ÁLGEBRA LINEAR - MAT0024

UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR - MAT0024 10 a Lista de exercícios 1 Diga qual das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas (a A função det : M 2 2 (K K é uma transformação linear (b O determinante de uma matriz de 2 2 é uma função linear de cada linha da matriz quando a outra linha é mantida fixa (c Se A M 2 2 (K e det(a = 0, então A é invertível (d Se u e v são vetores em R 2 começando a partir da origem então a área do paralelogramo que tem u e v como lados adjacentes é ( u det v 2 Calcule os determinantes das seguintes matrizes em M 2 2 (R (a ( 6 3 2 4 (b ( 5 2 6 1 (c ( 8 0 3 1 3 Calcule os determinantes das seguintes matrizes em M 2 2 (C (a ( 1 + i 1 4i 3 + 2i 2 3i ( 5 2i 6 + 4i (b 3 + i 7i (c ( 2i 3 4 6i 4 Para cada um dos seguintes pares de vectores u e v em R 2, calcule a área do paralelogramo determinado por u e v (a u = (3, 2 e v = (2, 5 (b u = (1, 3 e v = ( 3, 1 (c u = (4, 1 e v = ( 6, 2 (d u = (3, 4 e v = (2, 6 5 Prove que se B é a matriz obtida trocando as linhas de uma 2 2 matriz A então det(b = det(a 6 Prove que se as colunas de A M 2 2 (K são idênticas então det(a = 0 7 Prove que det(a t = det(a para qualquer A M 2 2 (K 8 Prove que se A M 2 2 (K é uma matriz superior então det(a é igual ao produto das entradas da diagonal de A 9 Prove que det(ab = det(a det(b para quaisquer A, B M 2 2 (K 10 A adjunta clássica de uma matriz A M 2 2 (K é a matriz ( A22 A C = 12 A 21 A 11 Prove que (a CA = AC = [det(a]i (b det(c = det(a (c A clássica adjunta de A t é C t (d Se A é invertível então A 1 = [det(a] 1 C 11 Seja δ : M 2 2 (K K uma função com as seguintes propriedades (i δ é uma função linear em cada linhas da matriz quando a outra linha é mantida fixada 1

(ii Se dois linhas de A M 2 2 (K são idênticas então δ(a = 0 (iii Se I é a matriz identidade 2 2 então δ(i = 1 Prove que δ(a = det(a para todo A M 2 2 (K 12 Seja A M 2 2 (K e A 2 = O Prove que existe um escalar c tal que det(ci A = c 2 13 Seja D : M 2 2 (R R uma função tal que D(AB = D(A D(B para quaisquer A, B M 2 2 (R Suponha também que ( ( 0 1 1 0 D D 1 0 0 1 (a D(O = 0 (b D(A = 0 se A 2 = O (c D(B = D(A se B é obtido trocando linhas (ou colunas de A (d D(A = 0 se uma linha (ou coluna de A é 0 (e D(A = 0 sempre que A é não invertível 14 Diga qual das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas (a A função det : M n n (K K é uma transformação linear (b O determinante de uma matriz quadrada é calculada por expansão cofator ao longo de qualquer linha (c Se duas linhas de uma matriz quadrada A são idênticas, então det(a = 0 (d Se B é uma matriz quadrada obtida de uma matriz quadrada A por intercambio de duas linhas quaisquer, então det(b = det(a (e Se B é uma matriz quadrada obtida de uma matriz quadrada A por multiplicação de uma linha de A por um escalar, então det(b = det(a (f Se B é uma matriz quadrada obtida de uma matriz quadrada A por adição de k vezes i-ésima linha com a j-ésima linha, então det(b = k det(a (g Se A M n n (K tem posto n, então det(a = 0 (h O determinante de uma matriz triangular superior é o produto das entradas da sua diagonal 15 Encontre o valor de k que satisfaz a seguinte equação; det 3a 1 3a 2 3a 3 3b 1 3b 2 3b 3 = k det a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 3c 1 3c 2 3c 3 c 1 c 2 c 3 16 Encontre o valor de k que satisfaz a seguinte equação; 2a 1 2a 2 2a 3 det 3b 1 + 5c 1 3b 2 + 5c 2 3b 3 + 5c 3 = k det 7c 1 7c 2 7c 3 17 Encontre o valor de k que satisfaz a seguinte equação; b 1 + c 1 b 2 + c 2 b 3 + c 3 det a 1 + c 1 a 2 + c 2 a 3 + c 3 = k det a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 18 Em cada item, calcule o determinante da matriz dada por expansão cofator ao longo da linha indicada (a 0 1 2 1 0 3 2 3 0 ao longo da primeira linha (b 1 0 2 0 1 5 1 3 0 ao longo da primeira linha (c 0 1 2 1 0 3 2 3 0 ao longo da segunda linha 2

(d 0 1 5 1 0 2 1 3 0 ao longo da terceira linha (e 2i 0 1 i 0 1 + i 2 3 4i 0 ao longo da terceira linha (f 1 3 2i i 2 + i 0 0 1 1 i ao longo da segunda linha (g 0 2 1 3 1 0 2 2 3 1 0 1 1 1 2 0 ao longo da quarta linha (h 1 1 2 1 3 4 1 1 2 5 3 8 2 6 4 1 ao longo da quarta linha 19 Em cada item, calcule o determinante da matriz dada por qualquer método legítimo 0 0 1 2 3 4 1 2 3 1 3 2 (a 0 2 3 (b 5 6 0 (c 4 5 6 (d 4 8 1 4 5 6 7 0 0 7 8 9 2 2 5 (e 0 1 1 1 2 5 6 4 3 (f 1 2 3 1 2 5 3 1 2 (g i 2 1 3 1 + i 2 2i 1 4 i (h 1 2 + i 3 1 i i 1 3i 2 1 + i (i 1 0 2 3 3 1 1 2 0 4 1 1 2 3 0 1 (j 1 2 3 12 5 12 14 19 9 22 20 31 4 9 14 15 20 Prove que o determinante de uma matriz triangular superior é o produto das entradas da sua diagonal 21 Prove que det(ka = k n det(a para qualquer A M n n (K 22 Seja A M n n (K Sob que condições det( A = det(a? 23 Prove que se A M n n (K tem duas colunas idênticas, então det(a = 0 24 Calcule det(e i se E i é uma matriz elementar do tipo i 25 Prove que se E é matriz elementar, então det(e t = det(e 26 Sejam a 1, a 2,, a n linhas de A M n n (K e sejam a n, a n 1,, a 1 linhas da matriz B Calcule det(b em termos do det(a 27 Diga qual das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas (a Se E é uma matriz elementar, então det(e = ±1 (b Para quaisquer A, B M n n (K, det(ab = det(a det(b (c Uma matriz M M n n (K é invertível se e somente se det(m = 0 (d Uma matriz M M n n (K tem posto n se e somente se det(m 0 (e Para qualquer matriz A M n n (K, det(a t = det(a (f O determinante de uma matriz quadrada é calculada por expansão cofator ao longo de qualquer coluna (g Todo sistema de n-equações lineares com n-incógnitas pode ser resolvido pela Regra de Cramer (h Seja Ax = b um sistema de n-equações lineares com n-incógnitas, onde x = (x 1, x 2,, x n t Se det(a 0 e se M k é uma matriz n n obtida de A por substituição da k-ésima linha de A por b t então a única solução de Ax = b é x k = det(m k, para k = 1, 2,, n det(a 3

28 Em cada iten, use a Regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas de equações lineares (a { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 onde a 11 a 22 a 12 a 21 0 2x 1 + x 2 3x 3 = 5 (b x 1 2x 2 + x 3 = 10 3x 1 + 4x 2 2x 3 = 0 2x 1 + x 2 3x 3 = 1 (c x 1 2x 2 + x 3 = 0 3x 1 + 4x 2 2x 3 = 5 x 1 x 2 + 4x 3 = 4 (d 8x 1 + 3x 2 + x 3 = 8 2x 1 x 2 + x 3 = 0 x 1 x 2 + 4x 3 = 2 (e 8x 1 + 3x 2 + x 3 = 0 2x 1 x 2 + x 3 = 6 3x 1 + x 2 + x 3 = 4 (f 2x 1 x 2 = 12 x 1 + 2x 2 + x 3 = 8 29 Prove que uma matriz n n triangular superior é invertível se e somente se todas as suas entradas diagonais são diferentes de zero 30 Uma matriz M M n n (C é chamado nilpotente se, para algum k inteiro positivo, M k = O, onde O é matriz n n nula Prove que se M é nilpotente, então det(m = 0 31 Uma matriz M M n n (C é chamada anti-simétrica se M t = M Prove que se M é antisimétrica e n é impar, então M é não invertível O que acontece se n é par? 32 Uma matriz Q M n n (R é chamada ortogonal se QQ t = I Prove que se Q é ortogonal, então det(q = ±1 33 Para M M n n (C, seja M a matriz tal que (M ij = M ij para todos i, j, onde M ij é o complexo conjugado de M ij (a Prove que det(m = det(m (b Uma matriz Q M n n (C é chamada unitária se QQ = I, onde Q = Q t Prove que se Q é uma matriz unitária então det(q = 1 34 Seja β = {u 1, u 2,, u n } é um subconjunto de K n contendo n-vetores distintos, e seja B uma matriz em M n n (K tendo u j como j ésima coluna Prove que β é uma base para K n se e somente det(b 0 35 Prove que se A, B M n n (K são similares, então det(a = det(b 36 Use determinantes para provar que se A, B M n n (K são tal que AB = I, então A é invertível (e dali B = A 1 37 Seja A, B M n n (K tal que AB = BA Prove que se n é impar e K é um corpo de característica diferente de dois, então A ou B é não invertível 38 Uma matriz A M n n (K é chamada triangular inferior se A ij = 0 para 1 i < j n Suponhamos que A é uma matriz triangular inferior Descreva det(a em termos das entradas de A 39 Suponha que M M n n (K pode-se escrever na forma ( A B M =, O I onde A é uma matriz quadrada Prove que det(m = det(a 40 Prove que se M M n n (K pode-se escrever na forma ( A B M =, O C onde A e C são matrizes quadradas, então det(m = det(a det(c 41 Seja T : P n (K K n+1 é uma transformação linear definido no Exercício 21 da Lista 7 definida por T (f = (f(c 0, f(c 1,, f(c n, onde c 0, c 1,, c n são escalares distintos no corpo infinito K Seja β a base ordenada canônica para P n (K e seja β a base ordenada canônica para K n+1 4

(a Mostre que M = [T ] γ β tem a forma 1 c 0 c 2 0 c n 0 1 c 1 c 2 1 c n 1 1 c n c 2 n c n n Uma matriz desta forma é chamada matriz de Vandermonde (b Use o Exercício 22 da Lista 7 para provar que det(m 0 (c Prove que det(m = 0 i<j n (c j c i, o produto de todos os termos da forma c j c i para 0 i < j n 42 Seja A M n n (K não nula Para qualquer m (1 m n, uma submatriz m m é obtida eliminando qualquer (n m-ésima linha e qualquer (n m-ésima coluna de A (a Seja k (1 k n denota o maior número inteiro de tal modo que alguma submatriz k k não tem determinante não nulo Prove que posto(a = k (b Reciprocamente, suponha que posto(a = k Provar que existe uma submatriz k k com determinante não nulo 43 Seja A M n n (K tem a forma A = 0 0 0 0 a 0 1 0 0 0 a 1 0 1 0 0 a 2 0 0 0 1 a n 1 Calcule det(a + ti, onde I é a matriz identidade n n 44 Seja c jk o cofator da j-ésima linha e k-ésima coluna da entrada de A M n n (K (a Prove que se B é uma matriz obtida de A por substituição da k-ésima coluna por e j, então det(b = c jk (b Prove que para 1 j n, temos A c j1 c j2 c jn = det(a e j (c Deduzir que se C é uma matriz n n tal que C ij = c ij então AC = [det(a]i (d Prove que se det(a 0 então A 1 = [det(a] 1 C Definição: A clássica adjunta de uma matriz quadrada A é a matriz transposta cuja ij-entrada é o ij-cofator de A 45 Encontre a clássica adjunta de cada uma das seguintes matrizes ( A11 A (a 12 A 21 A 22 (b 4 0 0 0 4 0 0 0 4 (c 4 0 0 0 2 0 0 0 5 5

(d 3 6 7 0 4 8 0 0 5 (e 1 i 0 0 4 3i 0 2i 1 + 4i 1 (f 6 3 0 7 1 4 3 5 2 (g 1 2 5 8 0 3 4 6 1 (h 3 2 + i 0 1 + i 0 i 0 1 3 2i 46 Seja C a clássica adjunta de A M n n (K Prove as seguintes afirmações (a det(c = [det(a] n 1 (b C t é a clássica adjunta de A t (c Se A é uma matriz invertível triangular superior, então C e A 1 triangulares superiores são ambas matrizes 47 Sejam y 1, y 2,, y n são funções linearmente independentes em C Para cada y C, definimos T (y C por [T (y](t = det y(t y 1 (t y 2 (t y n (t y (t y 1(t y 2(t y n(t y (n (t y (n 1 (t y (n 2 (t y n (n (t O seguinte determinante é chamado Wronskiano de y, y 1,, y n (a Prove que T : C C é uma transformação linear (b Prove que Nu(T contem S({y 1, y 2,, y n } 48 Seja V um espaço vetorial das matrizes n n sobre o corpo K Seja B um elemento fixo de V e seja T B um operador linear em V definido por T B (A = AB BA Mostre que det(t B = 0 Foz do Iguaçu, 07 de novembro de 2017 Víctor Arturo Martínez León 6