2 Matrizes Matrizes Operações com Matrizes Matrizes Invertíveis Aplicações... 35

Sumário Conjuntos e Funções 8 Definição clássica de função 8 Conjuntos 8 3 Cartesiano 9 4 Relação 0 5 Funções 6 Operação 3 7 Somatória 4 8 Indução Matemática 5 9 Números Reais 6 0 Números Complexos 7 Matrizes 8 Matrizes 8 Operações com Matrizes 0 3 Matrizes Invertíveis 3 4 Aplicações 35 3 Sistemas Lineares 36 3 Sistemas Lineares 36 3 Sistemas Equivalentes 4 33 Determinação da Inversa 50 34 Sistemas de Cramer 5 35 Matrizes Elementares 53 36 Aplicações 56 4 Espaços Vetoriais 65 4 Espaços Vetoriais 65

SUMÁRIO 4 Propriedades 69 43 Subespaços Vetoriais 74 44 Soma de Subespaços 78 45 Combinação Linear 80 46 Espaços Finitamente Gerados 8 47 Aplicações 8 5 Base e Dimensão 83 5 Dependência Linear 83 5 Base de Subespaço 95 53 Dimensão da soma de dois subespaços 95 54 Coordenadas 96 55 Mudança de Base 98 6 Transformação Linear 07 6 Transformação Linear 07 6 Núcleo e Imagem 7 Matriz de uma Transformação Linear 6 7 Operações com Transformações Lineares 6 7 Matriz de uma Transformação Linear 8 73 Matriz de uma Transformação Composta 3 74 Espaço Dual 34 75 Matrizes Semelhantes 34 8 Espaço com Produto Interno 36 8 Produto Interno 36 8 Norma e Distância 38 83 Processo de Gram-Schmidt 45 9 Determinantes 5 9 Permutações 5 9 Determinantes 54 93 Cofatores 6 94 Adjunta e Inversa 66 95 Regra de Cramer 69

SUMÁRIO 3 0 Diagonalização de Operadores Lineares 74 0 Autovalores e Autovetores 74 0 Diagonalização de Operadores 79 03 Operadores Auto-Adjuntos 86

SUMÁRIO 4 Professor: Antônio Carlos Telau e-mail: antoniotelau@ufvjmedubr site: wwwtelaucombr apps: apps Livro texto: Álgebra Linear e Aplicações Autores: Carlos A Callioli, Hygino H Domingues e Roberto C F Costa Edição: 6ª Edição reformulada Moniorias/Tutoria Período: 05/06/08 a 09/08/08 Salas 09 09 09/9/09/9 S Horário D S T Q Q S S 0:00 - :00 Camilla :00 - :00 Camilla :00-3:00 Camilla 3:00-4:00 Lineker Reunião 4:00-5:00 Lineker Lineker 5:00-6:00 Lineker Lineker 6:00-7:00 Camilla 7:00-8:00 Camilla 8:00-9:00 Telau-9 9:00-0:00 Telau-9 CTT-A,B e C Prova Conteúdo Valor Data P Capítulos, 3 e 4 30 3/05/08 P Capítulos 5, 6 e 7 35 3/07/08 P3 Capítulos 8, 9 e 0 35 0/08/08 PF Capítulos, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 00 /08/08 P + P + P3 = 00

SUMÁRIO 5 Cronograma da Primeira Prova N Data Páginas Quantidade 8/04/08-5 5 0/04/08 6-0 5 3 5/04/08-5 5 4 7/04/08 6-3 6 5 0/05/08 33-4 0 6 04/05/08 43-5 0 7 09/05/08 53-58 6 8 /05/08 58-64 6 Cronograma da Segunda Prova N Data Páginas Quantidade 5/05/08 83-86 4 30/05/08 Paralização - 3 06/06/08 87-90 4 4 08/06/08 9-94 4 5 3/06/08 95-98 4 6 5/06/08 99-04 6 7 0/06/08 05-7 8 /06/08 Copa/Tutoria - 9 7/06/08-7 6 0 04/07/08 8-3 6 06/07/08 4-30 7 /07/08 Revisão - 3 3/07/08 Avaliação - MF = N + N + N3, onde N é a nota da P, N é a nota da P e N3 é a nota da P3 M F 60 Aprovado 40 M F < 60 Exame Final M F < 40 Reprovado

SUMÁRIO 6 RF = MF + P F, onde P F é a nota do Exame Final { RF 60 Aprovado RF < 60 Reprovado

Introdução Este material ainda está sendo desenvolvido e tem como objetivos finais os seguintes tópicos: Todas as demonstrações Conter todas as demonstrações que foram trabalhadas de forma minuciosa para serem facilmente compreendidas até mesmo por alunos iniciantes na matemática Uso de cores e gráficos Destaca-se com cores pontos de suma importância na compreensão dos texto Autocontido Este material é autocontido no sentido que não há a necessidade de se buscar constantemente complementação em outros livros didáticos Conteúdos de auto nível da álgebra linear Transcrever conteúdos de auto nível da álgebra linear em linguagem simplificada com exemplos perfeitamente acessíveis Aplicações Algumas aplicações são expostas de forma bem explícita 7

Capítulo Conjuntos e Funções Definição clássica de função Uma função é uma terna de domínio(a) contra-domínio(b) e uma regra que associa da cada elemento do domínio um, e somente um, elemento do contra-domínio Agora damos início a uma sequência de definições com o objetivo de redefinir função e por meio dessa definir operação Conjuntos Na matemática costuma-se definir um conjunto como uma coleção de elementos A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A e indicamos com x A A relação entre dois conjunto é a relação de estar contido: quando todos os objetos de um conjunto A também compõem o conjunto B, dizemos que A etá contido em B e indicamos com A B 8

CAPÍTULO CONJUNTOS E FUNÇÕES 9 3 Cartesiano Dados dois conjuntos A e B definimos A B como A B = {(x, y); x A, y B} () Exemplo 3 Sejam os conjuntos A = {r, t} e B = {3, 7, 9} Então A B = {(r, 3), (r, 7), (r, 9), (t, 3), (t, 7), (t, 9)} () r t A 3 7 9 B Exemplo 3 Sejam os conjuntos A = R e B = R Então A B = R R = {(x, y); x, y R} = R = Plano Cartesiano (3)

CAPÍTULO CONJUNTOS E FUNÇÕES 0 R y (x, y) x R 4 Relação Uma relação R entre A e B é um subconjunto do cartesiano R A B Exemplo 4 Sejam os conjuntos A = {, 0, 3} e B = {, 0, } Então a o conjunto R = {(x, y); x A, y B 0} A B, logo é uma relação entre A e B R = {(, ), (, ), (0, ), (0, ), (3, ), (3, )} (4) 0 - - 0 A B

CAPÍTULO CONJUNTOS E FUNÇÕES 5 Funções Uma função F com domínio A e contradomínio B é uma relação entre A e B que satisfaz as propriedades: ) x A existe y B tal que (x, y) F ; ) Se (x, y), (x, z) F então y = z F : A B x F (x) Domínio Contra-Domínio Imagem O conjunto Imagem da função F é o conjunto de todos os valores que estão relacionados A B F (x) = x - 0-0 Im(F)

CAPÍTULO CONJUNTOS E FUNÇÕES D(F ) = {, 0, } = A CD(F ) = {, 0, } = B Im(F ) = {0, } Imagem de um Subconjunto Se W é um subconjunto do domínio A da função F então F (W ) é o subconjunto do contra-domínio de F de todos os elementos que estão relacionados por F A F(x) = [ x+ B 0 W 3 4 5 6 7 8 0 F(W) 3 4 5 6 7 8

CAPÍTULO CONJUNTOS E FUNÇÕES 3 A 0 W F (x) = x 4 + B 0 F(W) 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 Função Injetiva 3) Se (x, z), (y, z) F então x = y Função Sobrejetiva 4) y B existe x A tal que (x, y) F ; Função Bijetiva Uma função bijetora é uma função que satisfaz 3) e 4) 6 Operação Uma operação binária em um conjunto E é uma função : E E E (x, y) (x, y) = x y

CAPÍTULO CONJUNTOS E FUNÇÕES 4 Vamos pensar um pouco no domínio e contra-domínio da função det det : M n (R) R A det(a) 7 Somatória α x + α x + + α n x n = β (5) n α i b i = β (6) k= 5 k = + + 3 + 4 + 5 = 5 (7) k= 5 k = + 4 + 9 + 6 + 5 = 45 (8) k= n k = + + 3 + 4 + + n = k= n(n + ) (9) n k = + 4 + 9 + 6 + + n = k= n(n + )(n + ) 6 (0) Outro exemplo em que o uso do somatório faz-se necessário é a soma S dos elementos de uma matriz

CAPÍTULO CONJUNTOS E FUNÇÕES 5 S = (α + + α n ) + (α + + α n ) + + (α m + + α mn ) = n α j + n α j + + n j= = m = n n α ij i= j= m α ij j= i= j= 8 Indução Matemática α mj j= A Indução Matemática é uma forma de demonstrar que uma proposição que depende de uma variável natural n é verdadeira para todo n N Teorema Seja X um conjunto tal que: i) X ; ii) n X (n + ) X Então X = N Demonstração Suponhamos que X N Seja n 0 o menor elemento de N X Pela primeira hipótese i) temos que n 0 então n 0 N X Logo n 0 X, absurdo Portanto X = N Vamos provar por indução que P (n) : n k = k= n(n + ) () De fato P () é verdadeira pois k= k = (+) Suponhamos agora P (n) verdadeira e provemos que P (n + ) é verdadeira

CAPÍTULO CONJUNTOS E FUNÇÕES 6 n k= k = n(n+) ( n n+ k= n+ 9 Números Reais k= k k= ) P (n + ) + (n + ) = n(n+) + (n + ) k = n(n+) + (n+) k = (n+)((n+)+) Propriedades dos números reais(r) Dados os números reais a, b e c, as seguintes propriedades operatórias são válidas: Associatividade: a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c Comutatividade: a + b = b + a a b = b a 3 Existência de elemento neutro único para a soma e para a multiplicação: a + 0 = a a = a 4 Existência de elemento inverso único para a soma e para

CAPÍTULO CONJUNTOS E FUNÇÕES 7 a multiplicação: a + ( a) = 0 a a = se a 0 5 Distributividade: a (b + c) = a b + a c CTT-A 8/04/08 0 Números Complexos Chama-se conjunto dos números complexos o conjunto C de todos os pares ordenados de números reais para os quais valem as seguintes definições: (a, b) = (c, d) a = c e b = d (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) Assim z C z = (a, b) com a, b R

Capítulo Matrizes Matrizes Definição Sejam m e n dois números inteiros Uma matriz m n é uma tabela de números que se indica do seguinte modo A = a a a n a a a n ou (a ij) m n ou (a ij ) ou ([A ij ) a m a m a mn Cada número que compõe a matriz A chama-se termo de A O termo geral de A é a ij ou [A ij O primeiro índice i indica a linha e o segundo índice j indica a coluna Denotaremos por M m n (R) o conjunto das matrizes reais m n Se m = n usa-se M n (R) Exemplo Se A = 0 3 4 então A é uma matriz real 3 Logo A M 3 (R) Além disso [A =, [A = 0, [A =, [A = 3, [A 3 =, e [A 3 = 4 8

CAPÍTULO MATRIZES 9 Linhas e Colunas Usaremos um índice sobrescrito com parênteses para representar as linhas de uma matriz, reservando o expoente para potências futuramente definidas E para as colunas usaremos um índice subscrito com parênteses A () = [ a a a n, A () = [ a a a n, A (m) = [ a m a m a mn são chamadas linhas da matriz A A () = a a a m, A () = a a a m,, A (n) = a n a n a mn são chamadas colunas da matriz A Exemplo Seja A = [ 0 0 6 5 uma matriz 3 Então A () = [ 0, A () = [ 0 6 5 são as linhas da matriz A A () = [, A 0 () = [ 0, A 6 (3) = [ 5 são as linhas da matriz A

CAPÍTULO MATRIZES 0 Igualdade de Matrizes Sejam A, B M m n (R), dizemos que A = B se, e somente se, [A ij = [B ij, (i, j) {,, m} {,, n} Exemplo 3 Calcule os valores das variáveis na equação matricial [ x + y x = y + z [ 3 4 Operações com Matrizes x + y = x = y + = z z = 4 Vamos agora definir operações no conjunto das matrizes M m n Adição Exemplo Sejam A = [ 0 e B = [ 0 4 7 A+B = A+B = [ 0 [ 3 5 9 + [ 0 4 7 = [ + 0 + + ( ) 0 + + 4 + 7 B+A = A+B = [ 0 4 7 [ 3 5 9 + [ 0 = [ 0 + + ( ) + + 0 4 + 7 +

CAPÍTULO MATRIZES Observe que dessa forma definida a soma de matrizes é comutativa, ou seja, a soma satisfaz A+B = B+A Definimos a operação de soma de matrizes e utilizamos um símbolo diferenciado + para representar a soma de matrizes em oposição à soma de números reais representada pelo símbolo + Definimos formalmente a soma de matrizes por: + : M m n (R) M m n (R) M m n (R) (A, B) A+B dada por [A+B ij = [A ij + [B ij A+B = [A+B [A+B [A+B [A+B = [A + [B [A + [B [A + [B [A + [B Teorema Prove que valem as seguinte propriedades para esta operação: A ) A+B = B+A, A, B M m n (R); A ) A+(B+C) = (A+B)+C, A, B, C M m n (R); A 3 ) 0 M m n (R) tal que A+0 = A, A M m n (R); A 4 ) A M m n (R), ( A) M m n (R)/ A+( A) = 0; Demonstração A ) [A+B ij = [A ij + [B ij = [B ij + [A ij = [B+A ij [A+B ij = [B+A ij A+B = B+A

CAPÍTULO MATRIZES A ) [A+(B+C) ij = [A ij + [(B+C) ij = [A ij + ([B ij + [C ij ) = ([A ij + [B ij ) + [C ij = [(A+B) ij + [C ij = [(A+B)+C ij [A+(B+C) ij = [(A+B)+C ij A+(B+C) = (A+B)+C [ [ 3 8 Exemplo Sejam A =, B = e C = 5 4 [ 9 matrizes Note que a soma de matrizes é associativa 5 6 A+(B+C) = = = [ [ 3 3 [ 8 9 8 + + ([ 8 5 4 [ 7 6 0 + [ 9 5 6 )

CAPÍTULO MATRIZES 3 (A+B)+C = = = ([ 3 [ 3 5 [ 8 9 8 + + [ 8 5 4 [ 9 5 6 ) + [ 9 5 6 [ [ a b c 0 0 0 Exemplo 3 Sejam A = e B = duas matrizes 3 Então B é um elemento neutro da adição de matrizes com d e f 0 0 0 essa dimensão [ [ a b c 0 0 0 A+B = + d e f 0 0 0 = = [ a + 0 b + 0 c + 0 d + 0 e + 0 f + 0 [ a b c d e f = A [ Exemplo 4 Seja A = a 0 [ a Então ( A) = 0

CAPÍTULO MATRIZES 4 A+( A) = = = [ a 0 + [ a 0 [ + ( ) a + ( a) + + + 0 + 0 [ 0 0 0 0 0 0 Note que resultou no elemento neutro da soma de matrizes com essa dimensão Exemplo 5 Nesse texto é dada uma atenção especial ao domínio e contra-domínio das operações Esse exemplo de operação deixa claro que não é um fato geral o contra-domínio coincidir com o conjunto onde se tomam os elementos a serem multiplicados por escalares, como ocorre na definição usual de produto por escalar Exemplo 6 Se definirmos a operação de soma de matrizes da seguinte forma [A + B ij = [A ij + [B ij +, qual é o elemento neutro da soma de matrizes 3? [ 0 =

CAPÍTULO MATRIZES 5 Exemplo 7 Se definirmos a operação de soma de matrizes da seguinte forma [A + B ij = [A ij +[B ij +(i j), qual é o elemento neutro da soma de matrizes 4 4? 0 = (0 (i j)) 4 4 = (j i)) 4 4 = 0 3 0 0 3 0 Exemplo 8 Se definirmos a operação de soma de matrizes da seguinte forma [A + B ij = ( ) [A ij [B ij, qual é o elemento neutro da soma de matrizes 3 3? 0 = Se por exemplo 3 A = 4 5 6 7 8 9 então A + 0 = 3 4 5 6 7 8 9 + A+0 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( 4) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( 6) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( 8) ( ) ( ) 9 ( ) A + 0 = 3 4 5 6 7 8 9

CAPÍTULO MATRIZES 6 A + 0 = A Exemplo 9 Se definirmos a operação de soma de matrizes da seguinte forma [A + B ij = [A ij +[B ji, qual é o inverso aditivo (á direita) de uma matriz A qualquer 3 3? ( A) = [A [A [A 3 [A [A [A 3 [A 3 [A 3 [A 33 = ( ) A T Exemplo 0 Se definirmos a operação de soma de matrizes da seguinte forma [A + B ij = [A ij + [B ij, qual é o inverso aditivo de uma matriz A qualquer 3 3? CTT-B 0/05/08 Produto por escalar Exemplo Sejam A = [ 3 3 matrizes e α =, β = dois números reais Então e B = 0 0 0 4 a) α A = ( ) A = [ ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 [ 6 4 α A = 6 b) β B = 0 0 0 4 β B = 4 0 4 0 0 8

CAPÍTULO MATRIZES 7 E definimos o produto de um número por uma matriz como : R M m n (R) M m n (R) (λ, A) λ A dada por [λ A ij = λ [A ij CTT-A 0/05/08 Teorema Prove que valem as seguinte propriedades para o produto por escalar M ) (α β) A = α (β A), α, β R, A M m n (R); M ) (α + β) A = (α A)+(β A), α, β R, A M m n (R); M 3 ) α (A+B) = (α A)+(α B), α R, A, B M m n (R); M 4 ) A = A, A M m n (R) Demonstração M ) [(α β) A ij = (α β) [A ij = α (β [A ij ) = α [β A ij = [α (β A) ij [(α β) A ij = [α (β A) ij (α β) A = α (β A) M )

CAPÍTULO MATRIZES 8 [(α + β) A ij = (α + β) [A ij = α [A ij + β [A ij = [α A ij + [β A ij = [(α A)+(β A) ij [(α + β) A ij = [(α A)+(β A) ij (α + β) A = (α A)+(β A) Exemplo Encontre o elemento neutro se definirmos o produto por escalar dado pela regra [λ A ij = λ [A ij Exemplo 3 Se definirmos o produto por escalar dado pela seguinte regra [λ A ij = λ [A ij + existe um elemento neutro? λx + = x λ = e x = [ λ = e A = No entanto, isso só funciona para uma matriz e deveria ser verdade para toda matriz A Multiplicação de Matrizes Exemplo 4 Sejam A = [ 0 0 e B = 3 4 5 0 0 0 0 A B = A B = [ 0 0 3 4 5 0 0 0 0 [ 3 + 0 + 0 4 + 0 + 0 0 5 + 0 + 0 0 3 + 0 + 0 4 + 0 + 0 0 5 + 0 +

CAPÍTULO MATRIZES 9 A B = [ 6 8 0 0 Consideremos a matriz A M m p (R) e a matriz B M p n (R) O produto A B é dado por c ij = a i b j + a i b j + + a ip b pj () ou c ij = [AB ij = p a ik b kj () k= ou p [A ik [B kj (3) k= Os dois teoremas seguintes são propriedades do produto de matrizes análogas às propriedades que valem para números reais[? Teorema 3 Se A M m p (R), B M p q (R) e C M q n (R) então A(BC) = (AB)C Demonstração Vamos demonstrar que o termo geral de A (B C) é igual ao termo geral de (A B) C

CAPÍTULO MATRIZES 30 [A (B C) ij = p ) ([A ik [B C kj k= ( = p q ) [A ik ([B ) kr [C rj k= r= ( = p q ) ([A ) ik [B kr [C rj k= r= ( = q p ) ([A ) ik [B kr [C rj r= k= (( = q p ) ) ([A ik [B kr ) [C rj r= k= = q ) ([A B ir [C rj r= = [(A B) C ij Portanto como o elemento que está na linha i e coluna j da matriz A(BC) e da matriz (AB)C são iguais, então A(BC) = (AB)C Teorema 4 Se A M m p (R), B, C M p n (R) então A(B + C) = AB + AC Analogamente se A, B M m p (R), C M p n (R) então (A + B)C = AC + BC Demonstração Vamos demonstrar que o termo geral de A (B + C) é igual ao termo geral de A B + A C [A (B + C) ij = p ) ([A ik [B + C kj k= = p k= ( )) [A ik ([B kj + [C kj = p ) ([A ik [B kj + [A ik [C kj k= = p ) ([A ik [B kj + p ) ([A ik [C kj k= = [A B ij + [A C ij = [A B + A C ij Portanto como o elemento que está na linha i e coluna j da matriz k=

CAPÍTULO MATRIZES 3 A(B+C) e da matriz AB+AC são iguais, então A(B+C) = AB+AC A demonstração da igualdade (A + B)C = AC + BC é análoga [ [ 0 3 Exemplo 5 Se A =, B = então AB BA 0 3 [ [ [ [ [ [ 0 3 6 5 6 0 0 3 = = 0 3 0 6 5 6 3 0 Exemplo 6 Dadas as matrizes A M m p (R) e B M p n (R) observe que: a) a linha do produto AB é o produto da linha de A pela a matriz B, ou seja, (A B) (i) = A (i) B b) a coluna do produto AB é o produto de A pela coluna da matriz B, ou seja, (A B) (j) = A B (j) Exemplo 7 Observe que o produto de matrizes triangulares superiores é uma matriz triangular superior 3 4 0 5 6 7 0 0 8 9 0 0 0 0 4 3 0 4 3 0 0 4 3 0 0 0 4 =???? 0??? 0 0?? 0 0 0? 3 Matrizes Invertíveis Definição 3 (Elemento neutro da multiplicação) Seja I n M n (R) tal que { 0, se i j [I n ij =, se i = j ou seja,

CAPÍTULO MATRIZES 3 0 0 0 0 I n = 0 0 Essa matriz satisfaz I n A = A I n A M n (R) e recebe o nome de matriz identidade de ordem n Definição 3 Uma matriz A de ordem n diz-se invertível se, e somente se, existe uma matriz B, também de ordem n, de modo que: A B = B A = I n Caso essa matriz B exista, é única e chama-se a inversa de A e é indica-se por B = A Exemplo 3 A matriz A = [ B = 0 0 5 [ 0 0 5 é invertível e sua inversa é [ a b Exemplo 3 Se A = e ad bc 0 então A é invertível e c d [ d b sua inversa é A = ad bc c a [ Exemplo 33 A matriz A = é invertível e sua inversa é 3 [ 3 B = Exemplo 34 Se alguma linha de A é nula, digamos a i-ésima linha de A, A (i) = [ 0 0 0 então A não é invertível De fato se fosse invertível existiria B tal que AB = I n, por outro lado (AB) (i) = (A) (i) B = [ 0 0 0 B = [ 0 0 0 (I n ) (i)

CAPÍTULO MATRIZES 33 Exemplo 35 Se A e B são matrizes de ordem n, ambas invertíveis, então AB também é invertível e (AB) = B A Vamos demonstrar que (AB) [B A = I n A igualdade [ B A (AB) = I n se demonstra de forma análoga De fato (AB) [B A = [ (AB) B A = [ A (B B ) A = [A I n A = A A = I n (AB) [B A = I n (AB) = B A Portanto (AB) = B A Exemplo 36 Se A ou B são matrizes de ordem n, e A não é invertíveis, então AB também não é invertível Exemplo 37 Se A é uma matriz de ordem n invertíveis, então A também é invertível e ( A ) = A { A A inversa de A é A A = I n A A a inversa de A = I é A n Portanto ( A ) = A Exemplo 38 Prove que a inversa de uma matriz invertível é única Exemplo 39 Prove que a inversa da transposta é a transposta da inversa, ou seja, (AB) T = B T A T Suponhamos que A seja invertível e que B e C sejam inversas de A e provemos que B = C

CAPÍTULO MATRIZES 34 A B = I e C A = I C (AB) = C I (CA) B = C I B = C B = C Exemplo 30 Prove que a transposta do produto de duas matrizes é o produto das transpostas na ordem trocada, ou seja, (A B) T = B T A T Demonstração Vamos demonstrar que o termo geral de (AB) T é igual ao termo geral de B T A T [ (AB) T ij = [AB ji = [A (j) [B (i) = [ A [ T (j) B T (i) = [ B T (i) [ A T (j) = [ B T A T ij Portanto como o elemento que está na linha i e coluna j da matriz (AB) T e da matriz B T A T são iguais, então (AB) T = B T A T Exemplo 3 Prove que a inversa da transposta é a transposta da inversa, ou seja, (A T ) = (A ) T Demonstração (A T ) (A ) T = (A A ) T = (I) T = I (A ) T (A T ) = (A A) T = (I) T = I Exemplo 3 Resumo de algumas propriedades que valem para o produto de números reais mas falham para o produto de matrizes:

CAPÍTULO MATRIZES 35 ) A B = B A; ) A 0, B 0 A B 0; 3) M n (R) = M n (R) {0} 4 Aplicações Em computação o produto de matrizes tem a grande vantagem de poder ser executado em paralelo portanto sempre que possível devemos converter um processo em série para a multiplicação de matrizes Um bom exemplo disso é a replicação de um vetor nas colunas de uma matriz como no exemplo seguinte Exemplo 4 Sejam A = produto de A por B a b c e B = [ Calcule o A B = a b c [ A B = a a a a b b b b c c c c Previsão: CTT-A,B 04/05/08

Capítulo 3 Sistemas Lineares 3 Sistemas Lineares Definição 3 Dados os números α, α,, α n, β (n ), à equação α x + α x + + α n x n = β (3) onde os x i são variáveis em R, damos o nome de equação linear sobre R nas incógnitas x, x,, x n A equação (3) pode ser escrita em termos de somatória n α i b i = β (3) i= Uma solução dessa equação é uma sequência de n números reais, indicados por (b, b,, b n ), tais que α b + α b + + α n b n = β (33) CTT-B 8/04/08 Exemplo 3 Dada a equação x x + x 3 =, a terna ordenada (, 3, ) é uma solução dessa equação pois 3 + = é verdadeira Solução: 36

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 37 Isolando uma das variáveis e atribuindo qualquer valor às demais obtém-se uma solução x = + x x 3 x = x + x 3 x 3 = x + x 3 Portanto temos que ( ) + x x 3, x, x 3, (x, x + x 3, x 3 ), (x, x, x + x ) 3 são soluções da equação x x + x 3 = Definição 3 Um sistema com m equações lineares e n incógnitas (m, n ) é um conjunto de m equações lineares consideradas simultaneamente, cada uma delas com n incógnitas Um sistema linear se apresenta do seguinte modo: S : (34) α x + α x + + α n x n = β α x + α x + + α n x n = β α m x + α m x + + α mn x n = β m Uma solução do sistema (35) é uma solução de todas as equações, ou seja, uma solução do sistema (35) é uma n-upla (b, b,, b n ) de números reais que é solução de cada uma das equações do sistema, ou seja, uma n-upla (b, b,, b n ) de números reais tais que α b + α b + + α n b n = β α b + α b + + α n b n = β (35) α m b + α m b + + α mn b n = β m Exemplo 3 Dado o sistema S : { x y + z = x + y = 6 Uma solução de S é (,, ) Essa solução não é única: as ternas ( 8 5, 5, 0), (4,, 6) também são soluções de S

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 38 Definição 33 Quanto ao número de soluções, um sistema linear é classificado da seguinte forma Primeiro distinguimos um sistema com solução de uma sistema sem solução { Nenhuma Solução Impossível Pelo menos uma Solução Possível Segundo classificamos os sistemas com solução em Determinado e Indeterminado { Uma única Solução Determinado Mais do que uma solução Indeterminado E por fim agrupamos essas informações da seguinte forma Nenhuma Solução Impossível Uma única Solução Possível e Determinado Mais do que uma solução Possível e Indeterminado Obs: Um sistema com mais do que uma solução tem infinitas soluções

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 39 Exemplo 33 Classifique cada um dos sistemas quanto ao número de soluções a) { x y = x + y = 3 y 6 5 4 3 0 3 0 3 4 5 P x b) { x + y = 6x + 3y = 9 y 6 5 4 3 0 3 0 3 3 x

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 40 c) { x + 3y = 6 4x + 6y = y 5 4 3 0 3 0 3 4 5 6 x CTT - B - 0/04/08 Exemplo 34 S : Solução: x = 6 y { x y + z = x + y = 6 (6 y) y + z = 4y y + z = 5y = + z y = + z 5 ( ) + z x = 6 x = 6 5 x = 8 z 5 + z 5 Portanto toda terna de números do tipo solução do sistema dado x = ( 8 z 5 30 z 5, + z ), z 5 Se β = β = = β m = 0 o sistema é dito homogêneo é uma

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 4 H : α x + α x + + α n x n = 0 α x + α x + + α n x n = 0 α m x + α m x + + α mn x n = 0 Todo sistema homogêneo admite a solução (b, b,, b m ) = (0, 0,, 0) Essa solução é chamada de solução trivial Portanto todo sistema homogêneo é possível Exemplo 35 Seguem-se dois exemplos de sistemas homogêneos, o primeiro é determinado e o segundo indeterminado { x + y = 0 a) x + y = 0 b) { x + y = 0 3x + 6y = 0 CTT - A - 0/04/08 Exemplo 36 Qualquer sistema do tipo α x + α x + + α n x n = β S : 0 x + 0 x + + 0 x n = β i (β i 0) α m x + α m x + + α mn x n = β m é necessariamente impossível, pois a i-ésima equação não tem solução, visto que, dado (b, b,, b m ) temos (0 b + 0 b + + 0 b m = 0) e β i 0 Exemplo 37 Um sistema do tipo

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 4 S : x = β x = β x n = β n é possível e determinado e (β, β,, β n ) é a única solução 3 Sistemas Equivalentes Descrevemos a seguir três formas de modificar um sistema linear preservando o conjunto solução O objetivo é transformar o sistema até obter um sistema(com a mesma solução) cuja solução esteja explícita (I) Permutar duas equações de um sistema não afeta seu conjunto solução Ou seja, se o sistema R é obtido a partir de S permutando duas equações então R e S tem o mesmo conjunto solução S : α x + + α n x n = β α i x + + α in x n = β i α j x + + α jn x n = β j α m x + + α mn x n = β m

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 43 R: α x + + α n x n = β α j x + + α jn x n = β j α i x + + α in x n = β i α m x + + α mn x n = β m (II) Multiplicar uma equações de S por um número real λ 0 também não afeta o conjunto solução do sistema α x + + α n x n = β S : α i x + + α in x n = β i α m x + + α mn x n = β m R: α x + + α n x n = β λα i x + + λα in x n = λβ i α m x + + α mn x n = β m (III) Somar a uma das equações do sistema uma outra equação multiplicada por um número real Essa modificação apesar de mais elabora também preserva o conjunto solução do sistema

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 44 S : R: α x + + α n x n = β α i x + + α in x n = β i α j x + + α jn x n = β j α m x + + α mn x n = β m α x + + α n x n = β α i x + + α in x n = β i (α j + λα i )x + + (α jn + λα in )x n = β j + λβ i α m x + + α mn x n = β m Definição 3 Dado um sistema linear S qualquer uma das modificações (I), (II), (III) recebe o nome de Operação Elementar sobre linhas Se um Sistema linear R foi obtido de S por meio de um número finito de operações elementares dizemos que R está relacionado com S E escrevemos R S para representar essa relação É fácil verificar que a relação satisfaz as seguintes propriedades: a) S S (Reflexiva); b) R S S R (Simetria); c) R S, T R T S (Transitiva) Uma relação que satisfaça as propriedades a), b) e c) é chamada de relação de equivalência[?, [? Definição 3 Se um sistema R for obtido de S por meio de um número finito de operações elementares dizemos que R é equivalente a S Definição 33 Dados um sistema

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 45 S : α x + α x + + α n x n = β α x + α x + + α n x n = β α m x + α m x + + α mn x n = β m a matriz α α α n β α α α n β α m α m α mn β m é chamada de matriz aumentada do sistema S Ao manipular as equações de um sistema as variáveis permanecem intactas, assim podemos suprimi-las nesse processo e trabalhar apenas com os coeficientes Esse processo recebe o nome de escalonamento Exemplo 3 Vejamos agora um exemplo de escalonamento de um sistemas com três equações e três incógnitas x + x x 3 = 3 x x + 3x 3 = 8 3x x 7x 3 = 6 3 3 8 3 7 6 L + L L 3 + ( 3)L 3 0 0 5 4 7 L 3 + 5L

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 46 3 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 L + L 3 L + ( )L 3 0 0 0 0 0 0 3 x = x = x 3 = 3 L + ( )L A única solução do sistema equivalente é (x, x, x 3 ) = (,, 3) Portanto a solução do sistema original também é única e é (x, x, x 3 ) = (,, 3) Exemplo 3 Mostre que o seguinte sistema é equivalente a um sistema impossível x y + z = x y + z = 4 x y + z = 0 4 0 0 0 0 0 L + ( )L L 3 + ( )L CTT - A,B - 5/04/08 0 0 x y + z = y z = 0 = L 3 + L Portanto o sistema original é impossível, ou seja, o conjunto solução é vazio

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 47 Exemplo 33 Vejamos agora um exemplo de escalonamento de um sistemas 4 4 x + 3x + 4x 3 + x 4 = 8 3x + 0x + 4x 3 + 5x 4 = 4 5x x x 3 7x 4 = 48 4x + 9x + 0x 3 + x 4 = 36 3 4 8 3 0 4 5 4 5 7 48 4 9 0 36 3 4 8 0 0 0 4 9 7 8 0 3 6 4 4 L + ( 3)L L 3 + 5L L 4 + ( 4)L L 3 + ( 4)L L 4 + 3L 3 4 8 0 0 0 0 3 8 0 0 0 4 L + ( )L 4 L + L 4 L 3 + 3L 4 3 4 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 4 L + ( 4)L 3 L + ( )L 3 3 0 0 6 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 4 x x = 4 = 4 x 3 = 4 x 4 = 4 L + ( 3)L 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 4 x = 4 x = 4 x 3 = 4 x 4 = 4 x x x 3 x 4 = 4 4 4 4 Exemplo 34 Resolva o sistema

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 48 x y z = x + y 3z = 0 x 7y = 3 3 0 7 0 3 L + ( )L L 3 + ( )L 0 5 0 5 L 3 + L 0 5 0 0 0 0 0 7 5 5 0 5 5 0 0 0 0 L /5 0 5 5 0 0 0 0 { x 7 5 z = 5 y 5 z = 5 L + L { x = 5 + 7 5 z y = 5 + 5 z Portanto ( 5 + 7 5 z, 5 + 5 z, z) é uma solução de S z R x y z = 5 + 7 5 z 5 + 5 z z = 5 5 0 + 7 5 z 5 z z = 5 5 0 + z 7 5 5 Exemplo 35 Vejamos agora um exemplo de escalonamento de um sistemas com três equações e cinco incógnitas(mais equações do que incógnitas)

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 49 x x + x 3 7x 4 = x x + 3x 3 9x 4 x 5 = 3x 3x + x 3 6x 4 + x 5 = 4 7 0 3 9 3 3 6 4 7 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 L + ( )L L 3 + ( 3)L L + ( )L 7 0 0 0 5 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 L 3 + L { x x x 4 + x 5 = x 3 5x 4 x 5 = { x = x 5 x 4 + x x 3 = + x 5 + 5x 4 x x x 3 x 4 x 5 = 0 0 0 + x 5 0 0 + x 4 0 5 0 + x 0 0 0 Exemplo 36 Verifique que o seguinte sistema é possível e determinado e encontre a sua única solução x y + z = x + y + z = 0 3x y + z =

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 50 0 3 L + ( )L L 3 + ( 3)L 0 3 0 0 L L 3 0 0 3 0 L / 0 0 3 0 L 3 + ( 3)L 0 0 0 3 L 3 /3 0 0 0 3 L + ( )L 3 L + L 3 0 3 0 0 3 0 0 3 x y z x = 0 y = 3 z = 3 = 0 3 3 L + L 0 0 0 0 0 3 0 0 3 L + ( )L 3 L + L 3 33 Determinação da Inversa Um processo prático para determinação da inversa de uma matriz será apresentado nesse exemplo e demonstrado adiante no Teorema (33)

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 5 Exemplo 33 Verifique se a matriz A = determine A, caso esta matriz exista 0 0 0 é invertível e 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L 3 + ( )L 0 0 3 3 3 3 3 3 L 3 /3 Logo a matriz A é invertível e A = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 L + ( )L 0 0 0 0 0 0 0 A = 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 Exemplo 33 Vejamos o mesmo problema com A= 6 0 5 3 7 0 0 0 0 0 0 L 3 + ( )L L 3 + L L + ( )L 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 0 5 3 7

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 5 6 0 5 0 5 6 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L 3 + L Logo a matriz A não é invertível 34 Sistemas de Cramer Seja S : (36) α x + α x + + α n x n = β α x + α x + + α n x n = β α m x + α m x + + α mn x n = β m um sistema de m equações com n incógnitas (m, n ) sobre R Se tomarmos A = α α α n α α α n α m α m α mn, X = x x x n e B = β β β m, então S poderá ser escrito na forma matricial AX = B

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 53 onde A recebe o nome de matriz dos coeficientes dos sistema (36) Definição 34 Um sistema de Cramer é um sistema linear n n cuja matriz dos coeficientes é invertível Neste ambiente em que A M n (R) procedendo com as seguintes manipulações algébricas, cujas validades já foram demonstradas temos AX = B A (AX) = A B (A A)X = A B I n X = A B X = A B Portanto todo sistema de Cramer é possível e determinado Exemplo 34 A matriz dos coeficiente do sistema x + y = y + z = x + z = 0 é A = 0 0 0 que é invertível e A = 3 Portanto X = 3 Além disso X = CTT-A 04/05/08 0 = 0 0 x y z e B = x y z = 0 0 0 35 Matrizes Elementares Definição 35 Uma matriz elementar de ordem n é uma matriz E obtida de I n por meio de uma única operação elementar 0 0 0 0 0 0 Exemplo 35 E = 0 0, E = 0 0, E 3 = 3 0, 0 0 0 0 0 0

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 54 Teorema 3 Sejam E uma matriz elementar de ordem n Se aplicarmos, em uma matriz A, (também de ordem n) a mesma operação elementar que transforma I n em E obtemos a matriz EA Exemplo 35 Sejam A = E = 4 5 3 8 0 0 0 0 0 0, E = 0 0 0 0 0 0 e E 3 = 0 0 3 0 0 0 Aplicando a operação que transformou I n em E obtemos: 4 5 3 8 L L 3 8 5 3 4 Multiplicando E por A obtemos: E A = 0 0 0 0 0 0 4 5 3 8 = 8 5 3 4 Aplicando a operação que transformou I n em E obtemos: 4 5 3 8 L = L 4 0 6 8

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 55 Multiplicando E por A obtemos: E A = 0 0 0 0 0 0 4 5 3 8 = 4 0 6 8 Aplicando a operação que transformou I n em E 3 obtemos: 4 5 3 8 L + 3L 4 8 7 5 8 Multiplicando E 3 por A obtemos: E 3 A = 0 0 3 0 0 0 4 5 3 8 = 4 8 7 5 8 Teorema 3 Toda matriz elementar E de ordem n é invertível CTT-B 04/05/08 Teorema 33 Uma matriz A de ordem n é invertível se, e somente se, I n A Neste caso, a mesma sucessão de operações que transforma A em I n, transforma I n em A Demonstração E t E t E E A = I n A = E t E t E E A = E t E t E E I n

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 56 36 Aplicações Exemplo 36 Suponha que f(x) = ax 3 + bx + cx + d Determine seus coeficientes a, b, c e d resolvendo o seguinte sistema: f( ) = f(0) = f() = f() = 4 Exemplo 36 Suponha que f(n) = n k= k possa ser expressa por uma função polinomial de grau três, ou seja, f(n) = an 3 + bn + cn + d Determine seus coeficientes a, b, c e d resolvendo o seguinte sistema: f(0) = 0 f() = f() = 5 f(3) = 4 Resolvendo o sistema acima obtemos a b c d = 3 6 0 Ou seja, f(n) = 3 n3 + n + 6 n + 0 = n(n+)(n+) 6 Desse fato concluímos que caso a função f possa ser expressa como polinômio de grau 3 então é dada por n k = k= n(n + )(n + ) 6 (37)

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 57 Exemplo 363 Dados os pontos D = (8, ), E = (3, 9), F = (8, ) e G = (0, 4) resolva o seguinte sistema vetorial para calcular as coordenadas de A = (x, y ), B = (x, y ) e C = (x 3, y 3 ) 4A = B + C + D + E 4B = A + C + E + F 5C = A + B + D + F + G y D 0 9 E 8 A 7 B 6 C 5 4 G 3 F 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8x Exemplo 364 Dados os pontos D = (7, 6), E = (6, 0), F = (, ) e G = (3, ) resolva o seguinte sistema vetorial para calcular as coordenadas de A = (x, y ), B = (x, y ) e C = (x 3, y 3 ) 4A = B + C + D + E 4B = A + C + E + F 5C = A + B + D + F + G

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 58 y F 0 E 9 B 8 A 7 C 6 D 5 4 3 G 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8x Resposta: A = (3, 8), B = (0, 9) e C = (9, 7) Exemplo 365 Dados os pontos D = (6, 5), E = (5, 9), F = (, 0) e G = (, 0) resolva o seguinte sistema vetorial para calcular as coordenadas de A = (x, y ), B = (x, y ) e C = (x 3, y 3 ) 4A = B + C + D + E 4B = A + C + E + F 5C = A + B + D + F + G

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 59 y 0 F 9 E 8 B 7 A 6 C 5 D 4 3 0 0 G 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7x Resposta: A = (, 7), B = (9, 8) e C = (8, 6) Exemplo 366 Dados os pontos D = (5, 5), E = (4, 9), F = (0, 0) e G = (, 0) resolva o seguinte sistema vetorial para calcular as coordenadas de A = (x, y ), B = (x, y ) e C = (x 3, y 3 ) 4A = B + C + D + E 4B = A + C + E + F 5C = A + B + D + F + G

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 60 y 0 F 9 E 8 B 7 A 6 C 5 D 4 3 0 0 G 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6x Resposta: A = (, 7), B = (8, 8) e C = (7, 6) Exemplo 367 Dados os pontos D = (5, 5), E = (4, 9), F = (0, 0) e G = (, 0) resolva o seguinte sistema vetorial para calcular as coordenadas de A = (x, y ), B = (x, y ) e C = (x 3, y 3 ) 4A = B + C + D + E 4B = A + C + E + F 5C = A + B + D + F + G

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 6 y 0 F 9 E 8 B 7 A 6 C 5 D 4 3 0 0 G 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6x Resposta: A = (, 7), B = (8, 8) e C = (7, 6) Exemplo 368 Dados os pontos D = (5, 5), E = (4, 9), F = (0, 0) e G = (, 0) resolva o seguinte sistema vetorial para calcular as coordenadas de A = (x, y ), B = (x, y ) e C = (x 3, y 3 ) 4A = B + C + D + E 4B = A + C + E + F 5C = A + B + D + F + G

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 6 y 0 F 9 E 8 B 7 A 6 C 5 D 4 3 0 0 G 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6x Resposta: A = (, 7), B = (8, 8) e C = (7, 6) Exemplo 369 Dados os pontos D = (5, 4), E = (4, 7), F = (0, 9) e G = (, 4) resolva o seguinte sistema vetorial para calcular as coordenadas de A = (x, y ), B = (x, y ) e C = (x 3, y 3 ) 4A = B + C + D + E 4B = A + C + E + F 5C = A + B + D + F + G

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 63 y 0 F9 8 7 B E 6 C A 5 4 3 G D 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6x Resposta: A = (, 6), B = (8, 7) e C = (7, 6) Exemplo 360 Exemplo 36 Exemplo 36 Exemplo 363 Esse problema pode ser generalizado de modo que a solução é obtida por meio de resolução de um sistema linear [? Segue o esquema generalizado aplicado a parametrização de superfícies triangulares

CAPÍTULO 3 SISTEMAS LINEARES 64 Click aqui para ver mais detalhes dessa generalização http://wwwtellaucombr/mestrado/dissertacao_telaupdf Veja também um vídeo da resolução de um sistema por meio de método iterativo clicando aqui (Relaxamento Planar) Um problema análogo porém no espaço tridimensional também requer a solução de um sistema mas não um sistema linear Porém sua resolução é feita iterativamente e em cada iteração um sistema linear é resolvido Veja vídeo de processo clicando aqui(método de Newton e Instabilidade) (Método de Newton e Estabilidade mas não convergente) CTT-A 09/05/08

Capítulo 4 Espaços Vetoriais 4 Espaços Vetoriais Nesse capítulo vamos formalizar um pouco mais a linguagem matemática de estruturas como o conjunto de matrizes para que não se tenha dupla ou múltiplas interpretações de uma mesma afirmação Para entender melhor esse fato clique aqui(romanos) para assistir esse vídeo Definição 4 Dizemos que um conjunto E é um espaço vetorial sobre R quando for possível definir duas operações satisfazendo uma lista de 8 propriedades que descreveremos a seguir I - Adição + : E E E (u, v) u+v tal que A ) u+v = v+u, u, v E(Comutatividade); A ) u+(v+w) = (u+v)+w, u, v, w E(Associatividade); A 3 ) 0 E tal que u+ 0 = u, u E(Existência do elemento neutro da soma); A 4 ) Dada a matriz u E, ( u) E tal que u+( u) = 0(Existência do inverso aditivo) 65

CAPÍTULO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 66 II - Produto por Escalar : E E E (u, v) u v tal que M ) (α β) u = α (β u), α, β R, u E(Associatividade); M ) (α + β) u = α u+β u, α, β R, u E(Distributiva do produto por escalar em relação à soma de números reias); M 3 ) α(u+v) = α u+α v, α R, u, v E(Distributiva do produto por escalar em relação à soma de vetores); M 4 ) u = u, u E(Elemento neutro) Exemplo 4 O conjunto R com as operações de adição e multiplicação é um espaço vetorial sobre R Exemplo 4 O conjunto C com as operações de soma e produto de números reais por complexos é um espaço vetorial(neste caso, em C está definido um produto de complexo por complexo que torna C um corpo algebricamente fechado) Exemplo 43 O conjunto dos vetores da geometria(definidos por meio de segmentos orientados) é um espaço vetorial Exemplo 44 O conjunto M m n (R) das matrizes m n com as operações de soma e produto por escalar definidas no anterior é um espaço vetorial sobre R Exemplo 45 Seja R n = {(x,, x n ) / x,, x n R} com as operações + : R n R n R n (u, v) u + v : R R n R n (λ, u) λ u

CAPÍTULO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 67 Dados u = (x,, x n ) v = (y,, y n ) λ R definimos a soma e o produto por escalar da seguinte forma: (x,, x n ) + (y,, y n ) := (x + y,, x n + y n ) e λ (x,, x n ) := (λ x,, λ x n ) (R n, +, ) é um espaço vetorial sobre R Exemplo 46 (C n, +, ) é um espaço vetorial sobre R Exemplo 47 Seja P n o conjunto de todos os polinômios de grau n, ou seja, P n (R) = {(a 0 + a x + + a n x n ) / a 0,, a n R} com as operações + : P n (R) P n (R) P n (R) : R P n (R) P n (R) (f, g) f + g (λ, f) λ f f(x) = a 0 + a x + + a n x n Dados g(x) = b 0 + b x + + b n x n definimos a soma e o produto por escalar da seguinte λ R forma: (a 0 + + a n x n )+(b 0 + + b n x n ) := (a 0 + b 0 )+ +(a n + b n ) x n e λ (a 0 + + a n x n ) := λ a 0 + + λ a n x n Prove que (P n (R), +, ) é um espaço vetorial sobre R Exemplo 48 O espaço P n (C) é um espaço vetorial sobre C Exemplo 49 O conjunto F (R) das funções f : R R é um espaço vetorial sobre R

CAPÍTULO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 68 Exemplo 40 E = {u R /u > 0} com as operações u+v := u v e λ u := u λ é um espaço vetorial sobre R Exemplo 4 Seja E o conjunto dos pares ordenados de números reais Determine quais são as condições sobre a, b, c e d para que seja comutativa a operação de adição definida por (x, y )+(x, y ) := (ax + bx, cy + dy ) Demonstração u+v = (x, y )+(x, y ) = (ax + bx, cy + dy ) v+u = (x, y )+(x, y ) = (ax + bx, cy + dy ) Portanto para que seja comutativa é necessário que { ax + bx = ax + bx, x, x R cy + dy = cy + dy, y, y R Assim podemos inferir que valem as igualdades para quaisquer valores que atribuirmos a x, x, y, y R { x =, x = 0 a = b y =, y = 0 c = d Portanto as condições são : { a = b c = d Exemplo 4 Seja E o conjunto dos pares ordenados de números reais Determine quais são as condições sobre a para que seja associativa a operação de produto por escalar definida por λ (x, y) = (a λ x, λ y) Demonstração (α β) u = (α β) (x, y) = (a (α β) x, (α β) y)

CAPÍTULO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 69 α(β u) = α (β (x, y)) = α (a β x, β y) = (a α (a β x), α β y) = (a (α β) x, (α β) y) Portanto para que seja associativa é necessário que a (α β) x = a (α β) x Assim podemos inferir que vale a igualdade para quaisquer valores que atribuirmos a α, β e x Portanto a única condição é: a = a a a = 0 a(a ) = 0 a = 0 ou a = 4 Propriedades Seja um espaço vetorial E sobre R Então valem as seguintes propriedades: P Para todo α R, α 0 = 0 Demonstração α 0 = α (0 + 0) = α 0 + α 0 α 0 + α 0 = α 0 α 0 + α 0 = 0 + α 0 [α 0 + α 0 + ( (α 0)) = [0 + α 0 + ( (α 0)) α 0 + [α 0 + ( (α 0)) = 0 + [α 0 + ( (α 0)) α 0 + 0 = 0 + 0 α 0 = 0 CTT-B 09/05/08

CAPÍTULO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 70 P Para todo u E, 0 u = 0 Demonstração 0 u = (0 + 0) u = 0 u + 0 u 0 u = 0 u + 0 u 0 u + 0 = 0 u + 0 u ( (0 u)) + [0 u + 0 = ( (0 u)) + [0 u + 0 u [( (0 u)) + 0 u + 0 = [( (0 u)) + 0 u + 0 u 0 + 0 = 0 + 0 u 0 = 0 u 0 u = 0 Seja E um espaço vetorial Prove que para todo u E, 0 u = 0 Solução: 0 u = (0 + 0) u = 0 u + 0 u 0 u = 0 u + 0 u 0 u + 0 = 0 u + 0 u ( (0 u)) + [0 u + 0 = ( (0 u)) + [0 u + 0 u [( (0 u)) + 0 u + 0 = [( (0 u)) + 0 u + 0 u 0 + 0 = 0 + 0 u 0 = 0 u 0 u = 0 P 3 Uma igualdade α u = 0, com α R e u E só é possível se α = 0 ou u = 0 Demonstração Suponha α 0 Daí existe o número real α Multiplicando então ambos os lados da equação α u = 0 por α teremos α (α u) = α 0 (α α) u = 0 u = 0 u = 0

CAPÍTULO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 7 P 4 Para todo α R e todo u E, ( α) u = (αu) Demonstração αu + ( α) u = [α + ( α) u = 0 u = 0 αu + ( α) u = 0 Assim temos: { αu + ( α) u = 0 αu + ( (α u)) = 0 αu + ( α) u = αu + ( (α u)) ( (αu)) + [αu + ( α) u = ( (αu)) + [αu + ( (α u)) [( (αu)) + αu + ( α) u = [( (αu)) + αu + ( (α u)) 0 + ( α) u = 0 + ( (α u)) ( α) u = (α u) Em particular se α = temos ( ) u = ( u) donde ( ) u = u Ou seja, o inverso aditivo de u é igual a ( ) u assim como ocorria com números reais P 5 Para todo α R e todo u E, α( u) = (αu) Demonstração αu + α ( u) = α [u + ( u) = α 0 = 0 αu + α ( u) = 0 Assim temos: { αu + α ( u) = 0 αu + ( (α u)) = 0 αu + α ( u) = αu + ( (α u)) ( (αu)) + [αu + α ( u) = ( (αu)) + [αu + ( (α u)) [( (αu)) + αu + α ( u) = [( (αu)) + αu + ( (α u))

CAPÍTULO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 7 0 + α ( u) = 0 + ( (α u)) α ( u) = (α u) Definição 4 Dados dois vetores u, v do espaço E, define-se a diferença entre u e v como segue: u v := u + ( v) (4) P 6 Para todo α, β R e u E, (α β) u = α u β u Demonstração (α β) u = (α + ( β)) u = α u + ( β) u = α u + ( (β u)) = α u (β u) = α u β u P 7 Para todo α R e todo u, v E, α (u v) = α u α v Demonstração α (u v) = α (u + ( v)) = α u + α ( v) = α u + ( (α v)) = α u (α v) = α u α v P 8 Sejam E um espaço vetorial e u, v, w E Utilizando apenas as 8 propriedades de Espaço vetorial prove que vale a lei do cancelamento,

CAPÍTULO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 73 ou seja, se u + v = u + w então v = w (Explicite cada propriedade utilizada) Solução: u + v = u + w ( u) + [u + v = ( u) + [u + w [( u) + u + v = [( u) + u + w 0 + v = 0 + w v = w P 9 Dados os números α, α,, α n, β R e u,, u n E, então: ( n ) n β α j u j = (βα j ) u j (4) j= Demonstração Faremos a demonstração por indução Seja a proposição P (n) definida como ( ) n P (n) : β α j u j = n (βα j ) u j j= j= Assim temos que ( ) P () : β α j u j = (βα j ) u j β(α u ) = (βα )u (por M ) j= j= Desenvolvendo P (n + ) temos: ( ) n+ β α j u j = n+ (βα j ) u j β β j= (( n j= ) ) j= α ju j + α n+ u n+ = n (βα j ) u j + (βα n+ ) u n+ j= ( n ) j= α ju j + β (α n+ u n+ ) = n j= j= (βα j ) u j + β (α n+ u n+ )

CAPÍTULO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 74 CTT-A,B 09/05/08 43 Subespaços Vetoriais Definição 43 Seja E um espaço vetorial sobre R Um subespaço vetorial de E é um subconjunto F E, tal que: i) 0 F ; ii) u, v F u + v F ; iii) α R, u F αu F Usaremos a seguinte notação F E para indicar que F é subespaço vetorial de E

CAPÍTULO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 75 CTT-A /05/08 Teorema 4 Se F E é um subespaço vetorial de E, então F é um espaço vetorial sobre R(Exercício) Exemplo 43 Para todo espaço vetorial E é imediato que F = {0} e F = E são subespaços de E Esses subespaços são chamados subespaços triviais Exemplo 43 F = {(x, y, z) R 3 /x + y + z = 0} é um subespaço de R 3 (Exercício) Exemplo 433 F = {(x, y, z) R 3 /x + y + z = } não é um subespaço de R 3 (Exercício)

CAPÍTULO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 76 Exemplo 434 F = {(x, y, z) R 3 /ax+by+cz = 0} é um subespaço de R 3 (Exercício) Exemplo 435 A interseção de dois subespaços do mesmo espaço vetorial E é também um subespaço vetorial de E(Exercício) (F, G E) F G E) Exemplo 436 P s (R) é um subespaço de P n (R) desde que 0 s n(exercício) Exemplo 437 Uma matriz M M n (R) é dita simétrica quando vale [M ij = [M ji O conjunto S n (R) M n (R) das matrizes simétricas é um subespaços vetoriais de M n (R) Demonstração i) [0 ji = 0 = [0 ij i, j {,, n} 0 S n (R); ii) A, B S n (R) [A ji = [A ij e [B ji = [B ij i, j {,, n} [A+B ji = [A ji +[B ji = [A ij +[B ij = [A+B ij i, j {,, n} A + B S n (R); iii) A S n (R), α R [α A ji = α [A ji = α [A ij = [α A ij i, j {,, n} α A S n (R) Exemplo 438 Uma matriz M M n (R) é dita anti-simétrica quando vale [M ij = [M ji O conjunto A n (R) M n (R) das matrizes antisimétricas é um subespaços vetoriais de M n (R) Demonstração i) [0 ji = 0 = 0 = [0 ij i, j {,, n} 0 A n (R); ii) A, B A n (R) [A ji = [A ij e [B ji = [B ij i, j {,, n} [A + B ji = [A ji + [B ji = ( [A ij ) + ( [B ij ) = ([A ij ) + [B ij ) = [A + B ij i, j {,, n} A + B A n (R); iii) A A n (R), α R

CAPÍTULO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 77 [α A ji = α [A ji = α ( [A ij ) = [α A ij i, j {,, n} α A A n (R) Exemplo 439 Se E é um espaço vetorial e u E, o conjunto dos vetores da forma λu com λ R, é um subespaço de E(Exercício) Demonstração i) 0 = 0 u F 0 F ; ii) v, w F v = λ u, w = λ u v + w = λ u + λ u = (λ + λ ) u F ; iii) v F, α R α v = α (λ u) = (α λ) u F Exemplo 430 O conjunto das matrizes triangulares superiores de dimensão n definido por T n (R) = {A M n (R); [A ij = 0 i > j} é um subespaço vetorial de M n (R) Exemplo 43 Seja um sistema linear homogênio sobre R: a x + a x + + a n x n = 0 a x + a x + + a n x n = 0 0 a m x + a m x + + a mn x n = 0 (43) Prove que o conjunto solução do sistema acima é um sub-espaço vetorial de R n Demonstração E = R n, F = {(x,, x n ) R n / (x,, x n ) é solução do sistema (43) } F E é um subespaço vetorial i) (0, 0,, 0) F ; ii) (x,, x n ), (y,, y n ) F (x,, x n )+(y,, y n ) F ; iii) λ R, (x,, x n ) F λ(x,, x n ) F ;

CAPÍTULO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 78 Exemplo 43 O conjunto G F (R) das funções g : R R tais que g(0) = 0 é um subespaço vetorial de F (R) Demonstração i) 0(0) = 0 0 F (R) ii) f, g F (R) f(0) = g(0) = 0 (f + g)(0) = f(0) + g(0) = 0 + 0 = 0 f + g F (R) iii) λ R, f F (R) f(0) = 0 (λf)(0) = λf(0) = λ0 λf F (R) Exemplo 433 Mostre que a) Dados v 0 uma solução de AX = B e v uma solução de AX = 0 então w = v 0 + v é solução de AX = B; b) Dados v 0, w soluções de AX = B então v = w v 0 é solução de AX = 0 Solução: a) De fato Aw = A(v + v 0 ) = Av + Av 0 = B + 0 = B Logo v + v 0 é uma solução de AX = B b) De fato Av = A(w v 0 ) = Aw A 0 = B B = 0 44 Soma de Subespaços Definição 44 Sejam F, G E subespaços vetoriais de E Indicamos por F + G = {u + v/u F e v G} Teorema 4 Sejam E é um espaço vetorial e F, G E subespaços vetoriais de E Então F + G também é um sub-espaço vetorial de E Demonstração

CAPÍTULO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 79 i) 0 = 0 + 0 F + G, pois 0 F, G; ii) w, t F +G w+t = (u +v )+(u +v ) = (u +u )+(v +v ) F + G; iii) w F + G, λ R λ w = λ (u + v) = λ u + λ v F + G; CTT-B /05/08 Definição 44 Sejam F, G E subespaços vetoriais de um espaço vetorial E tais que F G = {0} Neste caso diz-se que F + G é a soma direta dos subespaços F e G e indicamos por F G Teorema 43 Sejam F, G E subespaços vetoriais de um espaço vetorial E Então E = F G se, e somente se, cada vetor u E admite uma única decomposição u = v + w, com v F e w G Demonstração Se E = F G então u E u = v + w, v F e w G Suponha que u = v + w, com v F e w G v+w = v +w v v = w w F G = {0} v = v e w = w Portanto a escrita é única Supondo agora que cada vetor de u E tem uma única escrita u = v + w, com v F e w G então E = F + G Se u F G então u = u+0 = 0+u logo u = 0 Portanto F G = {0} e consequentemente E = F G Exemplo 44 O espaço R 3 é a soma direta dos subespaços: F = {(x, 0, 0) R 3 /x R} G = {(0, y, z) R 3 /y, z R} É imediato que F G = {(0, 0, 0)}

CAPÍTULO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 80 Para todo {(x, y, z) R 3 temos {(x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, z) F + G Logo R 3 = F G Exemplo 44 O espaço R 3 é claramente a soma direta dos subespaços: F = {(x, y, x + y) R 3 /x, y R} G = {(z, z, z) R 3 /y, z R} Também vale F G = {(0, 0, 0)} Para todo {(a, b, c) R 3 temos {(a, b, c) = (x, y, x + y) + (z, z, z) F + G basta tomar x = c b, y = c a e z = a + b c Logo R 3 = F G 45 Combinação Linear Definição 45 Seja E um espaço vetorial sobre R e S E um subconjunto não vazio de E Indiquemos por [S = {α u + + α n u n / u,, u n E e α,, α n R} (44) Teorema 44 [S é um subespaço vetorial de E O subespaço [S que acabamos de construir recebo o nome de espaço gerado por S Cada elemento de [S é uma combinação linear de S Dizse também que S geram [S, ou então que S é um sistema de geradores de [S Teorema 45 Decorre da definição que: a) S [S;

CAPÍTULO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 8 b) S S E [S [S ; c) [S = [[S; d) Se S E e S E, então [S S = [S + [S Demonstração a) v S v = v [S Exemplo 45 Se E = R 3, u = (, 0, 0), v = (,, 0) o que é [{u, v}? Demonstração [{u, v} = {αu + βv/ α, β R} = {(α + β, β, 0)/ α, β R} = {(x, y, 0)/ x, y R} uma vez que o sistema { α + β = x é possível e determinado β = y 46 Espaços Finitamente Gerados Exemplo 46 Seja S = {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, )} Verifique que R 3 = [S (a, b, c) R 3 vale a igualdade (a, b, c) = a(, 0, 0) + b(0,, 0) + c(0, 0, ) R 3 = [S Exemplo 46 Seja S = {(,, ), (,, 3), (, 3, 6)} Verifique que R 3 = [S (a, b, c) R 3 a equação a seguir tem solução (a, b, c) = x(,, ) + y(,, 3) + z(, 3, 6)

CAPÍTULO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 8 x y z = 3a 3b + c 5b 3a c a b + c Portanto R 3 = [S Definição 46 Dizemos que um espaço vetorial E é finitamente gerado se existe S E, finito, tal que E = [S Exemplo 463 Cada um dos seguintes espaços vetoriais é finitamente gerado: ) E = R 3 ; ) E = {0}; 3) E = M (R); 4) E = R n ; 5) E = M m n (R); 6) E = P n (R) Exemplo 464 R = {(x,, x n, ); x i R i =,,, n } não é um espaço finitamente gerado 47 Aplicações Uma aplicação de base de um espaço vetorial é a conversão de imagens no formato bmp para o formato jpg Esta conversão consiste em (uma versão discreta) escrever as matrizes rgb do mapa de bits como uma combinação linear de matrizes de uma base especial das matrizes Previsão:CTT-A,B /05/08

Capítulo 5 Base e Dimensão 5 Dependência Linear Definição 5 Uma combinação linear dos vetores u, u,, u n é uma expressão da forma α u + α u + + α n u n Exemplo 5 Um exemplo de combinação linear dos vetores (5,, 0, ), (0,, 3, 5) e (, 0, 0, ) é v = (5,, 0, ) + ( ) (0,, 3, 5) + 3 (, 0, 0, ) = (0, 4, 0, ) + (0,, 3, 5) + ( 6, 0, 0, 3) = (4, 3, 3, 4) (5) Portanto v = (4, 3, 3, 4) é uma combinação linear dos vetores (5,, 0, ), (0,, 3, 5) e (, 0, 0, ) Definição 5 Uma combinação linear nula dos vetores u, u,, u n é uma combinação linear tal que α u + α u + + α n u n = 0 Exemplo 5 Um exemplo de combinação linear nula dos vetores (5,, 0), (0,, 3), (, 0, 0) e (4, 3, 3) é (5,, 0) + ( )(0,, 3) + 3(, 0, 0) + ( )(4, 3, 3) Exemplo 53 Sejam os vetores u = (, 3) e v = (, 6) Observe que é possível obter uma combinação nula dos vetores u e v com coeficientes não todos nulos e esse fato é consequência dos vetores serem múltiplos 83

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 84 y 6 5 4 3 u 0 0 v x Observe que 0 (, 3) + 0 (, 6) = (0, 0) + (0, 0) = (0, 0) = 0 No entanto existem outras combinações lineares nulas dos vetores u e v como por exemplo (, 3) + ( ) (, 6) = (, 6) + (, 6) = (+( ), 6+( 6)) = (0, 0) De modo geral podemos resolver a seguinte equação x (, 3) + y (, 6) = 0 (x, 3x) + (y, 6y) = 0 (x + y, 3x + 6y) = (0, 0) { [ x + y = 0 0 3x + 6y = 0 3 6 0 [ x y = y [ [ 0 0 0 0 [ x y = [ y y Portanto existem infinitas combinações lineares nulas dos vetores u e v Exemplo 54 Sejam os vetores u = (, ) e v = (, 3) Note que não é possível obter uma combinação nula dos vetores u e v com coeficientes não nulos

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 85 y 4 3 v u 0 0 3 4 x x (, ) + y (, 3) = 0 (x, x) + (y, 3y) = 0 (x + y, x + 3y) = (0, 0) { [ x + y = 0 0 x + 3y = 0 3 0 [ 3 0 0 5 0 [ x y = [ 0 0 [ 3 0 0 0 [ 0 0 0 0 [ 3 0 0 Portanto a única combinações linear nula dos vetores u e v é a combinação onde os coeficientes são zero, ou seja, 0 u + 0 v = 0 Fazer um exemplo com 3 vetores Exemplo 55 Sejam os vetores u = (, ) e v = (, 3) Note que não é possível obter uma combinação nula dos vetores u e v com coeficientes não nulos

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 86 y 8 7 w 6 5 4 v 3 u 0 0 3 4 5 6 7 8 x x (, ) + y (, 3) = 0 (x, x) + (y, 3y) = 0 (x + y, x + 3y) = (0, 0) { [ x + y = 0 0 x + 3y = 0 3 0 [ 3 0 0 5 0 [ x y = [ 0 0 [ 3 0 0 0 [ 0 0 0 0 [ 3 0 0 Portanto a única combinações linear nula dos vetores u e v é a combinação onde os coeficientes são zero, ou seja, 0 u + 0 v = 0

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 87 CTT-A,B 5/05/08 Definição 53 A combinação linear nula trivial dos vetores u, u,, u n é 0 u + 0 u + + 0 u n = 0 Definição 54 Seja E um espaço vetorial Diz-se que um conjunto X é linearmente independente(abreviadamente LI) quando nenhum vetor v X é combinação linear dos demais vetores de X E X = {v} é LI se v 0 Obs: Um conjunto LI X não tem o elemento nulo pois 0 = 0 v + 0 v + + 0 v n seria uma combinação linear dos outros vetores de X Teorema 5 Sejam E um espaço vetorial e X E um subconjunto não vazio Então as afirmações seguintes são equivalentes: i) X é LI; ii) A única combinação linear nula de vetores de X é a trivial Demonstração Suponhamos que X seja LI e que α v + α v + + α n v n = 0 seja uma combinação linear nula não trivial, ou seja, algum α i 0 Então temos α u + +α (i ) u (i ) +α i u i +α (i+) u (i+) + +α k u k = 0 α i u i = ( α )u + + ( α (i ) )u (i ) + ( α (i+) )u (i+) + + ( α k )u k ( ) ( ) ( ) ( ) α u i = α i u + + αi α i u (i ) + αi+ α α i u (i+) + + k α i u k v i é uma combinação linear de outros vetores de X, ou seja, absurdo, pois X é LI, logo não existe uma combinação linear nula não trivial de vetores de X Reciprocamente suponhamos que a única combinação linear nula dos vetores de X seja a trivial e que X não seja LI, logo

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 88 v n = α v + + α n v n α v + + α n v n + ( ) v n = 0 que é uma combinação linear nula de vetores em X, na qual pelo menos um coeficiente não é zero, ou seja, uma combinação linear nula não trivial, absurdo, portanto a suposição de que X não é LI é falsa Corolário 5 Sejam vetores v,, v n Linearmente Independentes Se v = α v + + α n v n = β v + + β n v n então α = β,, α n = β n Demonstração α v + + α n v n = β v + + β n v n (α β ) v + + (α n β n ) v n = 0 (α β ) = = (α n β n ) = 0 α = β,, α n = β n Exemplo 56 Seja B = {(, 0), (0, ), (, )} Assim temos que B não é uma base pois não é LI Dessa forma a escrita de um vetor em relação a B não é única Por exemplo, (3, 5) = (, 0) + 4 (0, ) + (, ) (3, 5) = (, 0) + 3 (0, ) + (, ) Exemplo 57 Seja X = {(, 3), (, 6)} Vimos no Exemplo 53 que X é linearmente dependente pois existe uma combinação linear nula não

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 89 trivial de seus elementos Por esse motivo seus vetores não satisfazem as condições do Corolário 5 e portanto não temos a garantia de que cada combinação linear seja única como ilustram os seguintes exemplos: a) 3(, 3) + (, 6) = 5(, 3) + (, 6); b) x(, 3) + y(, 6) = (x + )(, 3) + (y )(, 6) Exemplo 58 De forma mais geral se X = {u, v, w} não é Linearmente independente então algum dos vetores de X é combinação linear dos demais, digamos, v = au + bw Essa conição é suficiente para que possamos encontrar mais do que uma forma de escrever uma combinação dada xu + yv + zw = xu + [v + (y )v + zw = xu + v + (y )v + zw = xu + (au + bw) + (y )v + zw = (xu + au) + (y )v + (zw + bw) = (x + a)u + (y )v + (z + b)w Exemplo 59 Por outro lado X = {(, ), (, 3)} é Linearmente Independente e portanto cada combinação linear de seus vetores é única Por exemplo v = 5(, ) + (, 3) = (0, 5) + (, 3) = (, 8) só pode ser escrita com coeficientes 5 e Para verificar isso basta resolver a equação abaixo e concluir que x = 5 e y = x(, ) + y(, 3) = (, 8) Exemplo 50 Os vetores canônicos e, e,, e n R n são LI e = (, 0,, 0), e = (0,,, 0),, e n = (0, 0,, ) R n Demonstração α e + α e + + α n e n = 0

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 90 α (, 0,, 0) + α (0,,, 0) + + α n (0, 0,, ) = 0 (α, 0,, 0) + (0, α,, 0) + + (0, 0,, α n ) = 0 (α, α,, α n ) = 0 α = α = = α n = 0 Exemplo 5 Os vetores u = (,, 3), v = (4, 5, 6), w = (7, 8, 9) R 3 são LD pois v u = (4, 5, 6) (,, 3) = (8, 0, ) (,, 3) = (7, 8, 9) = w Verifique que a equação xu + yv + zw = 0 admite solução não trivial Exemplo 5 Os vetores u = (,, ), v = (,, ), w = (,, ) R 3 são Linearmente Independente Verifique essa afirmação mostrando que a equação xu + yv + zw = 0 não admite solução além da trivial CTT-A,B 06/06/08 Teorema 5 Sejam v, v,, v n vetores não-nulos do espaço vetorial E Se nenhum deles é combinação linear dos anteriores então o conjunto X = {v, v,, v n } é LI Demonstração Suponhamos que X seja LD, logo existe uma combinação linear nula não trivial dos vetores de X Ou seja, α v + α v + + α n v n = 0 com algum α i 0 Suponha r o maior índice não nulo α v + + α r v r + α r v r = 0 α r v r = α v α r v r v r = α v α r v r α r α r ( v r = α ) ( v + + α ) r v r α r α r v r é uma combinação linear dos anteriores, absurdo, logo X é LI

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 9 Exemplo 53 Quando os vetores v,, v n são LD, isto não significa que qualquer um deles é combinação linear dos demais Por exemplo se u = (, ), v = (3, 4), w = (4, 8) então {u, v, w} é um conjunto LD pois w = 4 u + 0 v Porém v não é combinação linear de u e w 4 u + 0 v = 4(, ) + 0(3, 4) = (4, 8) + (00) = (4, 8) = w (3, 4) = a u + b v = a(, ) + b(4, 8) = (a, a) + (4b, 8b) = (a + b, 4a + 8b) { a + b = 3 (3, 4) = (a + b, 4a + 8b) [ 4 8 [ a b = [ 3 4 Portanto não tem solução [ 3 4 8 4 4a + 8b = 4 [ 3 0 0 8 Definição 55 Uma base de um espaço vetorial E é um subconjunto B E linearmente independente que gera E Isto significa que todo vetor v E se exprime de modo único como combinação linear v = α v + + α n v n de elementos da base B Exemplo 54 Os vetores canônicos e = (, 0,, 0), e = (0,,, 0),, e n = (0, 0,, ) R n constituem uma base de R n, chamada base canônica Os polinômios, x, x,, x n formam uma base para o espaço vetorial P n dos polinômios de grau n Lema 5 Todo sistema linear homogêneo cujo número de incógnitas é maior do que o número de equações admite uma solução não trivial A demonstração desse Lema é feita por indução matemática e a variável de indução é a quantidade m de linhas do sistema

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 9 Exemplo 55 Sejam E um espaço vetorial e B = {u, u, u 3 } um conjunto de geradores de E Prove que C = {v, v, v 3, v 4 } E é linearmente dependentes Resolução: De fato se B = {u, u, u 3 } gera E então podemos escrever os vetores de C como combinação linear dos vetores de B como abaixo v = α u + α u + α 3 u 3 v = α u + α u + α 3 u 3 v 3 = α 3 u + α 3 u + α 33 u 3 v 4 = α 4 u + α 4 u + α 34 u 3 Dizer que C = {v, v, v 3, v 4 } é LD equivale a dizer que existe uma combinação linear nula não trivial dos vetores de C Ou seja, x v + x v + x 3 v 3 + x 4 v 4 = 0 admite solução não trivial Assim x v + x v + x 3 v 3 + x 4 v 4 = 0 x (α u + α u + α 3 u 3 ) + x (α u + α u + α 3 u 3 ) + x 3 (α 3 u + α 3 u + α 33 u 3 ) + x 4 (α 4 u + α 4 u + α 34 u 3 ) = 0 (x α u + x α u + x α 3 u 3 ) + (x α u + x α u + x α 3 u 3 ) +(x 3 α 3 u +x 3 α 3 u +x 3 α 33 u 3 )+(x 4 α 4 u +x 4 α 4 u +x 4 α 34 u 3 ) = 0 (x α u + x α u + x 3 α 3 u + x 4 α 4 u ) + (x α u + x α u + x 3 α 3 u + x 4 α 4 u ) + (x α 3 u 3 + x α 3 u 3 + x 3 α 33 u 3 + x 4 α 34 u 3 ) = 0 (x α + x α + x 3 α 3 + x 4 α 4 )u

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 93 + (x α + x α + x 3 α 3 + x 4 α 4 )u + (x α 3 + x α 3 + x 3 α 33 + x 4 α 34 )u 3 = 0 Claramente a equação acima é válida se cada um dos coeficientes é nulo Assim procuramos por uma solução tal que x α + x α + x 3 α 3 + x 4 α 4 = 0 x α + x α + x 3 α 3 + x 4 α 4 = 0 x α 3 + x α 3 + x 3 α 33 + x 4 α 34 = 0 Como o sistema acima tem m = 3 equações e n = 4 incógnitas, pelo Lema 5 admite solução não trivial Portanto C é Linearmente Dependente Teorema 53 Se os vetores v,, v m geram o espaço E então qualquer conjunto com mais de m vetores em E é LD Demonstração Dados os vetores w,, w n em E, com n > m, para cada j =,, n temos w j = α j v + +α mj v m pois os vetores v,, v m geram E Para mostrar que os vetores w j são LD, devemos achar coeficientes x,, x n, não todos iguais a zero, tais que x w + + x n w n = 0 Substituindo os w j por suas expressões em termos dos v i, esta igualdade significa ( m ) ( m ) ( m ) x α i v i + x α i v i + + x n α in v i = 0 (5) i= i= ( n ) ( n ) ( n ) x j α j v + x j α j v + + x j α mj v m = 0 (53) j= j= Certamente esta última condição será satisfeita desde que todos os somatórios dentro dos parâmetros sejam nulos, ou seja, que (x, x,, x n ) seja uma solução não trivial do sistema homogêneo i= j=

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 94 α x + α x + + α n x n = 0 α x + α x + + α n x n = 0 α m x + α m x + + α mn x n = 0 Uma tal solução existe pelo Lema (5), pois n > m Logo w,, w n são LD e o teorema está demonstrado CTT-B 08/06/08 Corolário 5 Se o espaço vetorial E admite uma base B = {u,, u n } com n elementos, qualquer outra base de E possui também n elementos Demonstração Seja B = {v,, v m } outra base de E Como B gera E e B é LI, temos que n m Como B gera E e B é LI, temos que m n Logo m = n Definição 56 Diz-se que o espaço vetorial E tem dimensão finita quando admite uma base B = {v,, v n } com um número finito n de elementos Este número chama-se a dimensão do espaço vetorial E Ou seja, n = dim E Por extensão, diz-se que o espaço vetorial E = {0} tem dimensão zero CTT-A 08/06/08 Corolário 53 Se a dimensão de E é n, um conjunto com n vetores gera E se, e somente se, é LI Teorema 54 Seja E um espaço vetorial de dimensão finita n Então: i) Todo conjunto X de geradores de E contém uma base ii) Todo conjunto LI {v,, v m } E está contido numa base iii) Todo subespaço vetorial F E tem dimensão finita, a qual é menor ou igual a n

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 95 iv) Se a dimensão do subespaço vetorial F E é igual a n, então F = E 5 Base de Subespaço Observações: As operações elementares aplicadas nas linhas de uma matriz não afeta o espaço gerado pelos vetores linha dessa mesma matriz i) i, j =,, r [u,, u i,, u j,, u r = [u,, u j,, u i,, u r ii) i, j =,, r e α R [u,, u i,, u r = [u,, αu i,, u r iii) i, j =,, r e α R [u,, u i,, u j,, u r = [u,, u i + αu j,, u j,, u r Exemplo 5 Seja F = [(,,, 0), (, 0,, ), (0,,, 4) 0 L L 0 0 0 L + ( )L 0 4 0 4 0 0 4 0 4 L 3 + L 0 0 4 0 0 0 0 F = [(,,, 0), (, 0,, ), (0,,, 4) = [(, 0,, ), (0,,, 4) 53 Dimensão da soma de dois subespaços Teorema 55 Seja E um espaço vetorial sobre R de dimensão finita Se F e G são subespaços de E, então:

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 96 ou dim(f G) + dim(f + G) = dim F + dim G (54) dim(f + G) = dim F + dim G dim(f G) (55) 54 Coordenadas Definição 54 Os escalares α,, α n que figuram na equação v = α v + + α n v n, são chamados coordenadas do vetor v em relação à base ordenada B = {v,, v n } v = α α α n B = (α, α,, α n ) B = (α, α,, α n ) = α α α n (56) Exemplo 54 Ache as coordenadas de f(t) = + 4t + t em relação à base ordenada B = {, + t, + t } +4t+t = α +α (+t)+α 3 (+t ) = (α +α +α 3 ) +α t+α 3 t α + α + α 3 = α = 4 α 3 = f(t) = 3 4 B = 3 4 Exemplo 54 Determine as coordenadas de (, 0, 0) em relação à seguinte base B = {(,, ), (,, 0), (, 0, )} (, 0, 0) = x(,, ) + y(,, 0) + z(, 0, )

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 97 x y + z = x + y = 0 x z = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 3 0 3 0 0 3 0 0 3 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 x y z = 0 0

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 98 (, 0, 0) = 3 (,, ) + ( 3 )(,, 0) + 3 (, 0, ) 55 Mudança de Base Seja E um espaço vetorial de dimensão n e considere as bases B = {u,, u n } e C = {v,, v n } de E: Então existe uma única família de escalares α ij tal que v = α u + α u + + α n u n v = α u + α u + + α n u n v n = α n u + α n u + + α nn u n ou v j = n α ij u i, (j =,,, n) (57) i= Definição 55 A matriz quadrada de ordem n dada pelos coeficientes da equação (57) α α α n α α α n P = (58) α n α n α nn chama-se a matriz de mudança da base B para a base C CTT-A,B 3/06/08

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 99 Exemplo 55 Determine a matriz de mudança da base B = {(,, ), (3, 7, 4), (3, 7, 5)} do R 3 para a base C = {(,, ), (, 0, ), (,, )} desse mesmo espaço Solução: (,, ) = α (,, ) + α (3, 7, 4) + α 3 (3, 7, 5) (, 0, ) = α (,, ) + α (3, 7, 4) + α 3 (3, 7, 5) (,, ) = α 3 (,, ) + α 3 (3, 7, 4) + α 33 (3, 7, 5) 3 3 7 7 4 5 3 3 7 7 0 4 5 3 3 7 7 0 4 5 L + ( )L L 3 + ( )L 3 3 7 7 4 5 3 3 0 0 0 0 0 L 3 + ( )L 3 3 0 0 0 0 3 0 3 0 8 0 0 5 0 0 0 3 0 L + ( 3)L 3 L + ( )L 3 L + ( 3)L 0 0 4 7 0 0 5 0 0 0 3 0

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 00 P = 4 7 5 0 3 0 Exemplo 55 Qual a matriz de mudança da base B = {, + t} para a base C = {, t} no espaço P (R)? { = α + α ( + t) t = α + α ( + t) { + 0 t = (α + α ) + α t 0 + t = (α + α ) + α t { α + α = = 0 α { α + α = 0 = P = α [ 0 { α = α = 0 { α = α = é a matriz procurada Teorema 56 Sejam E um espaço vetorial, P = (α ij ) a matriz de passagem da base B = {u,, u n } para a base C = {v,, v n } de E e Q = (β ij ) a matriz de passagem da base C = {v,, v n } para a base D = {w,, w n } Então a matriz de passagem da base B para a base D é a matriz produto P Q Demonstração Pela definição de matriz de passagem temos n n v j = α ij u i e w k = β jk v j Logo i= j=

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 0 w k = n β jk v j j= ( = n n ) β jk α ij u i j= = n = n j= i= i= j= i= i= n (α ij β jk u i ) n (α ij β jk u i ) ( ) = n n α ij β jk u i j= = n [P Q ik u i i= Portanto a matriz de passagem da base B para a base D é a matriz produto P Q Corolário 54 Toda matriz de passagem é uma matriz invertível Demonstração De fato, se considerarmos a matriz de passagem P da base B para a base C e a matriz de passagem Q da base C para a base B temos que a matriz de passagem da base B para a base B é por um lado a identidade e por outro o produto de P por Q Portanto P é invertível P Q = I Teorema 57 Se a matriz das coordenadas de u V em relação à base

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 0 B é X B = x x n B e a matriz de mudança da base B = {u,, u n } para a base C = {v,, v n } é P = (α ij ), então a matriz das coordenadas de u em relação à base C é X C = P X B y Demonstração Seja X C = a matriz das coordenadas de u em y n C relação à base C Temos então u = n x i u i = n y j v j i= j= Como cada v j = n α ij u i ( j =,,, n), então i= j= i= ( u = n x i u i = n y j v j = n n ) ( ) y j α ij u i = n n α ij y j u i x i = ( ) n α ij y j j= j= i= i= α y + α y + + α n y n = x α y + α y + + α n y n = x α n y + α n y + + α nn y n = x n X B = x x x n α α α n α α α n = α n α n α nn y y y n j= = X C X B = P X C X C = P X B

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 03 Exemplo 553 Sejam E um espaço vetorial e u, v e w vetores linearmente independentes em E Os vetores a = u v + w, b = u + w e c = u + v + w são linearmente independentes? Resolução: Dizer que C = {a, b, c} é LI equivale a dizer que a única combinação linear nula dos vetores de C é a trivial Ou seja, xa + yb + zc = 0 implica x = y = z = 0 Assim xa + yb + zc = 0 x(u v + w) + y(u + w) + z(u + v + w) = 0 (x + y + z)u + (x + z)v + (x + y + z)w = 0 x + y + z = 0 x + z = 0 x + y + z = 0 Como a única solução desse sistema é x = y = z = 0 então C é LI CTT-B 5/06/08 Exemplo 554 Sejam E um espaço vetorial e B = {u, u, u 3 } um conjunto Linearmente Independentes em E Prove que C = {v, v, v 3 } E é Linearmente Dependentes onde v = u + 3 u + u 3 v = u + 4 u + 4 u 3 v 3 = 3 u + 0 u + 8 u 3 Resolução: Dizer que C = {v, v, v 3 } é LD equivale a dizer que existe uma

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 04 combinação linear nula não trivial dos vetores de C Ou seja, x v + x v + x 3 v 3 = 0 admite solução não trivial Assim x v + x v + x 3 v 3 = 0 x ( u + 3 u + u 3 ) + x ( u + 4 u + 4 u 3 ) + x 3 (3 u + 0 u + 8 u 3 ) = 0 (x u + 3x u + x u 3 ) + (x u + 4x u + 4x u 3 ) + (3x 3 u + 0x 3 u + 8x 3 u 3 ) = 0 (x u + x u + 3x 3 u ) + (3x u + 4x u + 0x 3 u ) + (x u 3 + 4x u 3 + 8x 3 u 3 ) = 0 (x +x +3x 3 )u +(3x +4x +0x 3 )u +(x +4x +8x 3 )u 3 = 0 Como os vetores u, u e u 3 são LI então a única solução da equação acima é a trivial, logo x + x + 3x 3 = 0 3x + 4x + 0x 3 = 0 x + 4x + 8x 3 = 0 Resolvendo o sistema acima concluímos que ele admite solução não trivial Portanto C = {v, v, v 3 } é Linearmente Dependente CTT-A 5/06/08 Exemplo 555 Sejam E um espaço vetorial e B = {u, u, u 3 } um conjunto Linearmente Independentes em E Prove que C = {v, v, v 3 }

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 05 E é Linearmente Independentes onde v = u + 3 u + u 3 v = u + 4 u + 4 u 3 v 3 = u + 4 u + 5 u 3 Resolução: Dizer que C = {v, v, v 3 } é LI equivale a dizer que a única combinação linear nula dos vetores de C é a trivial Ou seja, x v + x v + x 3 v 3 = 0 não admite solução não trivial Assim x v + x v + x 3 v 3 = 0 x ( u + 3 u + u 3 ) + x ( u + 4 u + 4 u 3 ) + x 3 ( u + 4 u + 5 u 3 ) = 0 (x u + 3x u + x u 3 ) + (x u + 4x u + 4x u 3 ) + (x 3 u + 4x 3 u + 5x 3 u 3 ) = 0 (x u + x u + x 3 u ) + (3x u + 4x u + 4x 3 u ) + (x u 3 + 4x u 3 + 5x 3 u 3 ) = 0 (x + x + x 3 )u + (3x + 4x + 4x 3 )u + (x + 4x + 5x 3 )u 3 = 0 Como os vetores u, u e u 3 são LI então a única solução da equação acima é a trivial, logo x + x + x 3 = 0 3x + 4x + 4x 3 = 0 x + 4x + 5x 3 = 0

CAPÍTULO 5 BASE E DIMENSÃO 06 Resolvendo o sistema acima temos x = x = x 3 = 0 Portanto C = {v, v, v 3 } é Linearmente Independente Turma A Teorema 58 Seja E um espaço vetorial sobre R Se B = {u,, u n } é uma base de E e P = (α ij ) é uma matriz invertível, então os n vetores v j = n α ij u i (j =,,, n) formam uma base de E, ou seja, i= C = {v,, v n } é uma base de E Demonstração ( n x j v j = 0 n n ) ( ) x j α ij u i = 0 n n α ij x j u i = 0 j= j= i= n α ij x j = 0 ( i =,,, n) j= i= j= α x + α x + + α n x n = 0 α x + α x + + α n x n = 0 α n x + α n x + + α nn x n = 0 α α α n α α α n α n α n α nn x x x n 0 = 0 0 x = x = = x n = 0 C = {v,, v n } é LI, portanto C = {v,, v n } também é uma base de E

Capítulo 6 Transformação Linear 6 Transformação Linear Definição 6 Sejam E e F espaços vetoriais sobre R Uma aplicação T : E F é chamada transformação linear de E em F, quando a) T (u + v) = T (u) + T (v), u, v E; b) T (λu) = λt (u), u E, λ R No caso em que E = F, uma transformação linear T : E F é chamada também de operador linear em E Exemplo 6 Verifique que a função T : R R 3 dada por T (x, y) = (x + y, x y, x + y) é uma transformação linear Demonstração T (u + v) = T ((x, y) + (z, w)) = T (x + z, y + w) = ((x + z) + (y + w), (x + z) (y + w), (x + z) + (y + w)) = ((x + y) + (z + w), (x y) + (z w), (x + y) + (z + w)) = (x + y, x y, x + y) + (z + w, z w, z + w) = T (x, y) + T (z, w) = T (u) + T (v) 07

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR 08 T (λ u) = T (λ (x, y)) = T (λ x, λ y) = (λ x + λ y, λ x λ y, (λ x) + λ y) = (λ (x + y), λ (x y), λ (x + y)) = λ (x + y, x y, x + y) = λ T (x, y) = λ T (u) Portanto T é uma transformação linear Exemplo 6 Prove que as funções f : R R dada por f(x) = x, g : R + R dada por g(x) = x e h : R R dada por h(x) = 3x+ não são transformações lineares Exemplo 63 Seja 0 : E F dada por u 0 Verifique que 0 é uma transformação linear { 0(u + v) = 0 = 0 + 0 = 0(u) + 0(v) 0(λ u) = 0 = λ 0 = λ 0(u) Exemplo 64 Seja I : E E dada por u u Verifique que I é uma transformação linear { I(u + v) = u + v = I(u) + I(v) I(λ u) = λ u = λ I(u) Exemplo 65 Verifique que a função T : R 3 R dada por T (x, y, z) = (y, x z) é uma transformação linear Demonstração

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR 09 T (u + v) = T ((x, y, z ) + (x, y, z )) = T (x + x, y + y, z + z ) = (y + y, (x + x ) (z + z )) = (y + y, x + x z z ) = (y, x z ) + (y, x z ) = T (x, y, z ) + T (x, y, z ) = T (u) + T (v) T (λ u) = T (λ (x, y, z )) = T (λ x, λ y, λ z ) = (λ y, (λ x ) (λ z )) = λ (y, x z ) = λ T (x, y, z ) = λ T (u) Portanto F é uma transformação linear Exemplo 66 Verifique que a função T : R m R n dada por T (x, x,, x m ) = (a x + + a n x n,, a m x + + a mn x n ) ou o que é o mesmo dada por: x a x + + a n x n x T = a x + + a n x n x m a m x + + a mn x n é uma transformação linear Demonstração Basta observar que T é dada por T x x x m = a x + + a n x n a x + + a n x n a m x + + a mn x n

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR 0 T x x x m = a a n a a n a m a mn x x x n = A X Portanto como o produto de matrizes é distributivo e "associativo"em relação à multiplicação por escalar valem: T (X + Y ) = A(X + Y ) = AX + AY = F (X) + T (Y ) e T (λx) = A(λX) = λ(ax) Logo F é uma transformação linear Exemplo 67 Verifique que a função D : P n (R) P n (R) definida por D(f(t)) = f (t) para todo polinômio f(t) de P n (R)(f (t) indica a derivada de f(t)) é uma transformação linear Sejam E e F espaços vetoriais sobre R e consideremos uma transformação linear T : E F Valem as seguintes propriedades para T : P T (0) = 0; Demonstração F (0) + 0 = T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0) 0 = T (0) T (0) = 0 CTT-A 0/06/08 P T ( u) = T (u) u U; Demonstração

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR T (u) + ( T (u)) = 0 = T (0) = T (u + ( u)) = T (u) + T ( u) Logo T (u) + ( T (u)) = T (u) + T ( u) T (u) = T ( u) T ( u) = T (u) P 3 T (u v) = T (u) T (v) u, v E; Demonstração T (u v) = T (u + ( v)) = T (u) + T ( v) = T (u) + ( T (v)) = T (u) T (v) CTT-B 0/06/08 P 4 Se G é um subespaço de E, então a imagem de G por T é um subespaço vetorial de F Demonstração Lembremos que T (G) = {T (u)/u G} é a imagem direta de G por T i) Como 0 G e T (0) = 0, então 0 T (G); ii) u, v T (G) u = T (x), v = T (y), x, y G u + v = T (x) + T (y) = T (x + y) T (G) pois, x + y G, x, y G; iii) λ R, u T (G) u = T (x), x G λu = λt (x) = T (λx) T (G) pois, λx G, λ R, x G P 5 Sendo T : E F linear então T ( n ) a i u i = i= n a i T (u i ) (6) i=

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR Demonstração Se n = temos ( n ) ( ) T a i u i = T a i u i i= i= = T (a u ) = a F (u ) = a i T (u i ) i= = n a i T (u i ) i= Suponhamos agora a afirmação verdadeira par um n qualquer e provemos para n + ( n+ ) ( n ) T a i u i = T a i u i + a n+ u n+ i= ( i= n = T ) a i u i + T (a n+ u n+ ) i= = n a i T (u i ) + a n+ T (u n+ ) i= = n+ i= a i T (u i ) 6 Núcleo e Imagem Definição 6 Sejam E e F espaços vetoriais sobre R e T : E F uma transformação linear Indica-se por N(T ) e denomina-se núcleo de T o seguinte subconjunto de E: N(T ) = {u E/ T (u) = 0} (6) Exemplo 6 Seja T : R 3 R dada por T (x, y, z) = (x y, y z) Então N(T ) é a solução do seguinte sistema

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR 3 T (x, y, z) = 0 { { x y = 0 x = y y z = 0 y = z x = y = z N(T ) = {(t, t, t); t R} = [(,, ) R 3 Teorema 6 Seja T : E F uma transformação linear Então: ) N(T ) é um sub-espaço vetorial de E; ) T é injetiva se, e somente se, N(T ) = {0} Demonstração i) T (0) = 0 0 N(T ); ii) x, y N(T ) T (x + y) = T (x) + T (y) = 0 + 0 = 0 x + y N(T ); iii) λ R, x N(T ) T (λx) = λt (x) = λ 0 = 0 λx N(T ) Se T é injetiva então T (v) = 0 = T (0) v = 0 N(T ) = {0} Se N(T ) = {0} então T (u) = T (v) T (u) T (v) = 0 T (u v) = 0 u v N(T ) u v = 0 u = v Portanto T é injetiva Teorema 6 (Teorema do Núcleo e da Imagem) Sejam E e F espaços vetoriais de dimensão finita e A : E F uma transformação linear Então vale a seguinte igualdade dim E = dim N(A) + dim Im(A) (63) Demonstração Sejam C = {v,, v q } uma base de N(A) e D = {Au,, Au p } uma base de Im(A) Então B = {u,, u p, v,, v q } é uma base de E Vamos demonstra que B é LI e que gera E Para demonstrar que B é LI basta mostrar que a única combinação linear nula de seus vetores é a trivial suponhamos que

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR 4 α u + + α p u p + β v + + β q v q = 0 (64) Aplicando A em ambos os lados da equação (64) obetemos A(α u + + α p u p + β v + + β q v q ) = A(0) α A(u ) + + α p A(u p ) + β A(v ) + + β q A(v q ) = A(0) α A(u ) + + α p A(u p ) = 0 α = = α p = 0 pois, D é uma base e portanto seus vetores são LI e consequentemente a única combinação linear de seus vetores é a trivial Substituindo esses valores na equação (64) obtemos β v + + β q v q = 0 β = = β q = 0 α = = α p = β = = β q = 0 Portanto B é LI, pois uma combinação linear de seus vetores é inevitavelmente a trivial Agora vamos demonstrar que dado um vetor qualquer w E podemos escreve-lo como combinação linear dos elementos de B w E A(w) Im(A) A(w) = α A(u ) + + α p A(u p ) A(w) = A(α u + + α p u p ) A(w) A(α u + + α p u p ) = 0 A(w (α u + + α p u p )) = 0 w (α u + + α p u p ) N(A) w (α u + + α p u p ) = β v + + β q v q w = α u + + α p u p + β v + + β q v q Portanto B gera E Portanto B é uma base de E pois B é LI e gera E

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR 5 Corolário 6 Sejam E e F espaços vetoriais sobre R com a mesma dimensão finita n e suponhamos T : E F uma transformação linear Então são equivalentes as seguintes afirmações: i) N(T ) = {0}; ii) T é injetiva ; iii) T é sobrejetiva ; iv) T é bijetiva ; v) T transforma uma base de E em uma base de F (isto é, se B é uma base de E, então T (B) é uma base de T (E) CTT-B 7/06/08

Capítulo 7 Matriz de uma Transformação Linear 7 Operações com Transformações Lineares Definição 7 Sejam E e F espaços vetoriais sobre R Indiquemos por L(E, F ) o conjunto de todas as transformações lineares de E em F Se F = E, o conjunto dos operadores de E será donotado por L(E) Sejam R, S L(E, F ) transformações lineares de E em F Se definirmos T : E F dada por T (u) = R(u) + S(u) então T é também uma transformação linear De fato T (u+v) = R(u+v)+S(u+v) = [R(u)+ R(v) + [S(u) + S(v) = [R(u) + S(u) + [R(v) + S(v) = T (u) + T (v) e T (λu) = R(λu) + S(λu) = λr(u) + λs(u) = λ[r(u) + S(u) = λt (u) Definimos a seguir a soma de transformações lineares Portanto T = R + S L(E, F ) e assim está bem definida a adição Definição 7 Dados S, T L(E, F ), definimos a soma S + T de S com T da seguinte forma: S + T : E F dada por (S + T )(u) = S(u) + T (u) u E A ) S + T = T + S, S, T L(E, F ) (Comutatividade); A ) (R + S) + T = R + (S + T ), R, S, T L(E, F ) (Associatividade); A 3 ) T + 0 = T, T L(E, F ), onde 0(u) = 0, u E (Existência do elemento neutro da adição); A 4 ) T L(E, F ) ( T )/ T + ( T ) = 0, onde ( T )(u) = T (u), u E (Existência do inverso aditivo) 6

CAPÍTULO 7 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 7 Sejam S L(E, F ) transformação linear de E em F Se definirmos T : E F dada por T (u) = λs(u) então T é também uma transformação linear De fato T (u + v) = λs(u + v) = λ[s(u) + S(v) = λs(u) + λs(v) = T (u) + T (v) e T (αu) = λs(αu) = λ(αs(u)) = (λα)s(u) = (αλ)s(u) = α(λs(u)) = α(t (u)) Definimos a seguir o produto de transformações lineares por escalar Portanto λt assim definida é uma transformação linear Definição 73 Dados T L(E, F ) e λ R, definimos o produto λt de λ com T da seguinte forma: λt : E F dada por (λt )(u) = λt (u), u E M ) (α β) T = α (β T ), α, β R (Associatividade); M ) (α + β) T = α T + β T, T L(E, F ), α, β R (Distributividade da multiplicação em relação à soma de números reais); M 3 ) α (R + S) = α R + α S, R, S L(E, F ), α R (Distributividade da multiplicação em relação à soma de transformações); [α(r + S)(u) = α(r + S)(u) = α[r(u) + S(u) = αr(u) + αs(u) = (αr)(u) + (αs)(u) = [αr + αs(u) M 4 ) T = T, T L(E, F ) (Existência do elemento neutro da multiplicação) Essas operações fazem de L(E, F ) um espaço vetorial, ou seja, (L(E, F ), +, ) é um espaço vetorial real CTT-A 7/06/08 Definição 74 Sejam E, F e G espaços vetoriais sobre R Se T : E F e S : F G são transformações lineares, denota-se por S T a aplicação composta de T e S definida por: S T : E G e (S T )(u) = S(T (u)), u E

CAPÍTULO 7 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 8 U F V G W u F (u) (G F )(u) G F a) (S T )(u+v) = S(T (u+v)) = S(T (u)+t (v)) = S(T (u))+s(t (v)) = (S T )(u) + (S T )(v) u, v E; b) (S T )(λu) = S(T (λu)) = S(λT (u)) = λs(t (u)) = λ(s T )(u) λ R u E; Portanto (S T ) L(E, G) é uma transformação linear Propriedades: C ) (R S) T = R (S T ), R, S, T L(E)(Associatividade); C ) I T = T I = T, T L(E)(Elemento neutro da composição); C 3 ) R (S + T ) = R S + R T, R, S, T L(E)(Distributividade da composição em relação à soma de transformações lineares); Exemplo 7 Assim como o produto de matrizes a composição de transformações não é comutativa, ou seja, não vale S T = T S em geral Por exemplo, dados S : R R e T : R R dadas por

CAPÍTULO 7 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 9 S(x, y) = (x + y, 0) e T (x, y) = (x, y), então (S T )(x, y) = S(T (x, y)) = S(x + y, 0) = (x + y, 0) e (T S)(x, y) = T (S(x, y)) = T (x, y) = (x + y, 0) Logo S T T S Definição 75 Seja T um operador linear em E Definimos a potência de T por indução da seguinte forma: T 0 = I T n+ = T n T Ou seja, T 0 T T T 3 T 4 T n+ = I = T 0 T = I T = T = T T = T T = T T = T T T = T 3 T = T T T T = T n T = (T T T ) T Operadores Nilpotentes T n = 0, T 0 Exemplo 7 T : R 3 R 3 dada por T (x, y, z) = (0, x, y) é nilpotente pois T 3 (x, y, z) = T (T (T (x, y, z))) = T (T (0, x, y)) = T (0, 0, x) = (0, 0, 0) = 0 T 3 = 0 Exemplo 73 D : P n (R) P n (R) dada por D(f(t)) = f (t) é nilpotente

CAPÍTULO 7 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 0 Operadores Idepotentes ou Projeções P = P, P 0 e P I Exemplo 74 P : R R dada por P (x, y) = ( x+y projeção ortogonal sobre a reta y = x e satisfaz P = P y (x, y), x+y ) é a a P (x, y) = ( x+y, x+y ) (0, 0) a x Exemplo 75 P : R 3 R 3 dada por P (x, y, z) = 3 (x y + z, x + y + z, x + y + z) é a projeção sobre o plano x + y z = 0 e satisfaz P = P Exemplo 76 Seja P : R R a projeção ortogonal do ponto (x, y) sobre a reta y = mx a) Determine uma expressão para P (x, y) = (a, ma) encontrando a em função de x, y e m [Dica: utilize o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo de vértices (0, 0), (x, y), (a, ma); b) Depois mostre que P é uma transformação linear Solução:

CAPÍTULO 7 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR y (x, y) ma P (x, y) (0, 0) a x x + y = a + (ma) + (x a) + (y ma) x + y = a + m a + x ax + a + y may + m a 0 = a + m a ax + a may + m a 0 = a + m a ax may 0 = a + m a ax may 0 = a + m a x my x + my = a + m a a + m a = x + my a( + m ) = x + my a = x + my + m P (x, y) = b) ( x + my + m, mx + ) m y + m u = (x, y) v = (z, w)

CAPÍTULO 7 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR P (u + v) = P ((x, y) + (z, w)) = P (x + z, y + w) ( (x + z) + m(y + w) =, m(x + z) + ) m (y + w) + m + m ( (x + my) + (z + mw) =, (mx + m y) + (mz + m ) w) + m + m ( (x + my) (z + mw) = + + m + m, (mx + m y) + (mz + ) m w) + m + m ( x + my = + m, mx + ) ( m y z + mw + + m + m, mz + ) m w + m = P (x, y) + P (z, w) = P (u) + P (v) P (λu) = P (λ(x, y)) = P ((λx, λy)) ( (λx) + m(λy) =, m(λx) + ) m (λy) + m + m ( λ(x + my) =, λ(mx + ) m y) + m + m ( x + my = λ + m, mx + ) m y + m = λp (x, y) = λp (u) Exemplo 77 Sejam a, b R com a b e P : R R a projeção do ponto (x, y) sobre o vetor u = (, a)(ou seja, sobre a reta y = ax) paralela ao vetor v = (, b) Determine uma expressão para a projeção P (x, y)

CAPÍTULO 7 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 3 Solução: y y = bx (x, y) = αu + βv βv b a v u (x, y) = αu + βv (x, y) = α(, a) + β(, b) { α + β = x α a + β b = y [ x a b y [ x 0 b a y ax x 0 y ax b a αu y = ax P (x, y) = αu c x

CAPÍTULO 7 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 4 0 bx y b a 0 y ax b a α β = α = y bx a b y bx a b y ax a b P (x, y) = ( ) y bx a(y bx), a b a b CTT-B 04/07/08 Exemplo 78 Sejam u = (, 3, ), u = (3, 0, 6), u 3 = (, 5, 8) R 3 e P : R 3 R 3 a projeção do ponto (x, y, z) sobre subespaço F = [u, u paralela ao subespaço G = [u 3 Determine uma expressão para a projeção P F (x, y, z) Solução: (x, y, z) = α u + α u + α 3 u 3 (x, y, z) = α (, 3, ) + α (3, 0, 6) + α 3 (, 5, 8) (x, y, z) = (α, 3α, α ) + (3α, 0α, 6α ) + (α 3, 5α 3, 8α 3 ) (x, y, z) = (α + 3α + α 3, 3α + 0α + 5α 3, α + 6α + 8α 3 ) α + 3α + α 3 = x 3α + 0α + 5α 3 = y α + 6α + 8α 3 = z

CAPÍTULO 7 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 5 3 x 3 0 5 y 6 8 z Escalonando essa matriz obtemos a seguinte matriz 0 0 50x 8y + 5z 0 0 7y 9x z 0 0 8x 3y + z Portanto a solução do sistema é dada por α 50x 8y + 5z α α 3 = 7y 9x z 8x 3y + z Assim podemos escrever a projeção da seguinte forma P F (x, y, z) = α u + α u = (50x 8y + 5z)(, 3, ) + (7y 9x z)(3, 0, 6) P F (x, y, z) = (50x 8y + 5z)(, 3, ) + (7y 9x z)(3, 0, 6) P F (x, y, z) = (50x 8y + 5z, 50x 54y + 5z, 50x 8y + 5z) + (y 57x 6z, 70y 90x 0z, 4y 4x z) Depois de manipular as expressões obtemos uma fórmula para a projeção sobre F paralela a G P F (x, y, z) = ( 7x + 3y z, 40x + 6y 5z, 64x + 4y 7z)

CAPÍTULO 7 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 6 Exemplo 79 Sejam u = (,, ), u = (, 5, 5), u 3 = (, 3, 5) R 3 e P : R 3 R 3 a projeção do ponto (x, y, z) sobre subespaço F = [u, u paralela ao subespaço G = [u 3 Determine uma expressão para a projeção P F (x, y, z) α α α 3 = 0x 5y + z 4y 7x z 5x 3y + z

CAPÍTULO 7 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 7 Exemplo 70 Sejam u = (,, ), u = (0,, 0), u 3 = (0,, ) R 3 e P : R 3 R 3 a projeção do ponto (x, y, z) sobre subespaço F = [u, u paralela ao subespaço G = [u 3 Determine uma expressão para a projeção P F (x, y, z) α α α 3 = x y z z x Teorema 7 Seja P : E E um operador linear equivalentes as seguintes propriedades: Então são i) P = P ; ii) E = N(P ) Im(P ) CTT-A,B 7/06/08 Involuções ou Simetrias S = I, S ±I