Probabilidades e Estatística 2005/06

Departameto de Matemática Secção de Estatística e Aplicações - IST Probabilidades e Estatística 2005/06 Resolução do 1 o Exame/2 o Teste 10/01/2006 h00 Grupo I - 5.0 val. 1. Um ovo método de detecção de cotamiates a água está a ser testado. Este método pode ser utilizado para detectar poluetes orgâicos. A empresa que o desevolveu afirma que com este método é possível detectar os poluetes orgâicos com.5% de eficácia. Por outro lado, caso ão haja poluetes o método comporta-se com 8% de eficácia (i.e, esta situação ão detecta poluetes orgâicos). Para calibrar o método foram recolhidas várias amostras de água pura; destas amostras 80% foram cotamiadas,de forma idepedete, com poluetes orgâicos. a) Qual é a probabilidade do método detectar poluetes orgâicos uma amostra recolhida ao acaso? b) Qual é a probabilidade do método dar um resultado verdadeiro? (0.5) c) Supodo que o método foi aplicado duas vezes cosecutivas à mesma amostra e que das duas vezes acusou poluição por poluetes orgâicos, calcule a probabilidade da amostra estar efectivamete cotamiada se se admitir que os resultados de aplicação (em qualquer situação) do método em sucessivas aplicações são idepedetes; (2.0) Resolução: seja D o acotecimeto que idica se o teste acusa detecção de poluetes orgâicos e O o acotecimeto correspodete à ocorrêcia de poluição da água por poluetes orgâicos. Decorre do euciado que P(D O) 0.5; P( D Ō) 0.8; P(O) 0.80. a) P(D) P(D O)P(O) + P(D Ō)P(Ō) (lei das probabilidades totais) 0.5 0.80 + (1 0.8) 0.20 0.80. b) Seja V o acotecimeto que idica que o teste acusa resultado verdadeiro. Note-se que pelo que V (D O) ( D Ō) P(V ) P ( (D O) ( D Ō)) P(D O)P(O) + P( D Ō)P(Ō) 0.5 0.80 + 0.8 0.20 0.2. c) Seja D i o acotecimeto que idica que o método acusou poluição por poluetes orgâicos a i-ésima aplicação. P(O D 1 D 2 ) P(D 1 D 2 O)P(O) P(D 1 D 2 O)P(O) + P(D 1 D 2 Ō)P(Ō) P 2 (D O)P(O) P 2 (D O)P(O) + P 2 (D Ō)P(Ō) 0.5 2 0.8 0.5 2 0.8 + (1 0.8) 2 0.20 0.. (0.5) 1

2. O método atrás descrito vai ser aplicado um rio. Nesse rio existem duas fábricas que são resposáveis pela poluição do rio por poluetes orgâicos; uma situa-se a margem direita do rio e outra a margem esquerda do rio. Supoha que o úmero de descargas de poluetes orgâicos para o rio da fábrica que se situa a margem direita é modelado por um Processo de Poisso de taxa 2.5 por dia, equato que o úmero de descargas de poluetes orgâicos para o rio da fábrica que se situa a margem esquerda é modelado por um Processo de Poisso de taxa 1.0 por dia, idepedetemete do que acotece a fábrica da margem direita. Resolução i. Seja N t a v.a. que cotabiliza o úmero de descargas de materiais poluetes o rio pelo cojuto das duas fábricas em t dias. Idique a distribuição da v.a. N t. (1.0) ii. Qual a probabilidade de em meio dia ão haver ehuma descarga efectuada por essas duas fábricas? (1.0) a) Seja X t o úmero de descargas em t dias de compostos clorídricos para o rio da fábrica que se situa a margem direita e Y t o úmero de descargas em t dias de compostos clorídricos para o rio da fábrica que se situa a margem esquerda, com X t Poi(2.5t) e Y t Poi(t). Dado que X t e Y t são idepedetes (tal como afirmado o euciado), etão N t X t +Y t Pois(3.5t). b) Pretede-se determiar P(N 0.5 0). Como N 0.5 Pois(3.5 0.5) Pois(1.75) etão P(N 0.5 0) e 1.75. Grupo II - 5.0 val. 1. A percetagem de idivíduos que, quado expostos a uma dada bactéria, cotraiem a doeça é 20%. Admita que 1000 idivíduos (idepedetes etre si) desta população são expostos à batéria. a) Determie um valor aproximado para a probabilidade de que mais de 225 destes idivíduos adoeçam. b) Supoha que se este cojuto de idíviduos mais de 225 adoecerem, etão é laçada uma campaha de vaciação à população, que custará 1 milhão de euros; se o úmero de idivíduos que cotraiem a doeça for iferior ou igual a 225 mas superior a 50, etão só os familiares destes idivíduos serão vaciados. Nesse caso o custo da campaha de vaciação será de 5000 euros. Fialmete, se o máximo 50 idivíduos ficarem ifectados, etão ão é laçada ehuma campaha de vaciação. b.i) Ecotre a fução de probabilidade (aproximada) do custo da campaha de vaciação. b.ii) Qual o custo esperado associado a esta campaha de vaciação? (0.5) Resolução: Seja X a v.a. que cotabiliza o úmero de idivíduos, de etre 1000, que cotraiem a doeça quado expostos à batéria. Como os idivíduos são idepedetes etre si, etão com E[X] 200 e V ar[x] 200 0.8 160. a) X Bi(1000, 0.2) (1.0) (1.0) P(X > 225) 1 P(X 225) 1 P( X 200 12.65 1 Φ(2.02) 1 0.783 0.07 225.5 200 ) 12.65 (cosiderado a aproximação Normal da Biomial com correcção de cotiuidade). 2

b.i) Seja Y a v.a. que desiga o custo da campaha de vaciação. Etão temos P(X > 225) y 10 5 P(50 < X 225) y 500 P(Y y) P(X 50) y 0 b.ii) 0.07 y 10 5 Φ(2.02) Φ( 11.81) 0.783 y 500 E[Y ] y yp(y y) 500P(Y 500) + 10 5 P(Y 10 5 ) 28.15 2. Seja (X, Y ) um par de v.a. discretas, para o qual a fução de probabilidade cojuta é dada por: P(X x, Y y) c(x + y), x 1, 2, 3; y 1, 2 a) Determie o valor de c para o qual a fução aterior defie realmete uma fução de probabilidade cojuta de X e de Y. (0.5) b) Calcule E[X], E[X Y 1] e V ar[x Y 1]. (1.0) c) Será que X e Y são v.a. idepedetes? Justifique. (1.0) Resolução: a) Como 3 2 x1 y1 P(X x, Y y) 1 etão vem: x1 y1 dode c 1/. 2 P(X x, Y y) c((1 + 1) + (1 + 2) + (2 + 1) + (2 + 2) + (3 + 1) + (3 + 2)) c b) Calcule-se a fução de probabilidade (margial) de X, assim como a codicioada (de X em Y 1): P(X x) 2 P(X x, Y y) y1 5 x 1 7 x 2 x 3 P(X x, Y 1) P(X x Y 1) P(Y 1) 2 x 1 3 x 2 4 x 3 3

Cosequetemete: E[X] E[X Y 1] E[X 2 Y 1] x1 x1 x1 xp(x x) 1 5 + 2 7 + 3 2.1 xp(x x Y 1) 1 2 + 2 3 + 3 4 x 2 P(X x Y 1) 12 2 + 2 2 3 + 3 2 4 V ar[x Y 1] E[X 2 Y 1] E 2 [X Y 1] 0.617. c) As v.a. aõ são idepedetes pois, por exemplo, E[X] E[X Y 1]. 2.22 5.55 Grupo III - 4.0 val. Os capacetes usados pelos pilotos e co-pilotos participates o rally Lisboa-Dakar foram previamete testados, de forma a idagar sobre a sua seguraça. Para tal foram seleccioaos ao acaso 50 capacetes, os quais foram sujeitos a testes de impacto. Em cosequêcia destes testes de impacto, 18 capacetes ficaram com algum dao. a) Costrua um itervalo de cofiaça a 5% para a verdadeira proporção de capacetes com algum dao fruto do teste de impacto. (2.0) b) Para um ível de sigificâcia de 5%, será que é de admitir que a verdadeira proporção de capacetes com algum defeito fruto do teste de impacto é igual a 32%? (2.0) Resolução: Seja X i uma v.a. que toma o valor 1 (0) se o i-ésimo capacete sofrer (ão sofrer) algum dao fruto do teste de impacto, com X i Ber(p), com p descohecido. Adicioalmete, se se admitir que os 50 capacetes têm um comportameto idepedete mas que obedecem à mesma lei probabilística, etão segue-se que {X 1, X 2,..., X 50 } X Ber(p). Para a amostra particular, 50 x i 18 dode x 18 50 0.36. a) Nesta alíea pretede-se costruir um I.C. 0.5 (p). Decorre do TLC que uma variável fulcral para este problema é: X p a N(0, 1) X(1 X) Dado que Φ 1 (0.75) 1.6, vem que P( 1.6 < X p X(1 X) < 1.6) 0.5 X(1 P( X X) X(1 1.6 <p < X X) + 1.6 ) 0.5 dode X(1 I.C.A. 0.5 (p) ] X X) X(1 1.6 ; X X) + 1.6 [. Cocretizado: 0.36(1 0.36) 0.36(1 + 0.36) I.C. 0.5 (p) ]0.36 1.6 ; 0.36 1.6 [ 50 50 ]0.227; 0.43[. 4

b) Pretede-se testar H 0 : p 0.32 vs H 1 : p 0.32. Uma vez que o teste é bilateral, e que se pretede o mesmo ível de cofiaça da alíea aterior, etão podemos utilizar o resultado da alíea aterior (ote-se porém que a estatística de teste adequada para esta situação ão coicide ecessariamete com a variável fulcral idicada a alíea aterior com p 0.32. Porém como o valor observado da estimativa de máxima verosimilhaça, x 0.36 é próximo do valor em teste, p 0.32, utilizaremos o resultado aterior, com evidete ecoomia de trabalho!). Como o valor proposto para p, p 0.32 sob H 0, está cotido a aproximação do I.C. 0.5 (p), etão a hipótese H 0 ão deve ser rejeitada para α 5% (a verdade esta hipótese ão é rejeitada para α 5%). Grupo IV - 6.0 val. 1. Uma fábrica produtora de circuito eléctricos tem um departameto de cotrolo de qualidade, ode os circuitos produzidos são submetidos a um rigoroso cotrolo de qualidade. Fruto de resultados ateriores, é covicção do resposável por este departameto que o úmero de defeitos em cada circuito eléctrico (X) tem uma distribuição de Poisso. Para verificar essa hipótese, foi recolhida uma amostra de 60 circuitos idepedetes, tedo-se observado os seguites valores: Número de defeitos 0 1 2 3 Frequêcia observada 32 15 4 a) Se se admitir que efectivamete X tem uma distribuição de Poisso, prove que a estimativa de máxima verosimilhaça do valor esperado de X é igual a 0.75. Qual é a estimativa de máxima verosimilhaça da probabilidade de um circuito eléctrico ão ter defeitos? (1.5) b) Acha que os dados evideciam que X tem distribuição Poisso? (2.0) Resolução a) L(λ; x 1,...,x ) P(X 1 x 1,...,X x ; λ) iid e λ λ xi e λ λ xi x i! x i!, λ > 0 LL(λ; x 1,...,x ) λ + x i Lλ L( x i!) [LL(λ; x 1,...,x )] + x i λ [LL(λ; x 1,..., x )] x i λ 2 < 0, λ P(X x i ; λ) Logo a estimativa de máxima verosimilhaça de λ, ˆλ, é tal que + x i ˆλ 0 ˆλ x. Nesta situação, como x i0 i N i etão vem que efectivamete 0 32 + 1 15 + 2 + 3 4 60 ˆλ 0.75. 0.75 5

Por outro lado, como P(X 0) e λ decorre da propriedade da ivariâcia dos estimadores de máxima verosimilhaça que P(X 0) e ˆλ e 0.75 0.472. b) Pretede-se testar H 0 : X Poi(λ). Para este teste a estatística de teste é: Q k (O i Êi) 2 (a,h0) χ (2) (k 2) Ê i i0 ode O i desiga a frequêcia observada da classe i e Êi desiga a frequêcia estimada da classe i. Se H 0 for verdadeira, X toma valores em IN 0, pelo que a última classe (para a qual X 3) tem de ser aumetada para X 3. Desta forma temos a seguite tabela: Número de defeitos o i ê i 0 32 60 e ˆλ 28.43 1 15 60 e ˆλˆλ1 1!.26 2 60 e ˆλˆλ2 2! 7.7 3 4 60 28.43.26 7.7 2.43 Etão o valor observado da estatística de teste é: q obs (32 28.43)2 28.43 + (15.26)2.26 + ( 7.7)2 7.7 + (4 2.43)2 2.43 3.46. Como F (2) χ (3.46) ]0.80; 0.85[, etão p ]0.20; 0.25[. Desta feita se coclui que H 0 é 2 rejeitada para íveis de sigificâcia α 25%, equato que ão é rejeitada para α 20%. Assim se coclui que para os íveis usuais de sigificâcia a hipótese de que X segue uma distribuição de Poisso ão é rejeitada. 2. Um ivestigador acha que a quatidade de vapores tóxicos produzidos mesalmete por uma fábrica de químicos está relacioada com a temperatura média mesal ( o C). Para idagar essa possibilidade recolheu uma amostra, tedo obtido os seguites resultados: x i 12.5 14 14.5 17 20 26.4 28.3 2.2 27.3 20.5 y i 185.7 4.47 288.03 424.84 454.58 53.03 6.55 675.06 562.03 452.3 pelo que 10 x i 20.7, 10 y i 4418.31, 10 x2 i 4767.53, 10 y2 i 22046 e 10 x iy i 10175.8. Com base estes valores foi ajustado um modelo de regressão liear simples, tedo-se obtido ˆβ 0 86.43 e ˆβ 1 25.1. a) Com base a recta estimada de regressão dos míimos quadrados, calcule uma estimativa da difereça esperada da quatidade de vapores tóxicos de dois meses cuja temperatura média mesal difere de 3 o C. Como iterpreta este valor? (1.0) b) Será que se pode cocluir, para um ível de sigificâcia de 5%, que a quatidade esperada de vapores tóxicos emitidos pela fábrica aumete com a temperatura média mesal? Idique todas as hipóteses sobre o modelo que achar coveietes. (1.5) Resolução a) A equação da recta estimada é: ŷ 86.43 + 25.1x, x [12.5; 2.2] Se se cosiderar dois meses cuja temperatura média mesal difere de 3 o C (e desde que ambas as temperaturas destes dois meses estejam o itervalo cosiderado [12.5; 2.2]), etão uma estimativa da difereça esperada da quatidade de vapores tóxicos destes dois meses é 3 25.1 75.57. Este valor ão sigifica obrigatoriamete que a difereça seja exactamete este valor: é apeas uma estimativa do que se espera ecotrar! 6

b) Assumido que ǫ i N(0, σ 2 ) (ode ǫ i desiga o erro aleatório associado à i-ésima temperatura), para o teste: H 0 : β 1 0 vs H 1 : β 1 > 0 a estatística de teste idicada é: Como T ˆβ 1 ˆσ 2 x 2 i x 2 t 2 [ ˆσ 2 1 ( )] yi 2 2 ȳ2 ˆβ 1 2 x 2 i x2 51.82 etão o valor observado da estatística de teste é: t obs 25.1 10.447 51.82 4767.53 10(20.7) 2 Dado que F 1 t 8 (0.5) 1.86 e como t obs > 1.86, etão para 5% há evidêcias para rejeitar H 0, i.e., aceitamos que a quatidades esperada de vapores tóxicos emitidos pela fábrica aumete com a temperatura média aual. 7