Livro Eletrônico Aula 00 Matemática p/ EspCEx 2018 (Escola Preparatória de Cadetes do Exército) - Com videoaulas

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1 Livro Eletrônico Aula 00 Matemática p/ EspCEx 018 (Escola Preparatória de Cadetes do Exército) - Com videoaulas Professores: Arthur Lima, Hugo Lima

2 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 AULA 00 (demonstrativa) SUMÁRIO PÁGINA 1. Apresentação 01. Edital e cronograma do curso Resolução de questões Questões apresentadas na aula 5 5. Gabarito 31 APRESENTAÇÃO Seja bem-vindo a este curso pós-edital de MATEMÁTICA desenvolvido para auxiliar na sua preparação para o próximo concurso da Escola Preparatória de Cadetes do Exército. Vamos seguir à risca o conteúdo exigido no Edital publicado em maio de 018. Neste material você terá: Prof. Arthur Lima 1

3 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 - curso completo em vídeo, formado por cerca de 15 horas de gravações onde explico todos os tópicos exigidos no edital e resolvo alguns exercícios para você começar a se familiarizar com os temas; - curso escrito completo (em PDF), formado por 0 aulas onde também explico todo o conteúdo teórico do edital, além de apresentar cerca de 600 questões resolvidas e comentadas sobre todos os assuntos trabalhados, podendo ser da EsPCEx, ESA, EEAR, EPCAr, ENEM e até de vestibulares; - fórum de dúvidas, onde você pode entrar em contato direto conosco. Vale dizer que este curso é concebido para ser o seu único material de estudos, isto é, você não precisará adquirir livros ou outros materiais para tratar da minha disciplina. A ideia é que você consiga economizar bastante tempo, pois abordaremos todos os tópicos exigidos nos editais da EsPCEx e nada além disso, e você poderá estudar conforme a sua disponibilidade de tempo, em qualquer ambiente onde você tenha acesso a um computador, tablet ou celular, e evitará a perda de tempo gerada pelo trânsito das grandes cidades. Isso é importante para todos os candidatos, mas é especialmente relevante para aqueles que trabalham e estudam. Já faz tempo que você não estuda Matemática do ensino médio? Não tem problema, este curso também te atende perfeitamente. Isto porque você estará adquirindo um material bastante completo, onde você poderá trabalhar cada assunto em vídeos e também em aulas escritas, e resolver uma grande quantidade de exercícios, sempre podendo consultar as minhas resoluções e tirar dúvidas através do fórum. Assim, é plenamente possível que, mesmo tendo dificuldade em Matemática e estando há algum tempo sem estudar esses temas, você consiga um ótimo desempenho na prova da EsPCEx. Obviamente, se você se encontra Prof. Arthur Lima

4 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 nesta situação, será preciso investir um tempo maior e dedicar-se bastante ao conteúdo do nosso curso. O fato de o curso ser formado por vídeos e PDFs tem mais uma vantagem: isto permite que você vá alternando entre essas duas formas de estudo, tornando um pouco mais agradável essa dura jornada de preparação. Quando você estiver cansado de ler, mas ainda quiser continuar estudando, é simples: assista algumas aulas em vídeo! Ou resolva uma bateria de questões! Caso você não me conheça, eu sou Engenheiro Aeronáutico formado pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Sou professor há quase 10 anos, tendo lecionado tanto para cursos pré-vestibulares como para concursos públicos que exigem Matemática. Como engenheiro, trabalhei por 5 anos no mercado da aviação, quando então decidi migrar para o serviço público, sendo atualmente Auditor-Fiscal da Receita Federal. Aqui no Estratégia eu já tive o privilégio de ministrar mais de 400 cursos online de Matemática e outros assuntos correlatos, o que me permitiu ganhar bastante familiaridade com este tipo de ensino, que no meu ponto de vista possui muitas vantagens em relação ao estudo em um cursinho presencial tradicional. Também contaremos com a colaboração do professor Hugo Lima neste curso. Veja a apresentação dele abaixo: Olá! Meu nome é Hugo Lima e sou Engenheiro Mecânico- Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Trabalhei por 5 anos e meio na Força Aérea Brasileira, como oficial engenheiro, sendo que, no período final, também tive que conciliar o trabalho com o estudo para o concurso da Receita Federal. Fui aprovado para o cargo de Auditor- Fiscal em 01. Sempre solicitamos que nossos alunos avaliem os nossos cursos. Procuro sempre acompanhar as críticas, para estar sempre aperfeiçoando os materiais. Felizmente venho conseguindo obter índices de aprovação bastante elevados acima de 95%, muitas vezes chegando a 100%. Farei o que for possível para que você também aprove o nosso trabalho! Prof. Arthur Lima 3

5 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 Quer tirar alguma dúvida antes de adquirir o curso? Deixo abaixo meus contatos: Prof. Arthur Lima 4

6 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 CRONOGRAMA DO CURSO Veja abaixo os tópicos de matemática cobrados no edital: 6. PROVA DE MATEMÁTICA: a. Teoria dos Conjuntos e Conjuntos Numéricos: representação de conjuntos, subconjuntos, operações: união, interseção, diferença e complementar. Conjunto universo e conjunto vazio; conjunto dos números naturais e inteiros: operações fundamentais, Números primos, fatoração, número de divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo; conjunto dos números racionais: operações fundamentais. Razão, proporção e suas propriedades. Números direta e indiretamente proporcionais; conjunto dos números reais: operações fundamentais, módulo, representação decimal, operações com intervalos reais; e números complexos: operações, módulo, conjugado de um número complexo, representações algébrica e trigonométrica. Representação no plano de Argand-Gauss, Potencialização e radiciação. Extração de raízes. Fórmulas de Moivre. Resolução de equações binomiais e trinomiais. b. Funções: definição, domínio, imagem, contradomínio, funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, funções pares e ímpares, funções periódicas; funções compostas; relações; raiz de uma função; função constante, função crescente, função decrescente; função definida por mais de uma sentença; as funções y=k/x, y=raiz quadrada de x e seus gráficos; função inversa e seu gráfico; e Translação, reflexão de funções. c. Função Linear, Função Afim e Função Quadrática: gráficos, domínio, imagem e características; variações de sinal; máximos e mínimos; e inequação produto e inequação quociente. d. Função Modular: o conceito e propriedades do módulo de um número real; definição, gráfico, domínio e imagem da função modular; equações modulares; e inequações modulares. e. Função Exponencial: gráficos, domínio, imagem e características da função exponencial, logaritmos decimais, característica e mantissa; e equações e inequações exponenciais. f. Função Logarítmica: definição de logaritmo e propriedades operatórias; gráficos, domínio, imagem e características da função logarítmica; e equações e inequações logarítmicas. g. Trigonometria: trigonometria no triângulo (retângulo e qualquer); lei dos senos e lei dos cossenos; unidades de medidas de arcos e ângulos: o grau e o radiano; círculo trigonométrico, razões trigonométricas e redução ao 1º quadrante; funções trigonométricas, transformações, identidades trigonométricas fundamentais, equações e inequações trigonométricas no conjunto dos números reais; - fórmulas de adição de arcos, arcos duplos, arco metade e transformação em produto; as funções trigonométricas inversas e seus gráficos, arcos notáveis; e sistemas de equações e inequações trigonométricas e resolução de triângulos. h. Contagem e Análise Combinatória: fatorial: definição e operações; princípios multiplicativo e aditivo Prof. Arthur Lima 5

7 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 da contagem; arranjos, combinações e permutações; e binômio de Newton: desenvolvimento, coeficientes binomiais e termo geral. i. Probabilidade: experimento aleatório, experimento amostral, espaço amostral e evento; probabilidade em espaços amostrais equiprováveis; probabilidade da união de dois eventos; probabilidade condicional; propriedades das probabilidades; e probabilidade de dois eventos sucessivos e experimentos binomiais. j. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares: operações com matrizes (adição, multiplicação por escalar, transposição produto); matriz inversa; determinante de uma matriz: definição e propriedades; e - sistemas de equações lineares. k. Sequências Numéricas e Progressões: sequências Numéricas; progressões aritméticas: termo geral, soma dos termos e propriedades; progressões Geométricas: termo geral, soma dos termos e propriedades. l. Geometria Espacial de Posição: posições relativas entre duas retas; posições relativas entre dois planos; posições relativas entre reta e plano: perpendicularidade entre duas retas, entre dois planos e entre reta e plano; e projeção ortogonal. m. Geometria Espacial Métrica: poliedros Convexos, Poliedros de Platão, Poliedros Regulares: definições, propriedades e Relação de Euler; prismas: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; pirâmide: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; cilindro: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; cone: conceito, elementos, classificação, áreas e volumes e troncos; esfera: elementos, seção da esfera, área, volumes e partes da esfera; projeções; sólidos de revolução; e inscrição e circunscrição de sólidos. n. Geometria Analítica Plana: ponto: o plano cartesiano, distância entre dois pontos, ponto médio de um segmento e condição de alinhamento de três pontos; reta: equações geral e reduzida, interseção de retas, paralelismo e perpendicularidade, ângulo entre duas retas, distância entre ponta e reta e distância entre duas retas, bissetrizes do ângulo entre duas retas, Área de um triângulo e inequações do primeiro grau com duas variáveis; circunferência: equações geral e reduzida, posições relativas entre ponto e circunferência, reta e circunferência e duas circunferências; problemas de tangência; e equações e inequações do segundo grau com duas variáveis; elipse: definição, equação, posições relativas entre ponto e elipse, posições relativas entre reta e elipse; hipérbole: definição, equação da hipérbole, posições relativas entre ponto e hipérbole, posições relativas entre reta e hipérbole e equações das assíntotas da hipérbole; parábola: definição, equação, posições relativas entre ponto e parábola, posições relativas entre reta e parábola; e reconhecimento de cônicas a partir de sua equação geral. o. Geometria Plana: - ângulo: definição, elementos e propriedades; ângulos na circunferência; paralelismo e perpendicularidade; semelhança de triângulos; pontos notáveis do triângulo; relações métricas nos triângulos (retângulos e quaisquer); relação de Stewart; triângulos retângulos, Teorema de Pitágoras; congruência de figuras planas; feixe de retas paralelas e transversais, Teorema de Tales; teorema das bissetrizes internas e externas de um triângulo; quadriláteros notáveis; polígonos, polígonos regulares, Prof. Arthur Lima 6

8 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 circunferências, círculos e seus elementos; perímetro e área de polígonos, polígonos regulares, circunferências, círculos e seus elementos; fórmula de Heron; razão entre áreas; lugares geométricos; elipse, parábola e hipérbole; linha poligonal; e inscrição e circunscrição. p. Polinômios: função polinomial, polinômio identicamente nulo, grau de um polinômio, identidade de um polinômio, raiz de um polinômio, operações com polinômios e valor numérico de um polinômio; T R T DA B-Ruffinni; relação entre coeficientes e raízes. Fatoração e multiplicidade de raízes e produtos notáveis. Máximo divisor comum de polinômios; q. Equações Polinomiais: teorema fundamental da álgebra, teorema da decomposição, raízes imaginárias, raízes racionais, relações de Girard e teorema de Bolzano. Nosso curso será dividido em 0 aulas escritas, além desta aula demonstrativa, acompanhadas pelos vídeos sobre os mesmos assuntos. Segue abaixo a relação de aulas e as datas limite de publicação. AULA CONTEÚDO DATA Aula 0 Demonstrativa 05/0 Aula 1 Conjuntos Numéricos 1/0 Aula Divisibilidade e Fatoração 19/0 Aula 3 Proporcionalidade 6/0 Aula 4 Resolução de equações 05/03 Aula 5 Funções: Linear, Afim e Quadrática 1/03 Aula 6 Polinômios 19/03 Aula 7 Funções: Modular, Exponencial e Logarítmica 6/03 Aula 8 Inequações 0/04 Aula 9 Sequências Numéricas e Progressões 09/04 Prof. Arthur Lima 7

9 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 Aula 10 Geometria Plana 16/04 Aula 11 Geometria plana (continuação) 3/04 Aula 1 Geometria Espacial 30/04 Aula 13 Trigonometria 07/05 Aula 14 Geometria Analítica 14/05 Aula 15 Contagem e Análise Combinatória 1/05 Aula 16 Probabilidade 8/05 Aula 17 Teoria dos Conjuntos 04/06 Aula 18 Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares 11/06 Aula 19 Números complexos 18/06 Aula 0 Resumo 5/06 Sem mais, vamos a uma demonstração do curso. Prof. Arthur Lima 8

10 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 RESOLUÇÃO DE QUESTÕES Nesta aula demonstrativa vamos resolver juntos algumas questões das provas anteriores da EsPCEx. O objetivo é que você tenha uma ideia do estilo de cobrança da EsPCEx. É natural que você sinta alguma dificuldade em resolver as questões neste momento, afinal ainda não passamos pelos tópicos teóricos correspondentes. Ao longo das aulas voltaremos a essas questões nos momentos oportunos, isto é, após estudar a respectiva teoria. Aproveite esta aula para avaliar o nível de cobrança esperado para a sua prova e, claro, a minha forma de lecionar. Vamos começar? 1. EspCEx 017) Na figura estão representados os gráficos das funções reais f (quadrática) e g (modular) definidas em IR. Todas as raízes das funções f e g também estão representadas na figura. f( x) Sendo hx ( ) =, assinale a alternativa que apresenta os intervalos onde gx ( ) h assume valores negativos. Prof. Arthur Lima 9

11 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 a) ]-3,-1] U ]6, 8] b) ]-,-3[ U ]-1,6[ U ]8,+ [ c) ]-, [ U [4,+ [ d) ]-,-3[ U [-1,[ U [7,+ [ e) ]-3,-1] U [,4[ U ]6, 8] RESOLUÇÃO: Vamos ao estudo dos sinais de cada função: Prof. Arthur Lima 10

12 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 Em azul temos os sinais da função y = g(x). Em vermelho, temos os sinais da função y = f(x). Assim, entre - e -3, f(x) é positivo e g(x) é positivo, resultando em h(x) negativo. A partir dessa análise aplicada a cada trecho dos gráficos, podemos montar a seguinte tabela de sinais: De - e -3 De -3 e -1 De -1 e 6 De 6 e 8 De 8 a + f(x) g(x) h(x) Veja que h(x) assume valores negativos em ]-,-3[ U ]-1,6[ U ]8,+ [ opção esta da letra B. RESPOSTA: B. EspCEx 017) Em uma população de homens e mulheres, 60% são mulheres, sendo 10% delas vegetarianas. Sabe-se, ainda, que 5% dos homens dessa população também são vegetarianos. Dessa forma, selecionando-se uma pessoa dessa população ao acaso e verificando-se que ela é vegetariana, qual é a probabilidade de que seja mulher? a) 50%. b) 70%. c) 75%. d) 80%. e) 85%. RESOLUÇÃO: Seja X o tamanho dessa população. 60% dela é de mulheres. Portanto, temos 0,6X mulheres e 0,4X homens. Do total de mulheres, 10% são vegetarianas, ou seja, 0,06X são mulheres vegetarianas. 5% dos homens são vegetarianos, ou seja, 5%.0,4X = 0,0X são homens vegetarianos. Agora vamos ver quantas pessoas vegetarianas temos nessa população: 0,06X + 0,0X = 0,08X. Esse é o total de casos. Desse total, Prof. Arthur Lima 11

13 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 apenas 0,06X são mulheres vegetarianas, que são os casos favoráveis. A probabilidade é dada pelo total de casos favoráveis dividido pelo total de casos. Assim, a probabilidade pedida no enunciado, é dada por 0,06X/0,08X = 6/8 = 0,75 = 75%. RESPOSTA: C 3. EspCEx 015) Considere as funções reais f e g, tais que f(x) = x + 4 e f(g(x))=x - 5, onde g(x) é não negativa para todo x real. Assinale a alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis valores de x, que satisfazem os dados do enunciado. [A] 3,3 [B] 5, 5 [C] 5, 5 [D] 3,3 [E],3 RESOLUÇÃO: Conhecemos a função f(x). Logo, f(g(x)) é: f(g(x)) = g(x) + 4 No entanto, f(g(x)) = x - 5. Logo: g(x) + 4 = x - 5 g(x) = x - 9 g(x) é não negativa para todo x real, logo: g(x) = x x 3 e x -3 Voltando a f(x), temos que f(x) = x + 4. Para que f(x) seja uma função real, devemos ter x 0. Portanto, x pode ser qualquer valor maior Prof. Arthur Lima 1

14 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 ou igual a 3. Outra forma seria dizer que x pode ser qualquer real exceto aqueles números menores que 3. Foi o que a letra E fez. Resposta: E,3 4. EspCEx 014) Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais, este fabricante venderá por mês (600 x) unidades, em que 0 x 600. Assinale a alternativa que representa o número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo. [A] 150 [B] 50 [C] 350 [D] 450 [E] 550 RESOLUÇÃO: O valor V(x) resultante da venda de (600 x) poltronas ao preço de x reais é igual a V(x) = x(600 x) = 600x x. O custo C(x) de (600 x) poltronas é dado por C(x) = (600 x).300 = x O lucro L(x) é dado pela diferença entre o valor resultante da venda e o custo. Logo: L(x) = V(x) C(x) L(x) = 600x x x L(x) = x + 900x Veja que temos uma parábola cuja concavidade é voltada para baixo. Logo, ela possui um ponto de máximo, dado por: x vértice b 900 = = = 450 a ( 1) Prof. Arthur Lima 13

15 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 O número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo é de 450 poltronas. Resposta: D 5. EspCEx 014) Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os quais está definida a função ( ) = 3 f x a) R-{-,} x² 6x+ 5 x² 4 b) (-,-) (5,+ ) c) (-,-) (-,1] [5,+ ) d) (-,1) (5,+ ) e) (-,-] (,+ ) RESOLUÇÃO: ( ) = 3 f x x² 6x+ 5 x² 4 As funções que estão dentro das raízes não devem ter valor inferior a zero. Já o denominador deve ser diferente de zero. Vamos aplicar as duas condições. Primeiramente, vamos encontrar os valores de x que fazem a função de segundo grau ser igual à zero: 0 = x² 6x+ 5 = b = 4ac ( 6) 4(1)(5) = 36 0 = 16 Prof. Arthur Lima 14

16 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 b x = a ( 6) x = = 6+ 4 x1 = = 5 x 6 4 = = 1 Veja que essa função de segundo grau tem concavidade voltada para cima. Devemos ter apenas valores positivos para a função. Logo, os valores de x menores que 1 e maiores que 5 são os que nos interessam. O gráfico abaixo ajuda a visualizar a situação: Para o denominador, que é uma função de primeiro grau dentro de uma raiz cúbica, temos: x 40 x 4 x ou x Repare que o numerador traz uma raiz cúbica. Raiz cúbica de número negativo existe e está definida nos reais. Por exemplo: Prof. Arthur Lima 15

17 ( ) MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 = =. Raiz cúbica de número positivo também existe e está definida nos reais. Se no denominador tivéssemos uma raiz quadrada, aí sim teríamos que fazer x 4 0. Nosso conjunto resposta consta no gráfico abaixo: Em vermelho marcamos os valores que x pode assumir, levando em consideração o numerador. X pode ser qualquer valor menor ou igual a 1 ou qualquer valor maior ou igual a 5. Em azul marcamos os dois valores que o x não pode assumir, levando em consideração o denominador, que são - e. Assim, x pode ser qualquer número menor que -, mais qualquer número acima de - e menor ou igual a um, mais qualquer número maior ou igual a 5, cuja representação matemática é (-,-) (-,1] [5,+ ). Resposta: C 6. EspCEx 014) Sabendo que c e d são números reais, o maior valor de d tal que a função f : R R definida por x + c, para x d f( x) = seja injetora é 4 3, x x + para x d Prof. Arthur Lima 16

18 [A] 0. [B] 1. [C]. [D] 3. [E] 4. RESOLUÇÃO: MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 Se cada elemento do conjunto Imagem estiver ligado a um único elemento do Domínio, a função é chamada injetora. Veja que uma das partes da função f(x) é uma função de segundo grau. Essa parábola tem concavidade voltada para cima. Logo, ela tem um ponto de mínimo. Vamos calcular o valor de mínimo da parábola: x vértice b ( 4) = = = a (1) Veja agora um esboço do gráfico dessa parábola: A partir do momento em que a parábola atinge o mínimo, ela começa a associar novos elementos de domínio aos mesmos elementos Prof. Arthur Lima 17

19 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 da imagem que já tinham elementos de domínio associados anteriormente. A partir de x>, cada elemento da imagem passa a estar associado a dois elementos do domínio. Veja por exemplo que para y = 6 (imagem) temos dois valores de x (domínio). Portanto, x não pode ser maior que para que a função seja injetora. Logo, x <, o que nos leva a d =. Resposta: C 7. EspCEx 014) A população de peixes em uma lagoa varia conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no período chuvoso e decresce no período de estiagem. Esta população é descrita pela expressão t Pt ( ) = 10³ cos em que o tempo t é medido em meses. É correto afirmar que: [A] [B] [C] [D] [E] o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano. a população atinge seu máximo em t=6. o período de seca corresponde a 4 meses do ano. população média anual é de animais. a população atinge seu mínimo em t=4 com animais. RESOLUÇÃO: O tempo é medido em meses. Precisamos determinar em quais meses do ano a função P(t) é crescente, quando teremos o período chuvoso, e em quais ela é decrescente, quando teremos o período de seca. A função cosx é crescente quando x vai de a. Quando x = na função, temos: t = 6 t = 1 6 t = 6 + = 8 Quando x = na função, temos: Prof. Arthur Lima 18

20 t = 6 t = 6 t = 1 + = 14 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 Portanto, num intervalo de seis meses, de agosto (t = 8) a fevereiro (t = 14) a função P(t) é crescente. Assim, o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano. Resposta: A 8. EspCEx 014) Seja 0 1 log10 3 =.. O conjunto solução da log 3 log desigualdade cos( x 3 3 ) 7 no intervalo [0, ), é igual a [A] 0, 3 [B] 5, 3 3 [C], 3 [D], ) 3 [E] 3, ) RESOLUÇÃO: Prof. Arthur Lima 19

21 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 Usando a propriedade log b a a = b, temos: Logo, temos: Ou seja, x deve estar no intervalo Resposta: B 5, EspCEx 013) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) = 3x 1x e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x 40x 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a [A] 4 lotes. [B] 5 lotes. [C] 6 lotes. [D] 7 lotes. [E] 8 lotes. RESOLUÇÃO: O lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção: Prof. Arthur Lima 0

22 L(x) = V(x) C(x) L(x) = 3x 1x (5x 40x 40) L(x) = 3x 1x 5x + 40x + 40 L(x) = x + 8x + 40 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 Veja que temos uma parábola cuja concavidade é voltada para baixo. Logo, ela possui um ponto de máximo, dado por: x vértice b 8 = = = 7 a ( ) O número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a 7 lotes. Resposta: D 10. EspCEx 01) A probabilidade de se obter um número divisível por na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1,, 3, 4, 5 é [A] [B] [C] [D] [E] RESOLUÇÃO: O total de permutações dos algarismos 1,, 3, 4 e 5 totalizam 5 x 4 x 3 x x 1 = 10 números diferentes. Para ser divisível por, basta que o número termine em ou 4. Temos 5 terminações possíveis (1,, 3, 4 ou 5). Teremos 10 / 5 = 4 números com cada terminação. Logo, terminando em ou 4 teremos 48 números. A probabilidade de se obter Prof. Arthur Lima 1

23 ==0== MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 um número divisível por na escolha ao acaso de uma das permutações é de 48/10 = /5. Resposta: B 11. EspCEx 01) Na figura abaixo está representado o gráfico de uma função real do 1º grau f(x). A expressão algébrica que define a função inversa de f(x) é: x [A] y = + 1 [B] y= x+ 1 [C] y= x [D] y= x+ [E] y= x+ RESOLUÇÃO: Veja que o gráfico de f(x) é uma reta. Logo, podemos dizer que: f(x) = ax + b 1/. Quando x = 0, temos y = 1, logo f(0) = a(0) + b = 1 b = 1. Quando y = 0, temos x = -, logo f(-) = a(-) + 1 = 0 a = Portanto, f(x) = (1/)x + 1. Para obter a função inversa, basta: 1. Substituir f(x) por x e x por f 1 ( x) x = (1/) f -1 (x) + 1 Prof. Arthur Lima

24 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00. Rearranjar os termos, isolando f 1 ( x). x = (1/) f -1 (x) + 1 x 1 = (1/) f -1 (x) (1/) f -1 (x) = x 1 f -1 (x) = x Resposta: C 1. EspCEx 011) Considere as funções reais f(x) = 3x, de domínio [4, 8] e g(y) = 4y, de domínio [6, 9]. Os valores máximo e mínimo que o quociente f(x) / g(y) pode assumir são, respectivamente: [A] 1 e 3 [B] [C] [D] [E] 1 e e e e 3 RESOLUÇÃO: Veja que f(x) está definida para x em [4, 8] e g(y) está definida para y em [6, 9]. Além disso, veja que a função f(x) / g(y) é dada por: f ( x) 3x = g( y) 4y Por ser uma divisão, essa função terá valor máximo quando o numerador for máximo (o que nos leva a x máximo) e denominador for mínimo (o que nos leva a y mínimo). Assim: f( x) 3(8) máximo = = 1 g ( y ) 4(6) Prof. Arthur Lima 3

25 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 Essa função terá valor mínimo quando o numerador for mínimo (o que nos leva a x mínimo) e denominador for máximo (o que nos leva a y máximo). Assim: Resposta: E f( x) 3(4) 3 1 mínimo = = = g ( y ) 4(9) 9 3 Fim de aula!!! Nos vemos na Aula 01. Abraço, Prof. Arthur Lima Facebook: ProfArthurLima Youtube: Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima 4

26 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula EspCEx 017) Na figura estão representados os gráficos das funções reais f (quadrática) e g (modular) definidas em IR. Todas as raízes das funções f e g também estão representadas na figura. f( x) Sendo hx ( ) =, assinale a alternativa que apresenta os intervalos onde gx ( ) h assume valores negativos. a) ]-3,-1] U ]6, 8] b) ]-,-3[ U ]-1,6[ U ]8,+ [ c) ]-, [ U [4,+ [ d) ]-,-3[ U [-1,[ U [7,+ [ e) ]-3,-1] U [,4[ U ]6, 8] Prof. Arthur Lima 5

27 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00. EspCEx 017) Em uma população de homens e mulheres, 60% são mulheres, sendo 10% delas vegetarianas. Sabe-se, ainda, que 5% dos homens dessa população também são vegetarianos. Dessa forma, selecionando-se uma pessoa dessa população ao acaso e verificando-se que ela é vegetariana, qual é a probabilidade de que seja mulher? a) 50%. b) 70%. c) 75%. d) 80%. e) 85%. 3. EspCEx 015) Considere as funções reais f e g, tais que f(x) = x + 4 e f(g(x))=x - 5, onde g(x) é não negativa para todo x real. Assinale a alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis valores de x, que satisfazem os dados do enunciado. [A] 3,3 [B] 5, 5 [C] 5, 5 [D] 3,3 [E],3 4. EspCEx 014) Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais, este fabricante venderá por mês (600 x) unidades, em que 0 x 600. Assinale a alternativa que representa o número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo. [A] 150 [B] 50 [C] 350 Prof. Arthur Lima 6

28 [D] 450 [E] 550 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula EspCEx 014) Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os quais está definida a função ( ) = 3 f x a) R-{-,} x² 6x+ 5 x² 4 b) (-,-) (5,+ ) c) (-,-) (-,1] [5,+ ) d) (-,1) (5,+ ) e) (-,-] (,+ ) 6. EspCEx 014) Sabendo que c e d são números reais, o maior valor de d tal que a função f : R R definida por x + c, para x d f( x) = seja injetora é 4 3, [A] 0. [B] 1. [C]. [D] 3. [E] 4. x x + para x d 7. EspCEx 014) A população de peixes em uma lagoa varia conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no período chuvoso e decresce no período de estiagem. Esta população é descrita pela expressão t Pt ( ) = 10³ cos em que o tempo t é medido em meses. É correto afirmar que: [A] [B] [C] o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano. a população atinge seu máximo em t=6. o período de seca corresponde a 4 meses do ano. Prof. Arthur Lima 7

29 [D] [E] população média anual é de animais. MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 a população atinge seu mínimo em t=4 com animais. 8. EspCEx 014) Seja 1 log10 3 =.. O conjunto solução da log 3 log desigualdade cos( x 3 3 ) 7 no intervalo [0, ), é igual a [A] 0, 3 [B] 5, 3 3 [C], 3 [D], ) 3 [E] 3, ) 9. EspCEx 013) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) = 3x 1x e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x 40x 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a [A] 4 lotes. [B] 5 lotes. [C] 6 lotes. [D] 7 lotes. [E] 8 lotes. 10. EspCEx 01) A probabilidade de se obter um número divisível por na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1,, 3, 4, 5 é Prof. Arthur Lima 8

30 [A] [B] [C] [D] [E] MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula EspCEx 01) Na figura abaixo está representado o gráfico de uma função real do 1º grau f(x). A expressão algébrica que define a função inversa de f(x) é: x [A] y = + 1 [B] y= x+ 1 [C] y= x [D] y= x+ [E] y= x+ 1. EspCEx 011) Considere as funções reais f(x) = 3x, de domínio [4, 8] e g(y) = 4y, de domínio [6, 9]. Os valores máximo e mínimo que o quociente f(x) / g(y) pode assumir são, respectivamente: Prof. Arthur Lima 9

31 [A] [B] [C] [D] [E] 1 e 3 1 e e e e 3 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula 00 Prof. Arthur Lima 30

32 MATEMÁTICA P/ EspCEx 018 Prof. Arthur Lima, Aula B 0 C 03 E 04 D 05 C 06 C 07 A 08 B 09 D 10 B 11 C 1 E Prof. Arthur Lima 31

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