UMA FERRAMENTA COMO AUXÍLIO NO ENSINO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS NA ENGENHARIA

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1 UMA FERRAMENTA COMO AUXÍLIO NO ENSINO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS NA ENGENHARIA Marco A. Holanda de Castro 1 Ph.D. e José L. da Rocha Neto 2 Universidade Federal do Ceará 1 Campus do Pici, Bloco 713, CEP , Fortaleza- CE marco@ufc.br Universidade Federal do Ceará 2 Campus do Pici, Bloco 713, CEP , Fortaleza- CE sup_boy@hotmail.com Resumo. O programa ED-ELAS2D é bastante importante para se poder entender o método de elementos finitos. Este programa é constituído de 3 fases de cálculo sendo a primeira a construção da malha e de seus componentes básicos, a segunda é o cálculo da matriz de rigidez, vetor de forças, sistema linear e outros e a terceira é a representação em 2 planos da tensão em cada elemento. Este programa foi utilizado como um auxílio didático na disciplina de elementos finitos do Mestrado de transportes com um bom aproveitamento. Palavras-chave: Programa, ED-ELAS2D, Malha, Tensão. MTE - 278

2 1. INTRODUÇÃO O método dos elementos finitos é uma importante ferramenta para cálculo de tensões e deformações em Estruturas. Para um pavimento é importante porque para um determinado carregamento dá para saber qual a deformação ou tensão em um determinado ponto. Este programa oferece uma abordagem simples e clara do método dos elementos finitos executando o cálculo de uma malha de uma figura plana, neste caso ele se limita até uma malha com 30 elementos, mais do que 30 elementos o programa não reconhece. Logan [1] diz que em muitos problemas de engenharia, uma análise bidimensional pode ser feita sem prejuízo da solução, problemas de deformações planas e de tensões planas são dois tipos de problemas que podem ser analisados bidimensionalmente. O programa trabalha com elementos isoparamétricos, é um tipo de elementos finitos, e na 3 fase mostra a representação da malha com os cálculos efetuados. O programa foi encontrado em um site 2. METODOLOGIA O programa ED-ELAS2D trabalha com um tipo de elementos finitos denominado elementos isoparamétricos. O programa possui 3 fases de desenvolvimento: pré-processo, processo e pós-processo. No pré-processo apresentaremos a construção de cada elemento formando uma malha, com a colocação das forças pontuais em cada nó, servindo como um ensinamento básico de como se construir uma malha com seus componentes. No processo apresentaremos o cálculo nas diversas etapas de maneira bem seqüenciada. No pós-processo apresentaremos como a tensão e a deformação se distribuem em cada elemento. 3. RESULTADOS O programa ED-ELAS2D oferece um bom manuseio didático por ser de fácil entendimento o que faz com que os alunos aprendam o método dos elementos finitos de maneira bem prática. Nas figuras abaixo apresentaremos os passos para poder calcular a matriz de rigidez e o vetor de carga nodal de cada elemento. Vale ressaltar que no decorrer dos cálculos há a transformação de coordenadas naturais em cartesianas utilizando para isso o módulo do determinante de jacobi. De acordo com Reddy [2] um sistema de coordenadas natural é um sistema local que permite a especificação de um ponto dentro de um elemento através de um número adimensional cuja magnitude máxima é a unidade. Segundo Akin [3] as denominações i, j e m dos nós de um elemento ( no caso de um elemento triangular) servem apenas como denominações convenientes durante o processo de geração das matrizes dos elementos, no processo de montagem da matriz de rigidez e do vetor de carga global, são as denominações globais dos nós que determinarão as localizações dos componentes nas matrizes de rigidez global ( [K] ) e no vetor de carga global ( f ). De acordo com Segerlind [4] após as matrizes de rigidez e os vetores de carga nodal dos elementos serem conhecidos, o sistema global é montado, tendo como base a continuidade da função nos nós dos elementos, após a montagem do sistema global, as condições de contorno do problema específico devem ser impostas. Figura 1. 1 passo: O cálculo da matriz de rigidez MTE - 279

3 Figura 2. 2 passo: Apresentação das coordenadas e da função de forma com os componentes a serem calculados para se calcular a matriz de rigidez de cada elemento. Figura 3. 3 passo: Cálculo da submatriz K11 com a representação da função de forma N1 Figura 4. 4 passo: Cálculo da matriz de deformações B1 Transposta Figura 5. 5 passo: Matriz de deformações com seus respectivos valores numéricos MTE - 280

4 Figura 6. 6 passo: Após o cálculo da matriz de deformações transposta retorna-se a primeira representação Figura 7. 7 passo: Cálculo da matriz constitutiva com o coeficiente de poisson e do módulo de elasticidade Figura 8. 8 passo: Cálculo da matriz de deformações B Figura 9. 9 passo: Confirma-se a espessura do elemento: 2.00 MTE - 281

5 Figura passo: Cálculo do módulo do determinante de jacobi Figura passo: Coordenadas e valor do peso do ponto de gauss Figura passo: Cálculo da submatriz de rigidez Figura passo: Preenchimento da matriz de rigidez global MTE - 282

6 Figura passo: Cálculo do vetor de força nodal Figura passo: Coordenadas globais e locais com a função de forma do elemento Figura passo: Cálculo do vetor de carga do nó1 Figura passo: Valor numérico da função de forma associada ao nó com as coordenadas do ponto de gauss MTE - 283

7 Figura passo: Constante de forças equivalente do peso próprio Figura passo: Cálculo do vetor c Figura passo: Cálculo do módulo do determinante de jacobi Figura passo: Coordenadas do ponto de gauss e o valor do peso 5. CONCLUSÕES Figura passo: Cálculo do subvetor de forças O programa ED-ELAS2D é restrito a uma malha com menos de 30 elementos e só serve para 2 dimensões, isso faz com que ele sirva apenas como material didático. O seu acompanhamento com certeza propiciará um bom aprendizado. Possíveis dúvidas podem ser esclarecidas usando a ajuda do programa como mostra a fig.23 abaixo. MTE - 284

8 Agradecimentos Figura 23. Utilização da ajuda do programa para entender o seu funcionamento Os autores agradecem aos alunos da disciplina de elementos finitos do mestrado pela atenção e interesse pelo programa ED-ELAS2D. 6. REFERÊNCIAS [1] D.L. Logan, A First Course in the Finite Element Method, PWS PublishingCompany, Massachussets, 1992, p. 85. [2] J.N. Reddy, An Introduction to Finite Element Analysis, Segunda Edição, McGraw-Hill, New York, 1993, p [3] J.E. Akin, Finite Element for Analysis and Design, Academic Press, London, 1994, p. 34. [4] L.J. Segerlind, Applied Finite Element Analysis, Segunda Edição, John Wiley & Sons, New York, 1984, p. 54. MTE - 285