Problemas de Arranjo Condicional e os Princípios Aditivo e Multiplicativo: o que sabem os alunos e como eles aprendem?

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1 Problemas de Arranjo Condicional e os Princípios Aditivo e Multiplicativo: o que sabem os alunos e como eles aprendem? Juliana Azevedo 1 GD2 Educação Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental Este trabalho se caracteriza como um projeto de pesquisa em andamento de doutorado em Educação Matemática. Tem como objetivo analisar o uso dos princípios aditivo e multiplicativo em problemas combinatórios condicionais de arranjo. Mais especificamente, objetiva-se verificar os desempenhos e o efeito de distintas intervenções pedagógicas de alunos em relação às diferentes categorias de problemas combinatórios condicionais de arranjo, em função do uso dos princípios aditivo e multiplicativo, do contexto do problema e do ano escolar; além de observar a utilização de diversificadas representações simbólicas e estratégias. A pesquisa será constituída de duas etapas. A primeira consiste em um estudo de sondagem realizado com 100 alunos do 9º ano do Ensino Fundamental. Em seguida, um estudo de intervenção com 60 alunos do 9º ano do Ensino Fundamental utilizando diferentes representações em três grupos com 20 alunos cada. Logo após o processo de intervenção, serão aplicadas as questões referentes a um pós -teste imediato. Oito semanas após o pós-teste imediato será aplicado um teste referente ao pós-teste posterior. A análise será realizada considerando as duas etapas da pesquisa. Primeiro será realizada a análise quantitativa das questões acertadas pelos alunos da pesquisa, posteriormente uma análise qualitativa. Palavras-chave: Princípio aditivo. Princípio multiplicativo. Combinatória Condicional. Alunos. Anos Finais do Ensino Fundamental. 1. Justificativa De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais PCN (BRASIL, 1997, p. 24), a Matemática possibilita despertar no aluno a curiosidade na aprendizagem e instiga a capacidade de generalização. Nessa perspectiva, considera-se o ensino da Matemática como uma importante tarefa na qual os professores podem usar diferentes representações e 1 Universidade Federal de Pernambuco, azevedo.juliana1987@gmail.com Orientadora: Rute Borba.

2 estratégias, visando atingir os objetivos elencados pelos PCN, em particular o aprendizado da Combinatória caracterizada por sistematizações e generalizações. Apesar dos PCN (BRASIL, 1997) indicarem o aprendizado da Combinatória desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, com o uso de diferentes recursos e estratégias, e de diversos estudos já apontarem que o aprendizado deste conceito é possível desde os primeiros anos de escolarização (BARRETO; BORBA, 2011; PESSOA; SANTOS, 2012; AZEVEDO; BORBA, 2013; AZEVEDO, 2013), este conhecimento só ganha maior espaço na sala de aula no Ensino Médio. Sendo assim, há uma prática na qual nos anos iniciais de escolarização é trabalhado apenas um tipo de problema combinatório (produto cartesiano) e, somente no Ensino Médio, os outros tipos são trabalhados (arranjos, combinações e permutações). Além do PCN de Matemática para os anos iniciais, também se indica o trabalho com a Combinatória no PCN de Matemática para os anos finais do Ensino Fundamental (BRASIL, 1998). Neste nível de ensino, se indica para o terceiro ciclo (6º e 7º ano) o trabalho com resolução de problemas de contagem com o uso do princípio multiplicativo, através da utilização de esquemas e tabelas. Para o 4º ciclo (8º e 9º ano) é sugerido um aprofundamento dos conteúdos trabalhados no 3º ciclo, com problemas de contagem que levem a um maior número de possibilidades, levando o aluno a perceber a vantagem do uso do princípio multiplicativo em relação a métodos de enumeração sistemática (como o uso de listas, tabelas e árvores de possibilidades), quando o objetivo do problema é obter quantas são todas as possibilidades, e não saber exatamente quais são elas. No contexto do ensino da Combinatória há trabalhos que investigam o ensino de problemas combinatórios condicionais já com alunos do 5º ano do Ensino Fundamental. Em tais estudos, como por exemplo, Borba e Braz (2012), foram identificados que essas crianças já possuem indícios de compreensão de certas condições dadas nos problemas, entretanto, somente com alunos do 9º ano, os alunos compreendem mais relações condicionais. Quanto ao ensino da Combinatória desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, vêm sendo desenvolvidas pesquisas que orientam o professor à importância do aprendizado da Combinatória pelos alunos o quanto antes, pois, questões vistas desde os anos iniciais de escolarização, são mais facilmente compreendidas posteriormente, por ocasião do Ensino Médio, quando retratadas através das fórmulas, como aponta Azevedo (2013). Estes estudos

3 tomam como pressuposto o que é afirmado por Vergnaud (1986), de que certos conceitos desenvolvem-se durante um período de tempo maior que outros, iniciando-se no momento inicial de escolarização e indo até a ocasião do Ensino Médio, aproximadamente. Essa premissa também pode ser válida em se tratando de problemas combinatórios condicionais, bem como no desenvolvimento da compreensão dos princípios aditivo e multiplicativo. Além de desenvolvimentos em períodos longos, não se pode perder de vista que conceitos são articulados entre si, sendo esta inter-relação de conceitos, denominado por Vergnaud (1986) de campos conceituais. Além disso, de acordo com a Teoria dos Campos Conceituais, proposta por Vergnaud (1986), cada conceito ampara-se em três dimensões fundamentais: as situações que dão significado ao conceito (S); as relações e propriedades invariantes desse conceito (I) e as representações simbólicas que são usadas para representar o conceito (R). Portanto, este trabalho visa analisar, à luz da Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud, o uso de diferentes propriedades invariantes, como os princípios aditivo e multiplicativo, certas condições dadas no problema além dos invariantes de escolha e ordem presente em problemas combinatórios em situações de arranjo, utilizando diferentes recursos, representações e estratégias para resolução desses problemas. 2. A Teoria dos Campos Conceituais, o raciocínio combinatório condicional e os princípios aditivo e multiplicativo. A Teoria dos Campos Conceituais, proposta por Gérard Vergnaud (1986), toma por base a Teoria de Jean Piaget, fundamentada no processo de aquisição do conhecimento (via assimilação e acomodação) e nas estruturas mentais utilizadas nesse processo. Nesse sentido, Flavell (1988, p.54) afirma que [...] os esquemas se acomodam às coisas (adaptam e modificam sua estrutura, para enquadrar a realidade), enquanto as assimilam, atestam sua qualidade dinâmica e flexível. [...] Por serem estruturas, os esquemas são criados e modificados pelo funcionamento intelectual. Nunes, Campos, Magina e Bryant (2005, p. 46) consideram que Dentre as mais importantes contribuições de Piaget para a Educação Matemática está sua teoria de que a compreensão das operações aritméticas tem origem nos esquemas de ação das crianças. O termo esquema é utilizado em psicologia com um significado semelhante

4 àquele utilizado na vida quotidiana: um esquema é uma representação em que aparece apenas o essencial daquilo que é representado; os detalhes não aparecem. Vergnaud (1996, p.161) também acredita que o conceito de esquema é peça-chave para o desenvolvimento da Educação Matemática, e, desse modo, esse conceito, é fundamental para a sua Teoria dos Campos Conceituais, uma vez que, para ele, [...] o reconhecimento de invariantes é, pois, a chave da generalização do esquema. Por essa visão, é importante investigar os esquemas mobilizados a partir do reconhecimento de relações e propriedades que se mantêm constantes, invariantes quando alunos estão desenvolvendo seus conhecimentos de conceitos matemáticos. Outro princípio básico da Teoria de Vergnaud (1996) é que os conceitos desenvolvidos por uma criança fazem parte de campos conceituais. Para Vergnaud (1986, p.84), Um campo conceitual pode ser definido como um conjunto de situações cujo domínio requer uma variedade de conceitos, de procedimentos e de representações simbólicas em estreita conexão. O raciocínio combinatório está inserido no campo conceitual das estruturas multiplicativas, uma vez que a base de resolução de problemas combinatórios envolve multiplicações e divisões, mas com alguma interseção com o campo aditivo. Assim, a Combinatória é um ramo da Matemática caracterizado como um tipo de contagem baseada no raciocínio multiplicativo. Além disso, segundo Borba (2010, p.3) [...] é entendido como um modo de pensar presente na análise de situações nas quais, dados determinados conjuntos, deve-se agrupar os elementos dos mesmos, de modo a atender critérios específicos (de escolha e/ou ordenação dos elementos) e determinar-se direta ou indiretamente o número total de agrupamentos possíveis. Batanero, Navarro-Pelayo e Godino (1997, p ) afirmam que os problemas de Combinatória podem ser usados [...] para treinar os alunos na contagem, fazendo conjeturas, generalização e pensamento sistemático, que pode contribuir para o desenvolvimento de muitos conceitos, tais como as relações de equivalência e ordem, função, amostra, etc. [...] No entanto, a combinatória é um campo que a maioria dos alunos encontra muita dificuldade. Dois passos fundamentais para tornar o aprendizado

5 deste assunto mais fácil é compreender a natureza dos erros dos alunos na resolução de problemas combinatórios e identificar as variáveis que podem influenciar esta dificuldade. Pessoa e Borba (2009a) defendem a importância que, desde os anos iniciais de escolarização, os variados tipos de problemas combinatórios sejam trabalhados, pois, o conhecimento desenvolvido desta forma, contribuirá para novas aprendizagens, assim como influenciará na superação dos erros e das dificuldades apresentadas inicialmente, favorecendo, assim, o momento do aprendizado sistemático oferecido por ocasião do Ensino Médio. Esse argumento é amparado no que é ressaltado por Vergnaud (1986) quando o autor enfatiza que determinados conceitos são desenvolvidos durante um longo período de tempo e que, por isso, deverão ser vistos ao longo de toda a trajetória escolar do aluno. Além das características multiplicativas já mencionadas, na Combinatória tem-se ainda alguns invariantes que determinam a variação dos tipos de problemas. Baseadas na Teoria dos Campos Conceituais proposta por Vergnaud (1986), Pessoa e Borba (2007) classificam os significados combinatórios num agrupamento único. Os quatro tipos de significados são produto cartesiano, combinação, arranjo e permutação. Cada um desses significados envolve, portanto, diferentes invariantes que estão relacionados com escolha e ordenação. A partir dos invariantes que determinam os tipos de problemas, temse diferentes condições que podem ser dadas nos problemas combinatórios. Borba e Braz (2012) em seu estudo, primeiramente com problemas de arranjo, criaram uma classificação para problemas combinatórios condicionais, tomando como referência aspectos cognitivos. Nesse sentido, as autoras elencaram nessa classificação condições baseadas em livros didáticos da Educação Básica e na monografia de Homa (2011). Este autor destaca que os problemas combinatórios condicionais mais fáceis são os que exigem a aplicação de definições. Os mais difíceis são os que exigem a aplicação de conhecimentos novos. Na sua classificação, Borba e Braz (2012), indicam condições que podem estar relacionadas com a escolha, explicitada ou não de elementos, a ordenação, a posição e/ou a proximidade de elementos. Dessa forma, apenas para os problemas de arranjo, Braz e Borba (2012) listaram 22 categorias. Esses problemas foram aplicados em um estudo realizado pelas autoras (BORBA e BRAZ, 2012) com alunos de escolas públicas do 5ª, 7º e 9º ano do Ensino Fundamental, sendo, 18 alunos do 5º ano, 19 alunos do 7º ano e 16 alunos do 9º ano. As autoras enfatizam que os alunos de todos os anos escolares analisados estabeleceram algum tipo de relação

6 combinatória, entretanto, isso não significou o acerto total nas questões. Assim, houve apenas dois acertos totais no 5º ano, quatro acertos totais no 7º ano e 10 acertos totais no 9º ano. As autoras destacam ainda que, houve maior dificuldade quando as condições dos problemas combinatórios eram apresentadas conjuntamente em um mesmo problema, ou seja, quando o problema em questão envolve mais de uma das relações de escolha, posição, proximidade e/ou ordem. Após a classificação inicial de problemas combinatórios condicionais em situações de arranjo, Braz (2013) aprofundou os estudos em outras situações combinatórias de permutação, combinação e produto cartesiano. Para a realização da categorização, a autora destaca que, primeiramente deve-se estar atento para os invariantes de cada situação, ou seja, as relações que se mantém constantes. Assim, Braz (2013) afirma que: Considerando-se estes invariantes, pode-se concluir que as categorias que considerem a ordem dos elementos não podem ser aplicadas a problemas do tipo combinação, pois na combinação a ordem não influencia no resultado. Também não cabem a este tipo de problema, contextos que envolvam posições. Ainda considerando os invariantes dos problemas, pode-se também constatar que categorias que determinem o número máximo ou mínimo de elementos a serem utilizados, não podem ser aplicadas aos problemas de permutação, uma vez que na permutação todos os elementos do conjunto sempre serão utilizados. Por esta mesma razão, também não é possível fixar em permutações apenas um (ou alguns) elemento(s), pois esse(s) elemento(s), assim como os demais, sempre aparecerá(ão). A presente pesquisa objetiva focar em problemas de arranjo, uma vez que esses já foram testados anteriormente. Nesse teste Borba e Braz (2012) verificaram que problemas com a relação de escolha não explicitada de elementos e problemas que envolvem mais de uma relação são mais difíceis para os estudantes dos três anos analisados. Nesse sentido, foram escolhidos três tipos de problemas de arranjo de diferentes categorias apresentadas por Borba e Braz (2012). São eles: 1. Mais de um elemento explicitado em determinadas posições; 2. Mais de um elemento explicitado com determinada proximidade; 3. Mais de um elemento explicitado com determinada ordem. Essas categorias de problemas foram escolhidas para a presente pesquisa objetivando que os alunos não encontrassem demasiada dificuldade, uma vez que se pretende verificar além do desempenho, diferentes representações e estratégias utilizadas para responder as situações.

7 Além dos problemas condicionais, também serão abordados os princípios aditivo e multiplicativo presentes em situações combinatórias. Sobre os princípios aditivo e multiplicativo, Alves (2012, p.22) afirma que: Princípio Aditivo - Se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e, se para cada uma dessas m maneiras possíveis de A ocorrer, um outro evento B pode ocorrer de n maneiras diferentes, e A e B são mutuamente exclusivos, então o número de maneiras de ocorrer o evento A ou o evento B é m + n. Pensando em termos de conjuntos, outra maneira de se pensar é: se A e B são dois conjuntos com m e n elementos respectivamente, disjuntos (A B = ᴓ), então o número de elementos de AUB é m + n. Princípio Multiplicativo (ou Princípio Fundamental da Contagem)- Se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e, se para cada uma dessas m maneiras possíveis de A ocorrer, um outro evento B pode ocorrer de n maneiras diferentes, então o número de maneiras de ocorrer o evento A seguido do evento B é m.n. Pensando em termos de conjuntos, outra maneira de se pensar é: se A e B são dois conjuntos com m e n elementos respectivamente, então o número n m de elementos de A x B (produto cartesiano) é m.n. Sendo assim, o princípio aditivo está relacionado com dois ou mais eventos mutuamente exclusivos, sendo, portanto, relacionado com uma adição dos elementos dos eventos. Em contrapartida, o princípio multiplicativo está relacionado com dois ou mais eventos que, diferente do princípio aditivo, não são mutuamente exclusivos. Assim, nesse caso, o número de possibilidades resulta de uma multiplicação. Em sua dissertação, Souza (2010 apud Alves, 2012), aponta [...] a falta de um trabalho em Análise Combinatória que utilizasse a resolução de problemas e os Princípios Multiplicativo e Aditivo como forma de o aluno, com a mediação de colegas e do professor, construir por si só estratégias de contagem que o levasse, pouco a pouco, aos modelos / técnicas de contagem para os diferentes tipos de agrupamento [...] (p.8) Alves (2012) argumenta que, se houvesse nos livros didáticos um trabalho consciente com os princípios aditivo e multiplicativo, o raciocínio combinatório teria um desenvolvimento ampliado, uma vez que a variabilidade de problemas seria uma preocupação também para os professores. Silva (2013), em seu estudo que investigou o desempenho de estudantes de graduação em Pedagogia, futuros professores de anos iniciais em problemas combinatórios envolvendo os princípios aditivo e multiplicativo. Esta autora, sob orientação da Profa.

8 Dra. Rute Borba, juntamente com a turma da disciplina Desenvolvimento do raciocínio combinatório do curso de graduação em Pedagogia, desenvolveu problemas com tais características. Em problemas de arranjo, foco dessa pesquisa, temos um problema que envolve o princípio aditivo e outro que envolve o princípio multiplicativo. A autora, em construção coletiva com a turma já mencionada, usou o mesmo contexto de criação de senhas para os problemas nos dois princípios. Com isso, havia a intenção de controlar essa variável, para que o que estivesse sendo avaliado fosse a compreensão dos princípios nos problemas combinatórios, e não a compreensão do contexto do problema. Com o teste realizado dessa forma, a autora concluiu que os estudantes de graduação em Pedagogia da instituição analisada apresentam uma boa compreensão de problemas combinatórios que envolvem os princípios aditivo e multiplicativo, não havendo diferenças significativas de um tipo de problema para o outro. Apesar de que, no geral, os problemas com princípio aditivo sempre apresentavam um percentual de acerto maior que os problemas com princípio multiplicativo. No caso dos problemas de arranjo com princípio aditivo houve 65% de acerto; e problemas de arranjo com o princípio multiplicativo apresentou 55% de acerto. Na presente pesquisa, pretende-se aliar características da combinatória condicional com os princípios aditivo e multiplicativo, buscando analisar sua aplicação com alunos de 9º ano do Ensino Fundamental, com o objetivo de verificar o desempenho desses alunos em um teste inicial; o uso de diferentes representações simbólicas para a resolução desses problemas; bem como, possíveis intervenções para superação de dificuldades que podem ficar evidentes na resolução do teste inicial. Essas intervenções estarão pautadas em diferentes formas de representação. Vergnaud (1996, p.184) também ressalta o papel das representações simbólicas no aprendizado de conceitos. Este autor afirma que elas [...] têm justamente a vantagem de dar uma ajuda à resolução de um problema quando os dados são numerosos e a resposta à questão exige várias etapas. Em resolução de situações combinatórias há uma grande variação de representações simbólicas utilizadas pelos alunos, por exemplo: desenhos, listagens, árvores de possibilidades, quadros, diagramas, princípio fundamental de contagem, cálculos ou uso de fórmulas, entre outras, como apontado por Pessoa e Borba (2010a), em estudo de sondagem com alunos de 2º ano do Ensino Fundamental ao 3º ano do Ensino Médio.

9 Nesta pesquisa, pretende-se investigar o efeito de intervenções pedagógicas, por meio da construção de árvores de possibilidades, da listagem de possibilidades ou do princípio fundamental da contagem, no desempenho em problemas combinatórios condicionais de arranjo articulados com os princípios aditivos ou multiplicativos, bem como o contexto do problema. 3 Objetivos 3.1 Geral: Analisar o uso dos princípios aditivo e multiplicativo em problemas combinatórios condicionais de arranjo. 3.2 Específicos: Verificar os desempenhos de alunos em relação às diferentes categorias de problemas combinatórios condicionais de arranjo, em função do uso dos princípios aditivo e multiplicativo, do contexto do problema e do ano escolar; Investigar o efeito de intervenções pedagógicas, por meio da construção de árvores de possibilidades, da listagem de possibilidades ou do princípio fundamental da contagem, no desempenho em problemas combinatórios condicionais de arranjo com aplicação dos princípios aditivos ou multiplicativos em diferentes contextos de problemas; Observar a influência das distintas intervenções na utilização de diversificadas representações simbólicas e estratégias. 4 Método A pesquisa será constituída de duas etapas. A primeira consiste em um estudo de sondagem realizado com 100 alunos do 9º ano do Ensino Fundamental. Em seguida, um estudo de intervenção com 60 alunos do 9º ano do Ensino Fundamental, utilizando diferentes representações em três grupos com 20 alunos cada.

10 Para o estudo de sondagem, serão elaborados dois testes que abordarão problemas de arranjo condicionais nos quais se aplicam os princípios aditivo e multiplicativo. Os problemas combinatórios condicionais de arranjo serão trabalhados em função de três diferentes categorias apresentadas por Borba e Braz (2012): 1: Mais de um elemento explicitado em determinadas posições; 2: Mais de um elemento explicitado com determinada proximidade; 3: Mais de um elemento explicitado com determinada ordem. Assim, os testes constarão de seis situações-problema de arranjo condicional, sendo dois problemas para cada categoria supracitada. Dessa forma, cada categoria terá um problema que faz uso do princípio aditivo e outro com princípio multiplicativo. Além disso, os testes serão diferenciados pelo contexto envolvido nos problemas, sendo um envolvendo o contexto de senhas e outro o contexto de organização de bandeiras. No Diagrama 1 é possível visualizar essa organização. No Quadro 1 é possível visualizar os problemas de contexto de senhas. Diagrama 1: Organização dos testes. Para o estudo de intervenção serão selecionadas três turmas de 9º ano do Ensino Fundamental. Esse ano de escolaridade foi escolhido, pois, provavelmente ainda não receberam instrução formal em Análise Combinatória. Cada turma fará parte de um grupo diferente de intervenção, que resolverão problemas com estratégias de resolução diferentes (Grupo 1: árvore de possibilidades, Grupo 2: listagem e Grupo 3: princípio fundamental da contagem).

11 Quadro 1: Problemas combinatórios condicionais de arranjo e o uso dos princípios aditivo (PA) e multiplicativo (PM) que envolvem o contexto de senhas e organização de bandeiras para o teste de sondagem. Arranjo condição de posição: PA (senhas) - Julia quer escolher uma senha nova para o seu computador. Ela pode escolher 4 letras distintas ou 3 algarismos distintos. Ela quer escolher as letras dentre as do seu nome (J, U, L, I, A) ou os algarismos dentre os que formam a data de seu aniversário 10 de dezembro de 88 (0, 1, 2, 5 e 8). De quantas maneiras diferentes Julia pode escolher a senha do seu computador, sabendo que na escolha das letras o J e A devem estar sempre na primeira e na última posição? PM (bandeiras) Helena quer criar uma bandeira que represente a escola que trabalha. Ela pode escolher 4 cores entre as opções (Azul, Preto, Vermelho, Laranja, Cinza e Branco) e 2 símbolo2 entre as opções (Caderno, Livro, Caneta, símbolo da escola e As letras iniciais do nome da escola). Sabendo que a cor preta e a cor laranja serão escolhidas na primeira e na terceira posições, quantas são as possibilidades de bandeira que Helena pode criar? Arranjo - condição de proximidade: PA (bandeiras) Cecília quer criar uma bandeira para a equipe de ginástica que faz parte. Ela pode escolher 2 cores entre as opções (Amarelo, Rosa, Vermelho, Lilás e Branco) ou 3 símbolos entre as opções (Bola, fita, corda, arco e nome da escola). Sabendo que a bola e a fita estarão sempre próximos, quantas são as possibilidades de bandeira que Helena pode criar? PM (senhas) Aline precisa criar a senha para seu . Ela pode escolher 3 letras distintas e 2 algarismos distintos. Ela quer escolher as letras dentre as do nome de sua mãe Sônia. (S, O, N, I, A) e os algarismos dentre os do número do seu apartamento 1304 (0, 1, 3 e 4). De quantas maneiras diferentes Aline pode escolher sua senha do , sabendo que as letras S e N sempre serão escolhidas e que elas sempre estarão próximas? Arranjo - condição de ordem: PA (bandeiras) Maria quer criar uma bandeira para sua equipe de natação. Ela pode escolher 3 cores entre as opções (Amarelo, Azul, Verde, Preto e Branco) ou 4 símbolos entre as opções (Touca, maiô, sunga, óculos e nome da equipe). Sabendo que a touca e o óculos serão escolhidos nessa ordem, quantas são as possibilidades de bandeira que Maria pode criar? PM (senhas) Um novo software educacional foi desenvolvido e para a escolha da senha de acesso aos dados do fabricante vão ser usadas 3 letras do nome de Rute (R, U, T e E) e três algarismos do número (1, 3, 5, 7 e 9), sem repetir as letras ou os algarismos. De quantas maneiras diferentes pode ser escolhido o nome deste software, sabendo que as letras R e U sempre estarão nessa mesma ordem? Adaptado de Silva (2013) e Borba e Braz (2012) Logo após o processo de intervenção, serão aplicadas as questões referentes a um pós-teste imediato, objetivando verificar os progressos obtidos por meio das diferentes intervenções realizadas. As questões do pós-teste serão elaboradas estabelecendo os mesmos critérios das elaboradas para o estudo de sondagem. Oito semanas após o pós-teste imediato será aplicado

12 um teste referente ao pós-teste posterior, para observar a retenção do aprendizado dos grupos de intervenção, verificando se a aprendizagem foi pontual ou constante. A análise será realizada considerando as duas etapas da pesquisa. Primeiro será realizada a análise quantitativa das questões acertadas pelos alunos da pesquisa. Essas análises serão internas aos grupos ou externas aos grupos. Na primeira situação será observado os avanços no desempenho dos alunos nas questões acertadas no pré-teste e nos pós-testes. Ainda na análise interna aos grupos será realizada uma comparação de desempenhos dos alunos em função do tipo de princípio envolvido no problema (aditivo ou multiplicativo), bem como a comparação de desempenhos em função da condição presente no problema (referente à ordem, posição ou proximidade) e a comparação de desempenhos em função do contexto no qual o problema está inserido (senhas ou bandeiras). Nas análises externas aos grupos serão realizadas comparações entre os diferentes grupos de intervenção (Grupo 1: árvore de possibilidades, Grupo 2: listagem e Grupo 3: princípio fundamental da contagem) para verificar qual forma de representação possibilita maior avanço.posteriormente será realizada a análise qualitativa referente ao acompanhamento das turmas no momento da intervenção, bem como as estratégias utilizadas pelos alunos na resolução do pré-teste e dos pós-testes. REFERÊNCIAS ALVES, Renato. O ensino de análise combinatória na educação básica e a formação de professores. (Dissertação de mestrado) Programa de Pós-graduação em Ensino de Matemática. Rio de Janeiro: UFRJ, AZEVEDO, Juliana. A influência de intervenções com árvores de possibilidades na utilização de diversificadas representações simbólicas: um caminho para o desenvolvimento do raciocínio combinatório. Anais... XI Encontro Nacional de Educação Matemática, Curitiba, AZEVEDO, Juliana; BORBA, Rute. Combinatória: a construção de árvores de possibilidades por alunos dos anos iniciais com e sem uso de software. Alexandria. Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v.6, n.2, p , jun, BARRETO, Fernanda; BORBA, Rute. Intervenções de combinatória na educação de jovens e adultos. Anais... XIII Conferencia Interamericana de Educação Matemática. CIAEM-IACME, Recife, Brasil, BATANERO, C. NAVARRO-PELAYO, V. GODINO, J.D. Effect of the Implicit Combinatorial Model on Combinatorial Reasoning in Secondary School Pupils. In: Educational Studies in Mathematics, v32 n2 p , Fev, 1997, disponível em: acesso em: 06 fev BORBA, Rute. O Raciocínio Combinatório na Educação Básica. In: Anais... X Encontro Nacional de Educação Matemática ENEM. Bahia, 2010.

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