MODELOS POPULACIONAIS DISCRETOS: UMA ABORDAGEM POR SISTEMAS BASEADOS EM REGRAS FUZZY

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS MATEMÁTICA LICENCIATURA MODELOS POPULACIONAIS DISCRETOS: UMA ABORDAGEM POR SISTEMAS BASEADOS EM REGRAS FUZZY TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO Ana Caroline Pierini Santa Maria, RS, Brasil 2015

2 MODELOS POPULACIONAIS DISCRETOS: UMA ABORDAGEM POR SISTEMAS BASEADOS EM REGRAS FUZZY Ana Caroline Pierini Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Matemática Licenciatura da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para a obtenção do grau de Licenciada em Matemática Orientadora: Prof. Dr a. Karine Faverzani Magnago Santa Maria, RS, Brasil 2015

3 Universidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas Matemática Licenciatura A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova o Trabalho de Conclusão de Curso MODELOS POPULACIONAIS DISCRETOS: UMA ABORDAGEM POR SISTEMAS BASEADOS EM REGRAS FUZZY elaborado por Ana Caroline Pierini como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciada em Matemática COMISSÃO EXAMINADORA: Karine Faverzani Magnago, Dr a. (Presidente/Orientadora) Antonio Carlos Lyrio Bidel, Dr. (UFSM) Sandra Eliza Vielmo, Dr a. (UFSM) Salvador Lou Vega, Dr. (UFSM) (Suplente) Santa Maria, 03 de Dezembro de 2015.

4 AGRADECIMENTOS Agradeço: À Deus pelo dom da vida, pela saúde e força para seguir em frente. À minha família pelo apoio e incentivo para prosseguir, além da dedicação, carinho e atenção em todos os momentos. À meu namorado, pela paciência, atenção e amor dedicados em todos os momentos. À minha orientadora Karine, por todo apoio e contribuições oferecidas durante a graduação e, principalmente durante a realização deste trabalho.

5 RESUMO Trabalho de Conclusão de Curso Matemática Licenciatura Universidade Federal de Santa Maria MODELOS POPULACIONAIS DISCRETOS: UMA ABORDAGEM POR SISTEMAS BASEADOS EM REGRAS FUZZY AUTORA: ANA CAROLINE PIERINI ORIENTADORA: KARINE FAVERZANI MAGNAGO Local e Data da Defesa: Santa Maria, 03 de dezembro de Este trabalho propôs-se a elaborar modelos alternativos que reproduzam as características qualitativas dos modelos populacionais discretos de Malthus e Logístico. Para este fim, utilizou-se conceitos da lógica fuzzy, especificamente, de Sistemas Baseados em Regras Fuzzy, com o Método de Inferência de Mamdani e como defuzzificar o Método Centro de Gravidade. Inicialmente, realizou-se um estudo básico dessa teoria e da dinâmica populacional, com foco nos modelos clássicos citados. Em seguida, desenvolveu-se os controladores fuzzy, os quais buscam retratar as características dos modelos clássicos relacionados. Esses controladores foram implementados com o auxílio do software MATLAB e utilizados para realizar as simulações computacionais dos modelos propostos. Por fim, através das simulações, concluiu-se que os Modelos Alternativos de Malthus Discretos e Logístico Discreto preservam as características qualitativas desejadas. Palavras chaves: Lógica Fuzzy, Modelos Populacionais Discretos, Simulação.

6 ABSTRACT Course Conclusion Work Mathematics Degree Federal University of Santa Maria DISCRETE POPULATION MODELS: AN APPROACH THROUGH FUZZY RULE-BASED SYSTEMS AUTHOR: ANA CAROLINE PIERINI ADVISER: KARINE FAVERZANI MAGNAGO Place and Date of Defense: Santa Maria, december 03 rd, This work was proposed to elaborate alternative models that reproduce qualitative characteristics of the discrete population models of Malthus and Logistic. For this end, we used the concepts of fuzzy logic, specifically, fuzzy rule-based systems, with the Inference Method of Mamdani and defuzzification the Center of Gravity Method. Initially, was performed a basic study of this theory and population dynamics with a focus on classical models cited. Then, were developed the fuzzy controllers, which seek portray the characteristics of the related classical models. These controllers were developed with the help of software MATLAB and used to perform computer simulations of the proposed models. Finally, through simulations, it was concluded that the Alternative Models of Malthus Discrete and Logistic Discrete preserve the qualitative desired characteristics. Key-words: Fuzzy Logic, Discrete Population Models, Simulations.

7 SUMÁRIO INTRODUÇÃO TÓPICOS DE LÓGICA FUZZY Conjuntos Fuzzy Funções de pertinência ou forma dos conjuntos fuzzy Função de pertinência triangular Função de pertinência trapezoidal Função de pertinência gaussiana, sigma e sino Operações com conjuntos fuzzy Variáveis e Termos linguísticos fuzzy Sistemas Fuzzy Processador de Entrada: fuzzificação Base de Regras Inferência Fuzzy Método de Mamdani Processador de Saída: Defuzzificação Método do Centro de Gravidade Sistemas p-fuzzy DINÂMICA DISCRETA DE POPULAÇÕES: MODELOS CLÁSSICOS Modelo de Malthus Discreto Modelo Logístico Discreto DINÂMICA DISCRETA DE POPULAÇÕES: PROPOSTAS DE MODELOS FUZZY Modelo Alternativo de Malthus Discreto Considerações sobre o Modelo Alternativo de Malthus Discreto Modelo Alternativo Logístico Discreto Considerações sobre o Modelo Logístico Discreto Alternativo CONCLUSÃO REFÊRENCIAS

8 INTRODUÇÃO O pensamento humano é constituído por variáveis linguísticas que não expressam exatidão matemática, como por exemplo, é tradicional o uso de termos como alto, velho, sem se preocupar com a medida exata relacionada ao termo usado. No entanto, a lógica clássica não consegue representar esses termos matematicamente. Nessa perspectiva, foi desenvolvida a teoria de conjuntos fuzzy, a qual possibilita a representação matemática de termos com incertezas. A primeira publicação sobre essa nova teoria ocorreu em 1965, por Lotfi Asker Zadeh no artigo Fuzzy Sets, o qual introduziu o termo Lógica Fuzzy (ZADEH, 1965). A partir daí, muitos trabalhos foram desenvolvidos usando essa nova lógica, o que a tornou bastante empregada em várias áreas do conhecimento humano, com destaque para a área de tecnologias e biológicas. Nesse sentido, esse trabalho tem como objetivo propor uma versão alternativa aos modelos populacionais discretos de Malthus e Logístico, utilizando Sistemas Baseados em Regras Fuzzy (SBRF). Para atingir tal objetivo, serão desenvolvidos SBRF para cada um dos modelos e, posteriormente, serão implementados computacionalmente visando o processo iterativo das dinâmicas populacionais. Além disso, será realizada uma validação da modelagem através de uma análise qualitativa dos resultados obtidos. A implementação computacional será realizada no software MATLAB, através do uso do toolbox fuzzy. Além disso, as imagens de autoria própria apresentadas durante o trabalho foram criadas no MATLAB. No primeiro capítulo é realizada uma revisão bibliográfica sobre a Lógica Fuzzy, o qual é introduzido por uma comparação entre conjuntos clássicos e fuzzy. Além disso, são abordados os tipos de funções de pertinência que definem as formas dos conjuntos fuzzy e as principais operações entre eles. Na segunda parte do capítulo, é feita uma apresentação sobre os Sistemas Baseados em Regras Fuzzy e seu funcionamento. O segundo capítulo é composto por uma revisão da literatura sobre a dinâmica populacional, enfatizando os modelos clássicos de Malthus Discretos e Logístico Discretos. Ainda, é feita uma análise sobre o comportamento apresentado pela população durante a evolução para cada um dos modelos. No terceiro capítulo são apresentadas as propostas de modelos desenvolvidos por meio de Sistemas Baseados em Regras Fuzzy. O capítulo está dividido em duas partes: na primeira

9 parte é apresentada a modelagem desenvolvida para o Modelo de Malthus Discreto e, na segunda parte, é exposto o Modelo Alternativo Logístico Discreto. Em cada modelo são discutidos o desenvolvimento dos controladores, as simulações produzidas e a comparação com os modelos clássicos. Por fim, o capítulo de conclusão apresenta, em suma, os resultados obtidos e as pretenções futuras para este trabalho, além das considerações finais sobre o desenvolvimento do trabalho.

10 1 TÓPICOS DE LÓGICA FUZZY 1.1 Conjuntos Fuzzy A definição de conjuntos da lógica Booleana (clássica) apresenta as fronteiras abruptas e os elementos são tratados com mesma pertinência (pertencente ou não pertencente), independente da posição que ocupam no conjunto. Assim, um subconjunto clássico Y de um conjunto universo X é representado por uma função característica, definida por: { 1, se x Y Y (x) = 0, se x / Y. (1.1) Através da função característica, podemos analisar a pertinência ou não de todos os elementos do conjunto X ao conjunto Y ; tal pertinência é definida pela imagem da função que está contida no conjunto {0, 1}, em que Y (x) = 1 indica que o elemento x pertence ao conjunto Y e Y (x) = 0 informa que x não pertence ao conjunto Y (FERREIRA, 2012). A teoria clássica de conjuntos é bastante útil para definir conjuntos em que a pertinência dos elementos é precisa, como no caso de P = {p N : p primo}. No entanto, para modelar um conjunto do tipo A = {a N : a pequeno} devemos analisar quais elementos condizem mais com a regra. Por exemplo: os números 1 e 97 pertencem ao conjunto A? A única afirmação plausível que se pode fazer é que 1 é menor que 97. Nestes casos, deve-se avaliar qual elemento satisfaz melhor a condição de pertinência ao conjunto, para isso Zadeh formulou a teoria de conjuntos fuzzy, sobre a qual Dias afirma: A ideia de Zadeh, ao formular o conceito de subconjuntos fuzzy, foi estender o conceito de um elemento pertencer ou não a um conjunto, ampliando o contra-domínio de Y para [0,1]. Admitiu-se, portanto que um elemento ao pertencer a um conjunto, o faz com um determinado grau (DIAS, 2006, p. 6). Nesse sentido, pode-se afirmar que o número 1 pertence ao conjunto A com um maior grau que o número 97. Ainda, segundo Ferreira (2012), o grau pertinência dos elementos é definido pela função de pertinência do conjunto que substitui a função característica; por exemplo: para o conjunto A = {a N : a pequeno} pode-se definir a função de pertinência como: ϕ A (a) = 1 a + 1. (1.2) Para definir a função de pertinência de um conjunto fuzzy é de grande importância a participação de um especialista da área a ser modelada, pois a função deve expressar o maior número possível das características do processo. Dessa forma, um problema pode ter mais de uma função de pertinência associada a ele, definidas por diferentes especialistas.

11 10 Definição 1. Um subconjunto fuzzy A do conjunto universo X é caracterizado por uma função de pertinência ϕ A : X [0, 1] e determinado pelo conjunto de pares ordenados A = {(x, ϕ A (x)) : x X}. Note que a diferença entre um conjunto fuzzy e um conjunto tradicional está somente na imagem da função que o define, pois no conjunto clássico a imagem é o conjunto {0, 1} e no caso fuzzy, é o intervalo [0, 1]. Knak Neto (2012) corrobora que nos conjuntos fuzzy, a ideia principal é admitir valores entre 0 e 1 para expressar a compatibilidade de cada elemento com o conjunto, sendo que os valores 0 e 1 representam, respectivamente, a total incompatibilidade e a total pertinência do elemento. Além disso, a transição entre a pertinência e não pertinência de elementos é dada de forma gradual e não abrupta como nos conjuntos clássicos. Segundo Dias (2006), os conjuntos fuzzy podem ser discretos ou contínuos. Os conjuntos discretos são representados pelos pontos que correspondem aos elementos e seus respectivos graus de pertinência; já nos conjuntos contínuos, a representação é a própria função de pertinência. 1.2 Funções de pertinência ou forma dos conjuntos fuzzy Na lógica fuzzy, as funções de pertinência são muito importantes, pois é através delas que são definidos os conjuntos fuzzy, os quais determinam o valor de pertinência de cada elemento. Segundo Pedrycz e Gomide (2007), a função de pertinência deve refletir a percepção do ser humano sobre o conceito a ser representado e o nível de detalhes a ser usado. Para melhor representar o problema a ser modelado, as funções de pertinência definem diferentes formas para os conjuntos fuzzy. A seguir, serão apresentadas as formas mais comuns de conjuntos fuzzy associados as suas funções de pertinência Função de pertinência triangular Uma função de pertinência triangular é definida por segmentos de reta descritos por: A(x) = 0, se x a x a, se x [a, m) m a b x, se x [m, b) b m 0, se x b

12 11 em que x representa o valor da variável, m é o vértice do conjunto em que a variável possui pertinência total, a e b representam, respectivamente, os limites inferior e superior do suporte da função. Segundo Almeida (2006), o suporte de um conjunto fuzzy A é o conjunto de elementos no universo X que possuem pertinência maior que zero. Na figura 1.1, é apresentado um conjunto fuzzy triangular, definido pela função de pertinência 1.3 quando a = 0.2, m = 0.5 e b = 0.8. Figura 1.1: Função de pertinência triangular simétrica. No caso da figura 1.1, a função de pertinência é dita equidistante, ou seja, é simétrica em relação à reta vertical x = m, no entanto, podem existir conjuntos triangulares que não são simétricos. Por exemplo, a figura 1.2 apresenta um conjunto não simétrico, construído através da função 1.3 com a = 0.2, m = 0.5 e b = 0.7. Figura 1.2: Função de pertinência triangular não simétrica. A forma triangular é a mais simples função de pertinência e devido a isso é largamente usada. Para o desenvolvimento da modelagem desse trabalho foram utilizadas somente funções

13 12 triangulares, pois como não foram encontradas referências que sugerissem um tipo específico de funções de pertinência, optou-se pela mais simples Função de pertinência trapezoidal Uma função de pertinência trapezoidal é definida por segmentos de reta descritos por: A(x) = 0, se x a x a, se x [a, m) m a 1, sex [m, n), (1.3) b x, se x [n, b) b n 0, se x b em que x representa o valor da variável, m e n são os limites do intervalo em que a variável tem pertinência total, a e b representam, respectivamente, os limites inferior e superior do suporte da função. Na figura 1.3, é apresentado um conjunto trapezoidal definido pela função de pertinência 1.3 em que a = 0.1, m = 0.4, n = 0.6 e b = 0.9. Note que este conjunto fuzzy é simétrico, ou seja, que as diferenças (m a) e (b n) são iguais, no entanto é possível determinar funções que formam um conjunto trapezoidal não simétrico. Figura 1.3: Função de pertinência trapezoidal. O fato da função trapezoidal apresentar um intervalo não-degenerado para o valor máximo de pertinência significa, em termos de classificação, que a função trapezoidal é mais generalista que a função triangular (KNAK NETO, 2012). Ainda, a função de pertinência triangular pode ser encarada como uma função trapezoidal em que m = n.

14 Função de pertinência gaussiana, sigma e sino Essas funções de pertinência apresentam uma variação mais suave no grau de pertinência do que as funções anteriores e por isso possuem aplicações bastante específicas. A função de pertinência gaussiana é definida por: A(x) = e (x m) 2 em que x representa a variável, m é a média e σ 2 é o desvio padrão. σ 2, (1.4) Na figura 1.4, é apresentado o conjunto gaussiano determinado pela função de pertinência 1.4, usando m = 0.5 e σ 2 = 2. Figura 1.4: Função de pertinência gaussiana. A função sigma é descrita pela seguinte lei: A(x) = 0, se x a ( ) 2 x a 2, se x [a, m) ( b a ) 2 x b 1 2, se x [m, b] b a 1, se x > b, (1.5) em que a e b são, respectivamente, os parâmetros inferior e superior e m = a + b 2 médio. Na figura 1.5 é apresentada a função sigma, em que a = 0.1 e b = 0.4. Para a função sino, a lei de definição é: é ponto A(x) = 1 ( ) 2b, (1.6) x c 1 + a

15 14 Figura 1.5: Função de pertinência sigma. em que a > 0, b e c representam os pontos de mudança de comportamento da função. Na figura 1.6, é apresentado um conjunto fuzzy definido por uma função de pertinência sino, com a = 0.1, b = 0.3 e c = 0.5. Figura 1.6: Função de pertinência sino. 1.3 Operações com conjuntos fuzzy Na lógica clássica existem definições que permitem operar conjuntos a fim de obter novos conjuntos. Da mesma maneira, a lógica fuzzy permite realizar algumas operações com conjuntos, como a união, intersecção e complementar (PEDRYCZ; GOMIDE, 2007). Análogo à lógica clássica, as operações união e intersecção correspondem, respectivamente, aos operadores lógicos de conjunção E e de disjunção OU. Para modelar tais operadores existem diversas opções, no entanto, Ortega (2004, pg. 477) afirma que O par de operadores mais amplamente utilizado é o operador min (mínimo) para a conjunção fuzzy e max (máximo) para a disjunção

16 15 fuzzy. Dessa forma, considere os subconjuntos fuzzy A e B do conjunto universo X. Definição 2. A função de pertinência que representa o conjunto intersecção de A e B é definida por: ϕ (A B) (x) = min{ϕ A (x), ϕ B (x)}. Definição 3. A função de pertinência que representa o conjunto união de A e B é definida por: ϕ (A B) (x) = max{ϕ A (x), ϕ B (x)}. Definição 4. A função de pertinência que representa o conjunto complementar A de A é definida por: ϕ A (x) = 1 ϕ A (x), x X. A figura 1.7 ilustra graficamente as operações: intersecção e união para os conjuntos A e B considerados e o conjunto complementar de A. Figura 1.7: Operações com conjuntos fuzzy realizadas pelos operadores min, max e complementar. Fonte: Pedrycz, Gomide (2007). Nos conjuntos clássicos, tem-se que A A = X e A A =. No entanto, nos conjuntos fuzzy, essas afirmações não são verdadeiras devido a flexibilidade da função de pertinência (PEDRYCZ, GOMIDE, 2007). Ainda, não é necessário que os valores de pertinência de um elemento somam exatamente 1 nos diversos conjuntos fuzzy aos quais pertencem. 1.4 Variáveis e Termos linguísticos fuzzy Variáveis linguísticas são variáveis que podem ser descritas através de palavras ou sentenças de determinado problema. Essas palavras ou sentenças são denominadas termos linguísticos e são utilizados para identificar, diferenciar e quantificar informações. Nesse contexto, Ortega (2004) corrobora que uma variável linguística possui valor expresso qualitativamente por um termo linguístico e quantitativamente pela função de pertinência. Conforme Antunes (2012), Silva (2005) e Knak Neto (2012), uma variável linguística é composta por {n, T, X, m(n)}, onde n representa o nome da variável (Ex.: temperatura); T é

17 16 o conjunto de termos linguísticos de n (Ex.: quente, frio, ); X é o universo de discurso ou domínio da variável linguística (Ex.: 10 à 40 ); m(n) é a função de pertinência atribuída a cada valor de T. As variáveis linguísticas são de suma importância no desenvolvimento dos sistemas fuzzy, pois permitem a transformação de situações de tomada de decisão do cotidiano em variáveis interpretáveis pelos sistemas fuzzy. 1.5 Sistemas Fuzzy As decisões humanas controlam diversos sistemas do mundo real por meio de informações imprecisas, ou seja, através da tomada de decisão. O ser humano tem um funcionamento bastante sistemático, pois sempre que recebe uma informação, interpreta-a segundo suas ideologias e então decide qual decisão tomar. Para um sistema fuzzy, esse processo deve seguir uma sequência de ordens linguísticas, as quais devem ser traduzidas por um conjunto de regras para que o controlador possa interpretá-las (PEDRYCZ; GOMIDE, 2007). Assim, os sistemas fuzzy possibilitam reproduzir as estratégias do ser humano na execução de suas tarefas. Um Sistema Baseado em Regras Fuzzy (SBRF) é um sistema que utiliza a lógica fuzzy para produzir saídas referentes a cada entrada fuzzy (BARROS; BASSANEZI, 2006). Um caso típico de Sistema Baseado em Regras Fuzzy são os controladores fuzzy, ou seja, dada uma entrada, um processador que utiliza regras fuzzy, produz saídas. Os controladores fuzzy são formados por quatro componentes: um processador de entrada que realiza a fuzzificação dos dados de entrada, uma base de regras composta por regras Figura 1.8: Arquitetura dos Sistemas Baseados em Regras Fuzzy. Fonte: Magnago (2005).

18 17 fuzzy, uma máquina de inferência fuzzy e um processador de saída que realiza a defuzzificação dos dados (JAFELICE; BARROS; BASSANEZI, 2012). Esses componentes estão interligados conforme a figura 1.8. As entradas normalmente são variáveis linguísticas, vinculadas a algum tipo de escala numérica. Em muitos casos, essa escala possui uma mensuração subjetiva, ou seja, utiliza elementos conceituais para representar as variáveis (quente, frio, morno, etc.) e, por isso, recebe a denominação de escala psicométrica. Assim, os termos escolhidos para representar uma variável devem estar ligados a intervalos da escala numérica relacionada (ANTUNES, 2012). Nos controladores fuzzy, a cada entrada fuzzy espera-se uma saída fuzzy, mas muitas vezes as entradas são discretas e então a saída também deve ser discreta. O controlador fuzzy atua de forma a realizar seu processamento e retornar valores reais através de seus componentes, os quais são descritos a seguir Processador de Entrada: fuzzificação A fuzzificação é o estágio em que as entradas do sistema são modeladas por conjuntos fuzzy em seus respectivos domínios. Além disso, é nesta etapa que são estabelecidas as funções de pertinências para cada conjunto, por isso destaca-se a grande importância da colaboração de um especialista do fenômeno a ser modelado. Sobre as entradas fuzzy, Antunes fala que: Base de Regras Quanto maior a quantidade de termos linguísticos, mais suaves serão as saídas do sistema, ou seja, a transição de um estado para outro será menos abrupta. Entretanto, essa maior quantidade aumentará a possibilidade de o modelo, em operação, tornar-se instável (ANTUNES, 2012, p. 469). As regras fuzzy são o modo pelo qual relacionamos os conjuntos fuzzy de entrada e de saída. O conjunto dessas regras forma a base de regras fuzzy que, juntamente com o módulo de inferência fuzzy, é considerada o Núcleo do Controlador Fuzzy. Essas regras têm por finalidade descrever situações específicas em determinado problema possibilitando, através da inferência fuzzy, obter a conclusão desejada. Conforme Ortega (2004, p. 479), A regra fuzzy é uma unidade capaz de capturar algum conhecimento específico, e um conjunto de regras é capaz de descrever um sistema em suas várias possibilidades. Uma base de regras tem a seguinte forma:

19 18 R 1 : Proposição fuzzy 1" R 2 : Proposição fuzzy 2". R n : Proposição fuzzy n" As regras fuzzy tem uma composição na forma de condicional, em que as condições e as ações são variáveis linguísticas modeladas por conjuntos fuzzy. Os conjuntos fuzzy referentes às condições e às ações são denominados, respectivamente, de antecedentes e consequentes. Assim cada proposição fuzzy é da forma: Se condição então ação. As regras fuzzy podem ser compostas por mais de uma condição e de uma ação, as quais são ligadas através dos conectivos lógicos de conjunção E e disjunção OU. Ainda, Ortega comenta que: As regras são processadas em paralelo, ou seja, todas as regras (circunstâncias) são consideradas ao mesmo tempo, e ao final obtemos uma resposta que pode ser tanto um valor numérico clássico como um conjunto fuzzy, a depender do tipo de consequente utilizado (ORTEGA, 2004, p. 480). Ainda, ressalta-se a importância de um especialista na elaboração das regras, pois o conjunto destas constitui o componente essencial dos modelos linguísticos fuzzy Inferência Fuzzy Nesse componente, as proposições fuzzy são traduzidas matematicamente por meio das técnicas de raciocínio aproximado, ou seja, pela lógica de tomada de decisão que utiliza a lógica fuzzy para simular comportamentos naturais. É o módulo no qual se define quais operações e regras de inferência serão utilizadas para obter a relação fuzzy que modela a base de regras. Dessa forma, esse módulo é tão importante quanto a base de regras, pois é nele que é produzida a saída fuzzy que será utilizada pelo controlador, a partir de cada entrada fuzzy (FERREIRA, 2012). Entre os métodos de inferência existentes, encontram-se os seguintes: Takagi-Sugeno, Mamdani, Larsen e Tsukamoto. Cada um desses modelos possui suas características próprias, por exemplo: os métodos de Tsukamoto e Takagi-Sugeno são métodos de interpolação enquanto que os modelos de Mamdani e Larsen são clássicos ( KNAK NETO, 2012 ). No entanto, o método mais conhecido e utilizado é o Método de Mamdani, o qual será usado nesse trabalho.

20 Método de Mamdani O método de Mamdani propõe que a interpretação das regras seja feita pelo produto cartesiano fuzzy dos conjuntos fuzzy que compõem os antecedentes e consequentes da proposição. As regras são agregadas através do operador lógico OU, que é modelado pelo operador máximo, e a composição das regras é feita pelo operador lógico E, o qual é modelado pelo operador mínimo. Assim, esse método é baseado na regra de composição max min (JAFELICE; BARROS; BASSANEZI, 2012). Algumas regras fuzzy são compostas, ou seja, possuem mais de uma entrada ou saída, e outras são simples, apenas um conjunto de entrada e um de sáida. Considere as seguintes regras compostas: Regra 1: Se (x é A 1 E y é B 1 ) Então (z é C 1 ) ; Regra 2: Se (x é A 2 E y é B 2 ) Então (z é C 2 ) ; Nesse caso, o Método de Mamdani, a partir das entradas reais x e y e as regras max min, gera a saída real z, a qual é defuzzificada do conjunto C = C 1 C 2. Na figura 1.9, as regras compostas são avaliadas pelo operador Mínimo enquanto que são unidas pelo operador Máximo. Figura 1.9: Método de Mamdani Processador de Saída: Defuzzificação Na etapa de inferência, sempre é gerada uma saída fuzzy independente da entrada (fuzzy ou real), a qual deve ser traduzida para um valor real. Assim, o módulo de defuzzificação interpreta esse resultado fuzzy de maneira quantitativa e retorna um valor real que representa tal resultado.

21 20 Segundo Ferreira (2012), qualquer número que represente razoavelmente o conjunto fuzzy de saída pode ser considerado um defuzzificador. No entanto, existem vários métodos pra realizar a defuzzificação como, por exemplo: Menor dos Máximos, Média dos Máximos, Maior dos Máximos, Bissetor, Centro da Soma, Centro de Gravidade e Método das Alturas. Destes, o método Centro de Gravidade é mais utilizado, pois considera contribuições de todo conjunto fuzzy de saída para definir o valor real correspondente. Por isso, esse foi o método escolhido para esse trabalho Método do Centro de Gravidade O Método Centro de Gravidade, também chamado de Centróide, Centro de Área ou Centro de Massa, é semelhante à média aritmética ponderada de uma distribuição de dados, aplicada na união de todos conjuntos fuzzy de saída, na qual os pesos são os valores (ϕ C (z i )), que indicam o grau de compatibilidade do valor (z i ) com o conceito modelado pelo conjunto fuzzy. O procedimento de cálculo é semelhante ao utilizado para calcular o centro da gravidade em Física. Dias (2006) afirma que o centro de Massa é o método mais preciso e utilizado, mesmo sendo o mais complicado. Para calcular o valor real que representa o conjunto fuzzy num domínio discreto, utiliza-se a equação 1.7, G(C) = n i=0 z i ϕ C (z i ) n i=0 ϕ C(z i ), (1.7) em que z i é a contribuição de cada regra e ϕ C (z i ) é a pertinência de cada contribuição. Na figura 1.9, o valor z representa a saída real do conjunto fuzzy C. 1.6 Sistemas p-fuzzy Sistemas parcialmente fuzzy ou p-fuzzy são sistemas que utilizam controladores fuzzy para relacionar as variáveis a suas variações, porém a solução é real. Conforme Silva: Um sistema p-fuzzy em R n é um sistema dinâmico discreto, x k+1 = F (x k ) onde a função F é dada por F (x k ) = x k + (x k ), a condição inicial x 0 R n é dada, e a variação (x k ) R n é obtida por meio de um sistema baseado em regras fuzzy (SILVA, 2005, p. 13). Para a construção de um sistema p-fuzzy são necessários os mesmos módulos que nos Sistemas Baseados em Regras Fuzzy, inclusive os modelos de inferência e de defuzzificação, Mamdani e Centro de Gravidade respectivamente, serão mantidos nesse trabalho. A arquitetura

22 21 Figura 1.10: Arquitetura de um sistema p-fuzzy. Fonte: Silva (2005). de um sistema p-fuzzy é representada na figura 1.10.

23 2 DINÂMICA DISCRETA DE POPULAÇÕES: MODELOS CLÁSSICOS Estudar a dinâmica populacional de determinada espécie é avaliar as variações no crescimento ou decrescimento de tal população. Os fatores presentes na variação de qualquer espécie são as taxas de natalidade e mortalidade, as quais determinam como será a evolução dessas populações. No entanto, alguns outros fatores, como a migração e as condições do habitat (alimentação, predadores, entre outros) podem influenciar na variação populacional (MARTINS, 2012). Com o objetivo de modelar matematicamente o comportamento de populações foram desenvolvidos alguns modelos matemáticos. Esses modelos foram criados com determinadas características e, em alguns casos, aprimorados para um novo modelo. Os modelos populacionais clássicos modelam a densidade populacional, não se preocupando com a particularidade de cada indivíduo da população. Muitas espécies possuem o crescimento populacional em etapas contínuas e outras em períodos discretos, estes últimos serão abordados neste trabalho. O tamanho do período discreto de crescimento populacional varia dependendo de cada espécie (por exemplo, o período de 1 ano é comum). Nesse contexto, os modelos populacionais devem relacionar a população no período futuro com a do período atual, em outras palavras, a população na geração n + 1, denotada por N n+1, deve ser expressa em relação à população na geração n, denotada por N n (MURRAY, 1989). Assim, N n+1 = N n F (N n ) = f(n n ) (2.1) em que f(n n ) é uma função de N n, linear ou não.segundo Murray (1989), essa função pode ser definida apropriadamente avaliando recursivamente a equação 2.1 para gerações subsequentes, a qual deve refletir fatos sobre a espécie. A partir da equação 2.1 e da variação de f(n n ), obtém-se diversos modelos. No entanto, nesse trabalho serão abordados dois modelos básicos de dinâmica populacional, o Modelo de Malthus Discreto e o Modelo Logístico Discreto. 2.1 Modelo de Malthus Discreto Em 1798, o economista britânico Thomas Robert Malthus, foi o primeiro a desenvolver uma teoria sobre o processo de crescimento de uma população, sendo denominado como o pai

24 23 da demografia. Segundo Jafelice, Barros e Bassanezi (2012), Malthus não desenvolveu nenhuma equação matemática de crescimento populacional, apenas afirmou que uma população, quando não obstaculizada, aumenta em razão geométrica e a capacidade de produção de alimento aumenta em razão aritmética. A interpretação matemática para a conjectura de Malthus tomou como pressuposto que o crescimento de uma população é proporcional a própria população (FERREIRA, 2012, p. 43). Dessa forma, no Modelo de Malthus, a função F (N n ) em 2.1 representa a proporcionalidade entre crescimento populacional e a população no momento atual, sendo assim, F (N n ) é constante, nesse caso, F (N n ) = 1 + a > 0, em que a é a taxa de crescimento intrínseco (MURRAY, 1989). Assim, tomando y n como a população na geração n e por 2.1, tem-se: y n+1 = (1 + a)y n (2.2) Da equação 2.2, tem-se: y n = y n+1 y n = ay n. (2.3) Agora, considerando y 0 a população inicial, pode-se estimar o crescimento populacional a cada geração de forma recursiva. Assim: Para n = 0, tem-se y 1 = (1 + a)y 0. Para n = 1, tem-se y 2 = (1 + a)y 1 = (1 + a).[(1 + a)y 0 ], ou seja, y 2 = (1 + a) 2 y 0 Para n = 2, tem-se y 3 = (1 + a)y 2 = (1 + a).[(1 + a) 2 y 0 ], ou seja, y 3 = (1 + a) 3 y 0. Então, o crescimento populacional na n-ésima geração é dado por: y n = (1 + a) n y 0. (2.4) Pela equação 2.4, observa-se que não tem sentido considerar (1 + a) < 0, pois o modelo apresentará populações negativas, o que é absurdo. Ainda, quando (1 + a) = 0, a população se manterá constantemente nula, o que deixa o caso sem relevância. Assim, para (1 + a) > 0, tem-se: Se 1 + a = 1 decorre que a = 0, então a população não sofrerá variação, ou seja, se manterá constante.

25 24 Se 1 + a > 1 decorre que a > 0, então a população terá uma variação positiva, ou seja, crescerá sem limitação. Se 1 + a < 1 decorre que 1 < a < 0, então a população terá uma variação negativa, ou seja, decairá para a extinção. Considerando uma população inicial y 0 = 10, observe a variação populacional segundo o Modelo de Malthus Discreto nas primeiras 30 gerações (Figura 2.1). É importante salientar que o valor 10 da população inicial não representa necessariamente 10 indivíduos, mas pode representar 10 milhares, 10 milhões ou qualquer outro número de indivíduos, dependendo da unidade populacional adotada. Figura 2.1: Gráficos da evolução populacional segundo o Modelo de Malthus Discreto para diferentes valores de a. A partir dos gráficos apresentados na figura 2.1, pode-se perceber que a população cresce exponencialmente quando a = 0.2, ou seja, quando a > 0 ( Figura 2.1 B) e decresce exponencialmente quando a taxa intrínseca de crescimento é negativa (a < 0) ( Figura 2.1 C). É importante

26 25 salientar que quanto maior o valor da taxa intrínseca de crescimento (a), maior será o crescimento exponencial da população e vice-versa. Observa-se ainda que quando a = 0 ( Figura 2.1 A), a população mantém-se constante em todas as gerações. Na equação 2.3, admitiu-se que y n é proporcional a y n, o que é expresso graficamente por pontos sobre uma reta que passa pela origem do sistema y n versus y n. A figura 2.2 apresenta os valores de y n versus y n obtidos iterativamente para os valores de a apresentados. Para a = 0.2 (figura 2.2 A), observa-se que o ponto (y 0, y 0 ) encontra-se no canto inferior esquerdo da figura (próximo a origem do sistema) e, que quanto maior o valor de y n, maior será o valor de y n. Já para a = 0.2 (figura 2.2 B), ocorre um processo análogo, destacando-se que o ponto (y 0, y 0 ) encontra-se no canto inferior esquerdo do gráfico (neste caso, no ponto (10, 2)). Ainda, quando a = 0 a variação populacional será nula, então o gráfico será formado apenas pelo ponto (y 0, y 0 ) = (y 0, 0). Figura 2.2: Gráficos da proporcionalidade da variação populacional com a população atual para diferentes valores de a. 2.2 Modelo Logístico Discreto Em 1838, o matemático Pierre François Verhulst propôs um novo modelo populacional, o qual considera que existem fatores de inibição populacional que impossibilitam o crescimento ilimitado da população. Esse novo modelo foi denominado Modelo de Verhulst e possui a ideia de que se uma população vive em certo habitat, esta deverá crescer até um limite máximo sustentável e então estabilizar-se (FERREIRA, 2012). Neste modelo, quanto menor é a população, maior será a taxa de crescimento, pois a população terá capacidade e recursos para crescer, e conforme a população cresce a taxa

27 26 decresce, pois o ambiente apresenta restrições de recursos e efeitos de super população. Dessa forma, existe um limite para o crescimento de determinada população, o qual é denominado como capacidade suporte (K) do meio em que a população está inserida (MURRAY, 1989). Assim, a função F (N n ) na equação 2.1 será: F (N n ) = r ( 1 N ) n. (2.5) K Pelas equações 2.1 e 2.5, obtém-se o Processo de Verhulst: ( N n+1 = rn n 1 N ) n, (2.6) K o qual é um processo discreto análogo ao modelo de crescimento logístico contínuo. No entanto, apresenta uma variedade de soluções além da solução similar a do modelo contínuo. Com o intuito de reduzir o número de parâmetros da equação 2.6, pode-se usar uma nova escala para a população. Se essa escala for K, então y n = N n, e para trasformar a equação 2.6, K multiplicamos por K 1, o que resulta em: N n+1 K = r N ( n 1 N ) n (2.7) K K e, substituindo a variável, obtém-se y n+1 = ry n (1 y n ) (2.8) Dessa forma, a variável populacional y n varia entre 0 e 1, em que 1 corresponde a 100% da capacidade suporte e 0 corresponde a extinção populacional. Assim, a equação 2.8 apresenta diversos comportamentos para o crescimento populacional, os quais são definidos pelos valores da taxa de crescimento intrínseco (r), que tem sentido somente para 1 < r < 4 (EDELSTEIN- KESHET, 1988). Caso r < 1 a populaçao tenderá a um equilíbrio negativo e, caso r > 4, o equilíbrio será maior que 1. Os principais comportamentos apresentados pelo modelo são: Equilíbio Estável: o número de indíviduos se aproxima de uma constante. Ciclos Estáveis: o número de indíviduos da população oscila regularmente em períodos constantes. Caos: o número de indíviduos não possui periodicidade. A solução para a equação 2.8 é uma expressão que relaciona y n com a população inicial y 0 para cada geração. E, segundo Murray (1989), é impossível encontrar essa expressão analiticamente para o caso discreto, pois a equação do Modelo Logístico Discreto é não linear.

28 27 A partir da variação da taxa de crescimento intrínseca (r), obtém-se todos os possíveis comportamentos para a evolução populacional. Segundo Magnago (2005), quando 1 < r < 3 a população tende a um equilíbrio assintoticamente estável e tal equilíbrio pode ser calculado pela equação 2.9: y = 1 1 r. (2.9) Em r = 3, tem-se o primeiro valor da taxa de crescimento intrínseco que apresenta um equilíbrio de 2-ciclo e esse comportamento é apresentado no intervalo 3 r < A partir de 1 + 6, o modelo apresenta equilíbrio de 4-ciclo e tem duplicação de ciclos até atingir r = , valor em que o crescimento atinge o caos (MAGNAGO, 2005). Considerando uma população inicial y 0 = 0.7, observe a variação populacional segundo o Modelo Logístico Discreto nas primeiras 30 gerações (Figura 2.3). Figura 2.3: Gráficos do crescimento populacional segundo o Modelo Logístico Discreto para diferentes valores de r. Na figura 2.3, são apresentados os comportamentos mais comuns de equilíbrio no Modelo Logístico Discreto. Quando r = 1.2, a população tende a um único ponto de equilíbrio

29 28 de forma assintotica (Figura 2.3 A). Esse comportamento é o único que é similar a solução do Modelo Logístico Contínuo. Se r = 2.7, a população tende ao equilíbrio de forma oscilatória (Figura 2.3 B) e para r = 3.2, a população tem dois valores de equilíbrio, ou seja, 2-ciclo, alternando a cada geração (Figura 2.3 C). Quando r = 3.458, a população apresenta um 4-ciclo, ou seja, possui quatro valores de equilíbrio e alterna entre eles (Figura 2.3 D). No entanto, na figura 2.4, tem-se o comportamento do Modelo Logistíco Discreto quando r = 3.65, valor da taxa de crescimento intrínseco que apresenta um crescimento populacional caótico, ou seja, a população não possui pontos de equilíbrio. Figura 2.4: Gráfico do crescimento populacional caótico segundo o Modelo Logístico Discreto. O comportamento das soluções do Modelo Logístico Discreto pode ser melhor visualizado em um diagrama de bifurcação (figura 2.5), o qual consiste do gráfico das últimas gerações simuladas da população versus o parâmetro r. No gráfico apresentado na figura 2.5, pode-se identificar os intervalos de r nos quais os diversos comportamentos populacionais são observados. Por exemplo, para os valores simulados nas figuras 2.3 e 2.4, pode-se identificar no diagrama de bifurcação: r = 1.3 equilíbrio assintótico de um ponto; r = 2.7 equilíbrio oscilatório de um ponto; r = ciclo; r = ciclo; r = 3.65 comportamento caótico.

30 29 Figura 2.5: Diagrama de Bifurcação do Modelo Logístico Discreto Fonte: Magnago (2005). Ainda, segundo Magnago (2005), no diagrama de bifurcação, é possível visualizar janelas de estabilidade em meio ao caos, por exemplo, em r = 3.83 encontra-se um 3-ciclo. Além disso, os valores de r nos quais ocorrem as mudanças qualitativas na população são denominados pontos de bifurcação. Observe na figura 2.6 que, nas primeiras gerações a população apresenta um comportamento aparentemente caótico, no entanto, a partir de determinada geração exibe três pontos de equilíbrio, tornando-se um 3-ciclo. Figura 2.6: Gráfico do crescimento populacional segundo o Modelo Logístico Discreto para r = 3.83.

31 3 DINÂMICA DISCRETA DE POPULAÇÕES: PROPOSTAS DE MODELOS FUZZY Nesse capítulo, serão apresentados os resultados obtidos pela modelagem desenvolvida por meio de Sistemas Baseados em Regras Fuzzy para os Modelo de Malthus Discretos e Logístico Discretos. Ressalta-se que o objetivo da modelagem é reproduzir o comportamento qualitativo da evolução populacional apresentada nos modelos clássicos e que, nesse trabalho, não nos preocuparemos em termos quantitativos apresentados na simulação. 3.1 Modelo Alternativo de Malthus Discreto O modelo populacional de Malthus assume que a variação populacional é proporcional à própria população em cada geração, isto é: y n y n (3.1) ou, equivalentemente: y n = ay n. (3.2) Pela equação 3.2, tem-se: a = y n y n (3.3) em que a é uma constante que representa a variação per capita da população nas diversas gerações. Dependendo do valor de a, a variação populacional dá-se conforme abordado anteriormente. A modelagem por meio de Sistemas Baseados em Regras Fuzzy fará uma estimativa da variação populacional em cada geração n, ou seja, serão desenvolvidos controladores que simulem o comportamento de a. E, para evitar confusão, a variação assim modelada será denominada var. O controlador que simula a variação populacional do Modelo de Malthus Discreto foi desenvolvido utilizando uma entrada, uma saída e uma base de regras, além de adotar o Método de Inferência de Mamdani e, como defuzzificador, o Método do Centro de Gravidade. A figura 3.1 apresenta a estrutura do controlador. Para a entrada fuzzy, foram construídos nove conjuntos triangulares igualmente distribuídos num intervalo fechado, de forma que o grau de pertinência para qualquer densidade

32 31 Figura 3.1: Controlador para simular o Modelo de Malthus. Fonte: Produzido pela autora. populacional não ultrapasse 1. Utilizamos o intervalo [0, 10000] para a densidade populacional, no entanto, esse intervalo pode ser modificado para qualquer outro intervalo fechado. A figura 3.2 apresenta a entrada fuzzy, na qual os conjuntos foram denominados, respectivamente, por: BB (Baixíssima), MB (Muito Baixa), B (Baixa), MeB (Média Baixa), M (Média), MeA (Média Alta), A (Alta), MA (Muito Alta) e AA (Altíssima). Figura 3.2: Entrada fuzzy do controlador de Malthus. Fonte: Produzido pela autora. Na saída fuzzy, também foram construídos nove conjuntos triangulares no intervalo fechado [0.4, 0.6]. No entanto, para simular aproximadamente o valor constante da taxa de variação é necessário que o intervalo seja pequeno. Nesse sentido, utilizamos intervalos com 0.2 unidades de comprimento, divididos igualmente em nove conjuntos, denominados por: Taxa1, Taxa2, Taxa3, Taxa4, Taxa5, Taxa6, Taxa7, Taxa8 e Taxa9, ordenados da esquerda para a direita, conforme apresentado na figura 3.3.

33 32 Figura 3.3: Saída fuzzy do controlador de Malthus com taxa de variação positiva. Fonte: Produzido pela autora. Após o desenvolvimento dos conjuntos de entrada e saída, foi estabelecida a base de regras fuzzy, conforme segue. R 1 : Se (Densidade-Populacional é BB) então (Taxa-Variação é Taxa9). R 2 : Se (Densidade-Populacional é MB) então (Taxa-Variação é Taxa8). R 3 : Se (Densidade-Populacional é B) então (Taxa-Variação é Taxa7). R 4 : Se (Densidade-Populacional é MeB) então (Taxa-Variação é Taxa6). R 5 : Se (Densidade-Populacional é M) então (Taxa-Variação é Taxa5). R 6 : Se (Densidade-Populacional é MeA) então (Taxa-Variação é Taxa4). R 7 : Se (Densidade-Populacional é A) então (Taxa-Variação é Taxa3). R 8 : Se (Densidade-Populacional é MA) então (Taxa-Variação é Taxa2). R 9 : Se (Densidade-Populacional é AA) então (Taxa-Variação é Taxa1). O controlador da figura 3.1 resultará na taxa de variação var. Então, a equação 2.2 será substituida por: y n+1 = (1 + var)y n. (3.4) Supondo uma população inicial y 0 = 1 e utilizando o controlador fuzzy com a saída apresentada na figura 3.3, a variação populacional nas 15 primeiras gerações tem o comportamento apresentado na figura 3.4. Ainda, na figura 3.4, é possível visualizar um ajuste dos pontos obtidos para verificação do comportamento exponencial. Para o desenvolvimento deste ajuste, foi utilizado o Toolbox fit do MATLAB. A forma geral da função de ajuste é expressa na equação 3.5: N(n) = αe βn. (3.5)

34 33 Figura 3.4: Simulação para a variação populacional com var positiva e o ajuste correspondente. Fonte: Produzido pela autora. Fazendo uma comparação da equação 3.5 com a equação 2.4, a qual representa a solução analítica do Modelo de Malthus Discreto clássico, α corresponde a condição inicial y 0 e e β é relacionado a constante (1 + a). Substituindo os valores da simulação apresentada na figura 3.4, a equação 3.5 é expressa como: N(n) = 1.071e n. (3.6) Figura 3.5: Relação entre a variação populacional e a população atual utilizando var. Fonte: Produzido pela autora. Pelas equações 3.5 e 3.6, tem-se que α = para a escolha inicial de y 0 = 1 e e = 1 + a, ou seja, a , valor que indica que a população terá um crescimento positivo nesse modelo.

35 34 Ainda, pela utilização do controlador fuzzy com a taxa de variação positiva, o gráfico da relação entre a variação populacional e a população atual apresenta um comportamento similar a uma reta (figura 3.5), comportamento que é apresentado no modelo clássico (figura 2.2 A). Realizando uma mudança no intervalo da saída fuzzy e mantendo-se os conjuntos triangulares, a modelagem produz um comportamento distinto para o desenvolvimento populacional. A figura 3.6 apresenta o conjunto de funções de pertinência que modelam a taxa de variação no intervalo [ 0.6, 0.4]. Figura 3.6: Saída fuzzy do controlador de Malthus com taxa de variação negativa. Fonte: Produzido pela autora. figura 3.7. O controlador com a saída apresentada na figura 3.6, produz a simulação apresentada na Figura 3.7: Simulação para a variação populacional com var negativa e o ajuste correspondente. Fonte: Produzido pela autora. Utilizando o intervalo de saída da figura 3.6 e supondo y 0 = 1, a equação 3.5 do ajuste

36 35 é dada por: N(n) = e n, (3.7) em que, α = 1, coincidentemente à y 0, e e = 1 + a, donde a , o que indica que a população apresenta um comportamento decrescente, ou seja, tende para a extinção (figura 3.7). A partir desta simulação, o gráfico da relação entre a variação populacional e a população (figura 3.8) possui um comportamento muito similar ao apresentado no modelo clássico (figura 2.2 B). Figura 3.8: Relação entre a variação populacional e a população atual utilizando var Fonte: Produzido pela autora. Dessa forma, através da modelagem da taxa de variação a do Modelo de Malthus Discreto, obtendo var foi possível preservar características qualitativas da variação populacional no Modelo Alternativo de Malthus Discreto Considerações sobre o Modelo Alternativo de Malthus Discreto Na seção anterior foi apresentada uma versão alternativa que mantém as características qualitativas do modelo clássico de Malthus. No entanto, algumas considerações sobre a modelagem e os resultados obtidos são necessários. No desenvolvimento dos controladores, para simular comportamentos crescentes, foram utilizados intervalos com valores positivos para a variável de saída var, enquanto que para simular o decrescimento populacional foram usados intervalos com valores negativos para var.

37 36 Na entrada dos controladores fuzzy foram utilizados intervalos fechados para a densidade populacional, o que a limita. Esse fato implicou na instabilidade da evolução populacional a partir da geração que estoura o limite da densidade. Esse estouro acontece somente quando a população é crescente, ou seja, quando var > 0. Quando var < 0, a evolução populacional apresenta o comportamento muito similar ao modelo clássico, pois a população descresce e nunca ultrapassa o limite inferior 0, mantendo a densidade populacional no intervalo atribuído. Dessa forma, a versão alternativa para o Modelo de Malthus Discreto apresenta melhor resultado para populações decrescentes. Já o desenvolvimento das regras sofreu influências do Modelo Logístico Discreto, em que a função F (N n ) é decrescente (equação 2.5), assim as regras foram contruídas no sentido de manter tal decrescimento. Esta decisão surgiu do fato que, para alguns valores dos parâmetros a (Modelo de Malthus) e r (Modelo Logístico), os dois modelos exibem um desenvolvimento populacional similar, nas primeiras gerações. Por fim, foi possível obter ótimos resultados qualitativos para o decrescimento populacional e para o crescimento, este último, considerado dentro do intervalo da densidade populacional. Os resultados quantitativos não sofreram grandes investigações, mas pode-se notar pelos ajustes apresentados nas figuras 3.4 e 3.7 que a modelagem mantém um bom comportamento quantitativo nas gerações observadas. 3.2 Modelo Alternativo Logístico Discreto Para realizar a modelagem relacionada ao Modelo Logístico Discreto, assim como no Modelo de Malthus, foram desenvolvidos controladores fuzzy com um conjunto de entrada, um conjunto de saída, uma base de regras e utilizado os métodos de Mamdani e do Centro da Gravidade para processar e defuzzificar as saídas. A entrada dos processadores desenvolvidos representa a densidade populacional, a qual está delimitada no intervalo fechado [0, 1], em que 1 exerce a função de máximo da capacidade suporte para a população. No intervalo [0, 1] foram distribuídas regularmente funções de pertinências triangulares, procedendo-se a partir de um conjunto denominado Ideal, o qual representa o equilíbrio que está sendo modelado. A saída fuzzy representa a taxa de variação populacional e foi construída utilizando-se funções de pertinência triangulares regularmente distribuídas num intervalo centrado em 0. É importante ressaltar que o Modelo Logístico Discreto admite variação tanto negativa quanto