AE-49 - AEROELASTICIDADE Aeroelasticidade Estática - Torção de asas Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA/IEA
Divergência de uma asa Caso de estudo divergência de uma asa sem enflechamento, com rigidez igualmente distribuída ao longo da envergadura. Hipóteses: Alongamento grande, pequenas deformações, de forma a permitir que a asa seja modelada por uma equação diferencial linear; Pode-se assumir a teoria de St. Venant, e a asa pode ser idealizada como um conjunto de pequenas seções de asa justapostos ao longo da envergadura.
Modelo estrutural da asa contínua V ¼ c T y ( ) = dθ GJ dy cg e d L t(y) Eixo elástico θ c x T Aproximação da asa por uma viga dy tdy V y Condição de contorno dt dt Σ M y = 0 = T tdy T + dy = t dy dy dy
Modelo estrutural da asa contínua Assume-se que a estrutura está sujeita a uma distribuição de torque t(y) contínua, ao longo da envergadura, com sinal positivo, o que representa um momento de cabrar de cada seção. Da teoria de St. Venant, pode-se relacionar as equações de equilíbrio com as forças atuantes: T y ( ) dθ = GJ dy dt d dθ = GJ = t( y) dy dy dy
Esforços aerodinâmicos Os esforços aerodinâmicos atuantes são função das deformações estruturais, e neste caso assume-se um primeira aproximação onde a interferência aerodinâmica; A equação anterior pode ser empregada para calcular a divergência de uma asa como a indicada na figura anterior.
Modelo aerodinâmico Teoria das faixas: Assume que não existe interferência aerodinâmica entre faixas que discretizam a asa ao longo da envergadura. l y = qcc = qcc + ( ) α ( α θ) l l o α t y = qcec α α + θ + qc C + nmgd ( ) ( ) Desta forma o carregamento aerodinâmico pode ser facilmente assumido como a soma dos carregamentos aerodinâmicos de infinitas seção típicas distribuídas ao longo da envergadura. α l o mac
Equações de equilíbrio - Momentos raiz T dy t dy T+dT/dy V ponta y dt dy = t y ( ) dt d dθ = GJ = t( y) dy dy dy ( ) ( ) t y = qcecl α αo + θ + qc Cmac + nmgd d dy dθ GJ + qcecl αθ = qcec + l o qc c + mac nmgd dy ( ) αα
Solução da Equação diferencial d θ qcec l α + θ dy = GJ e λ = ( ) l o mac lα = qcec αα + qc c + nmgd / GJ θ Que possui solução na forma Fazendo + λ θ = qcec GJ simplificamos para ( y) = Asin y+ Bcos y / θ λ λ λ
Condições de contorno Para resolvermos o problema precisamos definir condições de contorno. Para particularizar a nossa solução: θ y = Asin λy+ Bcos λy / λ ( ) A forma de particularizar é aplicar as condições de contorno que caracterizam o nosso problema, isto é uma asa reta, sem afilamento engastada na raiz e com distribuição constantes das propriedades de rigidez (G e J) Engastamento na raiz: θ λ λ ( 0) = 0= B B = Momento na ponta da asa (em y = L) é nulo: T( L) = GJθ ( L) = 0= GJ AλcosλL λsinλl λ
Condições de contorno Resolvendo as equações resultantes da aplicação da condição de Contorno, temos A e B definidos pela relações anteriores chegando a: θ( y) = 1 cos λy ( tan λl)( sin λy) λ c c mac nmgd θ( y) = αo + + 1 cosλy ( tan λl)( sin λy) e Cl α qcec lα Esta equação representa a distribuição de torção de uma asa reta e Alongada, sujeita a um carregamento aerodinâmico que a deforma em Torção.
Amplificação da torção Note que temos um termo que pode se tornar infinito dependendo do seu argumento; Pode portanto associar este comportamento a um critério de divergência. θ( y) = 1 cos λy ( tan λl)( sin λy) λ tan(λl) 10 8 6 4 0 0 π/10 π/10 3π/10 4π/10 λl π/ λl = π
Critério de divergência: Do resultado apresentado graficamente, podese estabelecer o seguinte critério: λ q D π qcecl α = = L GJ π GJ π GJ 1 = = L ceclα L c LeCl α Pode-se fazer uma analogia deste resultado com o obtido para a seção típica, a pressão dinâmica é diretamente proporcional a rigidez e inversamente proporcional a área da asa.
Solução formal para a divergência Um resultado importante que foi observado na seção típica, é que a divergência é uma fenômeno associado a estabilidade da estrutura e, consequentemente independe de forças externas atuantes. Desta forma podemos estudar a equação que representa a distribuição de torção para asa na sua forma homogênea: d θ dy qcec l GJ α + θ = 0
Solução elementar Assume-se as mesmas condições do caso anterior, e consequentemente A e B serão diferentes. d θ dy qcec l GJ θ α + = 0 θ y A λy B λy ( ) = sin + cos Conhecida a solução elementar, e considerando conhecido A e B, pode-se partir para o estudo da estabilidade do sistema aeroelástico.
Critério de estabilidade de Euler Do equilíbrio estático, chega-se a relação geral entre força e deslocamento em regime linear: { F} = [ ]{ u} Assumindo que existe uma pequena perturbação u p, que se soma a condição de equilíbrio estático discriminada daqui por diante como u s, tem-se os seguinte conjunto de equações: (Leonard Euler, matemático suíço, 1707-1783)
Critério de estabilidade de Euler [ ]{ u} = [ ]{ u + u } = { F} p s (acrescentamos a perturbação) [ ]{ u } + [ ]{ u } = { F} S Porém, do equilíbrio estático temos: [ p u = F u = ]{ } { } [ ]{ } { } { u } {} p = 0 s [ ] = [ 0] p Solução trivial Caracteriza um estado de estabilidade neutra 0
Critério de estabilidade de Euler Se então: [ ]{ u } = { 0} e { u } { 0} p A equação derivada do determinante de [] deve ser nula (Δ=0); Δ=0 é a equação característica, e as suas raízes são os auto-valores do sistema; É um polinômio de ordem N, onde N é a dimensão da matriz [] Se Δ>0 o sistema é estável Se Δ<0 o sistema é instável Determinante de uma matriz: A condição para que se tenha solução não nula para u p, só existe se det[] = 0! p
Nosso caso de estabilidade... ( ) θ ( ) 0 T L = GJ L = ( L) A cos L B sin L 0 θ = λ λ λ λ = A( λcos λl) + B( λsin λl) = 0 ( ) θ ( 0) = 0 θ 0 = Asinλ0+ Bcosλ0= 0 A(0) + B(1) = 0 0 1 A 0 ( λcos λl) ( λsin λl = ) B 0
Determinante de estabilidade λ 0 1 A 0 ; λcosλl 0 ( λcos λl) ( λsin λl = Δ= = ) B 0 λl = π, 3π,... ( n +1)π Soluções para a equação onde o determinante se anula. O menor valor deste conjunto é a pressão dinâmica de divergência. Como: qcec π = λ L = GJ 4 lα π qcecl α π GJ = q D = 4L GJ L ceclα λ L = π λ 4 = q Dcec lα L GJ é o autovalor!
Efeito no ângulo de torção twist angle 1.75 1.50 1.5 1.00 0.75 0.50 75% divergence q 50% divergence q 0.5 10% divergence q 0.00 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 nondimensional distance from wing root
Exemplos de Aplicação V elastic axis M s fuselage b flexible attachment T(0) y(0) V line of aerodynamic centers c y b y y(b) Divergência de uma asa com engaste flexível θ + λ θ = 0 λ = qcec l α GJ M s T θ( 0) T( 0) = GJ θ ( 0) T θ 0 ( ) = GJ θ ( 0)
Condições de contorno V M s T(0) y T GJ θ 0 y(0) b y(b) ()= θ () Tb ()= GJ θ b 0 θ b ()= 0 ( ) = 0
Determinante de Estabilidade θ(y) = Asin λy + Bcosλy θ (y) = Aλ cos λy Bλ sinλy T GJ θ 0 ()= θ () 0 B T b GJ = Aλb Aβλb B = 0 β = GJ b T O sistema de equações pode ser representado da mesma forma do caso onde o engaste da asa é rígido. Define-se o parâmetro β como sendo a forma de representar o quanto o engaste é rígido com relação a rigidez em torção da asa.
Determinante de Estabilidade A torção na ponta da asa por sua vez é nula, o que implica em uma condição a mais que permite montar o sistema de equações para definir A e B. βλb λ cosλb θ (b) = Aλ cos λb Bλ sin λb = 0 O sistema de equações, escrito na forma matricial fica portanto: 1 A λ sinλ b B = 0 0 E o determinante de divergência aeroelástica é dado por: Δ=λ( βλbsin λb + cosλb)= 0
Equação de estabilidade ( b b b) Δ= λ βλ sin λ + cosλ = 0 βλbsin λb+ cosλb= 0 cos λb= βλbsin λb tan λb = 1 βλb. Equação transcendental -> λ = qcec lα GJ β = GJ b T function value 10 8 6 4 0 tan λb 1/λb divergence β=0.75 divergence β=0.5 divergence β=0.15 0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 dynamic pressure parameter (λb/π) clamped root divergence
Resposta final Velocidade relativa de divergência 1.00 0.75 0.50 0.5 0.00 0 β=0.5 1 clamped support β=0 more flexible attachment Parâmetro de rigidez relativa β 3 4 5
O efeito do enflechamento
Considerações iniciais Asas podem ter o seu enflechamento positivo ( para trás ), ou negativo ( para frente ) Para que enflechar para frente? Tentar diminuir a distância entre o centro aerodinâmico e o centro de gravidade da aeronave; Melhorar características de controlabilidade longitudinal para o caso de aeronaves com pouco volume de cauda, uma vez que a eficiência de sustentação aumentada; Diminuir efeito de arrasto de onda no regime transônico.
Efeitos de Wash in e Wash Out São resultantes do acoplamento de um movimento de flexão que induz uma torção
Aeroelasticidade estática de asas enflechadas. Objetivo Determinar como a flexão, não somente a orçào como se viu antes, muda o carregamento em asas enflechadas; Apresentação de modelos aerodinâmicos e estruturais simples.
Efeito do Enflechamento Enflechamento: Método das componentes de velocidade Usualmente, a asa é discretizada em faixas, cuja corda de cada seção típica é perpendicular ao seu eixo elástico; Entretanto, se a asa é enflechada, o eixo elástico também será;
Efeito do Enflechamento Quando a asa é enflechada, deve-se observar que as seções típicas, definidas perpendiculares ao eixo elástico, não estão alinhadas com o escoamento; Emprega-se a solução aerodinâmica bidimensional para resolver o problemas por faixas (aproximação); Entretanto, alguns termos novos surgirão nas relações de sustentação e momento, pois existirá um acoplamento do movimento de flexão que induzirá uma torção nas faixas alinhadas com o escoamento não perturbado; O primeiro passo será escrever a velocidade de deformação da asa na direção vertical como função de coordenadas de um novo sistema de eixos, onde um deles é coincidente com o eixo elástico da asa.
Efeito do Enflechamento Ref. NACA-REPT-1014
Efeito do Enflechamento Sendo s o eixo alinhado com a direção da envergadura e coincidente com o eixo elástico; e r perpendicular a s, um deslocamento Z escrito neste novo sistema de coordenadas é uma função: Z = Z(r,s,t). (na figura, y = s) E a condição de contorno, ou seja o normalwash induzido pela superfície da asa é: Z W(,) r s = V0 (,) r s ξ onde a coordenada ξ é paralela com o escoamento não perturbado. Define-se o normalwash (ou downwash) como sendo a velocidade normal induzida pelo deslocamento da asa sujeita ao escoamento V 0. Z Z r Z s Z Z ξ //V 0 = + = cos Λ + sin Λ ξ r ξ s ξ r s
Efeito do Enflechamento Condição de contorno: Z W ( r, s) = V0cosΛ + V0sinΛ r Porém o deslocamento na direção do eixo Z pode ser escrito como uma função de h(s) e α(s), graus de liberdade da seção típica : (, ) = ( ) α ( ) onde se considerou que e Substituindo esta última relação na condição de contorno: Z s Z r s h s r s cosα 1.0 sinα α W ( r, s) = V0cosΛ h( s) r α( s) + V0sinΛ h( s) r α( s) r s h α W ( r, s) = V0cosΛ α ( s) + V0sinΛ ( s) r ( s) s s
Efeito do Enflechamento Portanto, sobre o eixo elástico (r = 0) temos a expressão final para o ângulo de ataque no sistema rotacionado, a partir da expressão para o downwash: h α W ( r, s) = V0cosΛ α ( s) + V0sinΛ ( s) r ( s) s s h( s) W( r, s) = V0cosΛ α ( s) + V0sinΛ s Como V n = V 0 cos(λ), o ângulo de ataque observado pela seção típica com corda normal ao eixo elástico é dado por: (, ) ( ) W r s h s = αs ( rs, ) = α( s) tanλ V0 cos Λ s
Efeito do Enflechamento Mudando a notação, temos: 0 (, ) W r s = αs ( rs, ) = θ φtanλ V cos Λ ( ) h s s = φ Inclinação local do eixo elástico deformado em flexão Ou seja, fica claro agora que o ângulo de ataque efetivo na seção típica é composto por uma componente devido a torção (θ) e uma componente devido a flexão (φ.tanλ), que depende do enflechamento. Note que se o ângulo de enflechamento for positivo (para trás), temos o fenômeno de wash out. Por outro Lado, se Λ for negativo, (para frente) temos o wash in.
Exemplo simplificado: Asa rígida com engastes flexíveis Vamos estudar um primeiro modelo simplificado, cujo propósito é entender o efeito do enflechamento. Supõem-se que a asa é rígida e engastada através de molas que restringem movimento de corpo rígido que em flexão e torção.
Sistemas de eixos φ sin Λ Λ D 1 V C φ B A section 1-1 A letra N 1 1 V r d 1 A A f b Λ Flexão gera sustentação? s V α o V cos Λ c B C C Molas que resistem a deslocamentos verticais B Cuidado! b aqui é envergadura...
Acoplamento tipo flexo-torção Pela figura abaixo, pode-se entender com funciona o acoplamento entre o modo de flexão e a torção induzida a uma seção de asa enflechada, alinhada com o escoamento aerodinâmico. Λ V C 1 D φ B A 1 1 Os segmentos CD e AB acompanham o movimento vertical devido a flexão sem torcer. Por outro lado o segmento CB desloca-se verticalmente, porém ele torce, pois o ponto B desloca-se mais no sentido vertical que o ponto C. O segmento CB representa a seção da asa alinhada com o escoamento. φ sinλ Λ section 1-1 V
Sustentação na asa flexível r d L 1 A A f b Λ V s α o V cos Λ B B qn αo = qncbao + θ φtan Λ cos Λ c C C Para calcular o carregamento aerodinâmico na seção típica, que por razões estruturais é perpendicular ao eixo elástico, leva-se em conta a componente de escoamento não perturbado normal a este eixo. = qcos Λ
Ângulo de ataque efetivo α α c freestream v = = αo + θ cos Λ φ sin Λ V (a expressão acima obtivemos da condição de contorno a pequenas Perturbações expressão para o downwash) Entretanto, queremos o ângulo de ataque percebido pela seção típica. v αo θ cos Λ φ sin Λ = αcorda = = + V cos Λ cos Λ cos Λ cos Λ Estrutural ou na direção da corda... α = θ φtan Λ estrutural
Sustentação da asa flexível Portanto, para o cálculo da sustentação na asa assumindo a teoria Das faixas, devemos calcular a sustentação em cada faixa empregando a pressão dinâmica equivalente. qn = qcos Λ Componente de velocidade normal ao eixo elástico da asa. αo L= qncbcl α + θ φtan Λ cos Λ Note que esta sustentação é calculada com relação a seção típica, ou seja empregando o ângulo de ataque estrutural, mais A contribuição de um ângulo de ataque inicial α 0
Modelo estrutural simplificado Assumiu-se que as molas que restringem os movimentos de corpo rígido da nossa asa enflechada são representadas pelas molas 1 e, dispostas com uma excentricidade f e d, respectivamente; Estas molas podem ser representadas por molas que restringem os graus de liberdade em flexão na forma da derivada da deformação ao longo da envergadura e no sentido vertical, e o grau de liberdade em torção da asa. = θ f = d 1 φ
Carregamento aerodinâmico O carregamento aerodinâmico para o nosso problema pode ser aproximado por: b 0 b 0 b αo l s ds qnccl α = θ φtan + Λ cosλ αo l e ds = qnccl eb θ φtan α + Λ cos Λ 1 1 qn = ρvn = ρv cos Λ = qcos Λ ( ) ( ) Onde: Note que na realidade são momentos resultantes da distribuição do carregamento aerodinâmico ao longo da envergadura b, no sentido deste e no sentido da corda.
Equilíbrio estático : momentos associados à flexão e torção Equilíbrio em flexão (φ) φ φ b φ = l s ds o ( ) b αo φ = qnccl θ φtan α + Λ cosλ Equilíbrio em flexão (θ) θ θ ( ) θ = le dy αo θ = qnccl eb θ φtan α + Λ cos Λ Chegamos a um sistema de duas equações e duas incógnitas.
Parametrizando o problema t = tan Λ Q = qc n bcl α Equações para o equilíbrio estático supondo ângulo de ataque inicial b b b 0 t φ φ Qα o φ Q 0 = + θ θ cos Λ θ e te e Note que a matriz de rigidez estrutural é desacoplada, porém a matriz aeroelástica representará um acoplamento de natureza aerodinâmica. b b b 0 t φ φ Qα o Q = 0 θ θ cos te e Λ e
( ) ( ) Λ = + e b Q Qe Qte Qb Qtb o cos α θ φ θ φ [ ] Λ = e b Q o ij cos α θ φ ou Sistema aeroelástico Resultando em :
Resposta aeroelástica Resolve-se o sistema de equações para obter φ e θ : ( ) ( ) 1 b Qtb Qb φ Qα o φ + = θ cos Λ ( Qte) ( θ Qe) e φ = Qbα 0 1 cosλ b tan Λ φ φ + Q e θ Qbα 0 1 θ = cos Λ θ b tan Λ θ + Q e φ
Estabilidade do sistema Utilizamos o critério de estabilidade de Euler para estudar a estabilidade do sistema, chegando a uma equação para o parâmetro Q (não confundir Q com q de pressão dinâmica!) Δ = Qbt = ( Qe) φ + θ + bet Q Δ = θ φ + Q θ bt φ e
Condição de divergência Δ = 0 q D = cos Λ1 Q D θ = b e e Sea φ o θ φ θ φ θ bt tan Λ Q q cba Ou agora, isolando a pressão dinâmica associada à velocidade de escoamento não perturbado temos: = n o O que acontece se Λ for igual a zero?
Fazendo o denominador igual a zero: 0 tan 1 = Λ critical e b φ θ Λ = Λ θ φ θ φ b c c e b c c e crit tan tan 1 Sem divergência: Análise do enflechamento Implica em uma pressão dinâmica de divergência infinita.
Exemplo e c = 0.1 sweep angle for divergence suppression (degrees) 10 8 6 4 0 0.0 0.5 Critical sweep angle vs. stiffness ratio aspect ratio b/c=5 1.0 1.5 aspect ratio b/c=4.0.5 aspect ratio b/c=6 3.0 3.5 4.0 b c = 4,5,6 Se a razão entre as rigidezes em flexão e torção for 3, temos Λ cr = 5.71 º. Ou seja se asa for enflechada mais de 5.71o, nunca teremos divergência. φ/θ
Eficiência de sustentação Eficiência de sustentação é definida como a razão entre a sustentação produzida por uma asa flexível e a sustentação produzida pela mesma asa, porém considerando-a rígida. L rigida = qsc α α cos Λ L o flexível αo L = qnscl α + θ φtan Λ cos Λ Onde, q n = q cos Λ emprega-se a pressão dinâmica normal ao eixo elástico.
Eficiência de sustentação Substituindo os ângulos da inclinação devido a flexão e devido a torção, obtidos da solução do sistema de equações, na relação: Temos: flexível αo L = qnscl α + θ φtan Λ cos Λ L qsc tan 1 Q e n L αα Qb o φ θ = + cos Λ Δ Δ Λ
Sustentação da asa flexível 1 L = qsc L αα o cos Λ Q btan Λ 1+ θ e φ θ φ Fazendo: Q= Q D = qnscl α φ e φ θ θ b tan Λ
Eficiência da sustentação D o o Q Q qsa L Λ = 1 cos α 1 cos 1 flexível rígido o o D L L q qsa L q α = = Λ tan Λ = b e Q D θ φ θ φ n L Q q SC α = Onde: Λ Λ = tan 1 cos φ θ θ e b Sea q o D
Exemplo Numérico Λ Λ = tan 1 cos 0 φ θ e c c b q q D / 50 ft lb q o = o Λ = 30 Sendo as condições: = 6 c b = 0.1 c e = 3 θ φ
Eficiência de sustentação - final.0 lift effectiveness vs. dynamic pressure unswept wing lift effectiveness 1.5 1.0 0.5 15 degrees sweep unswept wing divergence 0.0 0 30 degrees sweep 50 100 150 00 50 dynamic pressure (psf) 300 350