Questões Discurssivas

Questões Discurssivas 1) Um fazendeiro deseja delimitar uma área retangular utilizando 40m de cerca e aproveitando um muro (de mais de 40m) que já está construído. Determine as dimensões do retângulo de maior área que o fazendeiro consegue delimitar. Seja x o comprimento dos lados do retângulo perpendiculares ao muro e y o comprimento do lado do retângulo paralelo ao muro. Com isto a metragem utilizada é cerca de 2x + y. Daí 2x + y = 40 y = 40 2x A área do reângulo é dada por xy. Logo, queremos maximizar xy = x(40 2x), polinômio quadrático com coeficiente negativo, com raízes x = 0 e x = 20. Seu valor máximo ocorre em x = 10 (ponto médio entre as raízes) Logo y = 40 2.10 = 20. 2) As figuras a seguir mostram duas circunferências distintas, com centros C 1 e C 2 que se intersectam nos pontos A e B. Uma reta r passa por A, corta a circunferência da esquerda em P e a circunferência da direita em Q e é tal que A está entre P e Q. a) Mostre que se r é paralela à reta C 1 C 2 o segmento P Q é o dobro do segmento C 1 C 2. Atenção: a figura deve ser feita no caderno de respostas 1

b) Mostre que se r não é paralela à reta C 1 C 2 o segmento P Q é menor que o dobro do segmento C 1 C 2. Atenção: a figura deve ser feita no caderno de respostas a) Seja M o ponto médio do segmento P A e N o ponto médio do segmento AQ. Como P A é uma corda da circunferência à esquerda, de centro C 1, então C 1 M é perpendicular a P A. Da mesma forma C 2 N é perpendicular a AQ. Além disso, sendo C 1 C 2 paralelo à reta r, segue que C 1 C 2 é perpendicular aos segmentos C 1 M e C 2 N. Então C 1 C 2 MN é um retângulo. Disso decorre que NM= C 1 C 2. Logo, P Q = P M + MA + AN + NQ. Como P M = MA e AN = NQ, segue que P Q = 2(MA + AN) = 2MN = 2C 1 C 2. b) Sejam M e N como no item (a). Seja l M a reta contendo C 1 M e l N a reta contendo C 2 N. As duas retas são perpendiculares a P Q e paralelas entre si. A distância mínima entre dois pontos que estejam cada um em uma dessas retas ocorre quando o segmento por esses pontos é perpendicular a ambas as retas, como é o caso de MN. Em outras palavras, quando o segmento pelos dois pontos é paralelo a r. Então, como C 1 C 2 não é paralelo a r, po hipótese, C 1 C 2 > MN. 2

Daí segue que P Q = 2(MA + AN) = 2MN > 2C 1 C 2, como se queria demonstrar. 3) Um engenheiro fará uma passarela de 10 metros de comprimento, ligando a porta da casa ao portão da rua. A passarela terá um metro de largura e ele, para revesti-la, dispõe de 10 pedras quadradas de lado 1 metro e 5 pedras retangulares de 1 metro por 2 metros. Todas as pedras são da mesma cor, as pedras de mesmo tamanho são indistinguíveis umas das outras e o rejunte ficará aparente, embora com espessura desprezível. De quantas maneiras ele pode revestir a passarela? Sejam n, m o número de pedras 1x1 e 2x1, respectivamente. Para a passarela de 10m 2, temos as seguintes possibilidades para (n, m) : (10, 0), (8, 1), (6, 2), (4, 3), (2, 4) e (0, 5). Em cada um dos casos (10,0) e (0,5) só há uma maneira de revestir a passarela, já que todas as pedras são iguais. No caso (8,1), há 9 possibilidades de se colocar a única pedra de 2m 2 junto com as 8 pedras de 1m 2. Note que nenhuma destas disposições é equivalente entre si, pois as duas pontas da passarela são distinguíveis entre si. A mesma observação vale para a análise dos casos restantes. De um total de n+m pedras, ( basta ) escolher as m posições das m pedras n + m de 2m 2. Para isso, há = (n+m)! escolhas. m n!m! Para (n, m) = (6, 2) obtemos Para (n, m) = (4, 3) obtemos Para (n, m) = (2, 4) obtemos 8! 2!6! = 28. 7! 3!4! = 35 6! 2!4! = 15. Portanto, o total é igual a 1 + 9 + 28 + 35 + 15 + 1 = 89. 3

Questões Objetivas 1) Qual dos números abaixo é o mais próximo de 0,7? A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/7 1/2 = 0, 5 2/3 = 0, 6666... 3/4 = 0, 75 4/5 = 0, 8 5/7 = 0, 71... Resposta: E 2. Considere três números a, b e c. A média aritmética entre a e b é 17 e a média aritmética entre a, b e c é 15. O valor de c é: A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 15 a + b 2 = 17 a + b = 34 4

a + b + c 3 = 15 a + b + c = 45 Logo, c = 45 34 = 11 Resposta: C a: 3. O número total de divisores positivos de 10!=10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 é igual A) 15 B) 270 C) 320 D) 1024 E) 10! 10! = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 1 7 5 2 3 4 2 8 Consideremos α = {0, 1}, β = {0, 1, 2}, γ = {0, 1, 2, 3, 4} e θ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Os possíveis divisores de 10! são da forma 7 a 5 b 3 c 2 d. Para a α temos duas possibilidades. Temos 2 3 5 9 = 270 possíveis divisores de 10!. Resposta: B 4. A figura mostra um pentágono regular estrelado inscrito em uma circunferência. O ângulo x mede: A) 108 B) 120 C) 136 D) 144 E) 150 5

Vamos decompor o pentágono em três triângulos. A soma dos ângulos internos do pentágono é 5x. A soma dos ângulos internos do triângulo é 180. Desta forma teremos: 5x = 3 180. x = 108 Resposta: A 5. No plano cartesiano, a reta que passa pelos pontos A = (4, 3) e B = (6, 4) corta os eixos nos pontos P e Q. O comprimento do segmento P Q é: A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 2 Equação geral da reta que passa por A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ) : y 1 y 2 = m(x 1 x 2 ) Para A(4, 3) e B(6, 4): m = 1 2 e y 3 = 1 (x 4). 2 Ou seja, y = 1 2 x + 1 Com isso, P (0, 1) e Q( 2, 0) são as interseções com os eixos. Pelo Teorema de Pitágoras: P Q 2 = OP 2 + OQ 2 = 5. Resposta: D 6

6. O gráfico ao lado mostra o número de atendimentos de pacientes com uma certa doença num ambulatório no primeiro semestre de 2010. Quando houve o maior decréscimo percentual no número de atendimentos? A) Entre janeiro e fevereiro. B) Entre fevereiro e março. C) Entre março e abril. D) Entre abril e maio. E) Entre maio e junho. Entre janeiro e fevereiro não houve decréscimo. Entre fevereiro e março.: Entre março e abril: Entre abril e maio: Entre maio e junho: Resposta: D 200 160 200 160 120 160 120 84 120 84 63 84 = 40 200 = 1 5 = 20% = 40 160 = 1 4 = 25% = 36 120 = 3 10 = 30% = 21 84 = 1 4 = 25% 7. Meninas formaram uma roda. Maria é a quinta garota a esquerda de Denise e é a sexta garota a direita de Denise. Quantas meninas estão na roda? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 7

E) 17 Contando no sentido horário, a partir de Denise até Maria temos cinco meninas, pois Maria é a quinta garota a esquerda de Denise. Ainda no sentido horário, a partir de Maria até Denise temos seis meninas, pois Maria é a sexta menina à direita de Denise. Então temos na roda 5 + 6 = 11 meninas. Resposta: B 8. Se a medida do diâmetro de um círculo aumenta em 100%, então a medida da sua área aumenta em: A) 300% B) 100% C) 200% D) 400% E) 314% Sejam A e A a área do círculo e a área do círculo aumentado, respectivamente. A = πr 2 A = π(2r) 2 = 4πr 2 Observamos que A = A + 3πr 2 Ou seja, o acréscimo foi de 300%. Resposta: A 9. Seu João precisa pesar uma pera em uma balança de dois pratos. Ele possui 5 pesos distintos, de 1g, 3g, 9g, 27g e 81g. Seu João, equilibrando a pera com os pesos, descobriu que a pera pesa 61g. Quais pesos estavam no mesmo prato que a pera? 8

A) 1, 9 e 27 B) 3 e 27 C) 9 e 27 D) 1 e 9 E) 3 e 9 Sabemos que 81 está no prato sem a pera. Para alcançar 81, temos que pôr algum peso junto com a pera. Porém, não temos um peso que somado com 61 resulta 81. Então usaremos com a pera os pesos 3 e 27, resultando em 61+3+27 = 91. Para equilibrar a balança, acrescentamos 1 e 9 no prato que contém 81. Portanto, os pesos 3 e 27 estão no mesmo prato que a pera. Resposta: B 10. A figura abaixo apresenta o gráfico da função f(x) = 3x 4 16x 3 +18x 2 no intervalo [ 1, 4]. Quantas soluções reais distintas possui a equação 3x 4 16x 3 +18x 2 = 10 no intervalo [ 1, 4]? 9

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 As raízes reais da equação 3x 4 16x 3 + 18x 2 = 10, são dadas pela intersecção da reta horizontal y = 10 com o gráfico da função. Então, são duas raízes. Resposta: C 11. Dado que todos os A s são B s, mas apenas alguns B s são C s, qual das alternativas abaixo é certamente a correta? A) Nenhum A é C. B) Se algo é C então ele também é B. C) Todo A é C. D) Ou nenhum A é C ou nenhum C é B. E) Se algo não é B então ele não é A. Olhando A, B e C como conjuntos temos, A B, B C e B C. O diagrama de Venn associado aos conjuntos A, B e C é dado na figura abaixo. 10

Resposta: E 12. Os pontos da figura ao lado estão igualmente espaçados. Quantos retângulos podemos traçar com vértices nesses pontos? A) 6 B) 12 C) 16 D) 18 E) 20 Abaixo temos representados os tipos de retângulos que podem ser formados e abaixo de cada figura sua quantidade. 6 4 3 2 11

2 2 1 Podemos traçar 6 + 4 + 3 + 2 + 2 + 2 + 1 = 20 Resposta: E 13. Na figura ao lado, o quadrilátero grande é formado por 4 trapézios congruentes ao trapézio isósceles sombreado. O perímetro do quadrilátero grande é 36cm. Qual é o perímetro do trapézio sombreado? A) 9cm B) 12cm C) 18cm D) 36cm E) 72cm Pelo encaixe do quadrilátero grande, o trapézio sombreado tem um lado maior medindo l e 3 lados menores iguais medindo m. Além disso, os ângulos do trapézio são 60 e 120. 12

Logo que l = 2m. Então o perímetro do trapézio sombreado é igual a l + 3m = 5m. Por outro lado, o perímetro do quadrilátero maior é 4l + 2m = 8m + 2m = 10m, ou seja, o dobro que o do trapézio sombreado. Então o perímetro do trapézio sombreado é igual a 18cm. Resposta: C 14. Considere as funções reais f(x) = x 2 2x 3 e g(x) = x 2 + 3x + 4. Assinale a alternativa falsa: A) Se x > 2 então f(x) > 3. B) Se 1 < x < 2 então f(x) g(x). C) Se f(x) g(x) então 0 < x < 3. D) Se x < 1 então f(x) g(x) < 0. E) 1 x 7/2 se, e somente se, f(x) g(x). f(x) = x 2 2x 3 = 0, para x = 1 e x = 3, f(1) = 4 é o valor máximo da função f. g(x) = x 2 + 3x + 4 = 0, para x = 1 e x = 4, g(3/2) = 15/4 é o valor mínimo da função g. Então f(x) g(x) para 1 x r, com 3 < r < 4. Logo a alternativa D é falsa. As demais alternativas são verdadeiras. Resposta: C 15. Ana, Beatriz, Carlos e Daniel pescaram 11 peixes. Cada um deles conseguiu pescar pelo menos um peixe, mas nenhum deles pescou o mesmo número de peixes que outro. Ana foi a que pescou mais peixes e Beatriz foi a que pescou menos peixes. Quantos peixes os meninos pescaram juntos? A) 3 13

B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Sejam A, B, C e D a quantidade de peixes pescada por Ana, Beatriz, Carlos e Daniel, respectivamente. Queremos descobrir C + D. Sabemos que: A, B, C, D 1 B < C, D < A, C D A + B + C + D = 11 Se B = 2 então C + D 3 + 4 e A 5. Assim A + B + C + D 14. Absurdo! 16. Na figura ao lado os segmentos AB, CD e EF são perpendiculares à reta AE e medem, respectivamente, 40m, 82m e 100m. Se o segmento CE mede 27m, o comprimento do segmento AC é: A) 52m B) 56m C) 60m D) 63m E) 66m 14

Usamos semelhança de triângulos em DGF e BHF temos: 32. Pedro recorta em uma folha de papel um seto 18 60 = 27 27 + x 1620 = 486 + 18x 18x = 1134 x = 63 Resposta: D 17. Um número natural é chamado de estranho se seus algarismos são todos distintos e nenhum deles é 0 e é chamado de belo se todos os seus algarismos são pares. Quantos são os números de quatro algarismos que são estranhos ou belos? A) 24 B) 500 C) 3024 D) 3500 E) 3548 Números estranhos são formados por 1, 2,..., 9, resultando em 9 8 7 6 = 3024 possibilidades Números belos são formados por 0, 2, 4, 6, 8. A primeira casa deve ser diferente de zero, pois o número tem 4 algarismos. Assim temos 4 5 5 5 = 500 possibilidades. 15

Números estranhos e belos simultaneamente: 4.3.2.1 = 24 Soma de todos os números estranhos ou belos: Resposta: D 3024 + 500 24 = 3500. 18. Considere os números reais a = 2 1 2 + 8, b = (1 + 3) 2, c = (1 + A opção verdadeira é: A) a e b são ambos irracionais e c é racional. B) a e b são ambos inteiros e c é racional. C) a e c são ambos racionais e b é irracional. D) a é inteiro, b é racional e c é irracional. E) a é racional e b e c são ambos irracionais. 2) 3 7 4. 2 a = 2 1 2 (1 + 2 1 + 2 ) + 8 = 2 + 2 2 1 2 + 2 2 = 2 b = 1 + 2 3 + 3 = 2 3 + 4 c = (1 + 2 2 + 2)(1 + 2) 7 4 2 5 2 4 2 = 5 4 Resposta: C = 1 + 2 + 2 2 + 6 + 2 2 7 4 2 = 16

19. Na figura ao lado, ABC é um triângulo equilátero, M é o ponto médio do lado AB, o segmento MN é perpendicular ao lado BC e o segmento NP é perpendicular ao lado AC. Sabendo que AP = 12 unidades, a medida do lado do triângulo ABC nessa mesma unidade é: A) 15,2 B) 16,4 C) 17,5 D) 18,6 E) 19,2 Sejam R e S os pontos médios de BC e AC, respectivamente. BNM e BRA são semelhantes e BM é metade de BA. Então BN é metade de BR, isto é, vale x 4. Assim, NC = 3x 4. Como CP N é semelhante a CSB, então CP = 3 4 CS = 3x 8. Por outro lado, AP = 12 implica CP = x 12. Então CP = 3x 8 = x 12, Logo x = 96 5 Resposta: E = 19, 2. 20. Uma amostra de água salgada apresenta 18% de salinidade. Isto significa que em 100 gramas teremos 18 gramas de sais e 82 gramas de água. Qual a melhor aproximação do percentual de água da amostra a ser evaporado se quisermos obter 30% de salinidade? 17

A) 30% B) 36% C) 42% D) 49% E) 58% Como estamos trabalhando com proporções, podemos supor a quantidade de 100g total, sendo 18g de sal e 82g de água. Para que os mesmos 18g de sal representem 30% do novo peso P após a evaporação, é preciso que 18 = 0, 3, isto é, P = 60g. P Portanto a quantidade de água restante após a evapora aão tem que ser 42g. Isto significa uma perda de 40g de água dentro das 82g originais, isto é, a fração perdida é 40 82 = 20, que representa uma porcentagem pouco 41 menor do que 50%. Resposta: D 21. Assinale a alternativa verdadeira: A) Se x é um número real positivo, então x 6 > x 4. B) Se x é um número real e x 2 = x, então x = 1. C) Se x > 200 e y > 4 então x y > 50. D) Se x é um número real então x 2 x E) Se x(x 2 2x + 1) = 0 então x = 0 ou x = 1 ou x = 2. A) Contraexemplo: 1 número inteiro e positivo tal que 1 6 = 1 4 B) Contraexemplo: x = 0 18

C) Contraexemplo: Sejam x = 300 e y = 100 tais que x/y = 300/100 = 3 < 50 D) Contraexemplo: Seja x = 1/4 tal que x 2 = 1/16 < x = 1/4 E) Esta alternativa é realmente verdadeira, já que existem apenas dois números que satisfazem x(x 2 2x + 1) = x(x 1) 2 = 0, a saber 0 e 1. Resposta: E 22. De quantas maneiras é possível escolher três números inteiros distintos, de 1 a 20, de forma que a soma seja par? A) 1620 B) 810 C) 570 D) 720 E) 120 CASO I - 3 números pares: C 3 10 = 10! 3!7! = 120 CASO II - 2 números ímpares e 1 número par (fixo): C 2 10 = 10! 2!8! = 45 Temos 10 números pares, resultando 450 possibilidades para o CASO II. No total, temos T = 120 + 450 = 570. Resposta: C 19

23. Sejam a = 2 7000, b = 5 3000 e c = 13 2000. Assinale a alternativa correta: A) b < a < c B) a < b < c C) c < b < a D) a < c < b E) b < c < a a = 2 7000 = 2 7 103 = (2 7 ) 103 = 128 103. b = 5 3000 = 5 3 103 = (5 3 ) 103 = 125 103 c = 13 2000 = 13 2 103 = (13 2 ) 103 = 169 103 Como 125 < 128 < 169 então, b < a < c. Resposta: A 24. O gráfico que melhor representa a função f(x) = 1 x 2. A) B) C) D) E) 20

Observe que f(x) 0, para todo x. Resposta: B 25. Quantos múltiplos de 5 existem com 4 algarismos diferentes? A) 448 B) 504 C) 546 D) 952 E) 1008 CASO I. Múltiplos de 5 que terminam em 0: O primeiro algarismo não pode ser 0, resultando em 9 possibilidades. O segundo algarismo não pode ser 0 e nem o primeiro algarismo, resultando em 8 possibilidades. Para o terceiro algarismo temos 7 possibilidades, num total de 9 8 7 = 504 possibilidades. CASO II. Múltiplos de 5 que terminam em 5. O primeiro algarismo não pode ser 0 nem 5, o que resulta em 8 possibilidades. O segundo algarismo pode ser 0, mas não pode ser o primeiro e nem 5, resultando em 8 possibilidades. Para o terceiro algarismo temos 7 possibilidades, num total de 8 8 7 = 448. Logo, 504 + 448 = 952. Resposta: D 21

26. Em Eletrostática, o módulo E do campo elétrico gerado por uma única carga elétrica pontual de carga q em um ponto a uma distância d da carga é diretamente proporcional a q e inversamente proporcional ao quadrado de d. Considere uma carga elétrica com carga q constante e seja E = f(d), com d > 0, a função que descreve o módulo E do campo elétrico em um ponto a uma distância d dessa carga. Dessa forma, é correto afirmar que f(2d) é igual a: A) f(d) 4 B) 4 f(d) C) f(d) D) f(d) 2 E) 2 f(d) Do enunciado temos f(d) = c q d 2. Então, Resposta: A q f(2d) = c (2d) = 1 2 4 c q d = 1 2 4 f(d) 27. Observe o desenho ao lado com as quatro circunferências de raio 1 dentro da circunferência de raio 2. A área sombreada é igual a: A) 2π 2 B) π/3 22

C) 2π 4 D) π/2 E) π π A área de uma semipétala é igual a πr2 4-1 2. Considerando as 8 semipétalas teremos: 8( πr2 4-1 2 ) = 2πr2 4 Como r = 1, temos que a área sombreada é igual a 2π 4. Resposta: C 28. Um grupo de pessoas gastou 120 reais em uma lanchonete. Quando foram pagar a conta, dividindo-a igualmente, notaram que duas pessoas foram embora sem deixar dinheiro e as pessoas que ficaram tiveram que pagar cinco reais a mais que pagariam se a conta fosse dividida igualmente entre todos os membros do grupo inicial. Quantas pessoas pagaram a conta? A) 4 B) 6 C) 7 D) 9 E) 10 Seja x o número de pessoas no grupo. Cada pessoa gastou y = 120 x. Temos apenas x 2 pessoas pagantes. Desta forma: (x 2)(y + 5) = 120. 23

Substituindo y = 120 x obtemos (x 2)( 120 x + 5) = 120. Logo, x = 8 e, com isso, temos x 2 = 6 pagantes. Resposta: B. 29. Na figura ao lado, os hexágonos regulares ABCDEF e A B C D E F estão, respectivamente, inscrito e circunscrito a uma circunferência de centro O. A razão vale área(a B C D E F ) área(abcdef ) A) 3/2 B) 4/3 C) 2 D) 3 E) 2 Como OA é a razão de semelhança entre os hexágonos, a razão entre OA as áreas será o quadrado dessa razão, isto é, (OA ) 2 (OA). 2 Notemos que OA é o tamanho da apótema do hexágono externo, o que pode ser visto ao girar-se o hexágono interno até que A coincida com ponto médio de A F. Nessa nova posição, OAA é triângulo-retângulo, OA é sua hipotenusa e AA = 1 2 A F = 1 2 OA. Então (OA) 2 = (OA ) 2 1 4 (OA ) 2 = 3 4 (OA ) 2. 24

Portanto a razão procurada é igual a 4 3. Resposta: B. 30. Dona Ana distribuiu 300 balas entre seus sobrinhos Beatriz, Caio, Daniela e Eduardo da seguinte maneira: deu uma bala para Beatriz, duas balas para Caio, 3 balas para Daniela, 4 balas para Eduardo, 5 balas para Beatriz, 6 balas para Caio e assim sucessivamente. Quantas balas Daniela recebeu de sua tia Ana? A) 66 B) 72 C) 78 D) 84 E) 88 Observamos a seguinte tabela: Beatriz Caio Daniela Eduardo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Trata-se de uma PA de razão 1 cuja soma dos elementos é 300 a n = a 1 + (n 1)r o termo geral desta PA, onde a 1 = 1 e r = 1. Então S n = (a 1 + a n )n 2 = (1 + n)n 2 = 300. Logo, n = 24. A sequência de Daniela é da forma: 3, 7, 11, 15, 19, 23. Logo, S D = (a 1 + a n )n 2 = (3 + 23)6 2 = 78. 25

Resposta: C { 31. Considere o sistema x 2 y y 2 = 0 x 3 + x 2 xy y = 0 e as 3 afirmações abaixo. I) Existem infinitos pares (x, y) de números reais que são soluções do sistema. II) Todas as soluções do sistema são da forma (x, 0), para algum x real. III) Não há nenhuma solução do sistema da forma (x, 8), com x real. São verdadeiras: A) Somente I. B) Somente II. C) Somente III. D) Somente I e II. E) Somente I e III. x 2 y y 2 = 0 y(x 2 y) = 0 Suas soluções são y = 0 ou y = x 2 x 3 + x 2 xy y = 0 (x 2 y)(x + 1) = 0 Suas soluções são y = x 2 ou x = 1 Assim, as soluções deste sistema são os pontos na interseção desses dois conjuntos, ou seja, a união do ponto (-1,0) com o gráfico de x 2. Isso mostra que: I) é verdadeira, pois existem infinitas soluções para o sistema. II) é falsa, porque há soluções fora da abscissa. 26

III) é verdadeira, pois não há nenhuma solução com coordenada negativa. Resposta: E 32. Pedro recorta em uma folha de papel um setor circular OAB de raio 12cm e ângulo de 120. Juntando e colando os raios OA e OB ele faz um cone como mostra a figura abaixo. A altura desse cone é, aproximadamente: A) 9,6cm B) 10,4cm C) 10,8cm D) 11,3cm E) 11,7cm C = 2πr é o comprimento da circunfência de raio r. Como o ângulo do setor circular é de 120, então dividimos o comprimento da circunferência por três: C 3 = 2πr 3 = 2π12 3 = 8π 2πr = 8π r = 4, é o raio da base do cone. h é a altura do cone, pelo Teorema de Pitágoras: 12 2 = 4 2 + h 2, h 2 = 144 16 = 128 h = 128 Observe 11 2 = 121 < 128 < 144 = 12 2 27

11, 3 2 = (11 + 0, 3) 2 = 11 2 + 2 11 0, 3 + (0, 3) 2 121 + 6, 6. 11, 7 2 = (12 0, 3) 2 = 12 2 2 12 0, 3 + (0, 3) 2 144 7, 2. Resposta: D 33. Um grupo de agricultores trabalha no corte da cana em duas glebas de terra. Admita que todos possuem a mesma velocidade de trabalho (medida em área cortada por unidade de tempo) e que uma das glebas tenha o dobro da área da outra. Até a metade do dia todos trabalham juntos na gleba maior e, na outra metade do dia, metade dos trabalhadores passa a cortar a cana da gleba menor, enquanto a outra metade continua cortando cana na gleba maior. No final deste dia, os trabalhadores terminaram de cortar toda a cana da gleba maior, mas um trabalhador demorou mais um dia inteiro para terminar de cortar a cana da gleba menor. Quantos trabalhadores havia no grupo? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 Seja F a fração da área da gleba menor que um trabalhador pode cortar em um dia. No primeiro dia, N trabalhadores cortaram NF da área total, no segundo dia, um deles ainda cortou uma área F. Isso totaliza (N + 1)F = 2 + 1 = 3, pois a a área da gleba maior é o dobro da menor. A gleba maior foi toda cortada no primeiro dia. Na primeira metade do dia, N trabalhadores cortaram 1 2 NF, e na segunda metade, N 2 trabalhadores, que cortaram 1 N 2 2 F. 28

Então 3NF 4 = 2, logo NF = 8 3. Substituindo em (N + 1)F = 3, resulta F = 1/3. Logo N = 8. Resposta: C 34. Considere todos os números inteiros positivos escritos com exatamente cinco algarismos ímpares distintos. Qual é o valor da soma desses números? A) 6666600 B) 6666000 C) 6660000 D) 6600000 E) 6000000 Sejam 1, 3, 5, 7, 9 os cinco algarismos ímpares distintos. Fixamos 1 no algarismo das unidades. Para o primeiro algarismo temos 4 possibilidades. Para o segundo algarismo temos 3 possibilidades e assim sucessivamente. Com isso, temos 4! = 24 possibilidades para 1 no algarismo das unidades. Analogamente, temos 24 números que terminam em 3, 5, 7 e 9, respectivamente. A soma dos algarismos das unidades será dada por: 24 1 + 24 3 + 24 5 + 24 7 + 24 9 = 24 25 = 600 Repetimos o procedimento para o algarismo das dezenas. Fixamos 1 no algarismo das dezenas. 29

Para o primeiro algarismo temos 4 possibilidades. Para o segundo algarismo temos 3 possibilidades e assim sucessivamente. Com isso, temos 4! = 24 possibilidades para 1 no algarismo das dezenas. Analogamente, temos 24 números que apresentam 3, 5, 7 e 9 no algarismo das dezenas, respectivamente. A soma dos algarismos das dezenas será dada por: 24 10 + 24 30 + 24 50 + 24 70 + 24 90 = 24 250 = 6000 Repetimos este procedimento para o algarismo das centenas, unidade de milhar e dezena de milhar, obtendo as somas 60000, 600000 e 6000000, respectivamente. Portanto, a soma dos números será dada por Resposta: A 600 + 6000 + 60000 + 600000 + 6000000 = 6666600 35. Sejam x e y números inteiros tais que 10x + y seja um múltiplo de 7. Assinale a resposta correta. A) x 2y será certamente um múltiplo de 7. B) 2x + y será certamente um múltiplo de 7. C) x y será certamente um múltiplo de 7. D) 2x y será certamente um múltiplo de 7. E) 2x + 2y será certamente um múltiplo de 7. 10x + y = 7k. 7x + 7y = 7(x + y) = 7k. 30

Subtraíndo estas duas igualdades, obtemos Ou seja, 3x 6y = 7(k k ). (10x + y) (7x + 7y) = 7(k k ) Dividindo ambos membros por 3, obtemos Resposta: A x 2y = 7 (k k ) 3 31