DISCIPLINA DE MODELAGEM MATEMÁTICA DO PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS EXATAS DA UNIVATES-RS

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1 DISCIPLINA DE MODELAGEM MATEMÁTICA DO PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS EXATAS DA UNIVATES-RS Claus Haetinger UNIVATES Maria Madalena Dullius UNIVATES Daniela Cristina Schossler UNIVATES Resumo: Considerando as dificuldades de aprendizagem que transparecem nos estudantes de Ciências Exatas e o desinteresse dos mesmos em relação às aulas, a disciplina de Modelagem Matemática do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Exatas da UNIVATES busca trabalhar uma metodologia que visa a contribuir para a diminuição das carências em relação à produção de significados e à compreensão de conceitos, através de ações nas quais o estudante tenha oportunidade de experimentar, modelar, analisar situações e criticar soluções encontradas. Procuramos organizá-la com base em referenciais que apontam aspectos relevantes a serem considerados quando se deseja que os estudantes, futuros professores, sintam-se convidados a utilizar a Modelagem Matemática como metodologia de ensino. Como forma de acompanhamento, observamos, analisamos e buscamos entender como os mestrandos compreendem a Modelagem Matemática e que concepções possuem acerca do tema, explorando o contexto investigado. O presente trabalho relata esta experiência. Palavras-chave: Modelagem Matemática; Formação de professores; Metodologia de Ensino. Introdução O ensino de Matemática é geralmente baseado em aulas tradicionais, com metodologia dedutiva, considerando poucas aplicações em outras áreas do conhecimento, não explorando formas alternativas de ensino. Temos percebido, enquanto docentes universitários, que os estudantes vêm apresentando carências em relação à produção de significados e à compreensão de conceitos. Os estabelecimentos de ensino, em todos os seus níveis, deveriam buscam preparar indivíduos críticos, conscientes e integrados à sociedade. Sob o ponto de vista da Matemática, este preparo vincula-se a ações nas quais o estudante tenha oportunidade de experimentar, modelar, analisar situações e criticar soluções encontradas. E um ambiente de ensino fundamentado na Modelagem Matemática apresenta estas características. 1

2 Sentindo necessidade de abordar estas questões, propusemos uma disciplina de Modelagem Matemática no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Exatas da UNIVATES. Após a primeira oferta desta, a partir dos comentários apresentados pelos estudantes quando da Avaliação Institucional e no diário de bordo no ambiente TelEduc 1, constatamos ter havido compreensões e incompreensões do que se entende por modelagem e por modelo. Por termos trabalhado com autores e definições distintas, bem como utilizado enfoques diversos, tanto de pesquisa quanto de ensino através de Modelagem Matemática, vários estudantes apontaram que haviam se familiarizado com determinado referencial teórico, e não tinham interesse em estudar ou discutir outros. Este fato nos preocupou muito, até porque consideramos ser um aspecto importante nas Ciências em geral. Buscando aperfeiçoar a abordagem utilizada, numa próxima oferta da disciplina, procuramos organizá-la com base em referenciais que apontam aspectos relevantes a serem considerados quando se deseja que os estudantes, futuros professores, sintam-se convidados a utilizar a Modelagem Matemática como metodologia de ensino. O presente trabalho relata a experiência da segunda edição da disciplina. Abordagem Teórica Várias tendências em Educação Matemática têm emergido nas últimas décadas. Sobretudo, a Modelagem Matemática tem sido fortemente recomendada por especialistas em processos de ensino e aprendizagem que não enfatizem somente questões do conhecimento matemático. O desafio posto é o de tornar esta inclusão efetiva e viável, com o intuito de que os conteúdos sejam trabalhados de forma mais significativa não só matematicamente, como num sentido mais amplo, extramatemático, para desenvolver o conhecimento reflexivo e o engrandecimento humano. Segundo Bassanezi (2002), para o professor que toma o caminho da modelagem como método de ensino, o desafio é ajudar o estudante a compreender, construindo relações matemáticas significativas em cada etapa do processo. Assim sendo, embora o uso da Modelagem Matemática no ensino decorra do mesmo método utilizado na Matemática Aplicada (que a utiliza como pesquisa), com uma estrutura semelhante, ela apresenta certas características que lhe são propícias aos propósitos do processo de ensino e aprendizagem. 1 TelEduc é um ambiente de apoio ao ensino e à aprendizagem a distância, desenvolvido pelo NIED da UNICAMP. 2

3 Bassanezi enfatiza que o modelo obtido é menos importante, neste caso, do que o processo, a análise crítica e a sua inserção no contexto sócio-cultural. Segundo Blum & Niss (1991), algumas das razões ou argumentos que tornam recomendável o uso da Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem são, em palavras gerais: Formativa: como meio para desenvolver capacidades e atitudes gerais; os estudantes podem tornar-se explorativos, criativos e habilidosos na resolução de problemas, estimulando a compreensão, independência e confiança no próprio potencial. Competência Crítica: como meio de desenvolver a capacidade de reconhecer, compreender, analisar e avaliar o uso da Matemática e sua contribuição para a resolução de problemas sociais significativos. Utilitarista: para preparar o estudante para descrever aspectos de áreas ou situações especificamente extramatemáticas, recorrendo a outros assuntos ou contextos da vida. Intrínseca: fornece ao estudante um quadro rico para entender e interpretar aspectos próprios da Matemática como Ciência, e como um campo de atividade social e cultural. Promoção da Aprendizagem Matemática: pode contribuir para que os estudantes adquiram e interiorizem conceitos, métodos e resultados matemáticos, valorizandoa. Pode motivá-los para o estudo de tópicos específicos, tornando as ideias matemáticas mais significativas. Blum & Niss (1991), Tavares (2000) e Bassanezi (2002), entre outros, apontam possíveis dificuldades no uso da Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem, donde podemos destacar, em palavras gerais: Preocupação com o cumprimento do conteúdo programático. Maior exigência e menor previsibilidade por parte dos estudantes. Professores muitas vezes sentem-se inabilitados a desenvolver a modelagem. Dificuldade de compreensão do contexto da situação apresentada. Criação de restrições não referidas no enunciado. Não observação de condições ou dados importantes referidos no enunciado. 3

4 Dificuldades de identificação dos aspectos essenciais de uma situação e sua tradução em termos matemáticos. Presença de vários aspectos da mesma situação. Dificuldades de identificação do significado de uma operação matemática em termos da situação de partida. Dificuldades de identificação dos conceitos matemáticos a serem utilizados em dada situação. Domínio deficiente de conceitos matemáticos. Segundo Almeida (2002a, 2002b), os estudantes devem perceber desde o início a importância e a utilidade do processo de modelagem. Para tal, aponta três momentos importantes: 1. Abordar, com todos estudantes, situações em que estão em estudo a dedução, a análise e a utilização de um modelo matemático, a partir de uma situação problema já estabelecida e apresentada pelo professor a formulação de hipóteses e a investigação do problema, que resulta na dedução do modelo, são realizados em conjunto. 2. Sendo uma situação-problema já reconhecida, um conjunto de informações pode ser sugerida pelo professor e os estudantes realizam a formulação de hipóteses e a dedução do modelo durante a investigação, validando-o. 3. Estando os estudantes distribuídos em grupos, podem ser incentivados a conduzirem um processo de Modelagem Matemática, a partir de um problema escolhido por eles. Baseados neste referencial, elaboramos as aulas da disciplina citada, detalhadas a seguir. A disciplina de Modelagem Matemática O contexto investigado é uma turma de 11 estudantes do Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas da UNIVATES, Lajeado-RS, na disciplina de Modelagem Matemática, que é composta de seis encontros, num total de 30 horas/aula, ministrada em Em relação aos objetivos da disciplina, destacamos: Abordar a Modelagem Matemática como uma estratégia de ensino e aprendizagem. 4

5 Vivenciar atividades de Modelagem Matemática em sala de aula. Explorar questões teóricas referentes à Modelagem Matemática. Apresentar ferramentas computacionais disponíveis para Modelagem Matemática. Apresentar a Modelagem Matemática como um método científico de pesquisa, através de exemplos. A maior preocupação no planejamento foi usar a própria metodologia de Modelagem Matemática para envolver os mestrandos durante a disciplina, visando facilitar o entendimento da mesma e sua futura aplicação com seus alunos no contexto escolar. A proposta de ensino esteve sujeita e sofreu modificações durante sua aplicação, devido ao fato de as atividades de Modelagem Matemática contarem com a contribuição efetiva dos estudantes. Como forma de acompanhamento, observamos, analisamos e buscamos entender como os mestrandos compreendem a Modelagem Matemática e que concepções possuem acerca do tema, explorando o contexto investigado, determinando características da turma através de um questionário. Ao longo da disciplina trabalhamos com procedimentos de obtenção de informações com tendências da pesquisa qualitativa, utilizando fichas de levantamento, trabalhos escritos e registros de observações das aulas. Encontro Encontro 1 Encontro 2 Encontro 3 Encontro 4 Encontro 5 Encontro 6 No Quadro 1, apresentamos as atividades distribuídas por encontro: Atividades Vivenciar uma situação de Modelagem Matemática na condição de estudante. Apresentar uma abordagem teórica de Modelagem Matemática, relacionando-a com a prática realizada no encontro anterior, destacando nos referenciais relações existentes ou não com a mesma. Apresentar um exemplo de atividade de Modelagem Matemática com abordagem em pesquisa, com seus respectivos critérios de elaboração, relacionando-o com a teoria. Efetuar a prática de uma situação envolvendo Modelagem Matemática. Utilizar ferramentas computacionais para Modelagem Matemática: abordagem teórica e prática. Apresentar alguns exemplos, utilizando ferramentas computacionais variadas. Vivenciar uma situação de Modelagem Matemática na condição de professor. Discutir questões a saber para utilizar Modelagem Matemática nas aulas, relacionando à prática desenvolvida no encontro anterior. 5

6 No primeiro encontro os estudantes explanaram para os colegas quem já tinha ou não conhecimento sobre a metodologia de Modelagem Matemática. A grande maioria não tinha conhecimento sobre MM, enquanto outros tinham apenas um conhecimento superficial sobre o assunto. A proposta do primeiro encontro era que a turma vivenciasse uma situação de Modelagem Matemática. Para isto foi explorado um estudo da variação da população do estado do Rio Grande do Sul e do Brasil em torno do ano de 2000, com a ajuda do software Powersim 2. Durante as discussões foi possível observar que a turma era heterogênea e participativa. Os estudantes tiveram contato com uma das maneiras de explorar a Modelagem Matemática em sala de aula. O segundo encontro foi dedicado à abordagem teórica de Modelagem Matemática relacionando-a com a prática realizada em sala de aula no primeiro encontro: definições, etapas e casos. Os estudantes procuraram no texto relações existentes ou não com a prática realizada. Foram debatidas várias questões levantadas pela turma, tais como: Ao trabalhar com Modelagem Matemática consigo agradar a todos e contemplar todos os conteúdos? Sabemos que é impossível agradar a todos e temos que levar em conta que a Modelagem Matemática é apenas uma das metodologias que podem auxiliar no processo de ensino e aprendizagem, pois permite um maior contato com a realidade e leva em consideração seus conhecimentos prévios. No terceiro encontro foi apresentado um exemplo de Modelagem Matemática como metodologia de pesquisa, relatando um trabalho referente ao Sistema de Alerta de Enchentes do Vale do Taquari, utilizado e desenvolvido pelo Centro de Informações Hidrometeorológicas da UNIVATES. Posteriormente, foi desenvolvida uma atividade de Modelagem Matemática com a própria turma, onde foi proposta a resolução do seguinte problema: Quantos apertos de mão são possíveis nesta sala de aula sem haver repetição? O objetivo era fazer com que a turma passasse pelas etapas de Modelagem Matemática propostas por Bassanezi: experimentação, abstração, resolução, validação de um modelo matemático e, se necessário, modificação do modelo proposto. Após esta prática, discutiu-se como chegar ao modelo matemático através de um problema que aparentemente não envolvia Matemática, quais ferramentas temos para nos auxiliar neste 2 Utilizamos uma versão gratuita disponível em (acesso em 18/03/2010). Para as versões mais atuais, completas e pagas do software, o link é o 6

7 processo, como validar o modelo encontrado e como agir perante a turma se for encontrado mais de um modelo matemático. O quarto encontro foi dedicado à exploração de ferramentas computacionais em Modelagem Matemática, com abordagem teórica e prática e apresentação de alguns exemplos, utilizando aplicativos variados. Os estudantes testaram e perceberam como podem facilitar a construção de um modelo matemático com a ajuda de tecnologias. Eles exploraram o software Powersim e a planilha de cálculo Excel 3. Ao final, realizaram uma leitura em grupo sobre Modelagem Matemática. O quinto encontro foi reservado para apresentação das mini-aulas, cujos detalhes haviam sido acordados previamente. O objetivo principal era que os estudantes vivenciassem uma situação de Modelagem Matemática na condição de professores. Enquanto um grupo se apresentava, os demais colegas faziam considerações com foco nos seguintes itens: adequação da prática apresentada em relação ao nível e conteúdo propostos; clareza da apresentação e da linguagem; aspectos teóricos implícitos na prática; aspectos positivos; sugestões de melhoria da prática apresentada. Cabe destacar que estas atividades foram filmadas para posterior análise. O sexto encontro dedicou-se à discussão de questões consideradas relevantes para quem inicia a utilização da Modelagem Matemática como metodologia de ensino, as quais destacamos: Como desenvolver atividades de Modelagem Matemática em ambientes de programas pré-estabelecidos? Quais as dificuldades decorrentes da implementação de Modelagem Matemática no currículo? Como o conhecimento prévio (dos estudantes e dos professores) interfere nas práticas com Modelagem Matemática? Como ocorrem as discussões no ambiente de Modelagem Matemática? Quais as dificuldades dos estudantes nesse tipo de atividade? Como a intervenção do professor interfere nas atividades dos estudantes? Como acompanhar o trabalho deles? Quais as diferentes maneiras de organizar e conduzir atividades de Modelagem Matemática? Quais as visões de Modelagem Matemática na Educação Matemática e suas implicações para a organização da sala de aula? Considerações Finais 3 Excel é integrante do Microsoft Office. 7

8 Para concretizar mudanças é necessário criar novos processos e métodos para o trabalho pedagógico, o que pode ser possível através de metodologias fundamentadas em Modelagem Matemática. Entretanto, para uma mudança efetiva na formação docente não basta apenas romper com o modelo tradicional. É necessário estabelecer etapas intermediárias entre níveis de partida (modelos tradicionais) e níveis de referência (modelo investigativo), de modo gradual e contínuo, verificando se os resultados parciais atingem as hipóteses estabelecidas. Entendemos ser necessário oportunizar em sala de aula o desenvolvimento de atividades de aprendizagem que sejam potencialmente significativas para que o estudante possa construir e atribuir os significados compartilhados e aceitos como corretos. É nessa direção que procuramos elaborar a proposta de ensino. Analisando os apontamentos escritos pelos colegas de turma quando das apresentações das mini-aulas pelos grupos, obervou-se que quatro dos cinco grupos realizaram sua prática aplicando a Modelagem Matemática com segurança, e apoiados em Bassanezi. Porém, durante as apresentações, alguns colegas se mostraram muito enraizados em receber orientações e regras fixas, o que entendemos ser natural, pois para muitos da turma este foi o primeiro contato com a Modelagem Matemática. Através da dinâmica adotada no sexto encontro, observou-se uma grande mudança na postura dos mestrandos durante os últimos debates, quando apresentaram comentários e estavam motivados e entusiasmados para aplicar a nova metodologia aprendida com seus estudantes nas respectivas escolas de origem. Enfim, consideramos que os resultados iniciais obtidos ao final desta disciplina constituem já indícios positivos de que a Modelagem Matemática possa ser uma metodologia de ensino alternativa ao ensino transmissivo tradicional, visando a uma aprendizagem mais significativa. O contraste entre as hipóteses formativas da pesquisa que estamos conduzindo e os resultados alcançados pode vir a auxiliar na elaboração e avaliação de estratégias, atividades e demais formas concretas pelas quais os professores evoluem, buscando a superação de problemas profissionais práticos e carências da educação de docentes em geral. 8

9 Referências ALMEIDA, L.M.W. Introdução à Modelagem Matemática. Notas de aula. Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática. Universidade Estadual de Londrina. Londrina- PR, 2002a. ALMEIDA, L.M.W. Modelagem Matemática na sala de aula: um estudo. In: Encontro Paranaense de Educação Matemática, Anais eletrônicos do VII EPREM. Foz do Iguaçu: Unioeste, 1CD, 2002b. BASSANEZI, R.C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo: Contexto, BLUM, W.; NISS, M. Applied mathematical problem solving, modelling, applications, and links to other subjects - State, Trends and Issues in Mathematics Instruction. Educational Studies in Mathematics, 22 (1), 37-68, TAVARES, F. Dificuldades reveladas por alunos em contextos de aplicação ou modelação matemática. Millenium 17, , jan/