Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos

Probabilidades e Estatística + Probabilidades e Estatística I Colectânea de Exercícios 2002/03 LEFT + LMAC Capítulo 5 Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos Exercício 51 Uma loja de electrodomésticos vende televisores das marcas 1 e 2 Seja X (Y ) o número de televisores vendidos diariamente da marca 1 (2) A função de probabilidade conjunta do par aleatório (X, Y ) é a seguinte: Y \X 0 1 2 0 012 025 013 1 005 030 001 2 003 010 001 (a) Calcule as funções de probabilidade marginais de X e de Y (b) Calcule a função de distribuição marginal de X (c) Calcule a probabilidade de que num dia a marca Y seja mais vendida do que a marca X (d) Determine o valor esperado e a variância do número total de televisores vendidos diariamente Exercício 52 Durante um treino de basquetebol um jogador efectua três lançamentos da linha de lançamento livre A probabilidade que ele tem de encestar em cada lançamento é de 06 e os lançamentos podem ser considerados independentes (a) Descreva o espaço de resultados associado aos três lançamentos da linha de lançamento livre 21

(b) Seja X a variável aleatória que representa o número de vezes que o jogador encesta nos dois primeiros lançamentos e Y a variável aleatória que representa o número de vezes que o jogador encesta nos dois últimos lançamentos i) Determine a função de probabilidade conjunta do par aleatório (X, Y ) ii) Determine as funções de probabilidade marginais de X e de Y Exercício 53 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias discretas com função de probabilidade conjunta dada por: Y \X 1 2 3 1 1/9 0 1/18 2 0 1/3 1/9 3 1/9 1/6 1/9 (a) Determine: i) A função de probabilidade marginal de X ii) A função de distribuição marginal de Y iii) P (X + Y 4) iv) As funções de probabilidade de X condicionais a Y = 1 e Y = 3 v) E[X Y = 1] (b) Defina E(X Y ) (c) Obtenha: i) Var(X Y = 1) ii) P (XY ser par) iii) P (Y = 2 XY 4) iv) F Y X=3 (y) (d) Diga, justificando, se X e Y são variáveis aleatórias independentes Exercício 54 Para ser admitido num certo curso um aluno tem que realizar duas provas, A e B, cujas classificações são independentes A classificação em cada uma das provas será de insuficiente (0), suficiente (1) ou bom (2) A probabilidade do aluno obter 0, 1 ou 2 nas provas A e B é apresentada em seguida: Classificação Prova A Prova B 0 02 02 1 05 06 2 03 02 Considere o par aleatório (X, Y ) onde: X = diferença (em módulo) das classificações nas provas A e B ; Y = soma das classificações das provas A e B 22

(a) Determine: i) A função de probabilidade conjunta do par aleatório (X, Y ) ii) As funções de probabilidade marginais de X e de Y iii) A função de distribuição marginal de X iv) A função de probabilidade de X condicional a Y = 2 (b) Diga, justificando, se X e Y são independentes (c) Calcule: i) Todas as funções de probabilidade de Y condicionais a X ii) E(Y X = 2) e Var(Y X = 2) iii) F Y X=0 (y) iv) P (Y = 2 XY = 0) v) P (X + Y ser ímpar) Exercício 55 A função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias, X e Y, é tal que: 1/10, x = 1, 2, 3, 4, y = 1, 2, 3, 4 e y x P (X = x, Y = y) = (a) Calcule o coeficiente de correlação de X e Y e diga, justificando, se as variáveis aleatórias são ou não independentes (b) Calcule E(X Y = 3) Exercício 56 Sejam X e Y variáveis aleatórias com função de probabilidade conjunta dada por: X\Y -1 0 1-1 0 1/4 0 0 1/4 0 1/4 1 0 1/4 0 Mostre que Cov(X, Y ) = 0 mas que X e Y não são independentes Exercício 57 Considere o par aleatório (X, Y ) cuja função de probabilidade é p 2 x y q x+y, x, y = 0, 1, 0 < p < 1, q = 1 p P (X = x, Y = y) = Responda às questões seguintes justificando as respostas: (a) Calcule Var(Z), onde Z = X + Y (b) Defina a variável aleatória E(X Y ) 23

(c) Apresente um exemplo de um par aleatório discreto (U, V ) com as mesmas funções de probabilidade marginais que (X, Y ), mas tal que P (U = x, V = y) P (X = x, Y = y) Exercício 58 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias contínuas com função de densidade de probabilidade conjunta 1/2, a x a, a y a, a IR + f (X,Y ) (x, y) = (a) Determine o valor de a (b) Serão X e Y variáveis aleatórias independentes? Justifique (c) Calcule a função de distribuição da variável aleatória Y Exercício 59 Considere o par aleatório com densidade conjunta 6(1 x y), 0 < y < 1 x, x > 0 f (X,Y ) (x, y) = (a) Serão X e Y variáveis aleatórias independentes? Justifique (b) Calcule a função de distribuição da variável aleatória X (c) Determine f X Y =y (x) (d) Calcule P (X < 1/4 Y = 1/2) (e) Calcule P (X < 3/4 Y > 1/2) Exercício 510 Considere para origem do eixo do tempo o horário de partida de certo comboio e para unidade um intervalo de 10 minutos Sejam X e Y o momento de chegada do passageiro à estação e o momento de partida do comboio, respectivamente A função de densidade de probabilidade conjunta do par aleatório (X, Y ) é dada por 1 + x(y 1)[x 2 (y 1) 2 ]}/4, x < 1, 0 < y < 2 f (X,Y ) (x, y) = (a) Calcule as funções de densidade de probabilidade marginais de X e de Y (b) Calcule a probabilidade de o passageiro apanhar o comboio Exercício 511 Duas pessoas combinam encontrar-se entre as 14 e as 15 horas ficando entendido que nenhuma delas esperará mais do que 15 minutos pela outra Assuma que iguais intervalos de tempo têm associadas iguais probabilidades de chegada individual de cada uma das pessoas Qual é a probabilidade de as duas pessoas se encontrarem? Exercício 512 Suponha que X Exponencial(λ), Y Exponencial(µ) e X e Y são independentes Devido a censura, é impossível observar X e Y directamente; em sua substituição observam-se Z e W, Z = min(x, Y ) e W = 1 Z = X 0 Z = Y 24

(a) Caracterize a distribuição conjunta de Z e W (b) Prove que Z e W são independentes Exercício 513 Considere a variável aleatória bidimensional contínua (X, Y ) com função densidade de probabilidade conjunta: f (X,Y ) (x, y) = (a) Calcule o coeficiente de correlação entre X e Y (b) Calcule Var(X Y = y) (c) Verifique que E[X] = E[E(X Y )] 2, 0 < x < y < 1 Exercício 514 Um homem tem n chaves e quer abrir uma porta O homem experimenta as chaves duma forma aleatória Seja N o número de tentativas necessárias para abrir a porta (a) Calcule E(N) e Var(N), se as chaves anteriormente experimentadas e que não abrem a porta: (i) forem eliminadas; e (ii) não forem eliminadas (b) Comente os resultados obtidos na alínea anterior Exercício 515 Seja N a variável aleatória que representa o número de clientes diários numa loja Suponha que as quantias gastas pelos clientes são independentes e têm valor médio µ e variância σ 2 Determine o valor médio e a variância da quantia total gasta diariamente na loja Exercício 516 Suponha que N pessoas vão a uma festa e colocam os seu chapéus no centro de uma sala onde se misturam completamente; no final da festa, cada pessoa retira ao acaso um chapéu Calcule o valor esperado e a variância do número de pessoas que, no final da festa, retiram o seu chapéu Exercício 517 A polícia sabe que um perigoso criminoso se encontra na cidade A com probabilidade 03, na cidade B com probabilidade 06 ou então fugiu do país Se ele estiver na cidade i e N i (i = A,B) polícias forem destacados para o capturar ele é apanhado com probabilidade 1 p N i (0 < p < 1); se tiver saído do país não é apanhado Admita que as variáveis aleatórias N i são independentes e com funções de probabilidade: P (N A = n) = 2n e 2, n IN 0 e P (N B = n) = 2 n, n IN n! (a) Qual é a probabilidade de um total de 3 polícias serem envolvidos na captura? (b) Qual é a probabilidade do criminoso ser capturado? (c) Sabendo que o criminoso foi capturado numa cidade em que k polícias o procuraram, qual é a probabilidade de ele ter sido capturado na cidade B? 25

Exercício 518 Sejam Z 1, Z 2,, Z N variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com valores em 1, 2,, k} e seja X N = número de valores distintos em Z 1, Z 2,, Z N (a) Calcule E(X N ), com N IN (b) Calcule E(X N ) no caso em que N Poisson(λ) e Z i Uniforme(1, 2,, k}) Exercício 519 Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes Mostre que: (a) Se X Poisson(λ) e Y Poisson(µ), então X + Y Poisson(λ + µ) (b) Se X Binomial(n, p) e Y Binomial(m, p), então (X + Y ) Binomial(n + m, p) (c) Se X Geométrica(p) e Y Geométrica(p), então (X + Y ) Binomial Negativa(2, p) (c) Se X Normal (µ X, σx 2 ) e Y Normal (µ Y, σy 2 ), então (X + Y ) Normal (µ X + µ Y, σ 2 X + σ 2 Y ) Exercício 520 O número de frutos produzidos por uma árvore é uma variável aleatória X Alguns destes frutos, em número de Y, são atacados por uma larva, o que os torna impróprios para consumo Supondo que X possui distribuição de Poisson de parâmetro λ e ainda que cada fruto é atacado pela larva com probabilidade p, independentemente dos outros frutos, determine: (a) A função de probabilidade de Y condicional a X = n, com n IN (b) A função de probabilidade de Y (c) Conclua que o número de frutos da árvore que são atacados por larvas (Y ) é independente do número de frutos que não são atacados por larvas (X Y ) e que estas variáveis aleatórias possuem distribuições de Poisson de parâmetros λp e λ(1 p), respectivamente (d) Suponha que Z e W são variáveis aleatórias independentes com distribuições de Poisson de parâmetros α e β, respectivamente Com base nos resultados das alíneas anteriores, adivinhe a distribuição de Z condicional a Z + W = n, n IN, e averigue da validade da proposta de distribuição que tenha sugerido Exercício 521 Componentes electrónicas para exportação são embaladas em caixas que por sua vez são metidas em contentores O peso, em gramas, de cada componente é uma variável aleatória X com distribuição exponencial de parâmetro λ, o número de componentes por caixa é uma variável aleatória N com distribuição de Poisson de parâmetro µ e o número de caixas por contentor é uma variável aleatória K com distribuição geométrica de parâmetro p Supondo que X, N e K são mutuamente independentes, determine: (a) A probabilidade de um contentor seleccionado ao acaso conter apenas uma componente (b) O valor esperado do peso total das componentes contidas num contentor 26

Exercício 522 Sejam X, Y e Z variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição geométrica de parâmetro p, 0 < p < 1 (a) Determine P (X = Y ) (b) Calcule a função de probabilidade condicional de X dado X + Y = n distribuição em causa Identifique a (c) Calcule P (X + Y = Z) Exercício 523 O diâmetro interior de um tubo cilíndrico é uma variável aleatória X com distribuição normal de valor esperado 3 cm e desvio padrão 002 cm e a espessura Y do mesmo tubo é uma variável com distribuição normal de valor esperado 03 cm e desvio padrão 0005 cm, independente de X (a) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do diâmetro exterior do tubo (b) Calcule a probabilidade de que o diâmetro exterior do tubo exceda 362 cm Exercício 524 Um dos elevadores dum grande edifício público transporta, no máximo, 20 pessoas de cada vez A carga máxima transportada pelo elevador é de 1300 Kg Os utilizadores deste elevador pertencem a um largo estrato duma população em que se verificou que o peso duma pessoa é aproximadamente normal com valor esperado 61 Kg e desvio padrão 10 Kg (a) Calcule a probabilidade do peso destes 20 utilizadores exceder a carga máxima (b) Sabendo que estão 15 pessoas no elevador com um peso de 950 Kg e que se espera a entrada de mais 5 pessoas para completar a lotação e iniciar a viagem, determine a probabilidade do peso total destes 20 passageiros exceder a carga máxima (c) Qual a probabilidade de haver nas 20 pessoas, que em certo momento viajam no elevador, - quando muito 2 com peso superior a 85 Kg? - pelo menos 1 com peso inferior a 40 Kg? (d) Acha que, em face do tipo de população que utiliza o elevador, a carga máxima indicada é adequada? Explique a sua opinião Exercício 525 A um sistema de comunicação chegam mensagens As mensagens só são enviadas em grupos de 5 Suponha que as mensagens chegam ao sistema de processamento de acordo com um processo de Poisson de taxa 30 por minuto (a) Qual é o tempo esperado que decorre entre dois envios sucessivos de grupos de 5 mensagens? (b) Determine a variância do tempo que decorre entre dois envios sucessivos de grupos de 5 mensagens (c) Qual é a probabilidade de que o tempo que decorre entre dois envios sucessivos seja inferior a 5 segundos? 27

Exercício 526 O tempo que decorre entre chegadas consecutivas de clientes a uma máquina distribuidora de dinheiro durante a hora de almoço é uma variável aleatória exponencial com valor esperado igual a 5 minutos (a) Determine a probabilidade de que cheguem mais de 3 clientes num período de 10 minutos (b) Qual é a probabilidade de ter de esperar menos de 15 minutos até chegar o quinto cliente? Exercício 527 Considere a população X com função densidade de probabilidade x, x < 1 f(x) = 0, x 1 e a amostra aleatória (X 1,, X 5 ) de X (a) Diga o que entende por amostra aleatória Determine a função densidade de probabilidade da amostra aleatória (X 1,, X 5 ) (b) Determine o valor esperado e a variância da média da amostra aleatória, e a variância da amostra (-09; 08; 095; -05; 075) que representa uma realização de (X 1,, X 5 ) (c) Calcule a probabilidade do menor valor da amostra aleatória considerada em (a) ser inferior a 1/7 e ainda a probabilidade de o maior valor da amostra aleatória ser superior a 1/7 Exercício 528 Um posto de transformação permite uma carga total de 2800KW Sabe-se que esse posto de transformação alimenta uma fábrica com consumo permanente de 2500KW e além disso o mesmo posto de transformação alimenta 100 consumidores domésticos Estes gastam em média 2KW em electrodomésticos (sendo o desvio padrão igual a 05KW) e 05KW com a iluminação (sendo o desvio padrão de 025KW) Determine a probabilidade do transformador disparar por excesso de carga, admitindo que os vários tipo de consumos domésticos são independentes e normalmente distribuídos Exercício 529 O tempo de produção de uma certa peça de porcelana é uma variável aleatória com distribuição exponencial de valor esperado 2 horas (a) Qual é a probabilidade de uma peça levar pelo menos 1h 45m a ser produzida? (b) Verificando-se que em certo momento uma peça já está a ser produzida há 45m, qual é a probabilidade de ser necessário esperar pelo menos 1h 45m para concluir a peça? Compare este resultado com o da alínea (a) e comente (c) Num dia em que a fábrica não tinha qualquer peça em stock foi aceite uma encomenda de 100 peças, tendo a fábrica assumido o compromisso de fornecer as peças no prazo máximo de 30 dias (o que corresponde a 240 horas de trabalho) Acha que a fábrica tem boas possibilidades de cumprir o seu compromisso? Justifique (d) A fábrica mantém os registos do tempo de execução de cada peça Seis peças foram escolhidas ao acaso Qual é a probabilidade de 4 delas terem sido excutadas no máximo em 1h 45m cada uma? 28

Exercício 530 Um estudante decidiu amealhar diariamente uma pequena quantia para comprar uma bicicleta As probabilidades do estudante amealhar 025, 050 e 125 euros em cada dia são respectivamente 03, 06 e 01 Calcule, justificando, a probabilidade do estudante amealhar mais do que 175 euros durante o ano (365 dias) Exercício 531 O tempo (em horas) que João Pestana dorme por noite é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo (7,12) (a) Calcule a probabilidade de João Pestana dormir mais de 11 horas numa noite (b) Calcule a probabilidade de, em 20 noites, João Pestana dormir mais de 11 horas em pelo menos 3 dessas noites (c) Qual é a probabilidade de João Pestana dormir mais de 1100 horas em 100 noites? Exercício 532 Um fabricante de chips informáticos comprou um novo equipamento para efectuar furos nas placas de circuito O diâmetro destes furos é uma variável aleatória com desvio padrão igual a 001, sendo que os diâmetros dos furos são consideradas variáveis aleatórias independentes Suponha que se usa a média do diâmetro de 500 furos como sendo um valor aproximado para a verdadeira média do diâmetro de um furo (a) A probabilidade do diâmetro médio de um furo estar dentro de certos limites é pelo menos 15/16; calcule os limites (b) Suponha que o diâmetro tem distribuição normal; determine limites para os quais a probabilidade de que a média dos 500 furos esteja próxima do valor esperado do diâmetro dentro dos referidos limites seja igual a 15/16 29