δ r, isto é, r + δ r maximiza K U Função de Verossimilhança Integrada de Jereys Proposição 3.2. O núcleo da função de verossimilhança integrada de Jereys, K J N), converge para 0 quando N. Prova: De 2.2) segue K J N) = N! N r)! j= ΓN n j + /2) N! = NN ) N r + ) j= N n j /2)N n j /2 ) /2)Γ/2) NN ) N n j + )N n j )N n j ) r = Γ/2) k N r i ) [ N NN ) N n j= j + ) = Γ/2) k N r r i ) [ ) N n N j= n N j ) N l= = Γ/2) k N r r i ) [ ) N n N j= n N j ) N N n j N n j l= ] N n j + /2 l) N n j + l) ] N n j + /2 l) N n j + l) N n j l= ) ]. 2N n j + l)

40 38 Como x exp x) para todo x real, então para cada j =,..., k, temos 0 N n j l= N n j l= = exp ) 2N n j + l) ) exp 2N n j + l) N n j l= = exp N n j 2 s= e como s= /s = segue de 3.28), ) 2N n j + l) ), 3.28) s N n j ) lim = ) N 2N n j + l) l= Portanto, de 3.), 3.2) e 3.29) segue o resultado. No que segue, vamos considerar a razão K J N + ) K J N) = N + Γ N + n i + /2 ) N + r Γ N n i + /2 ) N + ) [ = r ] n ) i + /2, N r. 3.30) N + N + Proposição 3.3. Para r = m, temos que K J N) é estritamente decrescente, isto é, K J N+) < K J N) para todo N r. Portanto, a estimativa de máxima verossimilhança integrada de Jereys é N J = m. Prova: 3.30) Vamos supor, sem perda de generalidade, que m = n. Então, para r = n, segue de K J N + ) K J N) = N n + /2 N n + i=2 N n i + /2 N + <, para todo N r, pois N n + /2 < N n + e N n i + /2 < N + para i = 2,..., k.

41 39 Denamos a função f r x) = rx) ni + /2)x ), 0 x < /r. 3.3) Então, de 3.30) ) f r N + = KJ N + ), N r. 3.32) K J N) O comportamento da função f r é descrito no lema a seguir. Lema 3.6. Para r > m, existe x 0, 0 < x 0 < /r, tal que f r x 0 ) =, f r x) < para 0 < x < x 0 e f r x) > para x 0 < x < /r. Além disso, x 0 não é da forma /r + t) para nenhum número inteiro positivo t. Prova: Com respeito às funções gx) = ni + /2)x ), para x R, h r x) = rx, para x R, temos f r x) = gx) h r x), 0 x < /r. As derivadas de primeira e segunda ordem de g são dadas por g x) = g x) = = k n i + /2 ) k nj + /2)x ), j= j i k n i + /2 ) k n j + /2) k j= j i ns + /2)x ) s= s i,j k ni + /2 ) n j + /2 ) k ns + /2)x ), j= j i s= s i,j para x R e como n i + /2)x > 0 para 0 x /r, i =,..., n, temos g x) < 0, g x) > 0, para todo 0 x /r, para todo 0 x /r.

42 40 Portanto, g é função contínua, estritamente decrescente e convexa no intervalo [0, /r], com g0) = e g/r) > 0. Por outro lado, a função h r é linear e estritamente decrescente no intervalo [0, /r], com h r 0) = e h r /r) = 0. A Figura 4 ilustra o comportamento das funções f r e g no intervalo [0, /r] e, a partir da observação deste gráco, podemos deduzir que existe um ponto x 0, 0 < x 0 < /r tal que gx 0 ) = h r x 0 ), gx) < h r x) se 0 < x < x 0 e gx) > h r x) se x 0 < x < /r. Uma justicativa formal para isto é dada a seguir. Figura 4. Grácos das funções g e h r no intervalo [0, /r]. Denamos a diferença d r x) = h r x) gx), x R. Notemos que a função d r e suas derivadas de primeira e segunda ordem são contínuas em toda a reta R e d r0) = h r0) g0) = r + k n i + k 2 > 0, o que implica, pela continuidade de d r, que existe 0 < δ < /r tal que d rx) > 0 para todo 0 x δ. Portanto, pelo Teorema do Valor Médio, segue d r x) > 0, para todo 0 < x δ. 3.33)

43 4 Como d rx) = h rx) g r x) = g r x) < 0 para todo 0 x /r, concluímos que a função d r é côncava no intervalo [0, /r]. Logo, segue de d r δ) > 0, d r /r) = h r /r) g/r) = g/r) < 0, do Lema 3.3 e de3.33) que d r x) > 0, se 0 < x < x 0, d r x) = 0, se x = x 0, d r x) < 0, se x 0 < x < /r, ou seja, gx) < h r x), se 0 < x < x 0, gx) = h r x), se x = x 0, gx) > h r x), se x 0 < x < /r. Por outro lado, x 0 não é da forma /r + t) para nenhum número inteiro positivo t. De fato, se f r /r + t)) = para algum número inteiro positivo t, então = = r r + t ) n ) i + /2 r + t = r + t n i ) = tr + t) k 2 ) 2r + t n i ) = 2 k tr + t) k, o que é absurdo, pois o lado esquerdo da igualdade acima é número ímpar, enquanto o lado direito é número par. Portanto, a partir do Lema 3.6, podemos denir para r > m, δ r como o menor número inteiro positivo t tal que ou seja, { δ r = min t N : ) f r <, 3.34) r + t r + t n i ) } < tr + t) k. 2 A proposição a seguir caracteriza o comportamento da função K J quanto ao crescimento decrescimento) e fornece a estimativa de máxima verossimilhança integrada de Jereys de N no caso em que r > m. Proposição 3.4. Para r > m, K J N + ) < K J N) se N r + δ r e K J N + ) > K J N) se r N < r + δ r. Portanto, a estimativa de máxima verossimilhança

44 42 integrada de Jereys é única e dada por N J = r + δ r Prova: Se k ) r + δr n i 2 < δr r + δ r ) k conclui-se, pela denição de f r dada em 3.3), que f r /r + δ r )) <. Portanto, segue do Lema 3.6 e da denição de δ r dada em 3.34) ) f r <, se t δ r, 3.35) r + t ) f r >, se t < δ r, 3.36) r + t o que implica pela relação 3.32) que K J N + ) < K J N), se N r + δ r, K J N + ) > K J N), se r N < r + δ r, ou seja, r + δ r maximiza K J Exemplo Ilustrativo Para ilustrar os resultados a respeito das funções de verossimilhança estudadas, vamos considerar um exemplo com 5 épocas de amostragem em que o número de indivíduos capturados em cada época de amostragem é dado na Tabela abaixo. Observemos que para esta amostra m = 3 e n = 0, portanto o número de indivíduos distintos capturados r pode assumir valores entre 3 e 0. Tabela. Número de indivíduos capturados em cada época de amostragem. n n 2 n 3 n 4 n A Figura 5 ilustra os grácos do logaritmo do kernel de cada uma das verossimilhanças para os valores xados de a) r = 3, b) r = 8 e c) r = 0. Observemos que para as verossimilhanças perlada e condicional, existem três formas possíveis para o kernel da verossimilhança: a) estritamente decrescente; b) crescente e depois decrescente; c) estritamente crescente. Nos casos das verossimilhanças integradas uniforme e de Jereys, existem apenas duas formas possíveis: a) estritamente decrescente; b) e c) crescente e depois decrescente. Observemos que nos casos das verossimilhanças integradas, mesmo

45 43 quando o número de indivíduos distintos capturados r é igual a soma do número de indivíduos capturados n que ocorre quando nenhum indivíduo marcado é recapturado), o kernel da função de verossimilhança não é estritamente crescente, como ocorre nos casos das verossimilhanças perladas e condicional. Perfilada Condicional a) b) c) a) b) c) N N Uniforme Jeffreys a) b) c) a) b) c) N N Figura 5. Grácos do logaritmo do núcleo das funções de verossimilhança perlada, condicional, integrada uniforme e integrada de Jereys para a amostra n = 2, n 2 = 2, n 3 =, n 4 = 3, n 5 = 2, nos casos em que a) r = 3, b) r = 8, c) r = 0. A Tabela 2 mostra as estimativas de máxima verossimilhança para cada uma das verossimilhanças estudadas para todos os possíveis valores de r, 3 r 0. Observamos por esta tabela que o aumento no valor de r causa grande impacto sobre as estimativas de máxima verossimilhança perlada e condicional. No entanto, este impacto é menor nos casos das verossimilhanças integradas uniforme e de Jereys.

46 44 Tabela 2. Estimativas de máxima verossimilhança perlada, condicional, integrada uniforme e integrada de Jereys. r NP NC NU NJ Estimação Intervalar No que segue designamos por M o método de eliminação de parâmetros perturbadores considerado, isto é, M pode ser igual a P Perlada), C Condicional), U Integrada Uniforme) ou J Integrada de Jereys). Baseado em uma função de verossimilhança, L M N), livre de parâmetros perturbadores construímos um conjunto de conança aproximado 00 α)% para N como C M α) = { ) N : log K M N) log K M M N )) } 2 χ2 α), 3.37) com χ 2 α) representando o quantil α) da distribuição qui-quadrado com grau de liberdade, K M o núcleo da função de verossimilhança L M, N M um valor de N que maximiza K M N). Este conjunto de conança é construído invertendo-se o teste assintótico da razão de verossimilhanças generalizado para uma hipótese nula simples. O uso das funções de verossimilhança livres de parâmetros perturbadores para construção de conjuntos de conança deste tipo é sugerido por Berger, Liseo e Wolpert 999) e tem um apelo intuitivo, pois contém os valores de N mais plausiveis de acordo com a respectiva função de verossimilhança. Para as funções de verossimilhanças perlada e condicional a estimativa de máxima verossimilhança é igual a +, para amostras com r = n. Neste caso, adotamos no lugar de K M N M ) em 3.37) o valor do limite de K M N) quando N +, dado pela Proposição 3. no caso da função de verossimilhança perlada e pela Proposição 3.5 no caso da função de verossimilhança condicional. Para as funções de verossimilhança

47 45 integradas uniforme e de Jereys a estimativa de máxima verossimilhança é sempre nita. Segue dos resultados da seção 3. com respeito ao comportamento das funções de verossimilhança, que o conjunto de conança denido em 3.37) é um intervalo da forma [N M, N2 M ] com r N M < N2 M. Vale observar que o extremo superior N2 M é igual a se e somente se r = n e as funções de verossimilhança consideradas forem a perlada e a condicional. Com efeito, as função de verossimilhança perlada e condicional são estritamente crescentes se r = n Proposições 3.3 e 3.7) e, portanto, o intervalo de conança denido em 3.37 é da forma [N M, ] em ambos os casos. Por outro lado, se r < n, segue das Proposições 3., 3.5, 3.9, 3.2 que o limite de K M N) é 0, ou seja, o limite de log K M N) ) é igual a quando N. Consequentemente, se r < n a condição sobre N dada em 3.37) será satisfeita apenas para um número nito de valores de N e, portanto, o intervalo de conança denido em 3.37 é da forma [N M, N2 M ] com N2 M <. A Figura 6 ilustra, a partir de um conjunto de dados articiais, como é obtido o intervalo de conança 95% para N denido em 3.37 baseado na função de verossimilhança condicional sob três situações distintas: a) r = m; b) m < r < n e c) r = n. No caso a), a função de verossimilhança é estritamente decrescente e o intervalo de conança é da forma [N, N 2 ] com N = m. No caso b), a função de verossimilhança é crescente para N < N e decrescente para N > N, logo o intervalo de conança é da forma [N, N 2 ]. No caso c), a função de verossimilhança é estritamente crescente e o intervalo de conança é da forma [N, ].

48 46 a) N N 2 b) N N^ N 2 c) N N Figura 6. Estimativas intervalares de N baseadas na função de verossimilhança condicional nos casos em que a) r = m, b) m < r < n e c) r = n. A linha contínua preta representa o valor de logk C N)), enquanto a linha tracejada cinza representa o valor da constante log K C N C )) χ 2 0, 95)/2. Os valores de N e N 2 são determinados considerando a forma que assume a função de verossimilhança e determinando, quando for necessário, o valor real x que soluciona, dentro de um intervalo apropriado, a equação ) log K M x) = log K M M N )) 2 χ2 α) = 0, considerando K M x) uma extensão a valores reais da função a valores inteiros K M N). Para efeito comparativo, consideraremos também o intervalo de conança de Wald