X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

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1 USANDO SOFTWARE ÁRBOL NA CONSTRUÇÃO DE ÁRVORES DE POSSIBILIDADES PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMBINATÓRIOS 12 Martha Cornélio Ferraz Secretaria de Estado de Educação/PE Rute Elizabete de Souza Rosa Borba Universidade Federal de Pernambuco - UFPE rborba@ce.ufpe.br Juliana Azevedo juliana.azevedo8387@gmail.com Resumo: O presente estudo objetiva analisar de que maneira o software educativo Árbol pode ajudar na compreensão do conhecimento combinatório através da construção de árvores de possibilidades. Para alcançar este objetivo, foram coletados e analisados dados com 19 alunos de uma escola particular da cidade do Recife, de 7º ano (6ª série), agrupados em duplas ou trios. Os alunos resolveram um teste com oito questões acerca do conhecimento combinatório e pelo menos um integrante de cada dupla ou trio foi entrevistado acerca das vantagens e desvantagens do software educativo Árbol na construção do conhecimento combinatório. Desta forma, foi possível destacar as qualidades e deficiências deste recurso, propondo sugestões que facilitem o acesso aos softwares educativos com a finalidade de incluir a tecnologia como fator favorável ao desenvolvimento do conhecimento combinatório. Palavras-chave: Conhecimento combinatório; Software educativo; Árbol; Árvores de possibilidades. INTRODUÇÃO A partir da proposta dos Parâmetros Curriculares Nacionais PCN (Brasil, 1997) de inclusão da Combinatória desde as séries iniciais, vislumbram-se mudanças significativas para o ensino e aprendizagem deste conteúdo. Ao acrescentar ao estudo dos Números e Operações, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas, o bloco de conteúdos Tratamento da Informação, que integra estudos relativos a noções de Estatística, de Probabilidade e de Combinatória, envolvendo o princípio multiplicativo, oportuniza-se mais uma forma de pensar matematicamente. O estudo da Combinatória possibilita levar o aluno à organização e 1 Projeto parcialmente financiado pela FACEPE Fundação de Amparo à Ciência e Tecnologia do Estado de Pernambuco (APQ /08) e CNPQ (476665/2009-4). 2 * As autoras deste trabalho fazem parte do Grupo de Estudos em Raciocínio Combinatório que é constituído por professora e alunas da graduação e do Programa de Pós-graduação em Educação Matemática e Tecnológica do Centro de Educação da Universidade Federal de Pernambuco, bem como por professoras da rede pública do Ensino de Pernambuco. 1

2 análise de dados, ao desenvolvimento da criatividade e à tomada de decisões, em contextos variados que favorecem o despertar do interesse/motivação. Com o desenvolvimento de novas tecnologias, ampliam-se as iniciativas e buscas de melhores resultados do ensino-aprendizagem de conteúdos matemáticos, no entanto, ainda são escassas as pesquisas que analisam softwares educativos com foco no raciocínio combinatório e sua contribuição para o desenvolvimento desse conhecimento pelo aluno. Leite, Pessoa, Ferraz e Borba (2009), analisaram os seguintes softwares educativos e objetos de aprendizagem: Arbol (Aguirre, 2005); ML Combiner (Less, 2001); Combinação (RIVED, 2008); Permutação (RIVED, 2008) e Arranjo (RIVED, 2008), que trabalham o raciocínio combinatório. Puderam constatar, em alguns destes recursos: a limitação às fórmulas ou a indução que o aluno se utilize rapidamente dessa estratégia; o foco em um único tipo de representação e tipo de problema; e o nome do recurso que já induz ao aluno o cálculo relacional a ser feito. Apesar das críticas levantadas, verificaram situações ricamente contextualizadas com possibilidades de despertar e manter o interesse do aluno. O software Árbol foi usado no estudo no estudo de Sandoval, Trigueros e Lozano (2007) e tem como proposta explorar o campo do raciocínio combinatório da Combinatória através de diagramas de árvore. Sua interface apresenta opções para criar uma árvore com elementos distintos ou iguais, permite usar exemplos já existentes na biblioteca do software e adicionar novas árvores à biblioteca. A opção que permite verificar os exemplos existentes tem uma apresentação gráfica composta por ferramentas que possibilitam ao usuário marcar e colorir os vários níveis, ampliar ou reduzir um nível específico e navegar pelos vários níveis da árvore. Com a vantagem de, sem usar fórmulas, e sem se restringir a apenas um dos significados da Combinatória, este software permite que o usuário construa, para todos os significados da Combinatória, árvores de possibilidades. Neste trabalho analisou-se o aspecto didático-pedagógico do software Árbol, procurando identificar suas contribuições e limites para o desenvolvimento do pensamento combinatório de alunos do Ensino Fundamental. Na Teoria dos Campos Conceituais, proposta por Gérard Vergnaud, enfatizam-se três dimensões de conceitos: 1) Situações (S) que dão significado ao conceito, 2) Invariantes (I) propriedades e relações que compõem o conceito e 3) Representações (R) utilizadas para representar simbolicamente o conceito. Vergnaud considera que as representações consistem de todos os símbolos lingüísticos, gráficos ou gestuais que podem ser usados para representar as propriedades invariantes dos conceitos e as situações que dão significado aos 2

3 mesmos, sendo as mesmas um dos aspectos básicos na compreensão dos conceitos matemáticos. Considerando a relevância da Combinatória e o papel das representações simbólicas na compreensão matemática, o presente estudo analisou como árvores de possibilidades podem auxiliar na compreensão de problemas combinatórios. Em particular, foi observada a construção de árvores por meio do software Árbol e comparado com construções em lápis e papel. REVISÃO DA LITERATURA Batanero, Godino e Navarro-Pelayo (1996) colocam a dificuldade de se definir a Combinatória e resumir em poucas linhas seus numerosos campos de aplicação. No entanto, ressaltam a descrição das características e importância deste conteúdo, oferecida por James Bernoulli, como a arte de enumerar todas as maneiras possíveis em que um determinado número de objetos pode ser misturado e combinado, de forma a ter a certeza de não perder qualquer resultado possível. Estes mesmos autores enfatizam a capacidade combinatória como um componente fundamental do pensamento formal, além de ser importante no desenvolvimento da idéia de probabilidade. Esta afirmação se relaciona com o que Inhelder e Piaget (1955) defendem quanto ao desenvolvimento do pensamento formal. O estudo de Fischbein (1975) confronta os resultados de Inhelder e Piaget (1955). Fischbein defende que a capacidade de resolução de problemas de combinatória não poderá ser alcançada sem o ensino formal. Fischbein, Pampu e Minzat (1970) estudaram o efeito de instruções específicas sobre a capacidade combinatória. Os resultados apontam que crianças de 10 anos são capazes de aprender idéias combinatórias com a ajuda do diagrama de árvore. Assim, o desenvolvimento do raciocínio combinatório pode iniciar-se cedo e tem forte influência do ensino formal e das representações utilizadas na resolução das situações. Pessoa (2009) cita Guirado e Cardoso (2007) que defendem a importância de permitir ao aluno, num primeiro momento de aprendizado da Combinatória, descrever todos os casos possíveis, para posteriormente contá-los. Desta forma, tomarão os primeiros contatos, mesmo que intuitivos, com raciocínios combinatórios e observarão que, na maioria dos casos, a contagem direta é impraticável. Eles afirmam, ainda, que a resolução de um problema de Análise Combinatória, sem o compromisso inicial de utilização de fórmulas, promove o pensar, de forma criativa e crítica. 3

4 A literatura aponta, assim, que há diversos aspectos do ensino da Combinatória a serem considerados, tais como, a importância do raciocínio combinatório no desenvolvimento matemático e o papel de ensino formal, que deve possibilitar o uso de estratégias informais e formais na resolução de situações combinatórias, baseadas sempre na compreensão das situações por parte dos alunos. MÉTODO Este trabalho foi realizado com 19 alunos de 7º ano (6ª série) de uma escola particular do Recife, agrupados em trios e duplas, utilizando nove computadores, com duração de aproximadamente 100 minutos (duas aulas). Inicialmente foi apresentado o software Arbol (apenas quatro dos alunos já conheciam este software), salientando que o mesmo nos fornece todas as possibilidades, sejam elas válidas ou não. Os alunos precisavam observar bem os resultados e destacar, colorindo ou não, o que era de interesse na solução do problema. Cada aluno recebeu uma ficha contendo oito problemas com os quatro significados da Combinatória (dois de cada tipo: produto cartesiano, combinação, arranjo e permutação). Cada problema possuía dois itens (a) e (b) que envolviam números que levavam a menor (a) e a maior (b) número de possibilidades na solução. O item (a) deveria ser solucionado com o auxílio do software Árbol e o item (b) o aluno escolhia a sua estratégia de resolução. Apresentamos, a seguir, as soluções das quatro primeiras questões, com o uso do Árbol. 1) Anna perguntou para Bia com que roupa ela iria à festa da Escola. Bia respondeu que ainda não sabia, pois tinha separado 4 blusas de cores diferentes: amarela, branca, vermelha e preta; 3 saias: uma jeans, uma de flores e uma estampada, e ainda 2 calças: uma preta e outra branca. Ela já decidiu que não vai de calça. a) De quantas maneiras diferentes Bia pode se vestir? (PRODUTO CARTESIANO) 2) Arthur, Matheus, Pedro e Lucas disputam um torneio de pingue-pongue. Cada um enfrenta os demais apenas uma vez. a) Quantas são as partidas desse torneio? (COMBINAÇÃO) 3) Quantas palavras diferentes (com ou sem sentido) poderei formar usando todas as letras: a) da palavra LUA? (PERMUTAÇÃO) 4

5 4) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. a) Quantos números de dois algarismos podem ser formados? (ARRANJO COM REPETIÇÃO) Na aula seguinte, após quatro dias do uso do software e sem discutir a experiência vivenciada, foi aplicado um teste escrito individual, envolvendo os conteúdos trabalhados até então na turma: percepção de padrões numéricos, critérios de divisibilidade e problemas de combinatória (estes correspondentes às questões 6 a 10, analisadas a partir dos resultados expostos na Tabela 2). APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS: A Tabela 1 indica os desempenhos dos alunos nas diferentes questões, que variavam em tipos de problemas de Combinatória, em contextos e em ordem de grandeza do número de possibilidades. Estes resultados referem-se a soluções coletivas com o uso do Arbol (nos itens a) e lápis e papel (nos itens b). QUESTÕES Tabela 1. Percentuais de acerto dos alunos por questão ao usarem coletivamente o software e lápis e papel. SIGNIFICADOS DA ITENS a b a b a b a b a b a b a b a b Nº DE COMBINATÓRIA POSSIBILIDADES DA SOLUÇÃO CONTEXTO PRODUTO CARTESIANO VESTUÁRIO PARES P/ DANÇA COMBINAÇÃO PERMUTAÇÃO ARRANJO 1ª 5ª 2ª 6ª 3ª 8ª TORNEIO PING-PONG APERTO DE SEMIFINAIS FUTEBOL % de ACERTOS MÃOS ANAGRAMA SENHA C/ NÚMEROS 4ª 7ª MATEMÁTICO Observa-se que todos os alunos acertaram o primeiro problema de produto cartesiano(pc) - com menor (12) e maior (45) número de possibilidades - possivelmente por ser o problema combinatório mais trabalhado em sala de aula e no qual o produto é facilmente identificado como procedimento adequado. O contexto de conjuntos de blusas e saias também 5

6 é muito familiar. No segundo problema de PC em contexto de pares que dançam juntos observou-se um desempenho inferior, mas ainda superior a 70%. No primeiro problema de combinação observa-se um elevado número de acertos quando o número de possibilidades é mais baixo (item a), mas apenas um pouco mais da metade dos alunos chegou à solução correta no item b. Apenas uma dupla não identificou a impossibilidade de considerar casos iguais, apresentando como resposta numérica 90. Nos problemas de permutação há um relativo bom desempenho quando há poucas possibilidades a serem listadas (no caso das letras da palavra LUA), mas o desempenho cai drasticamente quando o número de possibilidades aumenta. No problema da senha com números o desempenho é muito fraco, tanto no caso de menor quanto de maior número de possibilidades possivelmente devido ao tempo que os alunos julgaram insuficiente para resolver todas as questões. Nos problemas de arranjo os desempenhos foram os mais fracos. Uma possível explicação é a dificuldade em listar todas as possibilidades, uma vez que neste tipo de problema combinatório, a partir de um conjunto maior, deve-se selecionar um número menor de elementos, devendo-se atentar que a ordem na qual estes elementos são dispostos geram possibilidades distintas. Verificou-se que o uso do software para os itens a, não foi suficiente, ao menos nesse momento, para auxiliar os alunos na generalização necessária para o item b. A Tabela 2 indica os desempenhos dos alunos ao resolverem individualmente problemas com uso de lápis e papel. Nesta tabela ressaltam-se os acertos parciais, pois embora alguns alunos não tenham chegado à solução final correta, estes indicaram que compreenderam as relações envolvidas, mas não conseguiram esgotar todas as possibilidades. Tabela 2. Percentuais de acerto dos alunos por questão ao usarem individualmente lápis e papel. 6

7 SIGNIFICADOS DA PRODUTO COMBINAÇÃO ARRANJO ARRANJO PERMUTAÇÃO COMBINATÓRIA QUESTÕES CARTESIANO ITENS Nº DE a b POSSIBILIDADES DA SOLUÇÃO CONTEXTO TIPO DE ACERTO SANDUICHE TORNEIO PING- PONG ANAGRAMA "AMOR" A Ap A Ap A Ap A Ap A Ap A Ap PERCENTUAL A - ACERTO; resposta correta explicitando a estratégia. SEMIFINAIS FUTEBOL PLACAS Ap - ACERTO PARCIAL; resposta incompleta - sem esgotar as possibilidades - usando uma estratégia sistemática. Observa-se, novamente, que quase todos os alunos acertaram o problema de produto cartesiano, constatando o que pesquisas anteriores apontam (Pessoa, 2009) que há grande percentual de acertos em produtos cartesianos, por ser o problema combinatório mais trabalhado nas séries iniciais. Os acertos sem esgotamento das possibilidades ocorreram por desconhecimento de tipo de pão, ou esquecer-se de algum dos recheios (como a solução apresentada na Figura 1). No entanto, estes alunos explicitaram estratégias (tabela ou árvore) que comprovam sistematização nas resoluções. Figura 1. Solução incompleta para um problema de produto cartesiano. No problema de combinação, único a ter itens a (como a solução evidenciada na Figura 2) e b (soluções evidenciadas nas Figuras 3 e 4), ainda observa-se um elevado número de acertos (90%) quando o número de possibilidades era mais baixo e cerca de 70% dos alunos acertaram ou se aproximaram da resposta quando havia mais possibilidades. Figura 2. Solução correta para um problema de combinação. Na solução destas questões, alguns alunos usaram árvores de possibilidades, enquanto outros optaram pelo Padrão de Gauss (Imenes, 2007). 7

8 Figura 3. Solução correta de problema de combinação. Figura 4 - Padrão de Gauss em solução de problema de combinação. Nos problemas de arranjo, o percentual de acertos é baixo, mas mesmo aqueles alunos que não esgotam as possibilidades (como a solução da Figura 5), demonstram compreensão e organização sistemática de estratégias, além de apresentarem diferentes representações simbólicas em suas soluções (como as evidenciadas nas Figuras 6 e 7). Figura 5 - Solução incompleta para um problema de arranjo. Figura 6 - Solução completa para um problema de Figura 7 Solução completa para um problema de arranjo. arranjo. A Questão 9, um problema de Arranjo com repetição não usado com o Arbol, mas trabalhado em sala de aula mesmo com um número muito alto de possibilidades na sua solução, os alunos demonstram um bom desempenho 79% dos alunos acertaram a questão (como evidenciado na Figura 8) ou evidenciaram compreendê-la, mas não conseguiram chegar ao resultado final correto. 8

9 Figura 8 - Acerto num problema de arranjo com repetição com grande número de possibilidades. No problema de permutação, neste caso com as letras (AMOR), percebe-se maior sistematização, chegando a generalizar (como o caso da Figura 9). Figura 9 - Solução completa para um problema de permutação. A partir desse desempenho dos alunos, fica a pergunta: as modificações na compreensão dos problemas se devem ao uso do software ou à exploração de diferentes representações? Nesse sentido, continuaremos nossas pesquisas, vez que ainda não temos resposta para estas indagações. A seguir, apresentamos trechos de algumas entrevistas realizadas com alunos, nas quais E é a fala do examinador e A refere-se ao que foi ditos pelos alunos. Aluno 3: E Você prefere resolver esses problemas como? A3 Depende do problema. Porque tem um que não posso fazer 4x4 porque não posso repetir ele com ele mesmo. Agora tem outro que pode repetir. E Ahh... E nesse caso aqui você tá dizendo que não pode fazer uma multiplicação? A3 É! E E pode fazer o que? Qual alternativa? Aluno 4: E De quê tratam esses problemas? A4 De maneiras de relacionar as coisas... Sei não... Eles dão uma coisa, aí a gente tem que armar alguma coisa, uma tabela ou uma árvore de possibilidades, para poder encontrar a resolução de uma coisa que tá pedindo. E Você acha que o software ajudou em alguma questão? A4 Em algumas questões, porque tinha algumas coisas que a gente botava e... um exemplo: botava é...alemanha, Argentina, Japão, Inglaterra e Espanha, aí ficava Japão e Japão e tipo, no nosso papel a gente sabe que os dois não podem ficar juntos e no software ele fazia isso. E E o software facilita ou dificulta? A4 Depende da questão. Quando são questões que podem usar elementos iguais, com números que podem repetir aí eu prefiro o software. Mas questões como a do futebol dificulta porque a pessoa tem que ir lá e pegar o vermelho e botar pra excluir um, e ainda tem que botar para ver quais estão corretos. Em problemas que têm que descobrir de quantas maneiras pode fazer, o Árbol dificulta. Aluno 5: 9

10 E Você prefere resolver esses problemas como? A5 Tanto faz... Tem uns que é bom fazer no papel e tem outros que é bom fazer no Árbol porque tem uns que são complicados e tal e muito trabalhoso. E Você acha que construir a árvore de possibilidades ajuda na resolução? A5 Ajuda. Fica mais prático. E Você prefere fazer no Árbol ou com o lápis e papel? A5 Com o lápis e papel, mas alguns (problemas) prefiro no Árbol. E No que o Árbol ajuda? A5 Ajuda porque já tem tudo certinho. Não fica tudo apertado como no papel. Mas no Árbol é complicado fazer a questão da LUA. Aluno 8: E Qual a maneira que você gosta de resolver esses problemas de possibilidades? A8 Gosto de fazer árvores, mas o Árbol é mais complicado. A pessoa dispersa com o Árbol. Fica dependendo de uma norma que com as possibilidades você demora mais ainda para fazer com o Árbol do que sem. E Você prefere, então com o lápis e papel do que com o Árbol? A8 Prefiro. E Para todo tipo de problema? A8 Para todo o tipo de problema até porque dispersa. E Você acha que atrapalha mais do que ajuda? A8 Tipo... Pode ajudar em alguma coisa, mas para mim eu acho que não ajuda muito não. CONCLUSÃO Através das entrevistas realizadas com 60% dos alunos (11 dos 19 alunos que responderam a ficha de questões), foi possível perceber que o Árbol possui vantagens e desvantagens no que tange à resolução dos problemas de raciocínio combinatório. A vantagem citada pelo Aluno 4 diz respeito à facilidade que o Árbol proporciona às questões quando é permitido repetir os algarismos, pois o software resolve o problema de maneira satisfatória Também é evidenciada a forma prática e organizada com que pode-se resolver as questões através do Árbol. Quanto às desvantagens, notam-se vários motivos que fazem com que os alunos optem por realizar a atividade no papel, tais como: a impossibilidade de ver todas as possibilidades tela, dependendo do nº de ramos, não possibilita ver todos os casos ao mesmo tempo; o idioma pois todos os comandos estão em espanhol, a dispersão gerada pelo computador, não é apresentado nenhum tipo de feedback; a necessidade de enumerar todos os casos para depois ressaltar os casos válidos. Diante do exposto, conclui-se que o software educativo Árbol apesar de suas vantagens, apresenta certas limitações que causam dificuldades para a aprendizagem do aluno. Se o professor estiver atento a estas restrições, é possível desenvolver um bom trabalho em sala, mas ainda continuaremos nossas investigações, de modo a observar se a construção de árvores no lápis e papel, não é uma alternativa tão boa ou melhor que o uso deste software. 10

11 REFERÊNCIAS BATANERO, Carmen; GODINO, Juan & NAVARRO-PELAYO, Virginia. Razonamiento Combinatorio. Madrid: Editorial Síntesis, S.A., BRASIL, MEC. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática. 3º e 4º ciclos. Secretaria de Ensino Fundamental, Brasília, IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática para todos, 7º ano (6ª série). p.70. São Paulo: Scipione, LEITE, M., PESSOA, C., FERRAZ, M. e BORBA, R. Softwares educativos e objetos de aprendizagem: um olhar sobre a análise combinatória. Anais do X Encontro Gaúcho de Educação Matemática. Ijuí, PESSOA, Cristiane. Quem dança com quem: o desenvolvimento do raciocínio combinatório do 2º ano do ensino fundamental ao 3º ano do ensino médio. Tese de Doutoramento, Universidade Federal de Pernambuco, Recife, RIVED. Rede Interativa Virtual de Educação. SEED/MEC. Objetos de Aprendizagem Combinação, Permutação, Arranjo. Disponível em: Acesso: jun SANDOVAL, Ivone; TRIGUEIROS, Maria & LOZANO, Dolores. Uso de un interactivo para el aprendizaje de algunas ideas sobre combinatoria en primaria. In: Anais do XII Comitê Interamericano de Educação Matemática, Querétaro, México, VERGNAUD, Gérard. El niño, las matemáticas y la realidad - Problemas de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Mexico: Trillas,