Revisão II: Sistemas de Referência

Revisão II: Sistemas de Referência

sistema terrestre fixo (ex.: NED) origem: ponto fixo sobre a superfície da Terra zi : vertical, apontando para o centro da Terra xi e y I : repousam sobre o plano horizontal sistema terrestre móvel eixos paralelos ao fixo origem no CM sistema inercial: ECI, solar, ou terrestre fixo dependendo da aplicação sistema do corpo ( body reference frame BRF, body axes ): velocidades e acelerações da aeronave sistema aerodinâmico: resultante aerodinâmica sistema propulsivo: tração transformação entre sistemas de referência

sistema do corpo, body axes (Cx b y b z b ): utilizado em estabilidade e controle, simulação de vôo e para referenciar grandezas dinâmicas medidas por sensores fixos à estrutura da aeronave como acelerações e velocidades angulares. origem C : CM do veículo; x b roll CM z b pitch yaw y b longitudinal axis eixo-x b : aribitrário, mas normalmente coincide com a linha de referência da fuselagem; eixo-z b : no plano de simetria da aeronave, apontando para fora do ventre da aeronave; eixo-y b : completa um triedro ortogonal dextrógiro

sistema aerodinâmico (Cx a y a z a ): também chamado de sistema de trajetória em relação ao ar, utilizado nos estudos de desempenho de aeronaves e para expressar as forças aerodinâmicas origem C : CM da aeronave; x b a x a V b z b plano de simetria xb zb plano formado por xa e yb CM z a y b y a eixo-x a : coincide com o vetor velocidade da aeronave em relação ao ar ( vento relativo ) eixo-z a : no plano de simetria da aeronave, apontando para fora do ventre da aeronave eixo-y a : completa um triedro ortogonal dextrógiro

Os ângulos de Euler expressam a orientação relativa entre dois sistemas de referência. Rotações sucessivas, numa ordem determinada, levam um sistema a coincidir com o outro. Os três principais conjuntos de ângulos de Euler usados na mecânica do vôo são: sistema terrestre móvel sistema do corpo: ψ, θ, φ (proa, atitude longitudinal, inclinação lateral) sistema terrestre móvel sistema aerodinâmico: χ, γ, µ (rumo, ângulo de trajetória, rolamento aerodinâmico) sistema aerodinâmico sistema do corpo: β, α, 0 (ângulo de derrapagem, ângulo de ataque)

Do sistema terrestre para o sistema do corpo são necessárias três rotações sucessivas: x b x 3 rotação de ψ em torno do eixo ϕ z y 1 θ 1 (vertical) x 2 y 2 y 3 (x 1, y 1, z 1 ) (x 2, y 2, z 2 ) x 1 CM y b rotação de θ em torno do eixo y 2 ψ y (x 2, y 2, z 2 ) (x 3, y 3, z 3 ) E x E O rotação de φ em torno do eixo z 3 x 3 x b do corpo z b z 1 z 2 sistema terrestre fixo z E (x 3, y 3, z 3 ) (x b, y b, z b )

1 a rotação: ângulo ψ em torno do eixo z do sistema terrestre móvel. No final o eixo x está no plano ox b z b do corpo. u 2 = u 1 cos ψ + v 1 sin ψ v 2 = u 1 sin ψ + v 1 cos ψ w 2 = w 1 u 2 v 2 w 2 = cos ψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ 0 0 0 1 } {{ } L ψ u 1 v 1 w 1

2 a rotação: ângulo θ em torno do eixo y do primeiro sistema intermediário. No final o eixo x do segundo sistema intermediário coincide com o do corpo. u 3 = u 2 cos θ w 2 sin θ v 3 = v 2 w 3 = u 2 sin θ + w 2 cos θ u 3 v 3 w 3 = cos θ 0 sin θ 0 1 0 sin θ 0 cos θ } {{ } L θ u 2 v 2 w 2

3 a rotação: ângulo φ em torno do eixo x do segundo sistema intermediário. No final todos os eixos coincidem. u = u 3 v = v 3 cos φ + w 3 sin φ w = v 3 sin φ + w 3 cos φ u v w = 1 0 0 0 cos φ sin φ 0 sin φ cos φ } {{ } L φ u 3 v 3 w 3

Matriz de rotação para passar do sistema terrestre para o sistema do corpo. L bt = L φ L θ L ψ = cos θ cos ψ cos θ sin ψ sin θ sin φ sin θ cos ψ cos φ sin ψ cos φ cos ψ + sin φ sin θ sin ψ sin φ cos θ cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ sin φ cos ψ + cos φ sin θ sin ψ cos φ cos θ Como a matriz L bt é ortogonal, a transformação inversa é bastante simples: L tb = L 1 bt = L T bt = cos θ cos ψ sin φ sin θ cos ψ cos φ sin ψ cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ cos θ sin ψ cos φ cos ψ + sin φ sin θ sin ψ sin φ cos ψ + cos φ sin θ sin ψ sin θ sin φ cos θ cos φ cos θ

Exemplo: força peso no sistema terrestre W t = força peso no sistema do corpo W b = L bt W t = 0 0 mg mg sin θ mg sin φ cos θ mg cos φ cos θ

Para melhor visualização:

Do sistema aerodinâmico para o sistema do corpo são necessárias DUAS rotações sucessivas: plano formado rotação de β em torno do por xa e yb eixo z a, pertencente por b x a V y b ao plano x b z b da aeronave (plano de simetria) x b a z b plano de simetria xb zb CM z a y a (x a, y a, z a ) (x e, y e, z e ) rotação de α em torno do eixo y e y b (x e, y e, z e ) (x b, y b, z b )

1 a rotação: ângulo β em torno do eixo z. No final os eixos y coincidem u 2 = u 1 cos β v 1 sin β v 2 = u 1 sin β + v 1 cos β w 2 = w 1 u 2 v 2 w 2 = cos β sin β 0 sin β cos β 0 0 0 1 } {{ } L β u 1 v 1 w 1

2 a rotação: ângulo α em torno do eixo y. No final, todos os eixos coincidem. u = u 2 cos α w 2 sin α v = v 2 w = u 2 sin α + w 2 cos α u v w = cos α 0 sin α 0 1 0 sin α 0 cos α } {{ } L α u 2 v 2 w 2

matriz de cos α cos β cos α sin β sin α L ba = L α L β = sin β cos β 0 sin α cos β sin α sin β cos α Exemplo 1: força de arrasto aerodinâmico no sistema aerodinâmico D a = D 0 0 força de arrasto aerodinâmico no sistema do corpo D cos α cos β D b = L ba D a = D sin β D sin α cos β

força de sustentação aerodinâmica no sistema do corpo 0 L sin α L b = L α 0 L = 0 L cos α força lateral aerodinâmica no sistema do corpo Y b = L ba 0 Y 0 = resultante aerodinâmica no sistema do corpo Y cos α sin β Y cos β Y sin α sin β A b = D b + Y b + L b = D cos α cos β Y cos α sin β + L sin α D sin β + Y cos β D sin α cos β Y sin α sin β L cos α

Exemplo 2: velocidade aerodinâmica no sistema aerodinâmico V V a = 0 0 velocidade aerodinâmica no sistema do corpo V cos α cos β V b = L ba V a = V sin β V sin α cos β = u v w Note que: α = arctan w u, β = arcsin v V, V = u 2 + v 2 + w 2

ψ, θ e φ são componentes não ortogonais de ω a velocidade angular φ já está no sistema do corpo; a velocidade angular θ necessita de uma rotação φ para ser expressa no sistema do corpo; a velocidade angular ψ necessita de duas rotações (θ e φ) para ser expressa no sistema do corpo. φ 0 0 0 + L φ θ + L φ L θ 0 0 0 ψ ω b = p q = r p q = r 1 0 sin θ 0 cos φ sin φ cos θ 0 sin φ cos φ cos θ φ θ ψ

Invertendo a expressão anterior obtem-se: φ θ ψ = 1 sin φ tan θ cos φ tan θ 0 cos φ sin φ 0 sin φ/ cos θ cos φ/ cos θ p q r Ou então: φ = p + tan θ(q sin φ + r cos φ) θ = q cos φ r sin φ ψ = q sin φ + r cos φ cos θ