[0000]-p1/6 QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-4) ando necessário, use π = 3, 14, g=10 m/s 2. Respostas da questões por versão de prova: E7Hx: (1) A; (2) E; (3) A; (4) E; 112F: (1) E; (2) B; (3) D; (4) B; xa2b: (1) B; (2) D; (3) C; (4) B; E2xy: (1) D; (2) D; (3) B; (4) D; (1) [1,0] Um sistema massa-mola é imerso num meio viscoso, com constante de amortecimento ρ = 1 kg/s e constante de mola k = 400 N/m. Uma força externa de frequência angular Ω = 10 rad/s atua sobre a massa. al deve ser o valor da massa para que a amplitude do movimento seja máxima? (a) 4 kg (b) 35 g (c) 40 g (d) 350 g (e) 35 kg Sabendo que a amplitude de um oscilador harmônica amortecido forçado é dada por A(Ω) = F 0 /m (ω 2 0 Ω2) 2 + γ 2 Ω 2 fica evidente que, dados o amortecimento γ e a frequência de ressonância do oscilador livre ω 0 teremos uma amplitude máxima quando Ω = ω 0. Portanto, teremos m = k/ω 2 = 4 kg. = k/m, (2) [1,0] Uma partícula de massa m obedece a lei horária para a posição conforme a figura, onde x é dado em metros e t em segundos.
[0000]-p2/6 Indique a afirmação abaixo que é compatível com a figura: (a) O sistema corresponde a amortecimento subcrítico, com γ 0, 9 s 1 e ω 4 s 1. (b) O sistema corresponde a amortecimento supercrítico, com γ 1, 6 s 1 e β 0, 8 s 1. (c) O sistema corresponde a amortecimento subcrítico, com γ 1, 6 s 1 e ω 2 s 1. (d) O sistema corresponde a amortecimento crítico, com γ 0, 9 s 1. (e) O sistema corresponde a amortecimento supercrítico, com γ 0, 9 s 1 e β 4 s 1. Pelo gráfico, característico de uma oscilação harmônica amortecida em regime subcrítico, vemos que a oscilação ocorre com um período de 1,6 s, o que implica em ω = 2π/T (6/1, 6)rad/s (6 6/10)rad/s = 3, 6rad/s 4rad/s. O amortecimento da amplitude evolui com uma função do tipo exp( γt/2). ando t = 2/γ, a amplitue é reduzida por um fator e 1 1/3. O pico em t = 2, 2s está a 30 % da amplitude inicial. Tomando este tempo como referência, teremos γ (2/2, 2)s 0, 9 s. Como há oscilação com uma redução monotônica da amplitude, o amortecimento é subcrítico. Portanto, resposta (a). (3) [1,0] Um circuito elétrico constituído por um resistor R, um capacitor C e um indutor L, está ligado e possui corrente elétrica I. Sabendo que a equação diferencial que representa este sistema é dada por L d2 I + R di dt 2 dt + C 1 I = dv dt, onde V(t) é a diferença de potencial aplicada ao circuito e que varia com o tempo. Determine qual afirmativa abaixo é correta: (a) Esta equação corresponde à de um oscilador harmônico forçado, cuja frequência angular da solução homogênea é dada por w = 1/(LC) (R/2L) 2. (b) Esta equação corresponde à de um oscilador harmônico amortecido, cuja frequência angular da solução homogênea é dada por w = 1/(LC) 2 (R/2L) 2. (c) Esta equação corresponde à de um oscilador harmônico forçado, cuja frequência angular da equação homogênea é dada por w = 1/(LC) 2 (R/2L) 2. (d) Esta equação não corresponde à de um oscilador harmônico dado que o resistor, capacitor e indutor não oscilam. (e) Esta equação não corresponde à de um oscilador harmônico dado que a diferença de potencial não oscila. A equação da evolução da corrente pode ser escrita como d 2 I dt 2 + γ di dt + ω2 0 I = f (t) com γ = R L, ω2 0 = 1 LC, f (t) = 1 dv L dt. Identificamos portanto uma equação diferencial de um oscilador harmônico amortecido forçado. Neste caso, a solução homogênea (para f (t) = 0) tem uma frequência de resposta w = ω0 2 (γ/2)2.
[0000]-p3/6 Portanto, resposta (a). (4) [1,0] O gráfico abaixo representa o valor da amplitude (em metros) em função da razão entre a frequência angular de uma força periódica externa e a frequência angular de um oscilador harmônico. Sabendo-se que esta força atua sobre o oscilador, a partir da observação do gráfico abaixo, podemos afirmar que: (a) O gráfico representa o comportamento de um sistema oscilatório forçado com amortecimento desprezível. Uma equação diferencial do tipo ẍ + γẋ + ω 2 0 x = F ext/m não é suficiente para analisar este movimento precisamente. (b) O gráfico representa o comportamento de um sistema oscilatório forçado com amortecimento desprezível. Uma equação diferencial do tipo ẍ + γẋ + ω 2 0 x = F ext/m é suficiente para analisar este movimento precisamente. (c) O gráfico representa o comportamento de um sistema oscilatório forçado com fator de amortecimento não desprezível, mas menor que 2ω 0. Uma equação diferencial do tipo ẍ + γẋ + ω 2 0 x = F ext/m é suficiente para analisar este movimento precisamente. (d) O gráfico representa o comportamento de um sistema oscilatório forçado com fator de amortecimento não desprezível, mas menor que 2ω 0. Uma equação diferencial do tipo ẍ + γẋ + ω 2 0 x = F ext/mnão é suficiente para analisar este movimento precisamente. (e) O gráfico representa o comportamento de um sistema oscilatório forçado com fator de amortecimento forte e maior do que 2ω 0. Uma equação diferencial do tipo ẍ + γẋ + ω 2 0 x = F ext/m é suficiente para analisar este movimento precisamente. O sistema apresenta um aumento de amplitude para w/w 0 = 1. A divergência indica um amortecimento muito fraco. Neste caso, a equação diferencial usual do oscilador harmônico não é suficiente para descrever o movimento de forma precisa, pois ela pressupõe linearidade no amortecimento e na resposta da força de restauro, o que não é satisfeito na condição de ressonância devido à grande amplitude da oscilação. Portanto, resposta (a).
[0000]-p4/6 QUESTÕES DISCURSIVAS ATENÇÃO: A solução dessas questõẽs devem ser feitas no caderno de provas devidamente identificado com nome, NUSP e turma. Onde necessário aproxime π = 3. (QD1) Um bloco de 2 Kg está suspenso por uma mola e oscila verticalmente. Seu movimento é descrito pela equação ÿ + bẏ + cy = 0. Observa-se que a amplitude do movimento se reduz a 1/e 2 de seu valor inicial após 2 oscilações. Considerando que estas duas oscilações levam 2 s, determine: a)(1.0) O valor numérico dos coeficientes b e c e da constante elástica da mola. R: A presença de oscilações amortecidas, implica que o movimento é amortecido sub-criticamente. T = 1s (2 oscilações em 2s) ω = 2π T 6 rad/s A 2 = A 0 e 2γ/2 = A 0 γ = 2 s 1 b = 2 s 1 e 2 ω0 2 = ω2 + γ 4 = 36 + 1 = 37 (rad/s)2 c = 37 s 2 k = mω 2 0 = 74 N/m. b)(1.0) Resolva a equação diferencial encontrando y(t) sabendo que o sistema inicia seu movimento na posição de equilíbrio y 0 = 0 e com velocidade = -12 m/s. R: A solução da ED para o amortecimento subcrítico é dado por: y(t) = Ae γt/2 cos(ωt + ϕ) y 0 = A cos(ϕ)) ϕ = ± π 2 ẏ(t) = Ae γt/2 [ γ 2 cos(ωt + ϕ) ω sin(ωt + ϕ)] ẏ 0 = A cos ϕ 6A sin ϕ = 12 sin ϕ > 0 ϕ = + π 2 A sin ϕ = 2 m y(t) = 2e t cos ( 6t + π ) 2 m c)(1.0) Considere agora que este oscilador seja acoplado à uma força externa e passe a oscilar conforme a equação ÿ + bẏ + cy = cos(ωt). Encontre a frequência Ω r para a qual a amplitude da oscilação seja máxima e a amplitude do movimento para esta frequência. Considere que o tempo durante o qual o sistema está operando é grande o suficiente para que a parte homogênea já tenha decaído. A amplitude será máxima quando ( ) ( ) da 2 dω = 0 ou d 1 max dω A = 0 2 min Calculando esta derivada (que deve ser realizada na prova) chega-se à Ω R = ω 2 0 γ2 (37 35) 2 +4 35 cálculo da amplitude: da expressão dada no enunciado F 0 m = 1 N/kg e A r = 1 1 12 m 2 = 35 rad/s. Para o = 144 1 =
nome, NUSP e turma. Onde necessário aproxime π = 3. (QD1) Um bloco de 2 Kg está suspenso por uma mola e oscila verticalmente. Seu movimento é descrito pela equação ÿ + bẏ + cy = 0. Observa-se que a amplitude do movimento se reduz a 1/e 2 de seu valor inicial após 2 oscilações. Considerando que estas duas oscilações levam 2 s, determine: a)(1.0) O valor numérico dos coeficientes b e c e da constante elástica da mola. b)(1.0) Resolva a equação diferencial encontrando y(t) sabendo que o sistema inicia seu movimento na posição de Física II para a Escola Politécnica (4323102) - P2 (20/10/2017) [0000]-p5/6 equilíbrio y 0 = 0 e com velocidade = -12 m/s. c)(1.0) Considere agora que este oscilador seja acoplado à uma força externa e passe a oscilar conforme a equação ÿ + bẏ + cy = cos(ωt). Encontre a frequência Ω r para a qual a amplitude da oscilação seja máxima e a (QD2) Considere amplitude um bloco do movimento de m = para 0, 5esta kg, frequência. preso aconsidere uma mola que o tempo de constante durante o qual k = o sistema 50 N/m. está operando O bloco pode é grande o suficiente para que a parte homogênea já tenha decaído. movimentar-se sobre uma superfície horizontal em que um líquido viscoso foi derramado, dando origem a uma força dissipativa proporcional à velocidade, com constante ρ = 0, 1 kg/s. Uma força externa F(t) = F 0 cos(ωt) é aplicada ao bloco, onde (QD2) F 0 Considere = 0, 2 Nume bloco Ω é uma de m freqüência = 0, 5 kg, preso angular a umasintonizável. mola de constante k = 50 N/m. O bloco pode movimentar-se sobre uma superfície horizontal em que um líquido viscoso foi derramado, dando origem a uma força dissipativa proporcional à velocidade, com constante ρ = 0, 1 kg/s. Uma força externa F(t) =F 0 cos(ωt) é aplicada ao bloco, onde F 0 = 0, 2 NeΩ é uma freqüência angular sintonizável. a) [1,0] Calcule a potência média transferida pela força externa ao bloco, na situação estacionária, em função de Ω. b) [1,0] Encontrea) a[1,0] expressão Calcule a potência exata da média freqüência transferida Ωpela max força emexterna que essa ao bloco, potência na situação média estacionária, é máxima. em função Calcule de Ω. o valor desta frequência, justificando as aproximações. b) [1,0] Encontre a expressão exata da freqüência Ω max em que essa potência média é máxima. Calcule o valor desta frequência, justificando as aproximações. c) [1,0] Suponha agora que a força externa é desligada, qual será a taxa de dissipação de energia do sistema? c) [1,0] Suponha agora que a força externa é desligada, qual será a taxa de dissipação de energia do sistema?
[0000]-p6/6
[0000]-p7/6 FORMULÁRIO x(t) = A cos (ω 0 t + φ) k ω 0 = m ; k = d2 U(x) x=x0 dx 2 x(t) = Ae γ 2 t cos (ωt + φ); ω = x(t) = e γ 2 t ( ae βt + be βt) ; β = x(t) = e γ 2 t (a + bt) x(t) = F 0/m cos (Ωt + φ) ω0 2 Ω2 x(t) = A(Ω) cos (Ωt + φ(ω)); A(Ω) = ω 2 0 γ2 4 γ 2 4 ω2 0 F 0 /m ; tan φ(ω) = γω (ω 2 0 Ω2 ) 2 +γ 2 Ω 2 ω0 2 Ω2 Q = A(ω 0) A(0) ; Q = ω 0 γ ; τ d = γ 1 Potência Média: P = mγẋ 2 sin(ωt + φ) 2 = cos(ωt + φ) 2 = 1/2 ω 2 0 Ω2 = (ω 0 + Ω)(ω 0 Ω) 2ω 0 (ω 0 Ω), para Ω ω 0 cos(a ± b) = cos(a)cos(b) sen(a)sen(b) sen(a ± b) = sen(a) cos(b) ± sen(b) cos(a)