Cpíulo VII GEOMERIA ANALÍICA NO EAÇO
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço Cpíulo VII em de Coodend no Epço Ddo do em de oodend engule em R é poíel npondo um dee em gdmene no epço fe ond do do eo dee em dgmo o eo de um do em om o eo do ouo O endo do eo de um do em pode pó l npoe ond om o endo do eo do ouo o que mpl ondên do em ou e opoo ee O em dem-e gulmene oendo no pmeo o e de oenção opo no egundo É fál e po eemplo que oenção do em d pme fgu que qu é peend é opo à oenção do em O A d egund fgu Um em de oodend engule d-e pomene ou negmene oendo onfome eej oendo de odo om o em d egund fgu ou o em d pme fgu É fál ef ddo um em de oodend engule que um oedo olodo num pono do em-eo poo que oe o eo pondo p m oeá o eo pondo p de e o em de oodendo é pomene oendo e pondo p equed e o em é negmene oendo Ee fo ugee um poedmeno óo de deemnção d oenção de qulque em de oodend ddo O oneo de oenção pode e eenddo qulque pl odend de eoe não oplne o é não ompeendd num plno ou em plno plelo Am ddo um em de oodend engule ej - po e odem um pl de eoe não oplne om ogem em A Condeemo O A 9 of Al Dn
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço nfomção d pl que one em d o eo um oção no plno defndo pelo eoe é que e one - em que e enh ondo olne ne nfonção o é em que o ângulo ene e e enh ondo gul ou π - e em egud em d o eo um oção no epço em que oe o plno fomdo po e - é que e one pependul ee plno Reul m um pl de eoe oogon npondo gdmene e pl no epço pode-e fe ond o eoe e em deção e endo om o eo e epemene e ne ondçõe o endo de ond om o do eo d-e que pl de eoe nl e o em ão gulmene oendo pme fgu dendo-e em o onáo que oençõe ão opo egund fgu ejm j k o eoe unáo que êm mem deção e endo que o eo epemene Um eo áo de oodend ( ) e epeo n fom ( ) j k pode enão o ef oe que ( ) j ( ) k ( ) enão em-e j k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Idenfção de E om o Epço Euldno Denomn-e poduo el ou neno de do eoe ( ) ( ) de E el oodend endo po onegune númeo e nee o emo pudeem e ompleo - o númeo ( ) ( ) em E pmo fl mém em epço euldno ono e defnmo o poduo el Equçõe mé e Cen d Re ejm ( j k) um em de oodend ( ) e ( ) A um pono genéo e um pono ddo epemene d e e j k um eo 9 of Al Dn
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço om mem deção d e : D equção eol d e : A ( ) (A e p po um pono A k e em A ( ) deção de um eo não nulo O que j um pono do epço peenç à e é neeáo e ufene que o eoe A e ejm olnee: A logo A ) em enão A o é ( ) ( ) ( j k) ( ) j k ou ( ) ( ) j ( ) k j k ou nd: e n qu e não ão odo nulo ( ) ão denomnd equçõe pmé d e em elção o em de oodend fdo A e é o onjuno de odo o pono ( ) deemndo pel equçõe pmé qundo - denomndo pâmeo de Eemplo A equçõe pmé d e que p pelo pono ( ) A e em deção do eo j k ão: ( ) ( ) ( j k) j ( ) k j k - ão ( ) ( ) equçõe pmé e e fo deemnd po do pono A ( ) e B ( ) A B A equçõe pmé de eão: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 97 of Al Dn
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço of Al Dn 98 Eemplo A equçõe pmé d e que p pelo pono ( ) A e ( ) B ão ( ) ( ) ( ) ( ) A B A ( ) ( ) ( ) - equçõe pmé A deemnção d equçõe en f-e p d pmé deemnndo e uundo em e Logo eemo que e em ( ) ( ) eemo m equçõe en d e : ( ) ( ) Eemplo A equçõe en d e que p pelo pono ( ) A e em deção do eo ( ) eá deemnd é d equçõe pmé: omo mo ne logo e e ou melho ( ) e ( ) ou ( ) e e fo deemnd po do pono ( ) A e ( ) B equçõe pmé eão omo mo ( ) ( ) ( ) e enão:
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço logo ( ) e ( ) ( ) ( ) enão eemo Eemplo A equção en d e que p pelo pono ( ) A e ( ) B eá deemnd é d equçõe pmé: Logo eemo e e o é ( ) ( ) Equçõe mé e Cen do lno ej A um pono de um plno π e ejm u do eoe não olnee lnemene ndependene plelo π e fo um pono genéo do plno π eemo A hu : Qundo h e que denomnmo po u hu pâmeo m A de π k peoe o plno π Enão equção A hu é O denomnd equção j eol do plno π ejm ( j k) um em de oodend ( ) e ( ) genéo e um pono ddo epemene de um plno π ( ) ( ) A um pono u e do eoe não olnee plelo π D equção eol do plno π : A hu em A hu j k ou ( ) ( ) ( ) h hj hk j k ou nd h h h e 99 of Al Dn
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço h h E equçõe n qu não ão odo h nulo ão denomnd equçõe pmé do plno π em elção o em de oodend fdo O plno π é o onjuno de odo o pono ( ) pmé qundo h e m de deemndo pel equçõe Eemplo Deemne equçõe pmé do plno π que p pelo pono ( ) A e é plelo o eoe u j k e j k Degnndo po ( ) o é ( ) ( ) h( ) ( ) um pono genéo dee plno em-e: A hu Qundo h e m de peoe o plno π Am e h e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) po eemplo: ( ) ( ) O pono é um pono do plno π Enão e ( ) ( ) h( ) ( ) ( ) ( h h h ) em-e h h h - equçõe pmé e o plno π fo deemndo po ê pono A ( ) ( ) B e C ( ) equçõe pmé de π eão: A h( B A) ( C A) ej ( ) ( ) h( ) ( ) h h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ou Eemplo A equçõe pmé do plno que p pelo pono ( 7 ) A B ( 8 ) e C ( ) ão A h( B A) ( C A) ( ) ( 7 ) of Al Dn
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço h ( 8 7 ) ( 7 ) ou ( ) ( 7 ) ( h h h) h 7 h - equçõe pmé h ( ) A deemnção d equção en ou gel do plno f-e do egune modo: ejm ( j k) um em de oodend ( ) e ( ) k O u A j π A um pono genéo e um pono ddo epemene de um plno π u ( ) e ( ) do eoe não olnee plelo π : ( ) ( ) e é um pono genéo do plno π o eoe A u ão oplne e o poduo mo dee ê eoe é nulo: ( ) A u o é: e ( ) Fendo em ( ) ( ) ( ) ou: Fendo d em fnlmene d E equção n qul e não ão mulnemene nulo é equção gel do plno π ou equção en do plno Eemplo A equção gel do plno que p pelo pono ( ) A e é plel o eoe u j k e j k é: ou ( ) ( ) ( ) ou ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 9 of Al Dn
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço A equção gel do plno π pode e deemnd elmnndo o pâmeo h e n equçõe pmé e o plno π fo deemndo po ê pono A ( ) ( ) C ( ) e e ( ) B e é um pono genéo de π o eoe A B A e C A ão oplne e o poduo mo dee ê eoe é nulo: ( A B A C A) o é: ou de odo om popedde do deemnne: O deenolmeno do deemnne onduá um equção do po: d lelmo Ene Do lno ejm o plno π e π epeo epemene pel equçõe: d e d noml o plno w é O eo ( ) π e o eo ( ) w é noml o plno π A ondção de plelmo do plno π e π é mem do eoe w e w o é: w mw ou Eemplo O plno π e π epeo epemene pel equçõe: 8 e ão plelo? De fo omponene do eo w noml o plno π ão: 8 e omponene do eo w noml o plno π ão: A ondção de plelmo de do plno é: e nee o: 8 o que po eem plelo o plno π e π of Al Dn
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço e lém d guldde e e mém o d d plno π e π eão ondene poque nee o equção de π é od de π medne mulplção po um númeo o que não le equção de π Em pul e e d d o plno π e π mém ão plelo ependuldde Ene Do lno ejm o plno π e π epeo epemene pel equçõe: d e d noml o plno w é O eo ( ) π e o eo ( ) w é noml o plno π A ondção de pependuldde do plno π e π é mem ondção de oogonldde do eoe w e w o é: w w ou Eemplo O plno π e π epeo epemene pel equçõe: 8 8 e 7 ão pependule? De fo omponene do eo w noml o plno π ão: 8 e omponene do eo w noml o plno π ão: A ondção de pependuldde do do plno é w w o é: No o peene: 8 o que po eem pependule o plno π e π lelmo Ene Re e lno ej um e de pâmeo deoe m p epe pel equçõe: m n ej um plno π epeo pel equção d A e p q é plel o plno π e o eo ( m p) que defne deção de fo of Al Dn
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço oogonl o eo ( ) m p w noml o plno π o é e: w ou Eemplo A e epe pel equçõe e e o plno π epeo pel equção: 7 9 ão plelo? De fo omponene do eo ( m p) ão: m p que defne e - lém de A omponene do eo w noml o plno ão: 7 A ondção p que e ej plel o plno π é que o eo w o é: w ou m p Nee o: 7 o que po e e plel o plno π ependuldde Ene Re e lno ej um e de pâmeo deoe m p epe pel equçõe: m n ej um plno π epeo pel equção d A e p q m p que defne deção de fo é pependul o plno π e o eo ( ) plelo o eo ( ) w noml o plno π o é e: w ou m p 8 Eemplo A e epe pel equçõe: e o plno π epeo pel equção 7 ão pependule De fo omponene do que defne deção d e - lém de ão: eo ( m p) m A p omponene do eo w noml o plno π ão: 7 ondção p que e ej pependul o plno π é que o eo ej m p plelo o eo w o é: No o peene: po e e pependul o plno π A o que 7 of Al Dn
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço Ineeção de Do lno ejm o plno π e π não plelo epeo pel equçõe: d e d A neeção do plno π e π é e uj equçõe edud e deej deemn e emo equçõe e m enão m e n em m n ; e emo equçõe e p enão p e q em p q que ão equçõe edud d e O em onudo pel du equçõe ge do plno π e π é ndeemndo podendo epm-e du áe em função de um ee: d d Enão d e d d d Efeud opeçõe ndd du equçõe eulne d plção de deemnne eduem-e à fom m n o é oemo equçõe p q edud d e que p pelo pono N ( n q) ( m p) e em deção do eo Eemplo Deemne equçõe edud d e de neeção do plno π e π epeo epemene pel equçõe: 7 e O em fomdo pel equçõe do plno π e π pode e eo do egune modo: 7 o que peme epm e em função de : of Al Dn
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço 7 7 7 e 8 9 A e de neeção do plno π e π é epe pel equçõe 9 Dân Ene Do ono A dân δ ene o pono ( ) e ( ) é deemnd de odo om egune fómul: ( ) ( ) ( ) δ Eemplo Clule dân ene o pono A ( 7) e ( ) B A dân δ ene o pono A e B é: δ ( ) ( ) ( ) De odo om o ddo do polem 7; ; ; logo: δ ( 7) ( ) ( ) 9 9 7 Dân de Um ono Um Re ejm um pono ( ) e um e epe pel equção: A e omo e e p pelo pono ( ) deção do eo ( ) e em A dân δ do pono à e é medd oe pependul à e que p po : k O u δ θ A fgu mo que dân δ do pono à e é lu do plelogmo j of Al Dn
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço of Al Dn 7 ujo ldo ão o eoe k j e ( ) ( ) j u ( )k endo em fómul p lul áe de um plelogmo - h A - e endo que áe é dd po δ endo que δ nθ u enão áe é u u θ δ n logo u δ M u k j ou j u k e em-e u logo oém-e fnlmene fómul δ Eemplo Clule dân do pono ( ) 7 à e epe pel equçõe: A e p pelo pono uj oodend ão: e o pâmeo deoe de e ão: A oodend do pono ão: 7 A dân δ do pono à e é dd po δ Oemo m δ
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço 7 7 ( ) ( ) ( ) 8 87 9 Dân Ene Du Re ejm e e epe epemene pel equçõe: e ( ) e em deção do eo u ( ) deção é do eo u : endo em fómul uld p lul o olume de um plelpípedo w δ V A θ e lu k u podemo e que lu do plelpípedo é O δ e omo e é j um plelogmo A u omo já mo ne enão u w u w que é o poduo w θ δ mo de ê eoe e ( u w) u δ u A e p pelo pono e e ão onoene dân δ ene el é po defnção nul e e ão plel dân δ ene e e é nee o dân do pono ( ) à e que p pelo pono ( ) eo ( ) e em deção do - que é ução neomene peend Vejmo o que e p qundo e em e ened e m que não eão no memo plno: o eoe ( ) ( ) j ( )k j k j k e w u deemnm um plelpípedo uj e é fomd pelo eoe u e e uj lu é dân δ ene e e poque e é plel o plno d e do plelpípedo um e que u e V u δ m omo δ w oθ : em-e u w oθ ( ) ( ) 8 of Al Dn
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço of Al Dn 9 M ( ) w u k j u k j e u logo em-e δ O deemnne do numedo dee e ondedo em lo oluo endo em que dân é defnd omo um númeo el não nego Eemplo Clule dân ene e epe pel equçõe: e e epe pel equçõe: A e p pelo pono uj oodend ão: e o pâmeo deoe de e ão: A e p pelo pono uj oodend ão: e o pâmeo deoe de e ão: A dân δ ene e e é δ o é δ
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço ( 8 ) ( ) ( ) 8 Dân de Um ono Um lno ejm um pono ( ) um pono qulque dee plno: w O eo w ( ) é noml o δ plno π k A π e po onegune o eo A em mem deção de w A dân do O pono j o plno π é: δ A A é pojeção do eo n deção do eo w Vejmo go o egune: e um plno π epeo pel equção: d ejm A o pé d pependul ondud po oe o plno π e ( ) endo em que A e w êm mem deção pode onde-e A w Am A A o é A w e mulplmo mo o emo po w A δ em w ( A w) w A w w w e m w w w w w endo o eo w unáo Como ínhmo w defndo A w em A ( w) w e enão A w e o eo w não fo unáo dee onde-e o eu eo: w w logo e-e-á: A w w que no dá pojeção do eo n deção de w M ( ) ( ) j ( )k w ( j k) w w w logo: of Al Dn
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço δ ( ) ( ) ( ) Como o pono peene o plno π : d d e δ Eemplo Clule dân do pono ( ) o plno 8 A omponene do eo w noml o plno ddo ão: e o lo de d é: d 8 A oodend do pono ão: A dân do pono o plno ddo é enão d δ o é: 8 δ 8 8 Quád Chm-e quád od upefíe que pode e epeend po um equção do egundo gu em e : d e f m n p q Em ou pl quád é o lug geoméo do pono M do epço dmenonl uj oodend e num em eno oogonl fem equção do egundo gu: d e f m n p q A oodend e do pono M do epço ão omponene O X ( ) do eoe X R que fem equção de um quád: ( ) M of Al Dn
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço A equção de um quád d e f m n q p pode e epe do egune modo: [ ] d f q [ m n p] e d f e um e que d e f é um fom qudá no epço dmenonl Condendo X d e A d f e e f m N n equção neo f: X AX N X q p que é equção de um quád o fom ml endo em que X X e que de odo om o que mo no píulo neo X AX X DX equção X AX N X q f mplemene X DX N X q M: X D e Logo e-e-á [ ] [ m n p] q o é equção de um quád pode e epeend po q n qul e ão o loe pópo d m mé el A e omponene do eoe X n e { X ( ) X ( ) X ( )} e dependem d omponene do eoe pópo unáo X X e X odo e of Al Dn
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço of Al Dn Equção Redud de Um Quád A equção de um quád pode e epe po q upondo e dfeene de eo pode eee-e q o é q ou ej q Fendo Q q e é de um nlção: em: Q e fnlmene Q E úlm equção é equção edud de um quád de eno e omo e ê o pmeo memo é fom nón d fom qudá no epço dmenonl e um do loe pópo fo gul eo po eemplo equção: q f q o é q q q Fendo é de um nlção:
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço of Al Dn q em E equção é equção edud de um quád em eno e em e de foe ou equção edud de um quád em eno e ou e do loe pópo foem gu eo equção edud d quád em eno é d fom B A Eemplo Deemne equção edud d quád epeend pel equção: 7 A equção d quád o fom ml é [ ] [ ] 7 Fendo X A e N equção f 7 X N AX X Deemnemo o loe pópo d m A : [ ] de I A o é ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 9 ou ej em-e ( )( )( ) [ ] ( )( ) e m emo
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço of Al Dn ( )( ) ( )( ) 8 8 Deemnemo íe d equção de º gu: ( ) ( ) 8 8 8 ± ± ± o é logo eemo ( ) ( )( )( ) de I A eemo o loe pópo e Deemnemo o eoe pópo unáo odo o loe pópo: uundo po n m neo em o é: e Ee euldo é odo e eolemo o em em odem e ondendo depo um qulque nógn l omo fo epldo no úlmo píulo Am ( ) X ão eoe pópo odo Fendo - ou ej o neo d nom de ( ) - oém-e o eo pópo unáo X odo uundo po em o é e Am ( ) X ão eoe pópo odo Fendo oém-e o eo pópo unáo X odo uundo po em o é e Am ( ) X ão eoe pópo odo Fendo oém-e o eo pópo unáo X odo
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço of Al Dn A m A é nfomd n m D é d m oogonl ujo elemeno ão omponene do eoe pópo unáo X X e X odo e : A equção 7 X N AX X pode e epe é de um nfomção oogonl oção po 7 X N DX X Condendo X em [ ] [ ] 7 o é: 7 ou ej 7 ou 7 9 Fendo é de um nlção: equção neo f: ou 7
Cpíulo VII Geome Anlí no Epço Clfção d Quád A equção de um quád de eno é Q Dependendo do loe de e e Q quád eá do po elpóde ou hpeolóde A equção de um quád em eno é: ou ou A quád epeend po qulque um de equçõe é do po páolóde A quád epeend po um equção d fom A B é do po lndo Eemplo Deemne o géneo de quád epeend pel equção 7 Vmo que equção edud de quád é Como e emo equção que é equção de um quád de eno 7 of Al Dn