DETERMINAÇÃO DO FATOR DE INTENSIDADE DE TENSÃO DINÂMICO EM TRINCAS PLANAS

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1 ª 1999 Computational Methods in Engineering'99 Eds.: P. M. Pimenta; R. M. L. R. F. Brasil; E. S. Almeida N. DETERMINAÇÃO DO FATOR DE INTENSIDADE DE TENSÃO DINÂMICO EM TRINCAS PLANAS L.A. Souza *, C.A. de Moura +, A.H.S. de Oliveira! * Departamento de Estruturas Centro de Tecnologia e Urbanismo Universidade Estadual de Londrina Cx. Postal 6001 CEP Londrina, PR, Brasil lasouza@npd.uel.br + Departamento de Computação Científica Instituto de Matemática Universidade Federal Fluminense Praça do Valonguinho s/n CEP Niterói, RJ, Brasil demoura@pegasus.pgcc.uff.br! Departamento de Projetos e Construção Civil Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá Universidade Estadual Paulista Cx. Postal 205 CEP Guaratinguetá, SP, Brasil afonso@feg.unesp.br Palavras chave: Trincas, Fator de Intensidade de Tensões, Dinâmica, Alta Precisão Resumo. Neste trabalho apresentam-se resultados de análises numéricas de estruturas bidimensionais trincadas, submetidas a cargas dinâmicas, com a finalidade de determinar a amplificação do fator de intensidade de tensão (FIT). As análises foram processadas em regime elástico linear, via métodos dos elementos finitos, utilizando-se algoritmos da alta precisão para a integração no domínio do tempo. Os FITs são avaliados via métodos energéticos, utilizando-se o Integral J modificado e comparados com os FITs causados por cargas de mesma intensidade aplicadas estaticamente. Dois modelos de corpo de prova são analisados, o CCS (Centrally Cracked Specimen) e o CTS (Compact Tension Specimen). Os resultados mostraram um aumento significativo nos valores do FITs, e serão úteis para um melhor entendimento dos fenômenos da mecânica da fratura elastodinâmica e predição da vida útil a fadiga em estruturas trincadas.

2 1 INTRODUÇÃO O problema de trincas em estruturas vem já de algum tempo sendo estudado e bastante explorado por vários pesquisadores. Embora a principal fonte do aparecimento de trincas em estruturas seja justamente a fadiga causada por cargas cíclicas e transitórias, a grande maioria das análises tem sido realizada em regime estático. Isto decorre, em parte, pelas dificuldades e complexidade do problema da mecânica da fratura elastodinâmica (MFED), bem como pela falta de ferramentas computacionais, tanto a sob o ponto de vista de códigos como de computadores, que leve em conta os principais efeitos envolvidos. Com o rápido desenvolvimento de pequenos, baratos e potentes micro-computadores, este tipo de análise pode ser processada com auxílio de adequados algoritmos e métodos numéricos, propiciando a investigação em regime transiente da mecânica da fratura. Isto facilita e justifica plenamente uma análise dinâmica do problema. Este trabalho expõe brevemente os conceitos da MFED, apresenta a formulação do problema dinâmico, orienta a implementação computacional e mostra alguns resultados obtidos. 2 PARÂMETROS DA MECÂNICA DA FRATURA ELASTODINÂMICA Os parâmetros da MFED são determinados via métodos energéticos. Partindo-se de uma chapa plana trincada e de espessura constante, como mostra a figura 1, define-se a integral invariante J modificada, que leva em conta o efeito da inércia. Esta integral tem valor igual a taxa de energia dissipada no trincamento, na direção k, Figura 1 Caminho da Integral J 263.2

3 J = [ Wnk Tiui, k ] dγ + ( ρ u Fi ) ui k da (k=1,2) (1) k, Γ A onde Γ é um caminho arbitrário contornando a ponta da trinca, A é a área contornada, T i a tração normal ao contorno, W é a densidade de energia de deformação, u i os deslocamentos, F i a força de corpo e ρ a massa específica. Esta integral conforme mostrado em Kishimoto 1 et all independe do caminho. Para o modo I de fratura, isoladamente, o fator de intensidade de tensão dinâmico K Id relaciona-se com J pela seguinte relação, J 1 2 K Id = E' onde E para estado plano de tensão é o módulo de elasticidade longitudinal E ; para o estado plano de deformação E = E/(1-ν 2 ), onde ν é o coeficiente de Poisson. 3 ALGORITMO DE ALTA PRECISÃO PARA A SOLUÇÃO DO PROBLEMA ELASTODINÂMICO A equação de equilíbrio, para o problema elastodinâmico, é dada por: M t t t t U + CU + KU = F (3) onde M é a matriz de massa, C a matriz de amortecimento, K a matriz de rigidez, F t o vetor de cargas dependente do tempo t e U t o vetor de deslocamentos nodais com o ponto representando a ordem da derivada no tempo. As técnicas de integração no tempo apresentam-se com uma boa alternativa aos métodos de superposição modal, para a análise de problemas transientes, pelas facilidades de implementação, reduzido uso de memória e custo computacional, com grandes vantagens principalmente para tratar problemas com não linearidades. A grande vantagem da utilização de algoritmos explícitos em relação aos implícitos é o fato de ser desnecessária a montagem e solução de um sistema de equações na sua forma completa. Entretanto esses algoritmos são condicionalmente estáveis e as respostas, principalmente de velocidades e tensões sofrem oscilações numéricas ou batimentos espúrios. Algoritmos chamados de alta precisão 2,3 tem sido desenvolvidos e aplicados ao Método das Diferenças Finitas (MDF), em problemas transientes, como forma de melhorar a qualidade dos resultados. Neste trabalho, estas técnicas são aplicadas ao Método dos Elementos Finitos 4,5, para problemas da mecânica da fratura elastodinâmicos no domínio do tempo. A principal vantagem da utilização de algoritmos de alta precisão é, além da melhora da qualidade da resposta, uma sensível redução nas oscilações numéricas, fato inerente ao esquema de diferença centrada (DC), mantendo-se as mesmas vantagens dessa. No esquema de alta precisão a aceleração é descrita por uma diferença finita de quarta ordem para trás, no domínio de tempo, assim tem-se, (2) 263.3

4 1 t U = ( U + t t t U + U t 1 t ) ( U + t t t 2 4U + 6U t t 4U 2 t t + U 3 t ) 2 2 t 12 t e para a velocidade, 1 t + t t t 1 t 3 t t 2 t t t t t + t U = ( U U ) ( U 6U + 12U 10U + 3U ) (5) 2 t 12 t com t o incremento de tempo. Particularizando-se para C = 0, introduzindo (4) em (3) e rearranjando, obtém-se para os deslocamentos, 2 t + t 12 t t 1 t 3 t t 2 t t t U = M R + ( U 4U 6U + 20U t onde R t = F t KU t, vetor de resíduos. O primeiro termo de (6) representa um sistema de equações simultâneas. No entanto, a matriz M pode ser arranjada na forma diagonal e a solução é imediata, e o cálculo de U t+ t é feito de forma explícita, envolvendo apenas produtos vetoriais. Ainda o produto KU t é computado elemento a elemento e pode ser T substituído por B DBU t dv e efetuado a nível de elemento, sendo B a matriz de V deformações, D a matriz de características elásticas e V o volume do elemento. Esta diferença finita tem precisão de O( t 4 ), enquanto a diferença finita centrada têm precisão O( t 2 ). Para que este esquema tenha estabilidade, deve-se exigir ) (4) (6) t 2 2 ω max 3 (7) onde ω max é a maior freqüência natural do problema homogêneo, que pode ser estimada por, 2c ω max = µ (8) L sendo c a velocidade de propagação da onda e L a menor distância entre os nós do elemento, e µ uma constante que depende do elemento finito utilizado na análise 6. Para problemas de estado plano de tensão, tem-se E c = (9) ρ( 1 ν ) 263.4

5 4 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL A implementação se fez em um sistema computacional denominado JMIEV 12, baseado no método dos elementos finitos, que vem sendo desenvolvido pelos autores, utilizando rotinas básicas apresentadas por Owen e Fawkes 7. A integral J é efetuada ao longo de um caminho definido pelos pontos de integração, como ilustrado na figura 1. O programa utiliza elementos quadráticos planos de 8 nós. A matriz de massa é integrada numericamente utilizando-se 3x3 pontos de Gauss. A diagonalização é feita ponderando-se a massa total do elemento em relação à diagonal da matriz de massa consistente 8. A implementação computacional do esquema de alta precisão segue a mesma estrutura da DC 9, que é muito vantajosa em computadores com arquitetura de processamento vetorial e/ou paralelo. Para a inicialização realiza-se os dois primeiros incrementos utilizando-se a DC, e a seguir continua-se a integração no tempo com o algoritmo de alta precisão. 5 RESULTADOS NUMÉRICOS 5.1 Chapa com trinca centrada (CCS) Figura 2 Chapa com trinca centrada

6 Analisa-se uma chapa retangular com uma trinca centrada, como mostra a figura 2, submetida a uma carga de tração subitamente aplicada. As dimensões da chapa são: b=20 mm; h=40 mm; a/b=0,24 e espessura unitária. O material possui as seguintes propriedades: E=200 GPa, ν=0,3 e ρ=5000 Kg/m 3. Aproveitando-se a simetria, discretizou-se um quarto da chapa com 40 elementos e 147 nós. O intervalo de tempo adotado foi de t = 1,68x10-2 µs, realizou-se 715 iterações analisando-se o problema até um tempo total de 12 µs, tempo este em que a trinca começa a se fechar. O fator de intensidade dinâmico K Id está normalizado em relação ao K Ie estático e os valores estão mostrados na figura 3. Nota-se um pico para t 4 µs, o máximo para t 8 µs, e um aumento de ~2,8 vezes o valor de K Ie, concordando com a solução, obtida por outros pesquisadores 10,11. Como era de se esperar, houve um significativo aumento do fator de intensidade de tensão, e esta ampliação aumenta à medida que a relação a/b aumenta. KId/KIe 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0-0,5 0,0E+00 5,0E-06 1,0E-05 1,5E-05 Tempo (s) Figura 3 Amplificação de K Id x tempo para a trinca centrada. Este problema é clássico e foi analisado a primeira vez por Chen 10 em 1975, utilizando-se o Método das Diferenças Finitas tanto para o espaço quanto para o tempo, e posteriormente 13 reanalizou utilizando-se o MEF e DC, e tem servido de referência para vários autores. 5.2 Corpo de prova (CTS) Um típico corpo de prova ( Compact Tension Specimem ) para ensaios, com as dimensões mostradas na Figura 4, é analisado quando carregado subitamente com uma carga P= 10 KN. O material possui as seguintes propriedades: E = 210 GPa, ν=0,33 ; ρ=7800 kg/m 3. Aproveitando a simetria, discretizou-se metade do C.P. com 50 elementos e 184 nós. O intervalo de tempo adotado foi de t = 5,0 µs, realizou-se 6000 iterações analisando-se o problema até um tempo total de 0,03 s, tempo necessário para a trinca começa a fechar

7 O valor obtido para K Ie foi de 2882 N mm -3/2 e usado para a normalização. Figura 4 Corpo de Prova e malha. Figura 5 KId x tempo para o Corpo de Prova. Neste caso a amplificação foi de aproximadamente

8 6 COMENTÁRIOS FINAIS E CONCLUSÕES A qualidade dos resultados obtidos, aliada às vantagens de um método explícito, propiciam um forte apelo para a utilização do esquema de alta precisão. Estas características se tornam ainda mais relevantes em problemas com forte concentração de tensão e quando se necessita de uma boa precisão na avaliação da velocidade e da aceleração, cujos valores são fundamentais para a obtenção de bons resultados na Mecânica da Fratura Elastodinâmica. Os autores acreditam que o avanço das pesquisas fornecerá novos subsídios para a formulação das leis de propagação de trincas por fadiga, mais realistas e menos empíricas. Os autores por não dispor de resultados experimentais e gostariam de estabelecer um intercâmbio com pesquisadores de outras instituições, se propondo a realizar outras análises. 7 AGRADECIMENTOS Os autores são gratos ao CNPq pelo apoio a este trabalho. REFERENCIAS [1] K. Kishimoto, S. Aoki e M. Sakata, Dynamic Stress Intensity Factor Using J-Integral and Finite Element Method, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 13, pp ,1980. [2] G. Cohen, e P.Joly, Forth order Schemes for the Heterogeneous Acoustics Equation, Comp. Meth. and Engin., Vol. 80, pp , [3] C. A. de Moura, DES - An Explicit, really Quadratic 2-level Scheme for the Diffusion Equation, J. of Computing and Information, Vol. 3(1), pp , [4] C. A. Moura e L. A Souza,. Algoritmos de Alta Precisão em Elementos Finitos, 45o. Sem. Bras. de Análise, Florianópolis, SC, [5] L. A. Souza e C. A. Moura, Diferença Finita de Quarta Ordem para Integração Explícita no Domínio do Tempo de Problemas Elastodinâmicos, XVIII CILAMCE, V.1, pp , Brasília, DF, [6] D. R. J. Owen e E. Hinton, Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice, Pineridge Press Ltd., [7] D. R. J. Owen e A. J. Fawkes, Engineering Fracture Mechanics: Numerical Methods and Applications, Pineridge Press Ltd., [8] R. D Cook, D. S. Malkus, e M. E Plesha, Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Jonh Wiley & Sons, [9] K.-J. Bathe, Finite Element Procedures, Prentice Hall,1996. [10] Y. M. Chen, Numerical Computation of Dynamic Stress Intensity Factor by a Lagrangean Finite Diference Method, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 7, pp , [11] L. P. S. Barra, Aplicação do M.E.C. à Mecânica fa Fratura Elastodinâmica com Funções de Green Numéricas, Tese de D.Sc., COPPE/UFRJ,

9 [12] A. H. S. Oliveira, Análise da Confiabilidade de Estruturas Planas e Axissimétricas com Trincas, Tese de D. Sc., COPPE/UFRJ, [13] W. Chen, e C. Wu, On Elastodynamics Fracture Mechanics Analysis of Bi-Material Structures Using Finite Element Method, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 15, pp ,